5-1不定積分的概念與性質(zhì)

1、微 積 分 (下)吳巧梅吳巧梅 EMAIL: 微積分微積分微分微分積分積分微積分極限與連續(xù)一元函數(shù)無窮級數(shù)多元函數(shù)微分方程差分方程導數(shù)與微分積分刻畫函數(shù)的改變中值定理（洛必達法則）導數(shù)的應用（畫函數(shù)圖形）不定積分（求導的逆運算）定積分偏導數(shù)和全微分重積分刻畫函數(shù)的變化率計算：求導數(shù)、求微分關于本門課程的學習方法關于本門課程的學習方法: :1 1）課前預習）課前預習（前一天通讀下次要講的內(nèi)容）（前一天通讀下次要講的內(nèi)容）. . 2 2）認真聽講）認真聽講（提倡超前的動腦思維）（提倡超前的動腦思維）. . 3 3）課后復習）課后復習（弄懂每一個細節(jié)（弄懂每一個細節(jié), ,并適當看一些參考書并適當看一

2、些參考書, ,幫幫助并加深理解該講的內(nèi)容）助并加深理解該講的內(nèi)容）. . “成功就是成功就是簡單的事情反復做簡單的事情反復做” 李開復李開復花時間學習！花時間學習！最好的學習方法最好的學習方法奧巴馬的同學，曾任微軟中國研究院院長、奧巴馬的同學，曾任微軟中國研究院院長、GoogleGoogle全球副總裁兼中國區(qū)總裁全球副總裁兼中國區(qū)總裁 4 4）完成作業(yè)）完成作業(yè)（要獨立完成（要獨立完成, ,可以討論或詢問可以討論或詢問, ,但切忌抄襲）但切忌抄襲）. .吳巧梅老師吳巧梅老師5 5）小結(jié)）小結(jié)（總結(jié)所學內(nèi)容、歸納方法、寫出體會（總結(jié)所學內(nèi)容、歸納方法、寫出體會).).一道有意義的計算題！一道有意

3、義的計算題！如果令如果令 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 分分別等于百分之別等于百分之 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 那么那么 Hard work （努力工作）（努力工作） H+A+R+D+W+O+R+K= 8+1+18+4+23+15+18+11 = 98% Knowledge（知識）（知識）K+N+O+W+L+E+D+G+E = 11+14+15+23+12+5+4+7+5 = 96% Love（愛情）（愛情）

4、L+O+V+E = 12+15+22+5 = 54% Luck（好運）（好運） L+U+C+K = 12+21+3+11 = 47% 什么能使得生活變得圓滿？什么能使得生活變得圓滿？ 是是 Money（金錢）嗎（金錢）嗎? . M+O+N+E+Y = 13+15+14+5+25 = 72% 是是 Leadership（領導能力）嗎（領導能力）嗎? . L+E+A+D+E+R+S+H+I+P = 12+5+1+4+5+18+19+9+16 = 89% 那么，什么能使生活變成那么，什么能使生活變成100%的圓滿呢？的圓滿呢？ ATTITUDE（態(tài)度）（態(tài)度） A+T+T+I+T+U+D+E = 1

5、+20+20+9+20+21+4+5 = 100% 一道有意義的計算題！一道有意義的計算題！oAttitude - 100%o態(tài)度決定一切！態(tài)度決定一切！1)1)考核成績構成：考核成績構成： 期末考試成績：期末考試成績：4040分分 平時成績：平時成績： 6060分分關于本課程的要求：關于本課程的要求：平時成績包括：平時成績包括： 出勤：出勤：3030分分. .考勤缺一次扣考勤缺一次扣3 3分分, ,遲到遲到一次扣一次扣1 1分分, ,扣完為止扣完為止. . 作業(yè)作業(yè)：1010分分. .少做一次扣少做一次扣2 2分分, ,扣完為止扣完為止. . 平時測驗：平時測驗：2020分分. . 缺一次扣

6、缺一次扣5 5分分. .2)2)關于作業(yè)：關于作業(yè)： 1) 1)每兩周收一次每兩周收一次, ,用用作業(yè)紙作業(yè)紙寫；寫； 2) 2)每個班由每個班由課代表課代表收作業(yè)收作業(yè), ,然后統(tǒng)一交給老師然后統(tǒng)一交給老師. .一、復習：一、復習： 導數(shù)導數(shù) :xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00 微分微分 :xxfxfd)()(d 關系關系 :可導可導可微可微微分學微分學導數(shù)導數(shù): :描述函數(shù)變化快慢描述函數(shù)變化快慢. .微分微分: :描述函數(shù)變化程度描述函數(shù)變化程度. .微積分微積分積分學：積分學：微分學：微分學： 研究導數(shù)、微分及其應用研究導數(shù)、微分及其應用. .研究不定積分、定積分

7、及其應用研究不定積分、定積分及其應用. . )(sec)(tan)(sin)(xxxC )(csc)(cot)(cos)(xxxx )(log)(xaax )(ln)(xex )(arctan)(arcsinxx )cot()(arccosxarcx記住常見函數(shù)的導數(shù)公式：記住常見函數(shù)的導數(shù)公式：xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 記住常見函數(shù)的導數(shù)公式：記住常見函數(shù)的導數(shù)公式：xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arct

8、an11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc四則運算四則運算的求導的求導法則：法則： )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu注意：注意：)0( v復合函數(shù)求導法則：復合函數(shù)求導法則：)(, )(xuufyxydd)()(xuf初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導, 且導數(shù)仍為初等函數(shù)且導數(shù)仍為初等函數(shù).uyddxudd);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 第四章第四章 不定積分不定積分第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)第二節(jié)第二節(jié) 換元積分法換元積分法第三節(jié)

9、第三節(jié) 分部積分法分部積分法第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念二、基本積分表二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì) 比如：已知直線運動的位置函數(shù)比如：已知直線運動的位置函數(shù) S = S(t)，用微分法，用微分法可求運動速度可求運動速度: v tSt 但若已知運動速度但若已知運動速度v(t)，怎么求其位置函數(shù)，怎么求其位置函數(shù) S(t) 呢？呢？ 在數(shù)學中，一般來說一種運算的出現(xiàn)都伴隨著它的逆運算在數(shù)學中，一般來說一種運算的出現(xiàn)都伴隨著它的逆運算.引言引言微分微分(求導求導)是否有逆運算？若有是否有逆運算？若有,

10、 是什么？是什么？例如：例如： 加法加法的逆運算是的逆運算是減法減法; 乘法乘法的逆運算是的逆運算是除法除法; 指數(shù)指數(shù)的逆運算是的逆運算是對數(shù)對數(shù)等等.( ? )( )v t 微分微分有逆運算，有逆運算，不定積分不定積分是微分的逆運算！是微分的逆運算！ 例例 sincos ,xx xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù). 1ln(0),xxx xln是是x1在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù).1 定義：定義：一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念 求給定函數(shù)的原函數(shù)是積分學中的第一個基本問題，求給定函數(shù)的原函數(shù)是積分學中的第一個基本問題，也是本章討論的中心問題。也是本章

11、討論的中心問題。 1 1）已知函數(shù)）已知函數(shù) 應具備什么條件，才可以保證它的應具備什么條件，才可以保證它的原函數(shù)一定存在？原函數(shù)一定存在？ ( )f x原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：簡言之：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù). .問題：問題：2)如果如果 f (x)有原函數(shù)，一共有多少？即有原函數(shù)，一共有多少？即原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？當一個函數(shù)具有原函數(shù)時，它的原函數(shù)不只是一個當一個函數(shù)具有原函數(shù)時，它的原函數(shù)不只是一個. 比如：比如：cosx的原函數(shù)除的原函數(shù)除sinx外，外， sin1 sin2 sinxxx 、 一般地，設一般地，設F(x)是是 f (x)的一個

12、原函數(shù)，則的一個原函數(shù)，則 對于任意的對于任意的常數(shù)常數(shù)C，F(xiàn) (x)+C也是也是 f (x)的一個原函數(shù)的一個原函數(shù).都是都是cosx的原函數(shù)。的原函數(shù)。例例 xxcossin xCxcossin （C C 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）3) F (x)的原函數(shù)不唯一，那這些原函數(shù)之間有什么聯(lián)系？的原函數(shù)不唯一，那這些原函數(shù)之間有什么聯(lián)系？只差一個常數(shù)只差一個常數(shù) ，( )F xC 即當即當C為任意常數(shù)時，表達式為任意常數(shù)時，表達式( )f x就可以表示就可以表示的任意一個原函數(shù)。的任意一個原函數(shù)。 ( )( )G xf x ( )G x( )f x設設是是的另一個原函數(shù)，即的另一個原函數(shù)，即 (

13、 )( )( )( )( )( )0G xF xG xFxf xf x 則則( )( )G xF xc (C(C為常數(shù)），為常數(shù)）， 結(jié)論：結(jié)論：如果函數(shù)如果函數(shù) f(x)有一個原函數(shù)有一個原函數(shù) F(x)，那末它就有無窮，那末它就有無窮多個原函數(shù)，并且多個原函數(shù)，并且 f(x)的無窮多個原函數(shù)僅限于的無窮多個原函數(shù)僅限于F(x)+C. 任意常數(shù)任意常數(shù)積分號積分號被積函數(shù)被積函數(shù)定義定義2：CxFdxxf )()(被積表達式被積表達式積分變量積分變量 求求 f (x) 的不定積分，只要找出它的一個原函數(shù)的不定積分，只要找出它的一個原函數(shù),再再加任意常數(shù)即可加任意常數(shù)即可. 檢驗檢驗不定積分運

14、算是否正確，只需求導驗證不定積分運算是否正確，只需求導驗證.例例1 1：求求.5dxx 解：解：,656xx .665Cxdxx 解：解：例例2 2：求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx例例3：已知已知 , 求求1( )f xx ( ).f x dx 1ln |dxxCx 因因此此. .解：解：110(ln ),lnxxdxxCxx 時時，；110ln(),ln()xxdxxCxx 時時，arcsinarccos.2xx 2.1d xx 例例4：求求21(arcsin),1xx 21( arccos),1xx 解：解：而而這是因為這是因為不定積分答案

15、形式不惟一，但本質(zhì)是一樣的不定積分答案形式不惟一，但本質(zhì)是一樣的!2arcsin,1d xxCx 2arccos1d xxCx arccosarcsin/2xx 即選擇的不同原函數(shù)之間僅僅相差一個常數(shù)即選擇的不同原函數(shù)之間僅僅相差一個常數(shù)C . 這兩個原函數(shù)的圖像可以通過這兩個原函數(shù)的圖像可以通過“上下平移上下平移 ”互互變變,表明這兩個函數(shù)在任一點的函數(shù)值都只相差一個常表明這兩個函數(shù)在任一點的函數(shù)值都只相差一個常數(shù)數(shù) 。1.00.50.5x1.51.00.50.51.0y01.00.50.5x3211y0 xyarccosxyarcsin2/2/思考：思考： 的的全部原函數(shù)全部原函數(shù)的圖像應

16、該是什么樣子的？的圖像應該是什么樣子的？211x 241.00.50.5x1.51.00.50.51.0y01.00.50.5x3211y0 xyarccosxyarcsin1.00.50.5x3211y0arcsin0.5arcsinarcsin0.5arcsin1arccosarccos0.5yxyxyxyxyxyx 上上圖圖中中的的曲曲線線分分別別為為函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形 f (x) 的不定積分，是的不定積分，是 f (x) 的的“全部原函數(shù)全部原函數(shù)”，它可，它可以表示為以表示為“f (x) 的一個原函數(shù)加任意常數(shù)的一個原函數(shù)加任意常數(shù) C ” 的形式。的形式。“不定積分不定積分”與與

17、“原函數(shù)原函數(shù)”的聯(lián)系和區(qū)別的聯(lián)系和區(qū)別f(x) 的原函數(shù)，是的原函數(shù)，是 f (x) 求導以前求導以前“原來的函數(shù)原來的函數(shù)”； CxFdxxf )()( 為了形象地理解為了形象地理解“ f (x) 的原函數(shù)的原函數(shù)”的概念，我們用的概念，我們用“填空填空”的方式來說明的方式來說明“原來的函數(shù)原來的函數(shù)”的含義：的含義： 的括號中需要填的，就是的括號中需要填的，就是 的的原函數(shù)原函數(shù) .xcos)(xcosxsinln ln(), xxabbaabbaa bbaab baexex ， 以前接觸的運算，先做運算再做逆運算相當于沒有變以前接觸的運算，先做運算再做逆運算相當于沒有變化，例如：化，例

18、如： 不定積分是微分的逆運算，對函數(shù)進行先微分再積分不定積分是微分的逆運算，對函數(shù)進行先微分再積分的運算和先積分再微分的運算，函數(shù)是否也沒有變化？的運算和先積分再微分的運算，函數(shù)是否也沒有變化？ 積分與微分的關系積分與微分的關系設設F(x) 為為 f (x) 的一個原函數(shù)，的一個原函數(shù)，( )( )( )( )( )( )F xdF xdF xFx dxf x dxF xC 微微分分積積分分( )( ( )( )df x dxd F xCf x dx 先微分再積分先微分再積分:先積分再微分先積分再微分:結(jié)論：結(jié)論：( )( ),Fx d xF xC ( )( ).f x dxf x 函函數(shù)數(shù))

19、(xf的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線. 顯然，求不定積分得到一積分顯然，求不定積分得到一積分曲線族曲線族.2.2.不定積分的幾何意義：不定積分的幾何意義：CxFdxxf )()( )( )F xf x 在每一條積分曲線上橫坐標在每一條積分曲線上橫坐標相同的點處作切線，這些切線是相同的點處作切線，這些切線是彼此平行的。彼此平行的。 一個原函數(shù)對應于一條積分曲線一個原函數(shù)對應于一條積分曲線不定積分則對應于積分曲線簇不定積分則對應于積分曲線簇無數(shù)條積分曲線無數(shù)條積分曲線被積函數(shù)對應于積分曲線在各點的切線斜率被積函數(shù)對應于積分曲線在各點的切線斜率 同一橫坐標處，切線平

20、行同一橫坐標處，切線平行例：例：設曲線通過點（設曲線通過點（1 1，2 2），且其上任一點處的切線），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程. .解：解： 設曲線方程為設曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy ,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲線通過點（由曲線通過點（1 1，2 2）, 1 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy二、二、 基本積分表基本積分表 積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導公式得出積分公式公式得出積分公式. .(1)kdx ( k(

21、 k是常數(shù)是常數(shù)););(2)x dx (3 ) dxx 21(4) 1dxx ;arctanCx 21(5) 1dxx arcsin;xC xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx kxC 1(1);1xC ln xC xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax *(14)shxdx ;Cchx *(15)chxdx ;Cshx dxxgxf)()()1(;)()( dxxg

22、dxxf證證 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì) dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k（不定積分的線性運算）（不定積分的線性運算） 2321.xdx 2321xdx 243312xxdx 243312dxx dxx dx241133112241133xxxC573363.57xxxC 例：例：計算不定積分計算不定積分解：解：注意：注意：本題化為三個積分，應出現(xiàn)三個任意常數(shù)，但由其本題化為三個積分，應出現(xiàn)三個任意常數(shù)，但由其任意性，可寫成一個任意常數(shù)。任意性，可寫成一個任意常數(shù)。1(2)(1)1xx dxC 解：解：例：例： 求積分求積分.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 11122111dxdxxx arctanlnxxC(3 )ln;dxxCx 21(4)arctan;