5.1-有限差分方法基礎(chǔ)

1、1第第2章章 有限差分法基礎(chǔ)有限差分法基礎(chǔ)2-1 2-1 差分原理及逼近誤差差分原理及逼近誤差2-2 2-2 差分方程，截?cái)嗾`差和相容性差分方程，截?cái)嗾`差和相容性2-3 2-3 收斂性與穩(wěn)定性收斂性與穩(wěn)定性2-4 2-4 LaxLax等價(jià)定理等價(jià)定理2-5 2-5 利用有限差分法求解應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟利用有限差分法求解應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟2-6 2-6 應(yīng)用數(shù)值方法模擬材料成形的若干注意事項(xiàng)應(yīng)用數(shù)值方法模擬材料成形的若干注意事項(xiàng)Finite difference method (FDM) 2第第2章章 有限差分法基礎(chǔ)有限差分法基礎(chǔ)有限差分法有限差分法: : 將連續(xù)求解域劃分成差分網(wǎng)格（最簡(jiǎn)單的差

2、分網(wǎng)格將連續(xù)求解域劃分成差分網(wǎng)格（最簡(jiǎn)單的差分網(wǎng)格是矩形網(wǎng)格），用有限個(gè)節(jié)點(diǎn)代替原連續(xù)求解域，用差是矩形網(wǎng)格），用有限個(gè)節(jié)點(diǎn)代替原連續(xù)求解域，用差商代替控制微分方程中的導(dǎo)數(shù)，并在此基礎(chǔ)上建立含有商代替控制微分方程中的導(dǎo)數(shù)，并在此基礎(chǔ)上建立含有限個(gè)未知數(shù)的節(jié)點(diǎn)差分方程組；代入初始條件和邊界條限個(gè)未知數(shù)的節(jié)點(diǎn)差分方程組；代入初始條件和邊界條件后求解差分方程組；該差分方程組的解就是元微分方件后求解差分方程組；該差分方程組的解就是元微分方程定解問(wèn)題的數(shù)值近似解。程定解問(wèn)題的數(shù)值近似解。3第第2章章 有限差分法基礎(chǔ)有限差分法基礎(chǔ)有限差分法有限差分法: : 優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：是一種直接將微分問(wèn)題轉(zhuǎn)變成代數(shù)問(wèn)題的

3、近是一種直接將微分問(wèn)題轉(zhuǎn)變成代數(shù)問(wèn)題的近似數(shù)值解法，其最大特點(diǎn)是網(wǎng)格劃分規(guī)整，無(wú)需構(gòu)建形似數(shù)值解法，其最大特點(diǎn)是網(wǎng)格劃分規(guī)整，無(wú)需構(gòu)建形函數(shù)，不存在單元分析和整體分析，數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)便，但函數(shù)，不存在單元分析和整體分析，數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)便，但不太適合處理具有復(fù)雜邊界條件的工程問(wèn)題。不太適合處理具有復(fù)雜邊界條件的工程問(wèn)題。不足：不足：在處理求解對(duì)象的集合邊界上缺乏靈活性，即邊在處理求解對(duì)象的集合邊界上缺乏靈活性，即邊界節(jié)點(diǎn)（網(wǎng)格交點(diǎn)）沒(méi)有全部坐落在邊界線（面）上。界節(jié)點(diǎn)（網(wǎng)格交點(diǎn)）沒(méi)有全部坐落在邊界線（面）上。 適合用于傳熱、流動(dòng)等工程問(wèn)題的求解。適合用于傳熱、流動(dòng)等工程問(wèn)題的求解。4第第2章章 有限差分

4、法基礎(chǔ)有限差分法基礎(chǔ)有限差分法有限差分法: :直觀，理論成熟，精度可選。但是不規(guī)則直觀，理論成熟，精度可選。但是不規(guī)則區(qū)域處理繁瑣，雖然網(wǎng)格生成可以使區(qū)域處理繁瑣，雖然網(wǎng)格生成可以使FDMFDM應(yīng)用于不規(guī)則應(yīng)用于不規(guī)則區(qū)域，但是對(duì)區(qū)域的連續(xù)性等要求較嚴(yán)。使用區(qū)域，但是對(duì)區(qū)域的連續(xù)性等要求較嚴(yán)。使用FDMFDM的好的好處在于易于編程，易于并行。處在于易于編程，易于并行。 有限元方法有限元方法: :適合處理復(fù)雜區(qū)域，精度可選。缺憾在于適合處理復(fù)雜區(qū)域，精度可選。缺憾在于內(nèi)存和計(jì)算量巨大。并行不如內(nèi)存和計(jì)算量巨大。并行不如FDMFDM直觀。不過(guò)直觀。不過(guò)FEMFEM的并行的并行是當(dāng)前和將來(lái)應(yīng)用的一個(gè)

5、不錯(cuò)的方向。是當(dāng)前和將來(lái)應(yīng)用的一個(gè)不錯(cuò)的方向。 52-12-1差分原理及逼近誤差1差分原理差分原理 設(shè)有設(shè)有x的解析函數(shù)的解析函數(shù)y=f(x)，從微分學(xué)知道，從微分學(xué)知道函數(shù)函數(shù)y對(duì)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為 xxfxxfxydxdyxx )()(limlim00dxdy是函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，又稱是函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，又稱微商微商； y、x 分別稱為函數(shù)及自變量的分別稱為函數(shù)及自變量的差分差分，xy 為函數(shù)對(duì)自變量的為函數(shù)對(duì)自變量的差商差商。 （2-1）Finite difference method (FDM) 6向前差分向前差分)()(xfxxfy)()(xxfxfy)21()21(xxfxxf

6、y（2-2）向后差分向后差分（2-3）中心差分中心差分（2-4）x0 2-12-1差分原理及逼近誤差差分原理及逼近誤差Finite difference method (FDM) 7 上面談的是一階導(dǎo)數(shù)，對(duì)應(yīng)的稱為上面談的是一階導(dǎo)數(shù)，對(duì)應(yīng)的稱為一階差分一階差分。對(duì)一階差。對(duì)一階差分再作一階差分，所得到的稱為分再作一階差分，所得到的稱為二階差分二階差分，記為，記為 。y2以以向前差分向前差分為例，有為例，有 )()(2)2( )()()()2( )()( )()( )(2xfxxfxxfxfxxfxxfxxfxfxxfxfxxfyy2-12-1差分原理及逼近誤差（2-5）Finite diffe

7、rence method (FDM) 8 依此類推，任何階差分都可由其低一階的差分再作一階差分得到。依此類推，任何階差分都可由其低一階的差分再作一階差分得到。例如例如n 階前差分為階前差分為 )()( )( )( )(21xfxxfyyyynnn2-12-1差分原理及逼近誤差（2-6）Finite difference method (FDM) 9 函數(shù)的差分與自變量的差分之比，即為函數(shù)對(duì)自變量的函數(shù)的差分與自變量的差分之比，即為函數(shù)對(duì)自變量的差商差商。 一階向前差商一階向前差商為為 xxfxxfxy)()(一階向后差商一階向后差商為為 xxxfxfxy)()(2-12-1差分原理及逼近誤差差

8、分原理及逼近誤差（2-8）（2-7）Finite difference method (FDM) 10一階中心一階中心差商差商為為xxxfxxfxy)21()21(或或xxxfxxfxy2)()(2-12-1差分原理及逼近誤差差分原理及逼近誤差（2-9）（2-10）Finite difference method (FDM) 11二階差商多取中心式，即二階差商多取中心式，即222)()()(2)(xxxfxfxxfxy當(dāng)然，在某些情況下也可取向前或向后的二階差商。當(dāng)然，在某些情況下也可取向前或向后的二階差商。 2-12-1差分原理及逼近誤差（2-11）Finite difference met

9、hod (FDM) 12以上是一元函數(shù)的差分與差商。多元函數(shù)以上是一元函數(shù)的差分與差商。多元函數(shù)f(x,y,)的差分與差商也可以類推。的差分與差商也可以類推。如一階向前差商為如一階向前差商為,),(),(xyxfyxxfxf,),(),(yyxfyyxfyf2-12-1差分原理及逼近誤差差分原理及逼近誤差（2-13）（2-12）Finite difference method (FDM) 13 由導(dǎo)數(shù)（由導(dǎo)數(shù)（微商微商）和）和差商差商的定義知道，當(dāng)自變量的的定義知道，當(dāng)自變量的差分差分（增量）趨近于（增量）趨近于零時(shí)，就可零時(shí)，就可由差商得到導(dǎo)數(shù)由差商得到導(dǎo)數(shù)。因此在數(shù)值計(jì)算中。因此在數(shù)值計(jì)算

10、中常用差商近似代替導(dǎo)數(shù)常用差商近似代替導(dǎo)數(shù)。差商與導(dǎo)數(shù)之間的誤差表明差商與導(dǎo)數(shù)之間的誤差表明差商差商逼近導(dǎo)數(shù)的程度，逼近導(dǎo)數(shù)的程度，稱為稱為逼近誤差逼近誤差。由函數(shù)。由函數(shù)的的Taylor展開(kāi)，可以得到逼近誤差相對(duì)于自變量差分（增量）的展開(kāi)，可以得到逼近誤差相對(duì)于自變量差分（增量）的量級(jí)量級(jí)，稱，稱為用差商代替導(dǎo)數(shù)的精度，簡(jiǎn)稱為為用差商代替導(dǎo)數(shù)的精度，簡(jiǎn)稱為差商的精度差商的精度?，F(xiàn)將函數(shù)現(xiàn)將函數(shù)在在x的的 鄰域作鄰域作Taylor展開(kāi)：展開(kāi)：)()(! 4)()(! 3)()(! 2)()()()(5432xOxfxxfxxfxxfxxfxxfIV )()( )()(! 4)()(! 3)(!

11、 2)()()()( 432xOxfxOxxfxxfxxfxfxxfxxfIV 2 2逼近誤差逼近誤差2-12-1差分原理及逼近誤差差分原理及逼近誤差（2-14）Finite difference method (FDM) 14)()()()( ),)()(! 4)()(! 3)( )(! 2)()()()( 5432xOxfxxxfxfxOxfxxfxxfxxfxxfxxfIV 一階一階向后差商向后差商也具有也具有一階精度一階精度。2-12-1差分原理及逼近誤差（2-15）（2-16）Finite difference method (FDM) 15將將)(xxf與與)(xxf的的Taylo

12、r展開(kāi)式相減可得展開(kāi)式相減可得)()(2)()(2xOxfxxxfxxf可見(jiàn)一階可見(jiàn)一階中心差商中心差商具有二階精度。具有二階精度。（1-17）2-12-1差分原理及逼近誤差Finite difference method (FDM) 16將將)(xxf與與)(xxf的的Taylor展開(kāi)式相加可得展開(kāi)式相加可得)()()()(2)(22xOxfxxxfxfxxf 這說(shuō)明這說(shuō)明二階中心差商二階中心差商的精度也為二階的精度也為二階 （1-18）2-12-1差分原理及逼近誤差由于由于 是個(gè)小量，因而階數(shù)越大精度越高！是個(gè)小量，因而階數(shù)越大精度越高！x Finite difference method

13、 (FDM) 172ix在有些情況下要求自變量的增量本身是變化的，如圖在有些情況下要求自變量的增量本身是變化的，如圖2-1中的中的1ix1iixx 和，是不相等的，相應(yīng)的差分和差商就是不等距的。，是不相等的，相應(yīng)的差分和差商就是不等距的。Ox2ix1ixix1ix2ix2ix1ixix1 ix圖圖2-1 非均勻步長(zhǎng)差分非均勻步長(zhǎng)差分3 3非均勻步長(zhǎng)非均勻步長(zhǎng)一階向后差商一階向后差商11)()(iiiixxxfxf一階中心差商一階中心差商11)()(iiiiiixxxxfxxf （1-22）（1-23）2-12-1差分原理及逼近誤差Finite difference method (FDM) 1

14、8圖圖2-2 2-2 均勻和非均勻網(wǎng)格實(shí)例均勻和非均勻網(wǎng)格實(shí)例1 12-12-1差分原理及逼近誤差Finite difference method (FDM) 19圖圖2-3 2-3 均勻和非均勻網(wǎng)格實(shí)例均勻和非均勻網(wǎng)格實(shí)例2 22-12-1差分原理及逼近誤差Finite difference method (FDM) 202-22-2差分方程、截?cái)嗾`差和相容性0 xt 從上節(jié)所述可知，從上節(jié)所述可知，差分相應(yīng)于微分，差商相應(yīng)于導(dǎo)數(shù)差分相應(yīng)于微分，差商相應(yīng)于導(dǎo)數(shù)。只。只不過(guò)不過(guò)差分和差商是用有限形式表示差分和差商是用有限形式表示的，而微分和導(dǎo)數(shù)則是以極的，而微分和導(dǎo)數(shù)則是以極限形式表示的。如果

15、將微分方程中的導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的差商近似代限形式表示的。如果將微分方程中的導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的差商近似代替，就可得到替，就可得到有限形式的差分方程有限形式的差分方程?，F(xiàn)以對(duì)流方程為例，列出?，F(xiàn)以對(duì)流方程為例，列出對(duì)應(yīng)的差分方程。對(duì)應(yīng)的差分方程。（2-1）對(duì)流系數(shù)對(duì)流系數(shù) 對(duì)流場(chǎng)函數(shù)對(duì)流場(chǎng)函數(shù)),(tx 微分方程用于連續(xù)對(duì)象問(wèn)題，微分方程用于連續(xù)對(duì)象問(wèn)題，差分方程用于離散對(duì)象問(wèn)題差分方程用于離散對(duì)象問(wèn)題1 1、差分方程、差分方程Finite difference method (FDM) 21, 2 , 1 , 0 ,0ixixxi, 2 , 1 , 0 , ntntn圖圖2-4 差分網(wǎng)格差分網(wǎng)格2-22-2

16、差分方程、截?cái)嗾`差和相容性1 1、差分方程、差分方程Finite difference method (FDM) 22若時(shí)間導(dǎo)數(shù)用一階向前差商近似代替，即若時(shí)間導(dǎo)數(shù)用一階向前差商近似代替，即ttninini1空間導(dǎo)數(shù)用一階中心差商近似代替，即空間導(dǎo)數(shù)用一階中心差商近似代替，即xxninini211則在則在),(nitx點(diǎn)的對(duì)流方程就可近似地寫(xiě)作點(diǎn)的對(duì)流方程就可近似地寫(xiě)作02111xtnininini（2-2）（2-3）（2-4）2-22-2差分方程、截?cái)嗾`差和相容性1 1、差分方程、差分方程Finite difference method (FDM) 23按照前面關(guān)于逼近誤差的分析知道，用時(shí)間

17、向前差商代替時(shí)間導(dǎo)數(shù)時(shí)的誤差為按照前面關(guān)于逼近誤差的分析知道，用時(shí)間向前差商代替時(shí)間導(dǎo)數(shù)時(shí)的誤差為 )( tO 用空間中心差商代替空間導(dǎo)數(shù)時(shí)的誤差為用空間中心差商代替空間導(dǎo)數(shù)時(shí)的誤差為)(2xO 因而對(duì)流方程與對(duì)應(yīng)的差分方程之間也存在一個(gè)誤差，它是因而對(duì)流方程與對(duì)應(yīng)的差分方程之間也存在一個(gè)誤差，它是)( ,()()(22xtOxOtORni這也可由這也可由Taylor展開(kāi)得到。因?yàn)檎归_(kāi)得到。因?yàn)?( ,()(! 31212),(),(),(),(223322xtOxtxtxtttxtxxtxxttxttxninininininininini（2-5）（2-6）2-22-2差分方程、截?cái)嗾`差和相

18、容性2 2、截?cái)嗾`差、截?cái)嗾`差Finite difference method (FDM) 24一個(gè)與時(shí)間相關(guān)的物理問(wèn)題，應(yīng)用微分方程表示時(shí)，還必須給定初一個(gè)與時(shí)間相關(guān)的物理問(wèn)題，應(yīng)用微分方程表示時(shí)，還必須給定初始條件，從而形成一個(gè)完整的初值問(wèn)題。對(duì)流方程的初值問(wèn)題為始條件，從而形成一個(gè)完整的初值問(wèn)題。對(duì)流方程的初值問(wèn)題為)()0 ,(0 xxxt這里這里)(x為某已知函數(shù)。同樣，差分方程也必須有初始條件：為某已知函數(shù)。同樣，差分方程也必須有初始條件：)(020111iininininixxt 初始條件是一種初始條件是一種定解條件定解條件。如果是初邊值問(wèn)題，定解條件中還應(yīng)有適當(dāng)。如果是初邊值問(wèn)

19、題，定解條件中還應(yīng)有適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。差分方程和其定解條件一起，稱為相應(yīng)微分方程定解問(wèn)題的差的邊界條件。差分方程和其定解條件一起，稱為相應(yīng)微分方程定解問(wèn)題的差分格式。分格式。（2-7）（2-8）2-22-2差分方程、截?cái)嗾`差和相容性2 2、截?cái)嗾`差、截?cái)嗾`差Finite difference method (FDM) 25)()(20111iininininixxtFTCS格式格式（2-9）)()(011iininininixxtFTFS格式格式（2-10）)()(011iininininixxt（2-11）FTBS格式格式2-22-2差分方程、截?cái)嗾`差和相容性2 2、截?cái)嗾`差、截?cái)嗾`差Fini

20、te difference method (FDM) 26 (a) FTCS (b)FTFS (c)FTBS圖圖2-2 差分格式差分格式FTFS:時(shí)間、空間均向前差分；時(shí)間、空間均向前差分；FTCS:時(shí)間向前、空間中心差分；時(shí)間向前、空間中心差分；FTBS:時(shí)間向前、空間向后差分；時(shí)間向前、空間向后差分；2-22-2差分方程、截?cái)嗾`差和相容性2 2、截?cái)嗾`差、截?cái)嗾`差Finite difference method (FDM) 27FTCS格式的截?cái)嗾`差為格式的截?cái)嗾`差為)( ,(2xtORniFTFS和和FTBS格式的截?cái)嗾`差為格式的截?cái)嗾`差為),(xtORni（2-12）（2-13）3種格

21、式對(duì)種格式對(duì)t都有一階精度。都有一階精度。2-22-2差分方程、截?cái)嗾`差和相容性2 2、截?cái)嗾`差、截?cái)嗾`差Finite difference method (FDM) 28一般說(shuō)來(lái)，若微分方程為一般說(shuō)來(lái)，若微分方程為fD)(其中其中D是微分算子，是微分算子，f 是已知函數(shù)，而對(duì)應(yīng)的差分方程為是已知函數(shù)，而對(duì)應(yīng)的差分方程為fD)(其中其中D是差分算子，則截?cái)嗾`差為是差分算子，則截?cái)嗾`差為)()(DDR這里這里為定義域上某一足夠光滑的函數(shù)，當(dāng)然也可以取微分方程的解為定義域上某一足夠光滑的函數(shù)，當(dāng)然也可以取微分方程的解 。（2-14）（2-15）（2-16）如果當(dāng)如果當(dāng) ，x0t時(shí)，差分方程的截?cái)嗾`

22、差的某種范數(shù)時(shí)，差分方程的截?cái)嗾`差的某種范數(shù)| R也趨近于零，即也趨近于零，即0|lim00Rtx則表明從截?cái)嗾`差的角度來(lái)看，此差分方程是能用來(lái)逼近微分方程的，通常稱這樣的差分方則表明從截?cái)嗾`差的角度來(lái)看，此差分方程是能用來(lái)逼近微分方程的，通常稱這樣的差分方程和相應(yīng)的微分方程相容（一致）。如果當(dāng)程和相應(yīng)的微分方程相容（一致）。如果當(dāng) 、x、0t時(shí)，截?cái)嗾`差的范數(shù)不趨于零，則稱為不相容（不一致），這樣的差分方程不能用來(lái)逼近時(shí)，截?cái)嗾`差的范數(shù)不趨于零，則稱為不相容（不一致），這樣的差分方程不能用來(lái)逼近微分方程。微分方程。（2-17）2-22-2差分方程、截?cái)嗾`差和相容性3 3、相容性、相容性Fin

23、ite difference method (FDM) 29若微分問(wèn)題的定解條件為若微分問(wèn)題的定解條件為gB)(其中其中B是微分算子，是微分算子，g是已知函數(shù)，而對(duì)應(yīng)的差分問(wèn)題的定解條件為是已知函數(shù)，而對(duì)應(yīng)的差分問(wèn)題的定解條件為gB)(其中其中B是差分算子，則截?cái)嗾`差為是差分算子，則截?cái)嗾`差為)()(BBr（2-18）（2-19）（2-20）2-22-2差分方程、截?cái)嗾`差和相容性3 3、相容性、相容性Finite difference method (FDM) 30只有方程相容，定解條件也相容，即只有方程相容，定解條件也相容，即0|lim00Rtx和0|lim00rtx整個(gè)問(wèn)題才相容。整個(gè)問(wèn)題

24、才相容。 （2-21）無(wú)條件相容無(wú)條件相容 條件相容條件相容以上以上3種格式都屬于一階精度、二層、相容、顯式格式。種格式都屬于一階精度、二層、相容、顯式格式。2-22-2差分方程、截?cái)嗾`差和相容性3 3、相容性、相容性Finite difference method (FDM) 312-3 2-3 收斂性與穩(wěn)定性1 1、收斂性、收斂性 一個(gè)差分格式能否在實(shí)際中使用，最終要一個(gè)差分格式能否在實(shí)際中使用，最終要看能否任意地逼近微分方程的解。這樣對(duì)于每看能否任意地逼近微分方程的解。這樣對(duì)于每一個(gè)差分格式，人們便從兩個(gè)方面加以考慮：一個(gè)差分格式，人們便從兩個(gè)方面加以考慮：一是引入收斂性的概念，一是引入

25、收斂性的概念，考察差分格式在理論考察差分格式在理論上的準(zhǔn)確解能否任意逼近微分方程的解上的準(zhǔn)確解能否任意逼近微分方程的解；二是；二是引入穩(wěn)定性的概念，引入穩(wěn)定性的概念，考察差分格式在實(shí)際計(jì)算考察差分格式在實(shí)際計(jì)算中的近似解能否任意逼近差分方程的解。中的近似解能否任意逼近差分方程的解。Finite difference method (FDM) 322-3 2-3 收斂性與穩(wěn)定性1 1、收斂性、收斂性則則稱稱差差分分格格式式是是收收斂斂的的有有時(shí)時(shí)，對(duì)對(duì)任任何何的的準(zhǔn)準(zhǔn)確確解解。如如果果當(dāng)當(dāng)步步長(zhǎng)長(zhǎng)是是相相應(yīng)應(yīng)差差分分方方程程是是微微分分方方程程的的準(zhǔn)準(zhǔn)確確解解，設(shè)設(shè)),(),(0, 0njnjn

26、jtxeenjheu Finite difference method (FDM) 332-3 2-3 收斂性與穩(wěn)定性2 2、穩(wěn)定性、穩(wěn)定性穩(wěn)穩(wěn)定定的的。這這種種差差分分格格式式就就認(rèn)認(rèn)為為是是本本上上能能計(jì)計(jì)算算出出來(lái)來(lái)，那那么么基基控控制制的的，差差分分格格式式的的解解如如果果誤誤差差的的影影響響是是可可以以地地，式式稱稱為為不不穩(wěn)穩(wěn)定定的的。相相反反掩掩蓋蓋，那那么么此此種種差差分分格格被被式式的的精精確確解解的的面面貌貌完完全全越越來(lái)來(lái)越越大大，以以至至差差分分格格響響的的情情況況。如如果果誤誤差差的的影影就就要要分分析析這這種種誤誤差差傳傳播播的的值值，從從而而影影響響時(shí)時(shí)的的舍舍入

27、入誤誤差差，必必然然會(huì)會(huì)計(jì)計(jì)算算因因此此層層上上計(jì)計(jì)算算出出來(lái)來(lái)的的結(jié)結(jié)果果時(shí)時(shí)，要要用用到到第第的的層層上上進(jìn)進(jìn)行行的的，計(jì)計(jì)算算差差分分格格式式的的計(jì)計(jì)算算是是逐逐層層111 njnjnjnjuu.ununFinite difference method (FDM) 342-3 2-3 收斂性與穩(wěn)定性2 2、穩(wěn)定性、穩(wěn)定性.max)()(, 1, 0, 1, 0200njjhnjnjhnhhhnnjjhKKnjj 也也可可以以取取，它它可可以以是是范范數(shù)數(shù)某某種種尺尺度度是是的的，其其中中那那么么稱稱差差分分格格式式是是穩(wěn)穩(wěn)定定使使得得存存在在常常數(shù)數(shù)層層上上的的誤誤差差，如如果果是是第第

28、，令令，設(shè)設(shè)初初始始層層上上引引入入了了誤誤差差Finite difference method (FDM) 35 前面討論了差分問(wèn)題的相容性、收斂性和穩(wěn)定性。已經(jīng)知道，相容前面討論了差分問(wèn)題的相容性、收斂性和穩(wěn)定性。已經(jīng)知道，相容性是收斂性的必要條件；還發(fā)現(xiàn)，穩(wěn)定性與收斂性有一定的聯(lián)系。性是收斂性的必要條件；還發(fā)現(xiàn)，穩(wěn)定性與收斂性有一定的聯(lián)系。Lax等價(jià)定理就是闡述相容性、收斂性和穩(wěn)定性三者之間關(guān)系的。等價(jià)定理就是闡述相容性、收斂性和穩(wěn)定性三者之間關(guān)系的。 Lax Lax等價(jià)定理等價(jià)定理：對(duì)一個(gè)適定的線性微分問(wèn)題及一個(gè)與其相對(duì)一個(gè)適定的線性微分問(wèn)題及一個(gè)與其相容的差分格式，如果該格式穩(wěn)定則必

29、收斂，不穩(wěn)定必不收斂。容的差分格式，如果該格式穩(wěn)定則必收斂，不穩(wěn)定必不收斂。換言之，若線性微分問(wèn)題適定，差分格式相容，則穩(wěn)定性是換言之，若線性微分問(wèn)題適定，差分格式相容，則穩(wěn)定性是收斂性的必要和充分條件。這也可表示為收斂性的必要和充分條件。這也可表示為收收劍劍性性穩(wěn)穩(wěn)定定性性線線性性微微分分問(wèn)問(wèn)題題適適定定差差分分格格式式相相容容 2-4 2-4 Lax等價(jià)定理Finite difference method (FDM) 36 根據(jù)此定理，在線性適定和格式相容的條件下，只要證明根據(jù)此定理，在線性適定和格式相容的條件下，只要證明了格式是穩(wěn)定的，則一定收斂；若不穩(wěn)定，則不收斂。由于了格式是穩(wěn)定的，則一定收斂；若不穩(wěn)定，則不收斂。由于收斂性的證明往往比穩(wěn)定性更難，故人們就可以把注意力集收斂性的證明往往比穩(wěn)定性更難，故人們就可以把注意力集中在穩(wěn)定性的研究上。中在穩(wěn)定性的研究上。2-4 2-4 Lax等價(jià)定理Finite difference method (FDM)