微分方程教案

1、高等數(shù)學(xué)教案 第七章 微分方程教學(xué)目的：1了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。2熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。3會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程。4 會用降階法解下列微分方程：， 和5 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。6掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。7.求自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。8.會解歐拉方程，會解包含兩個未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組。9會解微分方程組（或方程組）解決一些簡單的

2、應(yīng)用問題。教學(xué)重點(diǎn)：1、 可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法2、 可降階的高階微分方程， 和3、 二階常系數(shù)齊次線性微分方程；4、 自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；教學(xué)難點(diǎn)：1、 齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、 線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理； 3、自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。§7. 1 微分方程的基本概念 函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映, 利用函數(shù)關(guān)系又可以對客觀事物的規(guī)律性進(jìn)行研究. 因此如何尋找出所需要的函數(shù)關(guān)系, 在實(shí)踐中具有重要意

3、義. 在許多問題中, 往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系, 但是根據(jù)問題所提供的情況, 有時可以列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式. 這樣的關(guān)系就是所謂微分方程. 微分方程建立以后, 對它進(jìn)行研究, 找出未知函數(shù)來, 這就是解微分方程. 例1 一曲線通過點(diǎn)(1, 2), 且在該曲線上任一點(diǎn)M(x, y)處的切線的斜率為2x, 求這曲線的方程. 解 設(shè)所求曲線的方程為y=y(x). 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 可知未知函數(shù)y=y(x)應(yīng)滿足關(guān)系式(稱為微分方程) . (1) 此外, 未知函數(shù)y=y(x)還應(yīng)滿足下列條件: x=1時, y=2, 簡記為y|x=1=2. (2)把(1)式兩端積分, 得(稱為

4、微分方程的通解) , 即y=x2+C, (3) 其中C是任意常數(shù). 把條件“x=1時, y=2”代入(3)式, 得 2=12+C, 由此定出C=1. 把C=1代入(3)式, 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x=1=2的解): y=x2+1. 例2 列車在平直線路上以20m/s(相當(dāng)于72km/h)的速度行駛; 當(dāng)制動時列車獲得加速度-0.4m/s2. 問開始制動后多少時間列車才能停住, 以及列車在這段時間里行駛了多少路程? 解 設(shè)列車在開始制動后t秒時行駛了s米. 根據(jù)題意, 反映制動階段列車運(yùn)動規(guī)律的函數(shù)s=s(t)應(yīng)滿足關(guān)系式 . (4)此外, 未知函數(shù)s=s(t)還應(yīng)滿足下列條件

5、: t=0時, s=0, . 簡記為s|t=0=0, s¢|t=0=20. (5) 把(4)式兩端積分一次, 得 ; (6)再積分一次, 得 s=-0.2t2 +C1t +C2, (7)這里C1, C2都是任意常數(shù). 把條件v|t=0=20代入(6)得 20=C1; 把條件s|t=0=0代入(7)得0=C2. 把C1, C2的值代入(6)及(7)式得 v=-0.4t +20, (8) s=-0.2t2+20t. (9)在(8)式中令v=0, 得到列車從開始制動到完全停住所需的時間 (s). 再把t=50代入(9), 得到列車在制動階段行駛的路程 s=-0.2´502+20&

6、#180;50=500(m). 幾個概念: 微分方程: 表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程, 叫常微分方程. 偏微分方程: 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程, 叫偏微分方程. 微分方程的階: 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù), 叫微分方程的階. x3 y¢¢¢+x2 y¢¢-4xy¢=3x2 , y(4) -4y¢¢¢+10y¢¢-12y¢+5y=sin2x, y(n) +1=0, 一般n階

7、微分方程: F(x, y, y¢, × × × , y(n) )=0. y(n)=f(x, y, y¢, × × × , y(n-1) ) . 微分方程的解: 滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解. 確切地說, 設(shè)函數(shù)y=j(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 如果在區(qū)間I上, Fx, j(x), j¢(x), × × ×, j(n) (x)=0, 那么函數(shù)y=j(x)就叫做微分方程F(x, y, y¢, × 

8、5; ×, y(n) )=0在區(qū)間I上的解. 通解: 如果微分方程的解中含有任意常數(shù), 且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同, 這樣的解叫做微分方程的通解. 初始條件: 用于確定通解中任意常數(shù)的條件, 稱為初始條件. 如 x=x0 時, y=y0 , y¢= y¢0 . 一般寫成 , . 特解: 確定了通解中的任意常數(shù)以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常數(shù)的解. 初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題. 如求微分方程y¢=f(x, y)滿足初始條件的解的問題, 記為 . 積分曲線: 微分方程的解的圖形是一條曲線, 叫做微分方程的

9、積分曲線. 例3 驗(yàn)證: 函數(shù) x=C1cos kt+C2 sin kt是微分方程 的解. 解 求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù): , . 將及x的表達(dá)式代入所給方程, 得 -k2(C1cos kt+C2sin kt)+ k2(C1cos kt+C2sin kt)º0. 這表明函數(shù)x=C1coskt+C2sinkt 滿足方程, 因此所給函數(shù)是所給方程的解. 例4 已知函數(shù)x=C1coskt+C2sinkt(k¹0)是微分方程的通解, 求滿足初始條件 x| t=0 =A, x¢| t=0 =0的特解. 解 由條件x| t=0 =A及x=C1 cos kt+C2 sin kt, 得

10、C1=A. 再由條件x¢| t=0 =0, 及x¢(t) =-kC1sin kt+kC2cos kt, 得 C2=0. 把C1、C2的值代入x=C1cos kt+C2sin kt中, 得 x=Acos kt. 作業(yè)：P298：4 §7. 2 可分離變量的微分方程 觀察與分析: 1. 求微分方程y¢=2x的通解. 為此把方程兩邊積分, 得y=x2+C. 一般地, 方程y¢=f(x)的通解為(此處積分后不再加任意常數(shù)). 2. 求微分方程y¢=2xy2 的通解. 因?yàn)閥是未知的, 所以積分無法進(jìn)行, 方程兩邊直接積分不能求出通解. 為求通

11、解可將方程變?yōu)? 兩邊積分, 得 , 或, 可以驗(yàn)證函數(shù)是原方程的通解. 一般地, 如果一階微分方程y¢=j(x, y)能寫成 g(y)dy=f(x)dx形式, 則兩邊積分可得一個不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程 G(y)=F(x)+C, 由方程G(y)=F(x)+C所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解 對稱形式的一階微分方程: 一階微分方程有時也寫成如下對稱形式: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0在這種方程中, 變量x與y 是對稱的. 若把x看作自變量、y看作未知函數(shù), 則當(dāng)Q(x,y)¹0時, 有 . 若把y看作自變量、x看作未知函數(shù), 則當(dāng)P(x,y)¹0時,

12、有 . 可分離變量的微分方程: 如果一個一階微分方程能寫成 g(y)dy=f(x)dx (或?qū)懗蓎¢=j(x)y(y)的形式, 就是說, 能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy, 另一端只含x的函數(shù)和dx, 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程. 討論: 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1) y¢=2xy, 是. Þy-1dy=2xdx .(2)3x2+5x-y¢=0, 是. Þdy=(3x2+5x)dx.(3)(x2+y2)dx-xydy=0, 不是.(4)y¢=1+x+y2+xy2, 是. Þy¢=(1

13、+x)(1+y2).(5)y¢=10x+y, 是. Þ10-ydy=10xdx.(6). 不是. 可分離變量的微分方程的解法: 第一步 分離變量, 將方程寫成g(y)dy =f(x)dx的形式; 第二步 兩端積分:, 設(shè)積分后得G(y)=F(x)+C; 第三步 求出由G(y)=F(x)+C所確定的隱函數(shù)y=F(x)或x=Y(y)G(y)=F(x)+C , y=F (x)或x=Y(y)都是方程的通解, 其中G(y)=F(x)+C稱為隱式(通)解. 例1 求微分方程的通解. 解 此方程為可分離變量方程, 分離變量后得 , 兩邊積分得 , 即 ln|y|=x2+C1, 從而 .

14、因?yàn)槿允侨我獬?shù), 把它記作C, 便得所給方程的通解 . 例2 鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變的原子的含量M成正比. 已知t=0時鈾的含量為M0, 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t變化的規(guī)律. 解 鈾的衰變速度就是M(t)對時間t的導(dǎo)數(shù). 由于鈾的衰變速度與其含量成正比, 故得微分方程, 其中l(wèi)(l>0)是常數(shù), l前的曲面號表示當(dāng)t增加時M單調(diào)減少. 即. 由題意, 初始條件為 M|t=0=M0. 將方程分離變量得 . 兩邊積分, 得, 即 lnM=-lt+lnC, 也即M=Ce-lt. 由初始條件, 得M0=Ce0=C, 所以鈾含量M(t)隨時間t變化的規(guī)律M=M0e-lt . 例3

15、設(shè)降落傘從跳傘塔下落后, 所受空氣阻力與速度成正比, 并設(shè)降落傘離開跳傘塔時速度為零. 求降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系. 解 設(shè)降落傘下落速度為v(t). 降落傘所受外力為F=mg-kv( k為比例系數(shù)). 根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律F=ma, 得函數(shù)v(t)應(yīng)滿足的方程為 , 初始條件為 v|t=0=0. 方程分離變量, 得 , 兩邊積分, 得, , 即 (), 將初始條件v|t=0=0代入通解得, 于是降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系為. 例4 求微分方程的通解. 解 方程可化為 , 分離變量得 , 兩邊積分得 , 即. 于是原方程的通解為. 作業(yè)：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（1

16、0），2（2）（4），3 §7. 3 齊次方程 齊次方程: 如果一階微分方程中的函數(shù)f(x, y)可寫成的函數(shù), 即, 則稱這方程為齊次方程. 下列方程哪些是齊次方程？ (1)是齊次方程. (2)不是齊次方程. (3)(x2+y2)dx-xydy=0是齊次方程. . (4)(2x+y-4)dx+(x+y-1)dy=0不是齊次方程. (5)是齊次方程. 齊次方程的解法: 在齊次方程中, 令, 即y=ux, 有 , 分離變量, 得 . 兩端積分, 得 . 求出積分后, 再用代替u, 便得所給齊次方程的通解. 例1 解方程. 解 原方程可寫成 , 因此原方程是齊次方程. 令, 則 y=ux

17、, , 于是原方程變?yōu)?, 即 . 分離變量, 得 . 兩邊積分, 得u-ln|u|+C=ln|x|, 或?qū)懗蒷n|xu|=u+C. 以代上式中的u, 便得所給方程的通解 . 例2 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡, 假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行. 求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 設(shè)此凹鏡是由xOy面上曲線L: y=y(x)(y>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成, 光源在原點(diǎn). 在L上任取一點(diǎn)M(x, y), 作L的切線交x軸于A. 點(diǎn)O發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)M反射后是一條平行于x軸射線. 由光學(xué)及幾何原理可以證明OA=OM, 因?yàn)?, 而 . 于是得微分方程,整理得. 這是齊次方程. 問題歸

18、結(jié)為解齊次方程. 令, 即x=yv, 得, 即 , 分離變量, 得, 兩邊積分, 得 , , , 以yv=x代入上式, 得. 這是以x軸為軸、焦點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線, 它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 .這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 例3 設(shè)一條河的兩岸為平行直線, 水流速度為a, 有一鴨子從岸邊點(diǎn)A游向正對岸點(diǎn)O, 設(shè)鴨子的游速為b(b>a), 且鴨子游動方向始終朝著點(diǎn)O, 已知OA=h, 求鴨子游過的跡線的方程. 解 取O為坐標(biāo)原點(diǎn), 河岸朝順?biāo)较驗(yàn)閤軸, y 軸指向?qū)Π? 設(shè)在時刻t鴨子位于點(diǎn)P(x, y), 則鴨子運(yùn)動速度 , 故有. 另一方面, , . 因此, 即. 問題歸結(jié)為解齊

19、次方程. 令, 即x=yu, 得 , 分離變量, 得, 兩邊積分, 得 , 將代入上式并整理, 得. 以x|y=h=0代入上式, 得, 故鴨子游過的軌跡方程為 , 0£y£h. 將代入后的整理過程: . 作業(yè)：P309：1（1）（3）（5），2§7.4 線性微分方程 一、 線性方程 線性方程: 方程叫做一階線性微分方程. 如果Q(x)º0 , 則方程稱為齊次線性方程, 否則方程稱為非齊次線性方程. 方程叫做對應(yīng)于非齊次線性方程的齊次線性方程. 下列方程各是什么類型方程？ (1)Þ是齊次線性方程. (2) 3x2+5x-5y¢=0

20、22;y¢=3x2+5x , 是非齊次線性方程. (3) y¢+y cos x=e-sin x , 是非齊次線性方程. (4), 不是線性方程. (5)Þ或, 不是線性方程. 齊次線性方程的解法: 齊次線性方程是變量可分離方程. 分離變量后得 , 兩邊積分, 得 , 或 , 這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數(shù)）. 例1 求方程的通解. 解 這是齊次線性方程, 分離變量得 , 兩邊積分得 ln|y|=ln|x-2|+lnC, 方程的通解為 y=C(x-2). 非齊次線性方程的解法: 將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成x的未知函數(shù)u(x), 把 設(shè)想成非齊次線

21、性方程的通解. 代入非齊次線性方程求得 , 化簡得 , , 于是非齊次線性方程的通解為 , 或 . 非齊次線性方程的通解等于對應(yīng)的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個特解之和. 例2 求方程的通解. 解 這是一個非齊次線性方程. 先求對應(yīng)的齊次線性方程的通解. 分離變量得 , 兩邊積分得 ln y=2ln (x+1)+ln C, 齊次線性方程的通解為 y=C(x+1)2. 用常數(shù)變易法. 把C換成u, 即令y=u×(x+1)2, 代入所給非齊次線性方程, 得 , 兩邊積分, 得 . 再把上式代入y=u(x+1)2中, 即得所求方程的通解為 . 例3 有一個電路如圖所示, 其中電源電

22、動勢為E=Emsinwt(Em、w都是常數(shù)), 電阻R和電感L都是常量. 求電流i(t). 解 由電學(xué)知道, 當(dāng)電流變化時, L上有感應(yīng)電動勢. 由回路電壓定律得出 , 即 . 把E=Emsinw t代入上式, 得 . 初始條件為 i|t=0=0. 方程為非齊次線性方程, 其中 , . 由通解公式, 得 . 其中C為任意常數(shù). 將初始條件i|t=0=0代入通解, 得, 因此, 所求函數(shù)i(t)為 . 二、伯努利方程 伯努利方程: 方程 (n¹0, 1)叫做伯努利方程. 下列方程是什么類型方程？ (1), 是伯努利方程. (2), Þ, 是伯努利方程. (3), Þ

23、, 是伯努利方程. (4), 是線性方程, 不是伯努利方程. 伯努利方程的解法: 以yn除方程的兩邊, 得 令z =y1-n , 得線性方程 . 例4 求方程的通解. 解 以y2除方程的兩端, 得 , 即 , 令z=y-1, 則上述方程成為 . 這是一個線性方程, 它的通解為 . 以y-1代z , 得所求方程的通解為 . 經(jīng)過變量代換, 某些方程可以化為變量可分離的方程, 或化為已知其求解方法的方程. 例5 解方程. 解 若把所給方程變形為 , 即為一階線性方程, 則按一階線性方程的解法可求得通解. 但這里用變量代換來解所給方程. 令x+y=u, 則原方程化為 , 即. 分離變量, 得 , 兩

24、端積分得 u-ln|u+1|=x-ln|C|. 以u=x+y代入上式, 得 y-ln|x+y+1|=-ln|C|, 或x=Cey-y-1. 作業(yè)：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2）§7. 5可降階的高階微分方程 一、y(n)=f (x)型的微分方程 解法: 積分n 次 , , × × ×. 例1 求微分方程y¢¢¢=e2x-cos x 的通解. 解 對所給方程接連積分三次, 得 , , , 這就是所給方程的通解. 或 , , , 這就是所給方程的通解. 例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受力F

25、的作用沿Ox軸作直線運(yùn)動. 設(shè)力F僅是時間t的函數(shù):F=F(t). 在開始時刻t=0時F(0)=F0, 隨著時間t的增大, 此力F均勻地減小, 直到t=T時, F(T)=0. 如果開始時質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn), 且初速度為零, 求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律. 解 設(shè)x=x(t)表示在時刻t時質(zhì)點(diǎn)的位置, 根據(jù)牛頓第二定律, 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的微分方程為 . 由題設(shè), 力F(t)隨t增大而均勻地減小, 且t=0時, F(0)=F0, 所以F(t)=F0-kt; 又當(dāng)t=T時, F(T)=0, 從而 . 于是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的微分方程又寫為 , 其初始條件為, . 把微分方程兩邊積分, 得 . 再積分一次, 得 . 由初始條件x|t

26、=0=0, , 得C1=C2=0. 于是所求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律為 , 0£t£T. 二、y¢¢= f(x, y¢)型的微分方程 解法: 設(shè)y¢=p則方程化為 p¢=f(x, p). 設(shè)p¢=f(x, p)的通解為p=j(x,C1), 則 . 原方程的通解為 . 例3 求微分方程 (1+x2)y¢¢=2xy¢滿足初始條件 y|x=0=1, y¢|x=0=3的特解. 解 所給方程是y¢¢=f(x, y¢)型的. 設(shè)y¢=p, 代入方程并分離變量

27、后, 有 . 兩邊積分, 得 ln|p|=ln(1+x2)+C, 即 p=y¢=C1(1+x2) (C1=±eC). 由條件y¢|x=0=3, 得C1=3, 所以 y¢=3(1+x2). 兩邊再積分, 得 y=x3+3x+C2. 又由條件y|x=0=1, 得C2=1, 于是所求的特解為 y=x3+3x+1. 例4 設(shè)有一均勻、柔軟的繩索, 兩端固定, 繩索僅受重力的作用而下垂. 試問該繩索在平衡狀態(tài)時是怎樣的曲線? 三、y¢¢=f(y, y¢)型的微分方程 解法: 設(shè)y¢=p,有 . 原方程化為 . 設(shè)方程的通解為

28、y¢=p=j(y, C1), 則原方程的通解為 . 例5 求微分yy¢¢-y¢2=0的通解. 解 設(shè)y¢=p, 則, 代入方程, 得 . 在y¹0、p¹0時, 約去p并分離變量, 得 . 兩邊積分得 ln|p|=ln|y|+lnc, 即 p=Cy或y¢=Cy(C=±c). 再分離變量并兩邊積分, 便得原方程的通解為 ln|y|=Cx+lnc1, 或 y=C1eCx (C1=±c1). 作業(yè)：P323：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5）§7. 6 高階線性微分方程 一

29、、二階線性微分方程舉例 例1 設(shè)有一個彈簧, 上端固定, 下端掛一個質(zhì)量為m 的物體. 取x 軸鉛直向下, 并取物體的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn). 給物體一個初始速度v0¹0后, 物體在平衡位置附近作上下振動. 在振動過程中, 物體的位置x是t的函數(shù): x=x(t). 設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為c, 則恢復(fù)力f=-cx. 又設(shè)物體在運(yùn)動過程中受到的阻力的大小與速度成正比, 比例系數(shù)為m, 則 , 由牛頓第二定律得 . 移項(xiàng), 并記, , 則上式化為 , 這就是在有阻尼的情況下, 物體自由振動的微分方程. 如果振動物體還受到鉛直擾力 F=Hsin pt的作用, 則有 , 其中. 這就是強(qiáng)迫振動的微分方

30、程. 例2 設(shè)有一個由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯(lián)組成的電路, 其中R、L、及C為常數(shù), 電源電動勢是時間t的函數(shù): E=Emsinwt, 這里Em及w也是常數(shù). 設(shè)電路中的電流為i(t), 電容器極板上的電量為q(t), 兩極板間的電壓為uc, 自感電動勢為EL . 由電學(xué)知道 , , , 根據(jù)回路電壓定律, 得 , 即 , 或?qū)懗?, 其中, . 這就是串聯(lián)電路的振蕩方程. 如果電容器經(jīng)充電后撤去外電源(E=0), 則上述成為 . 二階線性微分方程: 二階線性微分方程的一般形式為 y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x), 若方程右端f(x)º

31、;0時, 方程稱為齊次的, 否則稱為非齊次的. 二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu) 先討論二階齊次線性方程 y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0, 即. 定理1 如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程 y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0. 的兩個解, 那么 y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程的解, 其中C1、C2是任意常數(shù). 齊次線性方程的這個性質(zhì)表明它的解符合疊加原理. 證明 C1y1+C2y2¢=C1 y1¢+C2 y2¢, C1y1+C2y2¢¢=C1 y1¢¢

32、;+C2 y2¢¢. 因?yàn)閥1與y2是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0, 所以有 y1¢¢+P(x)y1¢+Q(x)y1=0及y2¢¢+P(x)y2¢+Q(x)y2=0, 從而 C1y1+C2y2¢¢+P(x) C1y1+C2y2¢+Q(x) C1y1+C2y2 =C1y1¢¢+P(x)y1¢+Q(x)y1+C2y2¢¢+P(x)y2¢+Q(x)y2=0+0=0. 這就證明了y=C1y1(

33、x)+C2y2(x)也是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0的解 函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān): 設(shè)y1(x), y2(x), × × × , yn(x)為定義在區(qū)間I上的n個函數(shù). 如果存在n個不全為零的常數(shù)k1, k2, × × × , kn, 使得當(dāng)xÎI 時有恒等式 k1y1(x)+k2y2(x)+ × × × + knyn(x)º0成立, 那么稱這n個函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān); 否則稱為線性無關(guān). 判別兩個函數(shù)線性相關(guān)性的方法: 對于兩個函數(shù), 它

34、們線性相關(guān)與否, 只要看它們的比是否為常數(shù), 如果比為常數(shù), 那么它們就線性相關(guān), 否則就線性無關(guān). 例如, 1, cos2x , sin2x 在整個數(shù)軸上是線性相關(guān)的. 函數(shù)1, x, x2在任何區(qū)間(a, b)內(nèi)是線性無關(guān)的. 定理2 如果如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程 y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0 的兩個線性無關(guān)的解, 那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) (C1、C2是任意常數(shù))是方程的通解. 例3 驗(yàn)證y1=cos x與y2=sin x是方程y¢¢+y=0的線性無關(guān)解, 并寫出其通解. 解 因?yàn)?y1¢&#

35、162;+y1=-cos x+cos x=0, y2¢¢+y2=-sin x+sin x=0, 所以y1=cos x與y2=sin x都是方程的解. 因?yàn)閷τ谌我鈨蓚€常數(shù)k1、k2, 要使 k1cos x+k2sin xº0, 只有k1=k2=0, 所以cos x與sin x在(-¥, +¥)內(nèi)是線性無關(guān)的. 因此y1=cos x與y2=sin x是方程y¢¢+y=0的線性無關(guān)解. 方程的通解為y=C1cos x+C2sin x. 例4 驗(yàn)證y1=x與y2=ex是方程(x-1)y¢¢-xy¢+y

36、=0的線性無關(guān)解, 并寫出其通解. 解 因?yàn)?(x-1)y1¢¢-xy1¢+y1=0-x+x=0, (x-1)y2¢¢-xy2¢+y2=(x-1)ex-xex+ex=0, 所以y1=x與y2=ex都是方程的解, 因?yàn)楸戎礶 x/x 不恒為常數(shù), 所以y1=x與y2=ex在(-¥, +¥)內(nèi)是線性無關(guān)的. 因此y1=x 與y2=ex是方程(x-1)y¢¢-xy¢+y=0的線性無關(guān)解. 方程的通解為y=C1x+C2e x. 推論 如果y1(x), y2(x), × ×

37、×, yn(x)是方程 y(n)+a1(x)y(n-1)+ × × × +an-1(x)y¢+ an(x)y=0 的n個線性無關(guān)的解, 那么, 此方程的通解為 y=C1y1(x)+C2y2(x)+ × × × + Cnyn(x), 其中C1, C2, × × ×, Cn為任意常數(shù). 二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu): 我們把方程 y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0叫做與非齊次方程 y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x)對應(yīng)的齊

38、次方程. 定理3 設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程 y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x)的一個特解, Y(x)是對應(yīng)的齊次方程的通解, 那么 y=Y(x)+y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解. 證明提示: Y(x)+y*(x)¢¢+P(x) Y(x)+y*(x)¢+Q(x) Y(x)+y*(x) = Y ¢¢+P(x)Y ¢+Q(x)Y + y* ¢¢+P(x)y* ¢+Q(x)y* =0+ f(x)= f(x). 例如, Y=C1cos x+C2sin x 是齊

39、次方程y¢¢+y=0的通解, y*=x2-2是y¢¢+y=x2 的一個特解, 因此 y=C1cos x+C2sin x+x2-2是方程y¢¢+y=x2的通解. 定理4 設(shè)非齊次線性微分方程 y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x)的右端f(x)幾個函數(shù)之和, 如 y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f1(x)+ f2(x), 而y1*(x)與y2*(x)分別是方程 y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f1(x)與y¢¢

40、+P(x)y¢+Q(x)y=f2(x)的特解, 那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解. 證明提示: y1+y2*¢¢+P(x) y1*+y2*¢+Q(x) y1*+y2* = y1*¢¢+P(x) y1*¢+Q(x) y1*+ y2*¢¢+P(x) y2*¢+Q(x) y2* =f1(x)+f2(x). 作業(yè)：P331：1（1）（3）（5）（7），4（1）（3）（5）§7. 7 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 二階常系數(shù)齊次線性微分方程: 方程 y¢¢+py&

41、#162;+qy=0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程, 其中p、q均為常數(shù). 如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)解, 那么y=C1y1+C2y2就是它的通解. 我們看看, 能否適當(dāng)選取r, 使y=erx 滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程, 為此將y=erx代入方程 y¢¢+py¢+qy=0得 (r 2+pr+q)erx =0. 由此可見, 只要r滿足代數(shù)方程r2+pr+q=0, 函數(shù)y=erx就是微分方程的解. 特征方程: 方程r2+pr+q=0叫做微分方程y¢¢+py¢+qy=0的特征方程. 特征方程的兩個根r1、

42、r2可用公式 求出. 特征方程的根與通解的關(guān)系: (1)特征方程有兩個不相等的實(shí)根r1、r2時, 函數(shù)、是方程的兩個線性無關(guān)的解. 這是因?yàn)? 函數(shù)、是方程的解, 又不是常數(shù). 因此方程的通解為 . (2)特征方程有兩個相等的實(shí)根r1=r2時, 函數(shù)、是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)的解. 這是因?yàn)? 是方程的解, 又 , 所以也是方程的解, 且不是常數(shù). 因此方程的通解為 . (3)特征方程有一對共軛復(fù)根r1, 2=a±ib時, 函數(shù)y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的兩個線性無關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解. 函數(shù)y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程

43、的兩個線性無關(guān)的實(shí)數(shù)形式的解. 函數(shù)y1=e(a+ib)x和y2=e(a-ib)x都是方程的解, 而由歐拉公式, 得 y1=e(a+ib)x=eax(cosbx+isinbx), y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx), y1+y2=2eaxcosbx, , y1-y2=2ieaxsinbx, . 故eaxcosbx、y2=eaxsinbx也是方程解. 可以驗(yàn)證, y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx是方程的線性無關(guān)解. 因此方程的通解為 y=eax(C1cosbx+C2sinbx ). 求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y¢¢+py¢+q

44、y=0的通解的步驟為: 第一步 寫出微分方程的特征方程 r2+pr+q=0第二步 求出特征方程的兩個根r1、r2. 第三步 根據(jù)特征方程的兩個根的不同情況, 寫出微分方程的通解. 例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=0的通解. 解 所給微分方程的特征方程為 r2-2r-3=0, 即(r+1)(r-3)=0. 其根r1=-1, r2=3是兩個不相等的實(shí)根, 因此所求通解為 y=C1e-x+C2e3x. 例2 求方程y¢¢+2y¢+y=0滿足初始條件y|x=0=4、y¢| x=0=-2的特解. 解 所給方程的特征方程為 r2+

45、2r+1=0, 即(r+1)2=0. 其根r1=r2=-1是兩個相等的實(shí)根, 因此所給微分方程的通解為 y=(C1+C2x)e-x. 將條件y|x=0=4代入通解, 得C1=4, 從而 y=(4+C2x)e-x. 將上式對x求導(dǎo), 得 y¢=(C2-4-C2x)e-x. 再把條件y¢|x=0=-2代入上式, 得C2=2. 于是所求特解為 x=(4+2x)e-x. 例 3 求微分方程y¢¢-2y¢+5y= 0的通解. 解 所給方程的特征方程為 r2-2r+5=0. 特征方程的根為r1=1+2i, r2=1-2i, 是一對共軛復(fù)根, 因此所求通解為

46、 y=ex(C1cos2x+C2sin2x). n 階常系數(shù)齊次線性微分方程: 方程 y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) + × × × + pn-1y¢+pny=0, 稱為n 階常系數(shù)齊次線性微分方程, 其中 p1, p2 , × × × , pn-1, pn都是常數(shù). 二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式, 可推廣到n 階常系數(shù)齊次線性微分方程上去. 引入微分算子D, 及微分算子的n次多項(xiàng)式: L(D)=Dn +p1Dn-1+p2 Dn-2 + × × × +

47、 pn-1D+pn,則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作 (Dn +p1Dn-1+p2 Dn-2 + × × × + pn-1D+pn)y=0或L(D)y=0.注: D叫做微分算子D0y=y, Dy=y¢, D2y=y¢¢, D3y=y¢¢¢, × × ×,Dny=y(n). 分析: 令y=erx, 則 L(D)y=L(D)erx=(rn +p1rn-1+p2 rn-2 + × × × + pn-1r+pn)erx=L(r)erx. 因此如果r是多

48、項(xiàng)式L(r)的根, 則y=erx是微分方程L(D)y=0的解. n 階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程: L(r)=rn +p1rn-1+p2 rn-2 + × × × + pn-1r+pn=0稱為微分方程L(D)y=0的特征方程. 特征方程的根與通解中項(xiàng)的對應(yīng): 單實(shí)根r 對應(yīng)于一項(xiàng): Cerx ; 一對單復(fù)根r1, 2=a ±ib 對應(yīng)于兩項(xiàng): eax(C1cosbx+C2sinbx); k重實(shí)根r對應(yīng)于k項(xiàng): erx(C1+C2x+ × × × +Ck xk-1); 一對k 重復(fù)根r1, 2=a ±ib 對應(yīng)

49、于2k項(xiàng): eax(C1+C2x+ × × × +Ck xk-1)cosbx+( D1+D2x+ × × × +Dk xk-1)sinbx. 例4 求方程y(4)-2y¢¢¢+5y¢¢=0 的通解. 解 這里的特征方程為 r4-2r3+5r2=0, 即r2(r2-2r+5)=0, 它的根是r1=r2=0和r3, 4=1±2i. 因此所給微分方程的通解為 y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x). 例5 求方程y(4)+b 4y=0的通解, 其中b>0.

50、解 這里的特征方程為 r4+b 4=0. 它的根為, . 因此所給微分方程的通解為 . 作業(yè)：P340：1（1）（3）（2）（4）（5）（6）（8），2（2）（4）（6）§7. 8 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程: 方程 y¢¢+py¢+qy=f(x)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程, 其中p、q是常數(shù). 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對應(yīng)的齊次方程的通解y=Y(x)與非齊次方程本身的一個特解y=y*(x)之和: y=Y(x)+ y*(x). 當(dāng)f(x)為兩種特殊形式時, 方程的特解的求法: 一、 f(x)=Pm(x)e

51、lx 型 當(dāng)f(x)=Pm(x)elx時, 可以猜想, 方程的特解也應(yīng)具有這種形式. 因此, 設(shè)特解形式為y*=Q(x)elx, 將其代入方程, 得等式 Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x). (1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0 的根, 則l2+pl+q¹0. 要使上式成立, Q(x)應(yīng)設(shè)為m 次多項(xiàng)式: Qm(x)=b0xm+b1xm-1+ × × × +bm-1x+bm , 通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù), 可確定b0, b1, × × × , b

52、m, 并得所求特解 y*=Qm(x)elx. (2)如果l是特征方程 r2+pr+q=0 的單根, 則l2+pl+q=0, 但2l+p¹0, 要使等式 Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x). 成立, Q(x)應(yīng)設(shè)為m+1 次多項(xiàng)式: Q(x)=xQm(x), Qm(x)=b0xm +b1xm-1+ × × × +bm-1x+bm , 通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù), 可確定b0, b1, × × × , bm, 并得所求特解 y*=xQm(x)elx. (3)如果l是特征方程 r2+pr+q=0的二重根, 則l2+pl+