（整理版）第五章平面向量2

1、第五章 平面向量四 解斜三角形【考點(diǎn)闡述】正弦定理余弦定理斜三角形解法【考試要求】7掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形【考題分類】一選擇題共8題1.北京卷文7某班設(shè)計(jì)了一個八邊形的班徽如圖，它由腰長為1，頂角為的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為a； bc； d【答案】a .2.湖北卷理3在中，a=15,b=10,a=60°，那么=a b c d 【答案】c【解析】由正弦定理得，解得，又因?yàn)?，所以，故，所?應(yīng)選c。3.湖南卷理6文7在abc中，角a，b，c所對的邊長分別為a,b,c，假設(shè)c=120°，,那么a、a>b b、a

2、<b c、a=b d、a與b的大小關(guān)系不能確定,屬中檔題。4. 江西卷理7是等腰直角斜邊上的三等分點(diǎn)，那么abc d【答案】d【解析】考查三角函數(shù)的計(jì)算、解析化應(yīng)用意識。解法1：約定ab=6,ac=bc=,由余弦定理ce=cf=,再由余弦定理得，解得解法2：坐標(biāo)化。約定ab=6,ac=bc=,f(1,0),e(-1,0),c0,3利用向量的夾角公式得，解得。5.遼寧卷理8文8平面上o,a,b三點(diǎn)不共線，設(shè)，那么oab的面積等于 (a) (b) (c) (d) 6.上海卷理18某人要制作一個三角形，要求它的三條高的長度分別為，那么此人能 【答】 a不能作出這樣的三角形 b作出一個銳角三角形

3、c作出一個直角三角形 d作出一個鈍角三角形解析：設(shè)三邊分別為a,b,c，利用面積相等可知由余弦定理得，所以角a為鈍角，選d7.上海卷文18假設(shè)的三個內(nèi)角滿足，那么a一定是銳角三角形. b一定是直角三角形.c一定是鈍角三角形. (d)可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得，所以角c為鈍角，選c8天津卷理7在abc中，內(nèi)角a,b,c的對邊分別是a,b,c，假設(shè)，那么a=a b c d【答案】a【解析】由sinc=2sinb結(jié)合正弦定理得：，所以由于余弦定理得：，所以a=30°，選a。二填空題共7題1.北京卷理10文10在abc中

4、，假設(shè)b = 1，c =，那么a = ?！敬鸢浮?。解析：，因此，故2.廣東卷理11a,b,c分別是abc的三個內(nèi)角a,b,c所對的邊，假設(shè)a=1,b=, a+c=2b,那么sinc= .【答案】1解：由a+c=2b及a+ b+ c=180°知，b =60°由正弦定理知，即由知，那么，.3. 廣東卷文13a，b，c分別是abc的三個內(nèi)角a，b，c所對的邊，假設(shè)a=1，b=，a+c=2b，那么sina= . 4江蘇卷13在銳角三角形abc，a、b、c的對邊分別為a、b、c，那么_【答案】4，考查三角形中的正、余弦定理三角函數(shù)知識的應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。一題多解。方法一考慮條件和

5、所求結(jié)論對于角a、b和邊a、b具有輪換性。當(dāng)a=b或a=b時(shí)滿足題意，此時(shí)有：，= 4。方法二，由正弦定理，得：上式=5 全國新卷理16在abc中，d為邊bc上一點(diǎn)，bd=dc，adb=120°，ad=2，假設(shè)adc的面積為，那么bac=_【答案】 解析：設(shè)，那么，由條件有，再由余弦定理分別得到，再由余弦定理得，所以6 全國新卷文16在abc中，d為bc邊上一點(diǎn)，,.假設(shè),那么bd=_【答案】 解析：設(shè)，在和中分別用余弦定理可解得7 山東卷理15文15在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，假設(shè)a=，b=2，sinb+cosb=，那么角a的大小為_.【答案】【解析】由得，即

6、，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以。三解答題共17題1.安徽卷理16設(shè)是銳角三角形，分別是內(nèi)角所對邊長，并且。 ()求角的值；()假設(shè)，求其中。2.安徽卷文16的面積是30，內(nèi)角所對邊長分別為，。 ()求；()假設(shè)，求的值。.【解題指導(dǎo)】1根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，由得的值，再根據(jù)面積公式得；直接求數(shù)量積.由余弦定理，代入條件，及求a的值.解：由，得.又，.，.【規(guī)律總結(jié)】根據(jù)此題所給的條件及所要求的結(jié)論可知，需求的值，考慮的面積是30，所以先求的值，然后根據(jù)三角形面積公式得的值.第二問中求a的值，根據(jù)第一問中的結(jié)論可知，直接利用余弦定理即可.3.福建卷理19某港

7、口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口北偏西30°且與該港口相距20海里的a處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛，經(jīng)過小時(shí)與輪船相遇。假設(shè)希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，那么小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？假設(shè)小艇的最高航行速度只能到達(dá)30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案即確定航行方向和航行速度的大小，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由?！窘馕觥咳鐖D，由1得而小艇的最高航行速度只能到達(dá)30海里/小時(shí)，故輪船與小艇不可能在a、c包含c的任意位置相遇，設(shè)，od=，由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時(shí)間分別為和，所以，解得，從而值，且最小

8、值為，于是當(dāng)取得最小值，且最小值為。此時(shí)，在中，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇。4.福建卷文21某港口o要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口的o北偏西30°且與該港口相距20海里的a處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇.i假設(shè)希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，那么小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？i為保證小艇在30分鐘內(nèi)含30分鐘能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；5.江蘇卷17某興趣小組測量電視塔

9、ae的高度h(m，如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿bc高度h=4m，仰角abe=，ade=該小組已經(jīng)測得一組、的值，tan=1.24,tan=1.20,請據(jù)此算出h的值該小組分析假設(shè)干測得的數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離dm，使與之差較大，可以提高測量精確度，假設(shè)電視塔實(shí)際高度為125m，問d為多少時(shí)，-最大解析 此題主要考查解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的應(yīng)用。1，同理：，。 adab=db，故得，解得：。因此，算出的電視塔的高度h是124m。2由題設(shè)知，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號故當(dāng)時(shí)，最大。因?yàn)?，那么，所以?dāng)時(shí)，-最大。故所求的是m。6.遼寧卷理17在abc中，a, b, c分別為內(nèi)角

10、a, b, c的對邊，且求a的大??；求的最大值.故當(dāng)b=30°時(shí)，sinb+sinc取得最大值1。 12分7.遼寧卷文17在中，分別為內(nèi)角的對邊，且求的大??；假設(shè)，是判斷的形狀。解：由，根據(jù)正弦定理得即由余弦定理得故 由得又，得因?yàn)?，故所以是等腰的鈍角三角形。8.全國卷理17文18的內(nèi)角，及其對邊，滿足，求內(nèi)角9. 全國卷理17文17中，為邊上的一點(diǎn)，求【分析】此題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系、正弦定理與余弦定理的根底知識。由與的差求出，根據(jù)同角關(guān)系及差角公式求出的正弦，在三角形abd中，由正弦定理可求得ad?！窘馕觥坑?由得， 從而 . 由正弦定理得 , 所以 .10.陜西卷理17如圖

11、，a，b是海面上位于東西方向相距海里的兩個觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于a點(diǎn)北偏東45°，b點(diǎn)北偏西60°的d點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于b點(diǎn)南偏西60°且與b點(diǎn)相距海里的c點(diǎn)的救援船立即即前往營救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)d點(diǎn)需要多長時(shí)間？解 由題意知ab=海里， dab=90°60°=30°， dab=90°45°=45°，adb=180°45°+30°=105°，在adb中，有正弦定理得11.陜西卷文17在abc中，b=45°,

12、d是bc邊上的一點(diǎn)， ad=10,ac=14,dc=6，求ab的長.解在adc中，ad=10,ac=14,dc=6,由余弦定理得cos=,adc=120°, adb=60°在abd中，ad=10, b=45°, adb=60°，由正弦定理得,ab=.12.四川卷理19 iiabc的面積，且，求.解析：13.天津卷文17在abc中，。證明b=c：假設(shè)=-，求sin的值?！窘馕觥孔C明：在abc中，由正弦定理及得=，從而b-c=0. 所以b=c.解：由a+b+c=和得a=-2b,故cos2b=-cos-2b=-cosa=.又0<2b<,于是sin2

13、b=. 從而sin4b=2sin2bcos2b=，cos4b=. 所以。14.浙江卷理18)在abc中,角a、b、c所對的邊分別為a,b,c， (i)求sinc的值；()當(dāng)a=2， 2sina=sinc時(shí)，求b及c的長解析：此題主要考察三角變換、正弦定理、余弦定理等根底知識，同事考查運(yùn)算求解能力。解：因?yàn)閏os2c=1-2sin2c=，及0c所以sinc=.解：當(dāng)a=2，2sina=sinc時(shí)，由正弦定理，得c=4由cos2c=2cos2c-1=，j及0c得cosc=±由余弦定理c2=a2+b2-2abcosc，得b2±b-12=0解得 b=或2所以 b= b= c=4 或 c=415.浙江卷文18在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a,b,c,設(shè)s為abc的面積，滿足。求角c的大??；求的最大值。解析此題主要余弦定理、三角形面積公式、三角變換等根底知識，同時(shí)考查三角運(yùn)算求解能力。 ()解：由題意可知absinc=,2abcosc.所以tanc=.因?yàn)?&