角平分線(xiàn)的性質(zhì)典型例題

1、【典型例題】例 1.已知：如圖所示， / C=/ C'= 90 °, AC = AC 求證 ：（ 1）Z ABC= Z ABC ;（ 2） BO BC （要求：不用三角形全等判定） .分析：由條件 / C=Z C = 90 °, AO AC，可以把點(diǎn) A 看作是 / CBC 平 分線(xiàn)上的點(diǎn)，由此可打開(kāi)思路 .證明： （1）vZ C=Z C = 90°（已知），? ACL BC,AC 丄 BC （垂直的定義） .又? AO AC （已知），?點(diǎn) A 在/ CBC 勺角平分線(xiàn)上（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上） .? / ABC= Z ABC.（ 2

2、） vZ C=Z C；Z ABC= Z ABC,? 180 ° （/ C+Z ABC = 180° （/ C '+/ ABC ）（三角形內(nèi)角和定理）即/ BAC= Z BAC,? ACL BC , AC L BC,? BO BC （角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等）.評(píng)析：利用三角形全等進(jìn)行問(wèn)題證明對(duì)平面幾何的學(xué)習(xí)有一定的積極作用，但也會(huì)產(chǎn)生消極作用，在解題時(shí)，要能打破思維定勢(shì)，尋求解題方法的多樣性.例 2.女口圖所示，已知ABC 中,PE/ AB 交 BC 于 E,PF/ AC 交 BC 于 F,P 是 AD 上一點(diǎn)，且 D 點(diǎn)到 PE 的距離與到 PF 的距

3、離相等，判斷 AD 是否平分 Z BAC 并說(shuō)明理由 .分析：判定一條射線(xiàn)是不是一個(gè)角的平分線(xiàn)，可用角平分線(xiàn)的定義和角平分線(xiàn)的判定定理 . 根據(jù)題意，首先由角平分線(xiàn)的判定定理推導(dǎo)出Z 1= Z2,再利用平行線(xiàn)推得 Z 3=Z 4, 最后用角平分線(xiàn)的定義得證 .解： AD 平分 Z BAC? D到 PE 的距離與到 PF 的距離相等，?點(diǎn) D 在 Z EPF 的平分線(xiàn)上 .?Z1=Z2.又? PE/ AB13?/ = Z精選資料，歡迎下載同理，/2二/4.?/3 =Z 4, 二 AD 平分 / BAC評(píng)析：由角平分線(xiàn)的判定判斷出 PD 平分 / EPF 是解決本例的關(guān)鍵 . “同理” 是當(dāng)推理過(guò)

4、程相同，只是字母不同時(shí)為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便可以使用“同理”.例 3.如圖所示，已知 ABC 的角平分線(xiàn) BM CN 相交于點(diǎn) P, 那么 AP 能否平 分/ BAC 請(qǐng)說(shuō)明理由 . 由此題你能得到一個(gè)什么結(jié)論？分析：由題中條件可知，本題可以采用角的平分線(xiàn)的性質(zhì)及判定來(lái)解答，因此要作出點(diǎn) P 到三邊的垂線(xiàn)段 .解： AP 平分 /BAC結(jié)論：三角形的三條角平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.理由：過(guò)點(diǎn) P 分別作 BC ，AC, AB 的垂線(xiàn)，垂足分別是E、F、D.? BM是/ ABC 的角平分線(xiàn)且點(diǎn)P 在 BM 上，? PD= PE （角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等） .同理 PF= PE

5、, A PD= PF.? AP平分 / BAC （到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上） .例 4.如圖所示的是互相垂直的一條公路與鐵路，學(xué)校位于公路與鐵路所夾角的平分線(xiàn)上的 P 點(diǎn)處，距公路 400m 現(xiàn)分別以公路、鐵路所在直線(xiàn)為x 軸、 y 軸建立平面直角坐標(biāo)系 .（1）學(xué)校距鐵路的距離是多少？（2）請(qǐng)寫(xiě)出學(xué)校所在位置的坐標(biāo).分析：因?yàn)榻瞧椒志€(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，所以點(diǎn)P 到鐵路的距離與到公路的距離相等，也是4oom 點(diǎn) P 在第四象限，求點(diǎn)P 的坐標(biāo)時(shí)要注意符號(hào) .解：（ 1）v 點(diǎn) p 在公路與鐵路所夾角的平分線(xiàn)上，?點(diǎn) P 到公路的距離與它到鐵路的距離相等，又?點(diǎn) P 到

6、公路的距離是4oom?點(diǎn) P （學(xué)校）到鐵路的距離是400m（2）學(xué)校所在位置的坐標(biāo)是（400 ， 400 ）.精選資料，歡迎下載評(píng)析：角平分線(xiàn)的性質(zhì)的作用是通過(guò)角相等再結(jié)合垂直證明線(xiàn)段相等.例 5.如圖所示，在ABC 中， /C= 90°,AOBC ,DA 平分 /CAB 交 BC 于 D,問(wèn)能否在 AB 上確定一點(diǎn) 巳使厶 BDE 的周長(zhǎng)等于 AB 的長(zhǎng)？若能，請(qǐng)作出點(diǎn)E, 并給出證明；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：由于點(diǎn) D 在/ CAB 的平分線(xiàn)上，若過(guò)點(diǎn) D 作 DEL AB 于 E，則 DE= DC 于 是有 BD+ DE= BD+ DC= BO AC, 只要知道 AC 與

7、AE 的關(guān)系即可得出結(jié)論 .解：能 . 過(guò)點(diǎn) D 作 DEIAB 于丘，則厶 BDE 勺周長(zhǎng)等于 AB 的長(zhǎng) . 理由如下：? AD平分 / CAB DC L AC, DEL AB? DC= DE在 Rt ACD 和 Rt AED 中,? Rt AC 墜 Rt AED( HL ).? AO AE又? AO BC , 二 AE= BC.? BDE 的周長(zhǎng) =B? DE BE= B? DC+ BE= BC BE= AE BE= AB.評(píng)析：本題是一道探索題，要善于利用已知條件獲得新結(jié)論， 尋找與要解決 的問(wèn)題之間的聯(lián)系 . 本題利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)將要探究的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化 . 這是初 中幾何中常用的一種數(shù)學(xué)思想 .【方法總結(jié)】學(xué)過(guò)“角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”與“到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上”這兩個(gè)結(jié)論后，許多涉及角的平分線(xiàn)的問(wèn)題用這兩個(gè)結(jié)論解決很方便，需要注意的是有許多同學(xué)對(duì)證明兩個(gè)三角形全等的問(wèn)題已經(jīng)很熟悉了，