七年級數(shù)學列代數(shù)式

1、真誠為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當之處，請指正。列代數(shù)式 一、本單元教學內(nèi)容及要求 1在現(xiàn)實情境中進一步理解用字母表示數(shù)的意義，掌握用字母表示數(shù)，在探索現(xiàn)實世界數(shù)量關系的過程中，逐步建立符號意識； 2了解代數(shù)式的概念，會列出代數(shù)表示簡單的數(shù)量關系，掌握代數(shù)式的書寫注意事項。 二、學習指導 1代數(shù)式 例1下列各式中，哪些是代數(shù)式，哪些不是代數(shù)式。 (1) (2)a (3) 26+38 (4) s=vt (5) a2+2ab+b2 (6) (7) 2+3=5 (8)3a>4b (9) 5n+2 (10) 2(x-y)+3 分析：用運算符號把數(shù)字或表示數(shù)的字母連結而成的式子叫做代數(shù)式。單獨的一

2、個數(shù)或者字母也是代數(shù)式，在理解這個定義時，應注意下述幾個問題： （1）運算符號是指加，減，乘，除,乘方和開方（乘方、開方運算以后再講）這六種運算,不再包含其它運算。（2）等號不是運算符號，所以代數(shù)式中不允許有等號，同樣不等號“>”或“<”號也不是運算符號。 （3）代數(shù)式中可以有指定運算順序的括號，如小括號，中括號和大括號。如2(x-y)+3是代數(shù)式。 （4）代數(shù)式中可以不同時含有數(shù)字或表示數(shù)的字母，但數(shù)字和表示數(shù)的字母都沒有，只含有運算符號，那就不是代數(shù)式。 （5）單獨的一個數(shù)或字母也是代數(shù)式。 （6）注意研究代數(shù)式與指定的數(shù)集有關系，我們這一章是在有理數(shù)集上研究代數(shù)式。隨著知識的

3、不斷增加，對代數(shù)式的認識也會不斷深入。 （7）(4)題S=Vt是公式，不是代數(shù)式；(7)題2+3=5 (8)題3a>4b中分別有“=”、“>”，它們分別表示等式和不等式，也不是代數(shù)式。 解：(1) ；(2)a；(3) 26+38；(5) a2+2ab+b2 ；(6) ；(9) 5n+2 ；(10) 2(x-y)+3都是代數(shù)式； (4) s=vt，(7) 2+3=5，(8)3a>4b 不是代數(shù)式。 點評：本題考查對代數(shù)式概念的理解。要注意含有等號和不等號的式子都不是代數(shù)式。 2“字母表示數(shù)”的意義 （1）從知識上看，用字母表示數(shù)體現(xiàn)了算術與代數(shù)的本質(zhì)區(qū)別。 （2）從思維方法上看

4、，用字母表示數(shù)體現(xiàn)了直觀形象思維向抽象思維的過渡，是認識上的一個飛躍。 （3）用字母表示數(shù)具有兩個特點： 第一，不確定性：字母表示數(shù)但并不代表某一個具體的數(shù)。例如字母a可以表示任意數(shù)，這反映了特殊與一般的關系。 第二，抽象性：用字母表示數(shù)，是數(shù)的概念的發(fā)展，是更高層次上的抽象，這反映了現(xiàn)象與本質(zhì)的關系。 從確定的數(shù)到字母表示數(shù)，是數(shù)學方法由低級向高級，從具體到抽象，由特殊到一般的過渡，是學習代數(shù)的重要方法，應在學習中逐步體會。從算術到代數(shù)的過渡，就是要完成字母表示數(shù)的過程，在這個過程中要不斷地擺脫具體數(shù)字概念的束縛，才能提高概括水平。 例2填空： （1）y×7 用代數(shù)式表示一般要寫成

5、_； （2）長方形的面積是acm2，它的寬是bcm，那么它的長是_cm，周長是_cm； （3）某校同學向希望工程捐獻圖書，其中有m個人每人捐獻4本書，有n個人每人捐獻a本書，那么他們一共捐獻圖書_本； （4）一批冰箱原價每臺售價m元，現(xiàn)在八折出售，出售了9臺，銷售額為_元。 解：(1) y，或 ·y或 ； (2) , 2(b+ )； (3) (4m+an)； (4) 9× m, 或9×80%m。 點評：本題考查書寫代數(shù)式。這類問題的關鍵是準確理解題意，明確運算關系及運算順序。書寫代數(shù)式時要注意以下幾點： 在同一個式子中，不同的字母表示不同的數(shù)，相同的字母表示相同的

6、數(shù)。 在同一個問題中，不同的量必須用不同的字母表示。如長方形的長和寬必須用不同的字母來表示。 在數(shù)字和表示數(shù)的字母相乘時，乘號可以省略，但要把數(shù)字因數(shù)寫在字母因數(shù)的前面。若字母因數(shù)是帶分數(shù)，通常要化成假分數(shù)。如(1)題y×7 寫成 y或 。 在含有字母的除法中，一般不用“÷”號，而寫成分數(shù)形式如(2)題中，長方形的長為 不寫成a÷b的形式。1÷a寫成 等。 列代數(shù)式時不寫單位名稱，單位名稱在答案中寫出來，如果代數(shù)式是乘、除關系，單位名稱寫在式子后面，如(2)題中 cm,(4)題中9× m元等；如果代數(shù)式是加，減關系，必須把代數(shù)式用括號括起來以后

7、再寫單位名稱，如(3)題中的(4m+an)本. 在不同的問題中，要注意字母的取值范圍。如(3)中n, m, a均為自然數(shù)。 例3選擇題（只有一個答案正確） 下列各式中表示方法符合代數(shù)式書寫要求的是（ ） A、xy÷3 B、a×15b C、1 ×xy2 D、 分析：用書寫代數(shù)式應遵循的一般要求進行檢驗，A、B、C均不符合要求。 解：應選擇D。 例4說出下列代數(shù)式的意義： (1) 3a-b (2)3(a-b) (3) a2-b2 (4) (a+b)(a-b) (5) (6) 3-a2 (7) 3a2 (8) a- 解： (1)3a與b的差；或3a減去b的差；或a的3倍

8、減去b；或a的3倍與b的差； (2)3與a-b的積；或a減去b的差的3倍；或a與b的差的3倍； (3)a與b的平方差；或a的平方減去b的平方的差，或a的平方與b的平方的差或a，b兩個數(shù)的平方差； (4)a，b兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積； (5)x除以ab的商，或x比ab (6)3與a2的差；或3減去a的平方的差； (7)a的平方的3倍或3乘以a的平方； (8)a減去 的差；或a與1除以a的商的差；或a與a的倒數(shù)的差。 例5用代數(shù)式表示： (1)a的平方與b的2倍的差； (2)m與n的和的平方與m與n的積的和； (3) x的三分之二與y的一半的差； (4)比 a除b的商的2倍小4的數(shù)。 解：(

9、1) a2-2b (2) (m+n)2+mn (3) x- y (4) -4 點評：例4，例5類型不論是說出代數(shù)式的意義還是用代數(shù)式表示，都要認真審題，弄清題目中表示的有關的數(shù)量關系和運算順序，要抓住關鍵詞語，如和（加），差（減），積（乘），商（除），大，小，多，少，倍，幾分之幾，倒數(shù)，平方，立方，增加到，增加了等詞語的意義。 要注意題目中的“的”字的作用：如例5(1)題中共有3個“的”字，這三個“的”字把題目分成了三段：a的平方記作a2；b的2倍記作2b；把a的平方與b的2倍的差記作a2-2b。列代數(shù)式抓住“的”字把句子分成幾個層次，逐層分析，一步步列出代數(shù)式。 注意“除”與“除以”的意義是

10、不同的，a除b就是b除以a的意思，表示為 ，a除b的商的2倍可記作2× 寫成 。 例6用代數(shù)式表示： (1) 偶數(shù)，奇數(shù)；(2)三個連續(xù)整數(shù)；(3)被2除商m余3的數(shù) 解：(1)2n, 2n+1或2n-1 (n為整數(shù)) (2)n, n+1, n+2 (n為整數(shù)) (3) 2m+3 (m為整數(shù)) 點評：在處理整數(shù)，整除問題時，注意列出的代數(shù)式中字母的取值范圍。要在代數(shù)式后面特別指明 三個連續(xù)整數(shù)也可以設中間整數(shù)為x，那么表示為x-1, x, x+1； 也可以設最大的一個整數(shù)為n，它們表示為n-2, n-1,n. 注意連續(xù)整數(shù)間數(shù)差為1 被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，(3)題實質(zhì)上求

11、的是被除數(shù)。 例7說出下列各組代數(shù)式的意義有什么不同。 (1) 2(a+b),2a+b,a+2b (2) a2- , (a2-b2),( )2 解法：(1) 2(a+b)是a與b的和的2倍； 2a+b是a的2倍與b的和； a+2b是a與b的2倍的和。 (2) a2- 是a2與b2的一半的差； (a2-b2)是a, b兩數(shù)平方差的一半； ( )2是a, b兩數(shù)差的一半的平方 點評：注意理解運算順序，如“和的積”和“積的和”運算順序不同，前者是先和后積，后者是先積后和，又如“兩數(shù)平方差”和“兩數(shù)差的平方”運算順序也不同，前者是先平方后差，式子是a2-b2，而后者是先做差后平方，式子是(a-b)2。

12、 例8一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字為a，且十位上的數(shù)比個位上數(shù)大3，試用含a的代數(shù)式表示個位上的數(shù)和這個兩位數(shù)。 分析：此類問題首先要弄清兩位數(shù)是怎么回事，例如36這個兩位數(shù)十位上的數(shù)是3，個位上的數(shù)是6，36=3×10+6，兩位數(shù)=十位上的數(shù)×10+個位上的數(shù)，三位數(shù)=百位上的數(shù)×100 +十位數(shù)上的數(shù)×10+個位上的數(shù) 解法：個位上的數(shù)為a-3，這個兩位數(shù)為10a+(a-3) 例9一個三位數(shù)的百位數(shù)字是5，十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b ,這個三位數(shù)為_，把它的三位數(shù)字顛倒過來，這個三位數(shù)為_。 解法：500+10a+b, 100b+10a+5. 例10x表

13、示一個三位數(shù)，y表示一個兩位數(shù)，如果把x放在y的左邊，組成一個五位數(shù)，試表示這個五位數(shù)。 分析：要想把x放在y的左邊組成一個五位數(shù)，由于x表示一個三位數(shù)，y是一個兩位數(shù)，需將x乘以100成為五位數(shù)，100x實質(zhì)上是后兩位為0的五位數(shù)，再加上y這個兩位數(shù)，即成所求的五位數(shù)。 解法：這個五位數(shù)為100x+y。 例11甲、乙兩地之間公路全長為100千米，某人從甲地到乙地每小時走v千米，用代數(shù)式表示： （1）某人從甲地到乙地需要走多少小時？ （2）若每小時減少2千米，需要多少小時？ （3）減速后比原來慢多少小時？ 分析：這個實際問題是研究距離，速度與時間的關系，屬于行程問題。它的基本關系是：距離=速度

14、×時間或者速度= ，時間= ，按照這個關系來具體分析本題不難找出它們的代數(shù)式。 解法：（1）某人從甲地到乙地需要走 小時 （2）若每小時速度減少2千米，此時速度為（v-2）千米，需要走 小時。 （3）減速后比原來慢（ - ）小時。 例12用代數(shù)式表示下列問題的答案。 （1）甲，乙二人從同一地點出發(fā)，甲每小時走akm，乙每小時走bkm，（b<a），用代數(shù)式表示： 反向行走t小時，兩人相距多少km? 同向行走t小時，兩人相距多少km？ 反向行走，甲比乙早出發(fā)m小時，乙走n小時，兩人相距多少km? 同向行走，甲比乙晚出發(fā)m小時，乙走n小時(n>m)兩人相距多少km? 解法及分析

15、：本題是行程問題 兩人從同一地點出發(fā)，反向而行，t小時后兩人之間的距離為兩人所走路程之和。得(a+b)tkm或(at+bt)km 二人從同一地點出發(fā)，同向而行，t小時后兩人之間的距離為兩人所走路之差得(a-b)tkm或(at-bt)km. 反向而行，甲比乙早出發(fā)m小時，故甲先走makm，然后甲，乙又同時走n小時，分別走nakm, nbkm，這時兩人之間的距離為他們所走的路之和。得（ma+na+nb）km，或者為ma+n(a+b)km或(m+n)a+nbkm. 同向而行，乙走n小時(n>m)乙走距離為nbkm, 甲比乙晚出發(fā)m小時，那么甲走的路程為(n-m)akm，甲，乙兩人同向而行，兩人

16、之間的距離為二人所走路程之差。 當(n-m)a<nb時，得nb-(n-m)akm. 當(n-m)anb時得(n-m)a-nbkm. （2）一項工程，甲隊單獨完成需用a天，乙隊單獨完成用b天，若兩隊全做， 完成這項工程共需多少天？ 解法與分析：本題是工程問題，工程問題的特點是把完成整個工程看作1。甲隊單獨完成需用a天，則甲隊每天完成工程的 ，乙隊單獨完成需用b天，則乙隊每天完成工程的 ，甲，乙兩人合作一天能完成工程的 + 。工程問題的基本關系是：工作量=工作效率×工作時間，或者效率= ，時間= 。 因為甲，乙兩人合作一天能完成工程的 + 即合作的效率，工作量為1，由基本關系可得完

17、成這項工程所需時間為 天。 （3）某輪船在靜水中的速度為vkm/時，水流速度為dkm/時，求這艘輪船在相距skm的兩個碼頭間往返一次所需時間。 解法與分析：本題為行程問題的特殊問題，它的特點是上游船速=靜水船速-水速；下游船速=靜水船速+水速。這艘船在相距skm的兩個碼頭間往返一次，若去時是下游，則返程為上游；若去時是上游，則返程是下游。故輪船往返一次為上游，下游各一次。上游船速為v-d，下游船速為v+d。 所以輪船往返一次所花的時間為( + )小時 （4）m畝地，畝產(chǎn)水稻a千克，n畝地畝產(chǎn)水稻b千克，求這些地平均畝產(chǎn)量。 分析：本題為平均數(shù)問題，其特點為：平均數(shù)= 解法：總產(chǎn)量為(ma+nb

18、)千克，總畝數(shù)為(m+n)畝 平均畝產(chǎn)量為 千克。  反饋練習1.每包書有12冊，n包書有_冊；（ ） A、12+n B、12n C、12 D、n 2.溫度由t下降2后是_；（ ） A、t+2 B、(t-2) C、2t D、t-2 3.棱長是a厘米的正方體的體積是_立方厘米（ ） A、a2 B、a3 C、2a D、3a 4.產(chǎn)量由m千克增長10%，就達到_千克（ ） A、m+10%B、m-10%C、(1+10%)mD、(1-10%)m 5. 可以表述為（ ） A、c除以ab的商 B、c除a乘b C、c除a乘以b D、c除以ab的倒數(shù) 6.a2+b2 可表述為（ ） A、a的平方與b的

19、和B、a加 b的平方 C、a 的平方與b的平方的和 D、a的兩倍與b 的兩倍的和 7.m與n的和除以10的商( ) A、m+ B、 C、 D、 8.m與5n的差的平方；( ) A、m2-5n2 B、m-5n2 C、(m-5n)2D、m2-5n 9.a,b兩數(shù)的平方差除以a與b的差的平方的商用代數(shù)式表示為（ ）A、 B、 C、 D、 10.下面各題后面的代數(shù)式中錯誤的是（ ） A、a的3倍與b的2倍的和為3a+2b B、a除以b的商與2的差的平方為( -2)2 C、a,b兩數(shù)和，乘以a,b兩數(shù)差為(a+b)(a-b) D、a與b的和的 為a+ b 答案： 1、B 2、B 3、B 4、C5、A 6

20、、C 7、B 8、C 9、A 10、D 分析：用代數(shù)式表示用語言敘述的數(shù)量關系要注意：弄清代數(shù)式中括號的使用；字母與數(shù)字做乘積時，習慣上數(shù)字要寫在字母的前面.  中考解析代數(shù)式 考點掃描: 1掌握用字母表示數(shù)的意義 2了解代數(shù)式的概念，能用語言準確表達代數(shù)式所表示的數(shù)學意義 名師精講: 1用字母表示數(shù)的意義：用字母表示數(shù)是代數(shù)的一個重要特點，它的優(yōu)點在于能簡明、扼要、準確地把數(shù)和數(shù)之間的關系表示出來，深刻地揭示數(shù)量之間的聯(lián)系，為我們學習數(shù)學和應用數(shù)學帶來方便 2代數(shù)式的概念：用字母表示數(shù)以后，出現(xiàn)了一些用運算符號把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們把它們稱為代數(shù)式單個的數(shù)字或字母也

21、可以看作代數(shù)式 注意：數(shù)與數(shù)之間、數(shù)與字母之間、字母與字母之間的運算符號是指加、減、乘、除、乘方及以后將學到的開方運算符號，但不包括=、<、>、等表示數(shù)量關系的關系符號凡帶有關系符號的式子都不是代數(shù)式 3代數(shù)式的書寫形式： （1）數(shù)字與字母、字母與字母相乘時，乘號可以省略不寫或用“·”代替省略乘號時，數(shù)字因數(shù)要寫在字母因數(shù)前面，數(shù)字是帶分數(shù)時要改寫成假分數(shù)；數(shù)字與數(shù)字相乘仍用“×”號 （2）代數(shù)式中出現(xiàn)除法運算時，一般要寫成分數(shù)的形式 （3）用代數(shù)式表示某一個量時，代數(shù)式后面帶有單位，如果代數(shù)式是和、差形式，要用括號把代數(shù)式括起來 4用語言表達代數(shù)式的數(shù)學意義時

22、，既要正確表達式子中所含有代數(shù)運算以及它們的運算順序，又要注意語言的簡練準確 說明：本節(jié)知識是一些概念性的知識，是以后學習整式、分式、無理式、方程等概念的基礎，在中考中較少單獨命題 列代數(shù)式 考點掃描: 會用代數(shù)式表示簡單的數(shù)量關系 名師精講: 列代數(shù)式就是把問題中的表示數(shù)量關系的語言用代數(shù)式表示出來 列代數(shù)式時需要注意： （1）認真審題，分析問題中的數(shù)量關系，正確理解問題中的一些關鍵性術語，如“和、差、積、商、倍、幾分之幾、大、小、多、少、提高了、提高到”等 （2）要注意題目的語言敘述表示的運算順序，按“先讀的先算”（寫）的原則，逐步列出代數(shù)式 （3）根據(jù)問題中的運算順序，適當添加括號 中考

23、典例: 1（黑龍江省哈爾濱市）我國政府為解決老百姓看病難的問題，決定下調(diào)藥品價格某種藥品在1999年漲價30%后，2001年降價70%至a元，則這種藥品在1999年漲價前的價格為_元 考點：列代數(shù)式 評析：因為該藥品經(jīng)過兩次調(diào)價后的價格是a元，而所求的問題是第一次調(diào)價前的價格，可用逆向思維的方法來解：因為2001年降價70%至a元，所以降價前的價格應為 ，用同樣的方法可列出第一次調(diào)價前的價格為 ÷(1+30%)整理得 2（安徽?。┠骋粝裆鐚ν獬鲎夤獗P的收費方法是：每張光盤在租出后的頭兩天每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一張光盤在租出的第n天（n是大于2的自然數(shù)）應收租金_元

24、考點：列代數(shù)式 評析：因為租出的第n天中包括前兩天，所以每天收0.5元的天數(shù)應是n-2，那么第n天應收的租金為1.6+0.5(n-2)整理為0.6+0.5n 說明：解答該題時一定要注意條件，n是大于2的自然數(shù) 3（福建福州）觀察下列各式：12+1=1×2，22+2=2×3, 32+3=3×4， 請你將猜想到的規(guī)律用自然數(shù)n(n1)表示出來_ 考點：列代數(shù)式的運用 評析：該題是通過觀察尋找規(guī)律，用代數(shù)式表示所得規(guī)律的問題，這是近年中考命題的熱點問題，目的是考查學生觀察分析及探究的能力通過觀察分析，該題的左邊是一自然數(shù)的平方加上這個自然數(shù)，右邊是這個自然數(shù)與下一個自然

25、數(shù)的積，所以其規(guī)律用自然數(shù)n（n1）來表示應為：n2+n=n(n+1) 4（北京東城區(qū)）第二十屆電視劇飛天獎今年有a部作品參賽，比去年增加了40%還多2部設去年參賽的作品有b部，則b是：（ ） A、 B、a(1+40%)+2C、 D、a(1+40%)-2 考點：列代數(shù)式 評析：因為去年的作品是b部，增加40%后的作品為b(1+40%)，而今年又比去年增加后的作品多2部，所以今年的作品為a=b(1+40%)+2，所以去年的作品 應選C 選項A是把多的2部當作了去年增加后比今年多2部，選項B、D是把a當作b去理解了，所以都是錯誤的 真題專練: 1（吉林?。┯幸豢脴涿?，剛栽下去時，樹高21米，以后每

26、年長03米，則n年后的樹高為(_)米 2（黑龍江省哈爾濱市）“買單價c元的球拍n個, 付出450元，應找多少錢？”用代數(shù)式表示為：_ 3（湖南長沙）用代數(shù)式表示：x的2倍加上3_ 4（安徽省）如圖是2002年6月份的日歷，現(xiàn)用一矩形在日歷中任意框出4個數(shù) ，請用一個等式表示a、b、c、d之間的關系：_ 5（云南?。゛的2倍與b的差，用代數(shù)式表示是_ 6（鎮(zhèn)江市）用代數(shù)式表示“比a的平方的2倍小1的數(shù)”為（） A、2a2-1 B、(2a)2-1 C、2(a-1)2 D、(2a-1)2 7（廣西壯族自治區(qū)）某種品牌的彩電降價30%以后，每臺售價為a元，則該品牌彩電每臺的原價是（ ） A、07a元

27、B、03a元 C、 元 D、 元 8（福州市）隨著計算機技術的迅猛發(fā)展，電腦價格不斷降低，某品牌的電腦按原價降低m元后又降20%，現(xiàn)售價為n元，那么該電腦的原售價為（ ） A、( n+m)元 B、( n+m)元 C、(5m + n)元 D、(5n +m)元 答案：1、0.3n+2.1 2、(450-nc)元 3、2x+3 4、a+d=b+c或b-a=d-c或d-b=c-a5、2a-b 6、 7、D 8、B 課外拓展最早的數(shù)學算術 算術是數(shù)學中最古老、最基礎和最初等的部分，它研究數(shù)的性質(zhì)及其運算。 “算術”這個詞，在我國古代是全部數(shù)學的統(tǒng)稱。至于幾何、代數(shù)等許多數(shù)學分支學科的名稱，都是后來很晚的

28、時候才有的。 國外系統(tǒng)地整理前人數(shù)學知識的書，要算是希臘的歐幾里得的幾何原本最早。幾何原本全書共十五卷，后兩卷是后人增補的。全書大部分是屬于幾何知識，在第七、八、九卷中專門討論了數(shù)的性質(zhì)和運算，屬于算術的內(nèi)容。 現(xiàn)在拉丁文的“算術”這個詞是由希臘文的“數(shù)和數(shù)(音屬，sh三聲)數(shù)的技術”變化而來的?！八恪弊衷谥袊墓乓庖彩恰皵?shù)”的意思，表示計算用的竹籌。中國古代的復雜數(shù)字計算都要用算籌。所以“算術”包含當時的全部數(shù)學知識與計算技能，流傳下來的最古老的九章算術以及失傳的許商算術和杜忠算術，就是討論各種實際的數(shù)學問題的求解方法。 關于算數(shù)的產(chǎn)生，還是要從數(shù)談起。數(shù)是用來表達、討論數(shù)量問題的，有不同類

29、型的量，也就隨著產(chǎn)生了各種不同類型的數(shù)。遠在古代發(fā)展的最初階段，由于人類日常生活與生產(chǎn)實踐中的需要，在文化發(fā)展的最初階段就產(chǎn)生了最簡單的自然數(shù)的概念。 自然數(shù)的一個特點就是由不可分割的個體組成。比如說樹和羊這兩種事物，如果說兩棵樹，就是一棵再一棵；如果有三只羊，就是一只、一只又一只。但不能說有半棵樹或者半只羊，半棵樹或者半只羊充其量只能算是木材或者是羊肉，而不能算作樹和羊。 因為僅有自然數(shù)不足以解決生活和生產(chǎn)中常見的分份問題，因此數(shù)的概念產(chǎn)生了第一次擴張。分數(shù)是對另一種類型的量的分割而產(chǎn)生的。比如，長度就是一種可以無限地分割的量，要表示這些量，就只有用分數(shù)。從已有的文獻可知，人類認識自然數(shù)和分

30、數(shù)的歷史是很久的。比如約公元前2000年流傳下來的古埃及萊茵德紙草書就記載有關于分數(shù)的計算方法。中國殷代遺留下來的甲骨文中有很多自然數(shù)，最大的數(shù)字是三萬，并且全部是應用十進位制的位置計數(shù)法。 自然數(shù)和分數(shù)都具有不同的性質(zhì)，數(shù)和數(shù)之間也有不同的關系，計算這些數(shù)，就產(chǎn)生了加、減、乘、除的方法，這四種方法就是四則運算。 把數(shù)和數(shù)的性質(zhì)、數(shù)和數(shù)之間的四則運算在應用過程中的經(jīng)驗累積起來，并加以整理，就形成了最古老的一門數(shù)學算術。 在算術的發(fā)展過程中，由于實踐和理論上的要求，提出了許多新問題，在解決這些新問題的過程中，古算術從兩個方面得到了進一步的發(fā)展。 一方面在研究自然數(shù)四則運算中，發(fā)現(xiàn)只有除法比較復雜

31、，有的能除盡，有的除不盡，有的數(shù)可以分解，有的數(shù)不能分解，有些數(shù)有大于的公約數(shù)，有些數(shù)沒有大于的公約數(shù)。為了尋求這些數(shù)的規(guī)律，從而發(fā)展成為專門研究數(shù)的性質(zhì)、脫離了古算術而獨立的一個數(shù)學分支，叫做整數(shù)論，或叫做初等數(shù)論，并在以后又有新的發(fā)展。 另一方面，在古算術中討論各種類型的應用問題，以及對這些問題的各種解法。在長期的研究中，很自然地就會啟發(fā)人們尋求解這些應用問題的一般方法。也就是說，能不能找到一般的更為普遍適用的方法來解決同樣類型的應用問題，于是發(fā)明了抽象的數(shù)學符號，從而發(fā)展成為數(shù)學的另一個古老的分支，這就是初等代數(shù)。 數(shù)學發(fā)展到現(xiàn)在，算術不再是數(shù)學的一個分支，通常提到算術，只是作為小學里的

32、一個數(shù)學科目。小學里設這門課的目的是要使學生理解和掌握數(shù)量關系和空間形式的最基礎的知識，能夠正確、迅速地進行整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的四則運算，初步了解現(xiàn)代數(shù)學中的一些最簡單的思想，具有初步的邏輯思維能力和空間觀念。 現(xiàn)代小學數(shù)學的具體內(nèi)容，基本上還是古代算術的知識，也就是說，古代算術和現(xiàn)代算術的許多內(nèi)容上是相同的。不過現(xiàn)代算術和古代算術也還存在著區(qū)別。 首先，算術的內(nèi)容是古代的成人包括數(shù)學家所研究的對象，現(xiàn)在這些內(nèi)容已變成了少年兒童的數(shù)學。 其次，在現(xiàn)代小學數(shù)學里，總結了長期以來所歸結出來的基本運算性質(zhì)，就是加法、乘法的交換律和結合律，以及乘法對加法的分配律，這五條基本運算定律，不僅是小學數(shù)學里所學習的數(shù)的運算的重要性質(zhì)，也是整個數(shù)學里，特別是代數(shù)學里著重研究的主要性質(zhì)。 第三，在現(xiàn)代的小學數(shù)學里，還孕育著近代數(shù)學里的集合和函數(shù)等數(shù)學基礎概念的思想。比如，和、差、積