高二數(shù)學(xué)直線(xiàn)和圓的方程教案 人教版

1、高二數(shù)學(xué)直線(xiàn)和圓的方程教案一、知識(shí)框架二、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：直線(xiàn)的傾斜角和斜率，直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式，直線(xiàn)方程的一般式；兩條直線(xiàn)平行與垂直的條件，兩條直線(xiàn)的夾角，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；用二元一次不等式表示平面區(qū)域，簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題；曲線(xiàn)與方程的概念，由已知條件列出曲線(xiàn)方程；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，圓的參數(shù)方程；難點(diǎn)：解析幾何的基本量；對(duì)稱(chēng)問(wèn)題；直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；與圓和直線(xiàn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題；三、知識(shí)點(diǎn)解析1、直線(xiàn)（1）直線(xiàn)的方程： 1）直線(xiàn)的傾斜角、斜率及直線(xiàn)的方向向量： 直線(xiàn)的傾斜角：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與軸相交的直線(xiàn)，如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線(xiàn)重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么

2、就叫做直線(xiàn)的傾斜角；若直線(xiàn)和軸平行或重合時(shí)，則傾斜角為；直線(xiàn)傾斜角的取值范圍是； 直線(xiàn)的斜率：傾斜角不是的直線(xiàn)，它的傾斜角的正切叫做這條直線(xiàn)的斜率，用來(lái)表示，即；傾斜角是的直線(xiàn)沒(méi)有斜率；傾斜角不是的直線(xiàn)都有斜率，其取值范圍是； 直線(xiàn)的方向向量：設(shè)是直線(xiàn)上不同的兩點(diǎn)，則向量稱(chēng)為直線(xiàn)的方向向量；向量也是該直線(xiàn)的方向向量，是直線(xiàn)的斜率； 直線(xiàn)斜率的求法：（）定義法：依據(jù)直線(xiàn)的斜率定義求得；（）公式法：已知直線(xiàn)過(guò)兩點(diǎn)，且，則斜率；（）方向向量法：若為直線(xiàn)的方向向量，則直線(xiàn)的斜率；2）直線(xiàn)方程的五種形式：（）斜截式：；（）點(diǎn)斜式：；（）兩點(diǎn)式：；（）截距式：；（）一般式：。（2）點(diǎn)和直線(xiàn)、兩直線(xiàn)之間的位

3、置關(guān)系： 1）點(diǎn)和直線(xiàn)的位置關(guān)系：設(shè)點(diǎn)，直線(xiàn)，則若點(diǎn)在直線(xiàn)上，則滿(mǎn)足：；點(diǎn)到直線(xiàn)的距離：； 2）兩直線(xiàn)的位置關(guān)系：設(shè)直線(xiàn)，：兩直線(xiàn)平行：，且或；兩平行線(xiàn)，之間的距離為：；兩直線(xiàn)相交：（）到的角滿(mǎn)足，且；（）與的夾角滿(mǎn)足，且；（）：當(dāng)、的斜率存在時(shí)，有；一般情況有：；兩直線(xiàn)重合：，且或。（3）簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃： 1）二元一次不等式表示平面區(qū)域： 在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)：時(shí)，若，則點(diǎn)在直線(xiàn)的上方；若，則在下方；也就是說(shuō)：時(shí)， 表示直線(xiàn)上方區(qū)域；表示其下方區(qū)域； 2）線(xiàn)性規(guī)劃： 定義：求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)在線(xiàn)性的約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，統(tǒng)稱(chēng)為線(xiàn)性規(guī)劃； 滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件的解叫

4、做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解； 線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題一般用圖解法，步驟如下：（）根據(jù)題意，設(shè)出自變量；（）找出線(xiàn)性約束性條件；（）確定線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)：；（）畫(huà)出可行域（幾個(gè)約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域）；（）利用線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)作平行直線(xiàn)系（為參數(shù)）；（）觀(guān)察圖形，找到直線(xiàn)在可行域上使取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案。2、圓（1）曲線(xiàn)和方程： 1）一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線(xiàn)（看作是和某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)，那么這

5、個(gè)方程叫做曲線(xiàn)的方程，這條曲線(xiàn)叫做方程的曲線(xiàn)； 2）求曲線(xiàn)的方程一般有五個(gè)步驟：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)；寫(xiě)出適合條件的點(diǎn)的集合；用坐標(biāo)表示條件，列出方程；化方程為最簡(jiǎn)式；證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)。（2）圓的方程： 1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為，半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為； 2）圓的一般方程：二次方程（）是圓的一般方程，可以化簡(jiǎn)為的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心為，半徑為，具有幾個(gè)特點(diǎn)：項(xiàng)系數(shù)相等且不為零，沒(méi)有項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，表示點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖像；根據(jù)條件列出關(guān)于的三元一次方程組，可確定圓的一般方程； 3）圓的參數(shù)方程：圓心在，半徑為的圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）

6、；圓心在，半徑為的圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）； 4）二元二次方程表示圓的充要條件：。（3）直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系：方程的觀(guān)點(diǎn)，利用判別式：，直線(xiàn)和圓相交；，直線(xiàn)和圓相切；，直線(xiàn)和圓相離；幾何的觀(guān)點(diǎn)，利用圓心到直線(xiàn)的距離和半徑的大?。海本€(xiàn)和圓相離；，直線(xiàn)和圓相切；，直線(xiàn)和圓相交。四、例題1、 直線(xiàn)例1 關(guān)于直線(xiàn)的傾斜角和斜率，下列哪些說(shuō)法是正確的 （ ）。A、任一條直線(xiàn)都有傾斜角，也都有斜率； B、直線(xiàn)的傾斜角越大，它的斜率就越大；C、平行于x軸的直線(xiàn)的傾斜角是0或； D、兩直線(xiàn)的斜率相等，它們的傾斜角相等；E、兩直線(xiàn)的傾斜角相等，它們的斜率相等； F、直線(xiàn)斜率的范圍是。答 DF。oxy例2 如圖，

7、直線(xiàn)的斜率分別為，則：（ ）A、 B、 C、 D、答 B。例3 填空（1） 若則 ；若則 ；（2） 若，則 ；若 ；（3） 若則的取值范圍 ；若,則的取值范圍 。答 （1），；（2），；（3），。例4 一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角，求這條直線(xiàn)方程，并畫(huà)出圖象。分析 此題可直接應(yīng)用直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式，意在使學(xué)生逐步熟悉直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式。解 這條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率是，代入點(diǎn)斜式方程，得，即，這就是所求直線(xiàn)方程。圖形如下：例5 一直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，其傾斜角等于直線(xiàn)的傾斜角的2倍，求直線(xiàn)的方程。分析 此題已知所求直線(xiàn)上一點(diǎn)坐標(biāo)，所以只要求得所求直線(xiàn)的斜率即可。根據(jù)已知條件，先求出直線(xiàn)的傾斜角，再求出所求直線(xiàn)的傾斜角，進(jìn)

8、而求出斜率。解 設(shè)所求直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的傾斜角為，則，代入點(diǎn)斜式得：，即：。說(shuō)明：通過(guò)此題要求學(xué)生注意正切兩倍角公式的正確運(yùn)用。例6 已知直線(xiàn)的斜率為，與軸的交點(diǎn)是，求直線(xiàn)的方程。解 將點(diǎn)，代入直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式得：，即。說(shuō)明 (1)上述方程是由直線(xiàn)的斜率和它在軸上的截距確定的，叫做直線(xiàn)方程的斜截式；(2)我們稱(chēng)為直線(xiàn)在軸上的截距；(3)截距可以大于0，也可以等于或小于0。例7 已知直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，其中，求直線(xiàn)的方程。分析 此題條件符合兩點(diǎn)式的適用范圍，可以直接代入。解 由兩點(diǎn)式得，即1。說(shuō)明 (1)這一直線(xiàn)方程由直線(xiàn)在軸和軸上的截距確定，所以叫做直線(xiàn)方程的截距式；(2)截距式

9、適用于橫、縱截距都存在且都不為0的直線(xiàn)。例8 三角形的頂點(diǎn)是，這個(gè)三角形三邊所在的直線(xiàn)方程。解法一 (用兩點(diǎn)式)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得，整理得：，這就是直線(xiàn)的方程。直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得，整理得，這就是直線(xiàn)的方程。直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得，整理得，這就是直線(xiàn)的方程。解法二 (用斜截式求所在直線(xiàn)方程)，由斜截式得，整理得，這就是直線(xiàn)的方程。解法三 (用截距式求直線(xiàn)的方程)直線(xiàn)的橫、縱截距分別為5，2，由截距式得1，整理得，這就是直線(xiàn)的方程。例9 為何值時(shí)，直線(xiàn)與，(1)平行；(2)垂直。解 當(dāng)或1時(shí)，兩直線(xiàn)既不平行，也不垂直；當(dāng)且時(shí)，直線(xiàn)的斜率為，；直線(xiàn)的斜率為，。（1）當(dāng)，即，解得或，所以當(dāng)或時(shí)

10、，兩直線(xiàn)平行；（2）當(dāng)，即·1，解得，所以當(dāng)時(shí)，兩直線(xiàn)垂直。例10 直線(xiàn)與直線(xiàn)的平行，則的值為（ ）A、2 B、-3 C、2或-3 D、-2或-3解法一 ，當(dāng)時(shí)，顯然不平行于；當(dāng)時(shí)，若，須。由式有,解得或。顯然或滿(mǎn)足。應(yīng)選C。解法二 若，須,解得或。當(dāng)或時(shí)，或?yàn)樗蟆?應(yīng)選C。例11 與互相垂直，則為（ ）A、-1 B、1 C、±1 D、-解：。兩直線(xiàn)垂直，整理，得，應(yīng)選C。例12 求與直線(xiàn)平行且過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的方程。分析 本題己知一點(diǎn)坐標(biāo)，故可考慮用直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式求解，而互相平行的兩直線(xiàn)斜率相等；或者可設(shè)出與L平行的直線(xiàn)系方程，再利用題設(shè)求解。解法一 設(shè)直線(xiàn)的斜率為，與直線(xiàn)

11、平行，。又經(jīng)過(guò)點(diǎn)可得所求直線(xiàn)方程為，即。解法二 設(shè)與直線(xiàn) 平行的直線(xiàn)的方程為，過(guò)點(diǎn)，所以有：，解得，所求直線(xiàn)方程為。例13 已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，求邊上的高所在的直線(xiàn)方程。分析 邊上的高所在直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率互為負(fù)倒數(shù)，然后用點(diǎn)斜式求解。解 設(shè)邊上的高所在直線(xiàn)斜率為，則，又，由點(diǎn)斜式得：，即：。例14 求與直線(xiàn)平行，且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為的直線(xiàn)的方程。分析 由與直線(xiàn)為。平行聯(lián)想，可設(shè)直線(xiàn)的方程為,也可由兩截距之和為，設(shè)直線(xiàn)的方程為。解法一 設(shè)直線(xiàn)的方程為。令，得y軸上截距；令，得x軸上截距， -+（-）=，解得，所求直線(xiàn)的方程為。 解法二 設(shè)直線(xiàn)方程為，解得，所求直線(xiàn)方程為。例15 求直線(xiàn)的

12、夾角(用角度制表示)。解：由兩條直線(xiàn)的斜率得，。例16 等腰三角形一腰所在直線(xiàn)的方程是，底邊所在直線(xiàn)的方程是，點(diǎn)(2，0)在另一腰上，求這條腰所在直線(xiàn)的方程。分析 已經(jīng)已知上一點(diǎn)，故求出的斜率即可，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得到，即，而分別為直線(xiàn)到與到的角，而根據(jù)公式這兩角都可用斜率表示，由此可建立關(guān)于的方程。解 設(shè)的斜率分別為3，到的角是，到的角是，則，。因?yàn)樗鶉傻娜切问堑妊切?，所以，?，將代入得3，解得。因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)(2，0），斜率為2，寫(xiě)出其點(diǎn)斜式方程為，即：，這就是直線(xiàn)的方程。評(píng)述 此題應(yīng)用了到的角的公式及等腰三角形有關(guān)知識(shí)，并結(jié)合了直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式，要求學(xué)生注意解答的層次

13、。例17 當(dāng)為何值時(shí)，直線(xiàn)過(guò)直線(xiàn)與的交點(diǎn)?解法一 解方程組，得交點(diǎn)(4，9)。將代入得，解得。解法二 過(guò)直線(xiàn)與的交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為，整理得：y與直線(xiàn)比較系數(shù)，得，即。例18 求點(diǎn)到下列直線(xiàn)的距離：(1) ；(2) 。解 （1）根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得；（2）因?yàn)橹本€(xiàn)平行于軸，所以。評(píng)述 此例題（1）直接應(yīng)用了點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，要求學(xué)生熟練掌握；（2）體現(xiàn)了求點(diǎn)到直線(xiàn)距離的靈活性，并沒(méi)局限于公式。例19 求兩平行線(xiàn)，的距離。解法一 令代入的方程，得，所以直線(xiàn)在軸上的截距為，同理可求得直線(xiàn)在軸上的截距為。又，所以原點(diǎn)在直線(xiàn)與同一側(cè)；又由已知，可求出原點(diǎn)到直線(xiàn)與的距離為，。所以平行線(xiàn)與的距離。解法

14、二 ，又，由兩平行線(xiàn)間的距離公式：若，（不全為0)，則與之間的距離，于是得。例20 已知直線(xiàn)與夾角的平分線(xiàn)為，如果的方程是，那么的方程是 ( ) A、 B、 C、 D、解 設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為。由，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為()。又的斜率為，由直線(xiàn)到直線(xiàn)的角等于直線(xiàn)到的角，得，根據(jù)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式得的方程為 即。答 A。例21 已知、滿(mǎn)足約束條件，分別求、的值，使下列目標(biāo)函數(shù)取得最值：(1)；(2)解 (1)作出約束條件所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖一，可行域?yàn)橥刮暹呅?，目?biāo)函數(shù)為，作一組平行直線(xiàn)(為參數(shù))，由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，取得最小值；當(dāng)直線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)離原點(diǎn)最遠(yuǎn)，此時(shí)取得最大值，解方程組，

15、得點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3)。綜上所述，當(dāng)，時(shí)，取得最小值；當(dāng)，時(shí)，取得最大值。 圖一 圖二 (2)目標(biāo)函數(shù)，作一組平行線(xiàn)，如圖二所示。由圖象知，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，取得最小值；當(dāng)直線(xiàn)與邊重合時(shí)，取最大值。綜上所述，當(dāng)，時(shí)，取得最小值；當(dāng)，且時(shí)，取得最大值。 例22 某木器廠(chǎng)生產(chǎn)圓桌和衣柜兩種產(chǎn)品，現(xiàn)有兩種木料，第一種有72，第二種有56，假設(shè)生產(chǎn)每種產(chǎn)品都需要用兩種木料，生產(chǎn)一只圓桌和一個(gè)衣柜分別所需木料如下表所示。每生產(chǎn)一只圓桌可獲利6元,生產(chǎn)一個(gè)衣柜可獲利10元。木器廠(chǎng)在現(xiàn)有木料條件下,圓桌和衣柜各生產(chǎn)多少,才使獲得利潤(rùn)最多?產(chǎn) 品木料(單位)第 一 種第 二 種圓 桌018008衣 柜0090

16、28解 設(shè)生產(chǎn)圓桌只,生產(chǎn)衣柜個(gè),利潤(rùn)總額為元,那么 而。如上圖所示,作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域,即可行域。作直線(xiàn),即,把直線(xiàn)向右上方平移至的位置時(shí),直線(xiàn)經(jīng)過(guò)可行域上點(diǎn),且與原點(diǎn)距離最大,此時(shí)取最大值解方程組,得點(diǎn)坐標(biāo)(350,100)。答 應(yīng)生產(chǎn)圓桌350只,生產(chǎn)衣柜100個(gè),能使利潤(rùn)總額達(dá)到最大。例24 某養(yǎng)雞場(chǎng)有1萬(wàn)只雞,用動(dòng)物飼料和谷物飼料混合喂養(yǎng)。每天每只雞平均吃混合飼料0.5kg，其中動(dòng)物飼料不能少于谷物飼料的。動(dòng)物飼料每千克0.9元,谷物飼料每千克0.28元,飼料公司每周僅保證供應(yīng)谷物飼料50000kg，問(wèn)飼料應(yīng)怎樣混合,才使成本最低。解 設(shè)每周需用谷物飼料kg,動(dòng)物飼料k

17、g,每周總的飼料費(fèi)用為元,那么,而如下圖所示,作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域,即可行域。作一組平行直線(xiàn),其中經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)且和原點(diǎn)最近的直線(xiàn),經(jīng)過(guò)直線(xiàn)和直線(xiàn)的交點(diǎn),即,時(shí),飼料費(fèi)用最低。所以,谷物飼料和動(dòng)物飼料應(yīng)按5:1的比例混合,此時(shí)成本最低。 例25 下表給出甲、乙、丙三種食物的維生素A、B的含量及成本:甲乙丙維生素A(單位/千克)維生素B(單位/千克)成本(元/千克)400800760020064004005營(yíng)養(yǎng)師想購(gòu)這三種食物共10千克,使之所含維生素A不少于4400單位,維生素B不少于4800單位,問(wèn)三種食物各購(gòu)多少時(shí),成本最低?最低成本是多少?解 設(shè)所購(gòu)甲、乙兩種食物分別為千克

18、、千克,則丙種食物為(10-)千克。 、應(yīng)滿(mǎn)足線(xiàn)性條件為 ,化簡(jiǎn)得。作出可行域如上圖中陰影部分目標(biāo)函數(shù)為,令,作直線(xiàn),則直線(xiàn)經(jīng)過(guò)可行域中時(shí),最小,即,答 甲、乙、丙三種食物各購(gòu)3千克、2千克、5千克時(shí)成本最低,最低成本為58元。例26 某運(yùn)輸公司接受了向抗洪搶險(xiǎn)地區(qū)每天至少運(yùn)送180噸支援物資的任務(wù),該公司有8輛載重為6噸的A型卡車(chē)與4輛載重為10噸的B型卡車(chē),有10名駕駛員,每輛卡車(chē)每天往返的次數(shù)為A型卡車(chē)4次,B型卡車(chē)3次,每輛卡車(chē)每天往返的成本費(fèi)用為A型卡車(chē)320元,B型卡車(chē)504元,請(qǐng)你給該公司調(diào)配車(chē)輛,使公司所花的成本費(fèi)用最低。解 設(shè)每天調(diào)出A型卡車(chē)輛,B型卡車(chē)輛,公司所花成本為元,

19、則據(jù)題設(shè)可得如下約束條件:，即 作出可行域如下圖中的陰影部分,作直線(xiàn),把直線(xiàn)向右上方作平行移動(dòng),經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取最小值,但不是整數(shù),所以(,0)不是最優(yōu)解。繼續(xù)平移直線(xiàn),直線(xiàn)上的整點(diǎn)(5,2)應(yīng)是首先經(jīng)過(guò)的,使取最小值,。答 每天調(diào)出A型卡車(chē)5輛,B型卡車(chē)2輛,公司所花成本最低。2、 圓例1 已知兩定點(diǎn)、間的距離為2,求動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)、的距離之比為：的點(diǎn)的軌跡方程。分析 先合理建系,再對(duì)與分別進(jìn)行討論。解 先建系,設(shè),當(dāng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)為、兩點(diǎn)連線(xiàn)的中垂線(xiàn),即；當(dāng)時(shí),由,即即例2 在中,若邊上的高長(zhǎng)為2,求垂心的軌跡方程。解 頂點(diǎn)在上方或下方。當(dāng)在上方時(shí),設(shè)垂心,則當(dāng)時(shí),邊上高的斜率,由,即,即。當(dāng)時(shí),垂心與

20、點(diǎn)重合;當(dāng)時(shí), 垂心與點(diǎn)重合,而這兩點(diǎn)坐標(biāo)均適合軌跡方程,點(diǎn)在軸上方時(shí),的軌跡方程是。當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí),垂心的軌跡方程是。例3 過(guò)點(diǎn)作互相垂直的直線(xiàn)、,分別交軸正向于,交軸正向于,求線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程。分析 思路一:設(shè)中點(diǎn)為。若能把點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到、兩點(diǎn),再利用,問(wèn)題便可解決；思路二:若設(shè)斜率為,則斜率為,再建立、方程,求得、兩點(diǎn)坐標(biāo),繼而得點(diǎn)坐標(biāo)用表示,最后消去便可達(dá)到目的,在上述考慮中,要注意斜率存在與不存在兩種情況；思路三:因?yàn)椤⑺狞c(diǎn)共圓,所以,用直接法最簡(jiǎn)捷。解 方法一:設(shè)中點(diǎn)為,則、()。當(dāng)不垂直于軸時(shí),由,即,化簡(jiǎn)得。當(dāng)軸時(shí),點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4),滿(mǎn)足上述方程。故點(diǎn)軌跡方程為()。 方法二

21、:當(dāng)不垂直于軸時(shí)時(shí),設(shè)斜率為,則斜率為,得方程為,方程為,從而得,。由,消參數(shù),得。當(dāng)軸時(shí),點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4),滿(mǎn)足上述方程,故點(diǎn)軌跡方程為()。例4 已知兩點(diǎn)和,求以為直徑的圓的方程。分析一 從確定圓的條件考慮，需要求圓心和半徑。解 設(shè)圓心,則,圓的半徑，所求圓的方程為。 分析二 從圖形上動(dòng)點(diǎn)的性質(zhì)考慮,根據(jù)圓周角是直角可知。 解 設(shè)是圓上任意一點(diǎn),即,化簡(jiǎn)并整理得例5 求過(guò)兩點(diǎn),且圓心在直線(xiàn)上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。分析一 因?yàn)椤⑹菆A上的兩點(diǎn),所以圓心在弦的垂直平分線(xiàn)上,又圓心在已知直線(xiàn):上,故圓心是直線(xiàn)、的交點(diǎn)。解 由題可得線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,5),直線(xiàn)的斜率為,線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的斜率為,故線(xiàn)

22、段的垂直平分線(xiàn)方程為,即,由解得圓心的坐標(biāo)為(4,1),半徑,所求的圓的方程為。分析二 確定一個(gè)圓需且只需三個(gè)條件,本題亦可用待定系數(shù)法求解。分析三 因?yàn)閳A心在直線(xiàn)上,可設(shè),又、在圓上,故,可求出,即(4,1),所求的圓的方程為。例6 已知直線(xiàn):與圓:。(1)判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；(2)求直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)。 解 (1)分析一 聯(lián)立方程組,消去后整理得到,方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解,即直線(xiàn)與圓相交。分析二 圓心(7,1)到直線(xiàn)的距離為,故直線(xiàn)與圓相交。(2)分析一 解方程組、的坐標(biāo)求。分析二 由方程組（利用弦長(zhǎng)公式）。分析三 解由弦心距,弦長(zhǎng)之半,半徑構(gòu)成的直角三角形可得。例7 過(guò)點(diǎn)(2,4)作圓的切線(xiàn),試求切線(xiàn)的方程。解 分析一 設(shè)點(diǎn)斜式方程利用切線(xiàn)性質(zhì)求。點(diǎn)不在圓上,設(shè)方程的方程為,即。圓心(0,0)到切線(xiàn)的距離等于半徑,解之得,切線(xiàn)的方程為。當(dāng)斜率不存在時(shí),方程為,此時(shí)直線(xiàn)也和圓相切。故所求的切線(xiàn)方程為和。分析