（整理版）高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)講座考點(diǎn)54坐標(biāo)系與參數(shù)方程（解

1、加*號(hào)的知識(shí)點(diǎn)為了解內(nèi)容，供學(xué)有余力的學(xué)生學(xué)習(xí)使用一考綱目標(biāo)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化以及有關(guān)圓的極坐標(biāo)問(wèn)題；直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程以及簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題二知識(shí)梳理1極坐標(biāo)系的概念在平面上取一個(gè)定點(diǎn)o叫做極點(diǎn)；自點(diǎn)o引一條射線ox叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度、角度(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系(如圖)設(shè)m是平面上的任一點(diǎn)，極點(diǎn)o與點(diǎn)m的距離|om|叫做點(diǎn)m的極徑，記為；以極軸ox為始邊，射線om為終邊的xom叫做點(diǎn)m的極角，記為.有序數(shù)對(duì)(，)稱(chēng)為點(diǎn)m的極坐標(biāo)，記作m(，)2直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐

2、標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度如圖，設(shè)m是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x，y)和(，)，那么或3直線的極坐標(biāo)方程假設(shè)直線過(guò)點(diǎn)m(0，0)，且極軸到此直線的角為，那么它的方程為：sin()0sin (0)幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程(1)直線過(guò)極點(diǎn)：0和0；(2)直線過(guò)點(diǎn)m(a,0)且垂直于極軸：cos a；(3)直線過(guò)m且平行于極軸：sin b.4圓的極坐標(biāo)方程假設(shè)圓心為m(0，0)，半徑為r的圓方程為220cos(0)r20.幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程(1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：r；(2)當(dāng)圓心位于m(a,0)，半徑為a：2acos_；(3)當(dāng)圓心位于m，半徑為a：2asin_

3、.5參數(shù)方程的意義在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變量的函數(shù)并且對(duì)于t的每個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)m(x，y)都在這條曲線上，那么該方程叫曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t是參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù)相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程6常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程的一般形式(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)p0(x0，y0)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))設(shè)p是直線上的任一點(diǎn)，那么t表示有向線段的數(shù)量(2)圓的參數(shù)方程(為參數(shù))(3)圓錐曲線的參數(shù)方程橢圓1的參數(shù)方程為(為參數(shù))雙曲線1的參數(shù)方程為(為參數(shù))拋物線y22px的參數(shù)方程為(t為參數(shù))三考點(diǎn)逐個(gè)突破1.

4、極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化例1.設(shè)點(diǎn)a的極坐標(biāo)為，直線l過(guò)點(diǎn)a且與極軸所成的角為，那么直線l的極坐標(biāo)方程為_(kāi)解析:點(diǎn)a的極坐標(biāo)為，點(diǎn)a的平面直角坐標(biāo)為(，1)，又直線l過(guò)點(diǎn)a且與極軸所成的角為，直線l的方程為y1(x)tan ，即xy20，直線l的極坐標(biāo)方程為cos sin 20，可整理為cos1或sin1或sin1.答案cos1或cos sin 20或sin1或sin1.2.圓的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用例2在極坐標(biāo)系中，假設(shè)過(guò)點(diǎn)(1,0)且與極軸垂直的直線交曲線4cos 于a、b兩點(diǎn)，那么|ab|_.解析：注意到在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)(1,0)且與極軸垂直的直線的直角坐標(biāo)方程是x1，曲線4cos 的直角坐標(biāo)

5、方程是x2y24x，即(x2)2y24，圓心(2,0)到直線x1的距離等于1，因此|ab|22.答案23.極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用例3如圖，在圓心的極坐標(biāo)為a(4,0)，半徑為4的圓中，求過(guò)極點(diǎn)o的弦的中點(diǎn)的軌跡0，0)，建立p點(diǎn)與p的中點(diǎn)m的關(guān)系即可解設(shè)m(，)是所求軌跡上任意一點(diǎn)連接om并延長(zhǎng)交圓a于點(diǎn)p(0，0)，那么有0，02.由圓心為(4,0)，半徑為4的圓的極坐標(biāo)方程為8cos ，得08cos 0.所以28cos ，即4cos .故所求軌跡方程是4cos .它表示以(2,0)為圓心，2為半徑的圓4.高考中極坐標(biāo)問(wèn)題的求解策略例4.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到圓2cos 的圓心的距離為a2 b.

6、c. d.5.參數(shù)方程與普通方程的互化例5.把以下參數(shù)方程化為普通方程：(1)(2) (2)代入消元法消去t.解:(1)由由三角恒等式cos2 sin21, 可知(x3)2(y2)21，這就是它的普通方程(2)由t2x2，代入y5t中，得y5(2x2)，即xy50就是它的普通方程6.直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用例6.圓c：(為參數(shù))和直線l：(其中t為參數(shù)，為直線l的傾斜角)(1)當(dāng)時(shí)，求圓上的點(diǎn)到直線l距離的最小值；(2)當(dāng)直線l與圓c有公共點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍解：(1)當(dāng)時(shí)，直線l的直角坐標(biāo)方程為xy30，圓c的圓心坐標(biāo)為(1,0)，圓心到直線的距離d，圓的半徑為1，故圓上的點(diǎn)到直線l距離的最小

7、值為1.(2)圓c的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y21，將直線l的參數(shù)方程代入圓c的直角坐標(biāo)方程，得t22(cos sin )t30，這個(gè)關(guān)于t的一元二次方程有解，故4(cos sin )2120，那么sin2，即sin或sin .又0，故只能sin，即，即.7.圓錐曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用例7.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)，傾斜角為135°的直線截橢圓y21所得的弦長(zhǎng)解由條件可知直線的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，代入橢圓方程可得21，即t23實(shí)根分別為t1、t2，那么由二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得那么直線截橢圓的弦長(zhǎng)是|t1t2| .8.極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合問(wèn)題例8.在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c1的參數(shù)方程為(為參數(shù))m是c1上的動(dòng)點(diǎn)，p點(diǎn)滿(mǎn)足2，p點(diǎn)的軌跡為曲線c2.(1)求c2的方程；(2)在以o為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與c1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為a，與c2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為b，求|ab|. 解 ：(1)設(shè)p(x，y)，那么由條件知m.由于m點(diǎn)在c1