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1、階段性測試題二(第二章綜合測試題)本試卷分第I卷選擇題和第n卷非選擇題兩部分,滿分150分,時間120分鐘。第I卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,其中有且僅有一個是正確的.)1. (2018山東煙臺高一期末測試)已知向量a=(1,3), b=(1, k),若a± b,則實數(shù)k 的值是()A. k=3B. k= - 3C. k=1D. k= - 133答案C解析alb, .a b=1X 1 + 3k=0, .*=1.32. (2018山東威海一中高一期末測試)下列向量與a=(1,2)共線白是()A. (2,1)B. (1,
2、2)C. (-1, -2)D. (2, -1)答案C解析.1 X(-2)-(-1)X2=0,向量(一1, 2)與 a= (1,2)共線.3 .若平面向量 b與向量a= (1,2)的夾角是180°,且問=3加,則b等于()A. (-3,6)B. (3, - 6)C. (6, - 3)D. (-6,3)答案B解析由已知a與b方向相反,可設(shè) b=(- N 2N, (K0).又 |b|=3 乖= f+4解得43或上=3(舍去),-b=(3, -6).4 .正方形 ABCD中,AB=a、BC= b、CD = c,則ab+ c表示的向量等于() A. ADB. DBC. DAD. DC答案C解析
3、,.a與c是一對相反向量,ab+c= b= DA.5.已知 a|=2小,|b|=3, a、b的夾角為j,如圖所示,若 AB=5a+2b, AC=a-3b,且D. 8D為BC中點,則AD的長度為(15A. yC. 7答案A解析AD = 2(AC + AB) = 3a-1b|AD|2=AD AD = 9a2+1b2-3a b92= 72 + 3X 2y2X 3X玄22515V,,|AD尸萬.6. (2018廣東中山紀(jì)念中學(xué)高一期末測試)a=(2,1)、b= (3,4),則向量a在向量b方向上的投影為()B.加C. 2D. 10答案C解析向量a在向量b方向上的投影為a b a b 10a 1cosb
4、=a|a|b|b|=5=2.7,已知 AB=a+5b, BC=- 2a+8b, CD=3(a-b),則()A. A、B、D三點共線B. A、B、C三點共線C. B、C、D三點共線D. A、C、D三點共線答案解析ft _ .一 一AD= AB+ BC + CD = 2a+ 10b= 2AB,A、B、D三點共線.8.設(shè)向量 a= (sin15 ,°cos15 )、b= (cos15 ;sin15)°,則向量 a+b與ab的夾角為()B. 60A. 90°C. 45°D. 30°答案A解析.(a+ b) (a- b)= a2- b2= 0,a+b與a
5、b的夾角為90°.9.已知a=(1,2) >b=(2, 3).若向量 c 滿足(c+a)/b,c± (a+b),則 c=(7 777a.(9, 3)B(3' 9)C(7,7)d.(7, 3)答案D解析設(shè) c=(x, y), /c+ a=(x+1, y+2),又(c+a)/b,2(y+2)+3(x+ 1)=0,又 c"a+b),,3xy = 0由得x=§ y= - 3,故選D.10.給定兩個向量 a=(3,4)、b=(2, 1),且(a+xb)±( a-b),則 x 等于(A. 23B.232C.233D.234答案C解析a+xb=
6、 (3+2x,4-x), a-b= (1,5),.(a+xb)J(a-b), 3+2x+ 5(4-x)=0,._23x- 3 .11.若|a|=|b|=2, |a+b|=V7,則a與b的夾角。的余弦值為()1 1A. -2B.-C. 1D,以上都不對3答案D解析,.|a+b|=V7, .a2+2a b+b2=7,c c c.1 4 + 2 X 2 X 2cos 阡 4=7, . cos 0= &.12. (2018廣州高一期末測試)已知|OA|=1, |(DB|= 73, oAOB=0,點C在AB上,且ZAOC = 30°,設(shè) OC= mOA+nOB(m、nCR),則;等8.
7、 3D. ,3答案解析如圖,OA尸,尸OB = 0, .OAJOB.-m=3, n = 144m=3. n第n卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個小題,每空4分,共16分,把正確答案填在題中橫線上 )13.已知向量-1答案(-2a= (1, - V3),則與a反向的單位向量是3萬)x2 + y2=1解析設(shè)所求單位向量為(x, y),由:y=- .3x12,3一2x1x 2或蟲V= 2又.所求單位向量與向量a反向,所求單位向量為(一二,321AOB=90°,又.|OA|=1, |左| ="3,. AB = 2, .1.zOAC=60o,_ 。 一1又. zAOC=3
8、0 , .zOCA = 90 . AC=2.。 -1 . OC =OA + AC = OA + -AB414 . (2018商洛市高一期末測試)已知同=1, |b|=6, a(b a) = 2,則向量a與b的夾角 是.兀答案3解析設(shè)向量a與b的夾角為0, a (b- a )=aba2=2,1 X6Xcos。一 1=2,1" cos 0= 2.c兀0< 屆國.-.9=-.315 .若等邊 ABC的邊長為243,平面內(nèi)一點 M滿足cM = 6CB + 3CA,則MA MB =答案2解析如圖所示,7 f ,三 一- f 一-MA MB = (CA-CM) (CB-CM)-»
9、1 一 2 一 一 1 一 2 一=(CA gCB 3CA) (CB qCB &CA)= :5cA cb-|cA2-;5cb2+1cb cA 189369= :7CA Cb-|CA|-;5Cb| 18936= :7X(2V3)IX1-|X (2V3)2-£x (2*)2 182 936=-2.16 .已知平面向量 g 3, |d=1,印=2,(a 2份,則|2a+的值是答案,10解析a-L ( a 2 得 a (u 2 = 0, a - 2 a ,=田.又l y 2,|2 好 3+/(2oc+3j=4 02 + 4 a 邢 2=74+ 4*2+ 4 = /10.三、解答題(本
10、大題共6個大題,共74分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17 .(本小題滿分12分)(2018廣州高一期末測試)已知向量a= (4,3)、b= (-1,2).(1)求a與b的夾角的余弦值;(2)若向量a犯與2a+ b平行,求 入的值.解析(1)后=(4,3)、b= (-1,2),a b=4X(-1) + 3X2 = 2,|a| = 42+32 =5, |b|=W 1 f+22 =<5.cosa, b=韭=3=趣 a|b| 5X V525 ,(2)a- ?b=(4+ 入 32/,2a+b= (7,8).a-不與2a+b平行,. 8(4+一7(3 22)=0,1,入=2.,一,-
11、一 ,一 7 7-L 218 .(本小題滿分 12 分)已知 A(1,0)、B(0,2)、C(-3,1),且 ABAD = 5, AD =10.求點D的坐標(biāo);(2)用aB、AD表示AC.,一 、一 一一 解析(1)設(shè) D(x, y),則 AB=(1,2), AD = (x+1, y),. AB AD = x+ 1 + 2y= 5,A D2= (x+ 1)2 + y2= 10.x=2,或17=1x=- 2聯(lián)立,解得1y= 3點D的坐標(biāo)為(一2,3)或(2,1).(2)當(dāng)點D的坐標(biāo)為(一2,3)時,AB=(1,2),aD=(1,3), aC=(-2,1).、 設(shè) AC=mAB+nAD,則(2,1)
12、 = m(1,2) + n( 1,3).廠"m-n , FT .於一 AU。 1 = 2m + 3n n= 1.,.,.、, 一,、-77當(dāng)點D的坐標(biāo)為(2,1)時,設(shè)AC = pAB+qAD,則(2,1) = p(1,2) + q(3,1),-2=p+3qPp= 11 = 2p + qq = - 1. AC = AB-AD. ,, . 所以,當(dāng)點D的坐標(biāo)為(一2,3)時,AC=AB + AD, 一, ,.,.、, 一, 當(dāng)點D的坐標(biāo)為(2,1)時,AC= AB-AD. ,一,.- -一, 19 .(本小題滿分 12 分)已知點 A(1,0)、B(0,1)、C(2sin 0, cos
13、。,且 |AC|=|BC|,求 tan 0 的值.解析八(1,0)、B(0,1)、C(2sin 0, cos,. AC= (2sin 0 1, cos九 EBC= (2sin 0, cos。一 1),一 心 又.伊:舊。,. |AC|2= |B0|2, . <2sin 0- 1)2+ cos2 0= (2sin 0)2+ (cos。一 1)2,化簡,得 2sin 0= cos 0.若cos 0= 0,則sin 0= 土 ,則上式不成立. rr1. cos 0*0,即 tan 0=鼻.20 .(本小題滿分12分)(2018河南南陽高一期末測試)已知向量a、b滿足|a |=|b|=2, a
14、與b的夾角為120° ,求:(1)|a+b|&|ab|;(2)向量a+b與ab的夾角.解析(1)|a+ b|2= a2 + 2a b+ b2= 4+2X 2X 2Xcos120 + 4= 4+2X 2X 2X ( 2)+4=4,|a+b|= 2.|a- b|2=a22a b+ b2=42X 2X 2Xcos120 °+ 41=42X 2X 2X ( g+4= 12,(a-b|= 2>/3.(2)(a+b) (a b)= a2 b2=4 4=0, (a+ b) _l_(a b),a+b與ab的夾角為90°. .一 f. ;_L_一 、21 .(本小題滿
15、分 12 分)已知向量 OA=(3, 4)、OB=(6, 3)、OC=(5-m, - 3-m).若A、B、C三點共線,求實數(shù) m的值;(2)若/ ABC為銳角,求實數(shù) m的取值范圍. .一 二 一 一 一解析(1) ,一向sOA = (3 , 4)、OB = (6, 3)、OC = (5 m, 3 m),1. AB=(3,1), AC=(2-m,1-m),由二點共線知 3(1 -m) = 2-m,解得 m= 2 fY(2)由題設(shè)知 BA = ( 3, - 1), BC= ( 1 m, m),. ABC 為銳角, . BA B=3+3m+m>0,解得 m>-1.一. .13 11又由(1)可知,當(dāng)m=2時,A、B、C二點共線,故 mq 疝-)L(25 +) 22 .(本小題滿分14分)已知平面上三個向量 a、b c,其中a=(1,2).(1)若|c|= 2>/5,且 c/1 a,求 c 的坐標(biāo);5(2)若|b|= 2,且a+2b
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