《圖形的相似》全章復(fù)習(xí)與鞏固知識(shí)講解（提高）

1、 讓更多的孩子得到更好的教育?圖形的相似?全章復(fù)習(xí)與穩(wěn)固-知識(shí)講解提高 責(zé)編：常春芳【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、了解比例的根本性質(zhì)，線段的比、成比例線段；2、通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，理解相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等、 對(duì) 應(yīng)邊成比例、周長(zhǎng)的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用這些性質(zhì)和判定方法解決生活中的一些實(shí)際問題；4、了解圖形的位似，能夠利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小，在同一直角坐標(biāo)系中，感受位似變換后點(diǎn)的坐標(biāo)變化；5、結(jié)合相似圖形性質(zhì)和判定方法的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)推理能力，開展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力，以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，

2、運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)解決問題的能力.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似圖形及比例線段1相似圖形：在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similar figures).要點(diǎn)詮釋： (1) 相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形； (2) “全等是“相似的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同且“大小相同時(shí)，兩 個(gè)圖形全等；2.相似多邊形如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形要點(diǎn)詮釋：1相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)2相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比.3. 比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我

3、們就說這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段要點(diǎn)詮釋：1假設(shè)a:b=c:d ，那么ad=bc；d也叫第四比例項(xiàng)2假設(shè)a:b=b:c ，那么 =acb稱為a、c的比例中項(xiàng)4.平行線分線段成比例： 根本領(lǐng)實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.要點(diǎn)二、相似三角形1. 相似三角形的判定:判定方法一：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.判定方法二：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)詮釋：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，假設(shè)有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等

4、，那么這兩個(gè)三角形相似.判定方法三：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)詮釋：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必須是兩邊的夾角，否那么，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.判定方法四：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.2. 相似三角形的性質(zhì)：1相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；2相似三角形中的重要線段的比等于相似比； 相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.要點(diǎn)詮釋：要特別注意“對(duì)應(yīng)兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.(3) 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；4相似三角形面積的比等于相似比的平方。3.相似多邊形的性質(zhì)： 1相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相

5、等，對(duì)應(yīng)邊的比相等2相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比3相似多邊形的面積比等于相似比的平方要點(diǎn)三、位似1.位似圖形定義: 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心2.位似圖形的性質(zhì):1位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；2) 位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比； 3位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.要點(diǎn)詮釋：(1位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.2位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律:在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似

6、圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.要點(diǎn)四、黃金分割1.定義：如圖，將一條線段AB分割成大小兩條線段AP、PB，假設(shè)小段與大段的長(zhǎng)度之比等于大段的長(zhǎng)度與全長(zhǎng)之比，即此時(shí)線段AP叫作線段PB、AB的比例中項(xiàng)，那么P點(diǎn)就是線段AB的黃金分割點(diǎn)黃金點(diǎn)，這種分割就叫黃金分割2.黃金三角形：頂角為36°的等腰三角形，它的底角為72°，恰好是頂角的2倍，人們稱這種三角形為黃金三角形黃金三角形性質(zhì)：底角平分線將其腰黃金分割要點(diǎn)五、射影定理在RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，ABCACDCBD“角角； ； 射影定理； 等積【典型例題】類型一、相似三角形1. ：如圖，ABC

7、=CDB=90°，AC=a，BC=b，當(dāng)BD與a、b之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，這兩個(gè)三角形相似？【答案與解析】AC=a，BC=b， AB=，當(dāng)ABCBDC時(shí)， ,即.當(dāng)ABCCDB時(shí)， ，即.【總結(jié)升華】相似三角形中未明確對(duì)應(yīng)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)邊時(shí)，要注意分類討論.2. 如圖，在ABC中，C90°，將ABC沿直線MN翻折后，頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)D處，MNAB，MC6，NC，那么四邊形MABN的面積是 .A B C D【答案】C；【解析】由MC6，NC，C90°得SCMN=，再由翻折前后CMNDMN得對(duì)應(yīng)高相等；由MNAB得CMNCAB且相似比為1:2，故兩者的面積比為1:

8、4，從而得SCMN：S四邊形MABN=1:3，應(yīng)選C.【總結(jié)升華】此題綜合考查了直角三角形的面積算法、翻折的性質(zhì)、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似圖形的面積比等于相似比的平方等一些類知識(shí)點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)豐富；考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)來解決問題的能力.難度較大.舉一反三【變式】如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直線MN對(duì)折，使A、C重合，直線MN交AC于O.1求證：COMCBA； 2求線段OM的長(zhǎng)度.【答案】1證明： A與C關(guān)于直線MN對(duì)稱，ACMN，COM=90°，在矩形ABCD中，B=90°，COM=B ，又ACB=ACB，COMCBA ，2在RtCBA中，A

9、B=6，BC=8，AC=10 ，OC=5，COMCBA， ，OM=. 類型二、相似三角形的綜合應(yīng)用3. 3.2021上海，如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，且OE=OB，連接DE1求證：DEBE；2如果OECD，求證：BDCE=CDDE【答案與解析】證明：1四邊形ABCD是平行四邊形，BO=BD，OE=OB，OE=BD，BED=90°，DEBE；2OECDCEO+DCE=CDE+DCE=90°，CEO=CDE，OB=OE，DBE=CDE，BED=BED，BDEDCE，BDCE=CDDE【總結(jié)升華】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形

10、的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟記定理是解題的關(guān)鍵4. ABC是等腰直角三角形，A = 90°，D是腰AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過C作CE垂直于BD或BD的延長(zhǎng)線，垂足為E，如圖1假設(shè)BD是AC的中線，求的值；2假設(shè)BD是ABC的角平分線，求的值；3結(jié)合1、2，試推斷的取值范圍直接寫出結(jié)論，不必證明，并探究的值能小于嗎？假設(shè)能，求出滿足條件的D點(diǎn)的位置；假設(shè)不能，說明理由來源:Zxxk.ComEDCABEDCAB 【答案與解析】解： 設(shè)AB = AC = 1，CD = x，那么0x1，BC =，AD = 1x在RtABD中，BD2 = AB2 + AD2 = 1 +1x2 = x22x +

11、 2由可得 RtABDRtECD， ， 即 ，從而 ， ，0x1，1假設(shè)BD是AC的中線，那么CD = AD = x =，得 2假設(shè)BD是ABC的角平分線，那么 ，得 ，解得 ， 3.假設(shè)，那么有 3x210x + 6 = 0，解得 0，1， ，說明隨著點(diǎn)D從A向C移動(dòng)時(shí)，BD逐漸增大，而CE逐漸減小，的值那么隨著D從A向C移動(dòng)而逐漸增大【總結(jié)升華】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，此題從中線，角平分線以及中線與角平線相結(jié)合的問題來考查，是一道考查全面的好題舉一反三：【變式】2021湘潭如圖，在RtABC中，C=90°，ACD沿AD折疊，使得點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處1求證：BDEB

12、AC；2AC=6，BC=8，求線段AD的長(zhǎng)度【答案與解析】證明：1C=90°，ACD沿AD折疊，C=AED=90°，DEB=C=90°，B=B，BDEBAC；2由勾股定理得，AB=10由折疊的性質(zhì)知，AE=AC=6，DE=CD，AED=C=90°BE=ABAE=106=4，在RtBDE中，由勾股定理得，DE2+BE2=BD2，即CD2+42=8CD2，解得：CD=3，在RtACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，即32+62=AD2，解得：AD=， .5. 如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，AD=2，BC=4，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，MBC是等邊三角形

13、1求證：梯形ABCD是等腰梯形2動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段BC和MC上運(yùn)動(dòng)，且MPQ=60°保持不變?cè)O(shè)PC=x，MQ=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式【答案與解析】1是等邊三角形是中點(diǎn)， 梯形是等腰梯形2在等邊中，又， ， ， ， .【總結(jié)升華】利用相似三角形得到的比例式，構(gòu)建線段關(guān)系求得函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來解題.舉一反三【變式】如圖，在ABC中，AB=AC=1，點(diǎn)D,E在直線BC上運(yùn)動(dòng)設(shè)BD=x, CE=y. (l如果BAC=30°，DAE=105°，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2如果BAC=,DAE=,當(dāng), 滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，(l中y與x之間的函數(shù)關(guān)系

14、式還成立？試說明理由【答案】解：(l在ABC中，AB=AC =1，BAC=300,ABCACB=750,ABDACE=1050, DAE=1050，DAB+CAE=105°-30°=750,又DAB+ADB=ABC=750,CAEADB，ADBEAC.，即.(2當(dāng)、滿足關(guān)系式時(shí)，函數(shù)關(guān)系式成立. 理由如下：要使，即成立，須且只須ADBEAC. 由于ABDECA，故只須ADBEAC. 又ADB+BAD=ABC=, EAC+BAD=-, 所以只=-，須即. 類型三、黃金分割6.如圖，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張正方的紙片ABCD，先折出BC的中點(diǎn)E，再折出線段AE，然后通過折疊使EB落到線段EA上，折出點(diǎn)B的新位置B，因而EB=EB類似地，在AB上折出點(diǎn)B使AB=AB這是B就是AB的黃金分割點(diǎn)請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論【答案與解析】設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2， E為BC的中點(diǎn)，BE=1AE=，又BE=BE=1，AB=AE-BE=-1，AB=AB=-1AB：AB=(-1):2點(diǎn)B是線段AB的黃金分割點(diǎn)【總結(jié)升華】此題考查了黃金分割的應(yīng)用，知道黃金比并能求出黃金比是解題的關(guān)鍵舉一反三【變式】如圖，ABC中，D是AC邊上一點(diǎn)，A=36°，C=72°，ADB=108°求證：1AD=BD=BC；