全國高等教育自學(xué)考試工程數(shù)學(xué)(線性代數(shù))2006年1月——2011年試卷02198

1、2011 年 10 月全國自考工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)模擬試卷（一）、單項(xiàng)選擇題（本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分）在每小題列出的四 個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、 多選或未選均無分。1.設(shè) A 是 k 1 矩陣，B 是m n矩陣，如果乘積ACTB有意義，則C應(yīng)是（）A.k n 矩陣B.k m 矩陣C.1m 矩陣D.m1 矩陣2.若行列式0,則a()A.2B.3C.2D.3答案:B3.設(shè) A 為 n 階方陣，那么有（）A.12A2A1B.12A1A1211C.det 2Adet A2D.det 2A12det A答案:B4.設(shè)a,02,L ,

2、am均為 n 維向量A.若對(duì)任一組不全為零的數(shù)kmam0，a答案:D7.設(shè)3階方陣 A 有一個(gè)特征值為2，則A2必有一個(gè)特征值為（）B.若a, a, L ,am線性相關(guān)，則對(duì)任意一組不全為零的數(shù)ki,k2, ,km，都C.若k1a k2a2L kmam0，則a,a丄,am線性相關(guān)D.若向量組a,a,L ,冷m 3中任意兩個(gè)向量都不成比例，則a,a丄,術(shù)線 性無關(guān)答案：A5.設(shè)向量組a,a,a線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是（）A.aa,aa,aaB.aa,a2a,a3aC.aa22a,a2a23a,a3a4aD.a,aa2a3, 2a3 a 6a310 1答案：B 由于a a a2a q3

3、a a a a010，且矩1231 0 1陣0 1 0為滿秩矩陣，故a a,a22a,a3a線性無關(guān).1 2 36.設(shè) n 元齊次線性方程組 Ax 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系為a,a,a,a，則下列向量組中為 Ax 0 的基礎(chǔ)解系的是（）A.aa,aa,aa,aaB.aa,aa,aa,aaC.a,aa,aaa,aa a aD.aa,aa,aa,aa答案：C.有kak2a2L1A.8B.4C. 4D.8答案：C.8.二次型f x1, x22x15x；6x-|X2的規(guī)范型是（）A.y2y2B.y；C.yf y；D.yf y；23答案：Cf的矩陣 A，易用順序主子式判定f正定,35范型中的兩個(gè)系數(shù)都為 1,

4、于是只有選項(xiàng) C 正確.9.設(shè) A 為 nn 2階矩陣，且 A2E，則必有（）A.A 的行列式等于 1B. A 的逆矩陣等于 EC. A 的秩等于 nD. A 的特征值均為 1答案：C10. 已知矩陣 A 與對(duì)角矩陣DA.AB.DC.ED.E答案：C由于 A 與對(duì)角矩陣相似，從而存在可逆陣 P，使 D P1AP，f的規(guī)1 0 0010相似，則 A2（）A PDP,A PDP1PDP1PD2P1E.、填空題（本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。，則A1答案:8kx1X2X3012.若方程組X1kx2X30有非零解，則常數(shù)k.2x1

5、X2X30答案：4或113.設(shè)a2,3,5 ,a3, 7, 8 ,a1,6, 1 ,則a a3a答案:2,28,1002214.已知0 為矩陣A222的 2 重特征值，則A 的另一個(gè)特征值為.222答案：42222解析：因?yàn)镋 A22 20240，222222故120,34.X4答案：211.若A15.齊次線性方程組12 3 0 冷1111x3的基礎(chǔ)解系中所含向量個(gè)數(shù)為1答案：1解析：因AB O,所以 B 的兩個(gè)列向量都是齊次線性方程組 Ax 0 的解，而 B 的兩個(gè)列向量是線性無關(guān)的，故 Ax 0 的基礎(chǔ)解系中至少含 2 個(gè)向量，而基礎(chǔ)解3r A ,所以 3 r A 2,即 r A 1,另外

6、2 017. 設(shè) 2 階矩陣 A，則 A A2 3答案：6E1218. 設(shè) A,則 A22A E10答案:1 1 0122，則二次型XTAX025答案：X12 x?5 X32 X|X24 X2X320.已知 2 階方陣 A 的特征值為12,23,則 det A2.答案：36解析：由特征值的性質(zhì)知A2的全部特征值為 4，9,故 det A24 9 36.三、計(jì)算題（本大題共 6 小題，每小題 9 分，共 54 分）10 1221310 1 0 1 .16.設(shè)矩陣A43O,但AB O,其中B1 3則矩陣 A 的秩 r A系中所含向量個(gè)數(shù)為 n r AA4 3Or A 1,故 r A 1.19.若矩

7、陣A21.計(jì)算行列式D13421 01 210121 0 120 11501150 1 15解：D31.0 10100160 0 160354002190 0 03122.已知矩陣A1 1,B11,矩陣 X 滿足AXBX,求 X .1 002解：由 AX BXEA XBX1E AB，211111111 1113即 X11 023120231323.設(shè)向量組a1,1,1 ,a1,2,3,a4,5,t ，冋 t 取何值時(shí)，該向量組線性相關(guān)？何時(shí)線性無關(guān)？并在線性相關(guān)時(shí)把a(bǔ)表示成a,a的線性組合.1 14114114解：由Aa a a1 2501 1011，知1 3t01 t 500 t 6a,a,

8、a線性相關(guān)（線性無關(guān)）t 6 t6 .1 0 3當(dāng) t 6 時(shí)，由A0 11 ,得a3aa.0 0 024. 設(shè)二次型f捲必氏axj ax；ax 2x22x3Xi2x2X3，確定常數(shù) a 的最大取值范圍使該二次型正定.a1 0解：二次型f對(duì)應(yīng)的矩陣 A 的特征值為a 1,a 1,a 2.當(dāng)時(shí)，即 a 1a 2 0時(shí)，二次型f正定.5 0 025. 對(duì)矩陣A 0 1 3，求一個(gè)正交矩陣 P，使 P1AP PTAP 為對(duì)角矩陣.0 315420,500解：由det E A013031得 A 的特征值15,24,3200 00 1由 5E A0430 003 40 0G 1,0,0T；同理可得 屬于

9、TT& 0,1,1 , &0, 1,101,得屬于i5的特征向量024,32的特征向量分別為其單位特征向量分別為e2? 0,1,1T,e3TJ0, 1,1故所求正交矩陣可取為e1e20121、2012，12它使 P1AP PTAP2x1x2X3X426.求方程組X23x25X2X33X35X3X52X53X44X55X47X5X4的基礎(chǔ)解系和通解.00解：對(duì)系數(shù)矩陣 A 作初等行變換:2111 111112333344555 7111122111 13333 44555 7111120333 50666 100999 155420,111121000由此知方程組的用自由未知量表

10、示的通解為:13%55 x4_卷43X3,X4,X5任意，X2X3取X4X50,X31，得ET10,1,1,0,0，取X3X50, X41，得ET20,1,0,1,0，取X3X40,X53，得E31, 5,0,0,3T故方程組的通解為xk1;弓k2E2k3E3.四、證明題（本題 6 分）表示.證明：a可由co線性表示.證明：由條件知存在常數(shù)s,t（s,t不全為零）使得aSO2ta,因a不能由a,a線性表示，故上式中的 t 必為零 （否則 t 0,則有 ta3asa afa | a, 這與a不能由a,a線性表示矛 2011年 10 月全國自考工程數(shù)學(xué)一線性代數(shù)模擬試卷（一）一、單項(xiàng)選擇題（本大題

11、共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分）在每小題列出的四 個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、 多選或未選均無分。1.設(shè) A 是 k 1 矩陣，B 是m n矩陣，如果乘積ACTB有意義，則C應(yīng)是（）A.k n 矩陣B.k m 矩陣100013001 1 233 500 000 053001353，0027.設(shè)a,02,a均為 n 維向量，已知a可由a,a線性表示,a不能由a,a線性C.l m 矩陣D.m l 矩陣答案：D2.若行列式0,則a()A.2B.3C.2D.3答案:B3.設(shè) A 為 n 階方陣，那么有（）A.2A12A1B.12A1A1A2C.

12、det 2A1Set A2D.det 2A12det A答案:B4.設(shè)a,a,L,am均為 n 維向量A.若對(duì)任一組不全為零的數(shù)a1則下列結(jié)論中正確的是（）則a,a 丄，am線性無關(guān)k1, k2, km,都有k1ak2a Lkmam0,B.若a,a,L ,am線性相關(guān),則對(duì)任意一組不全為零的數(shù)ki,k2, ,km，都C.D.若k1ak2a2L若向量組a,a丄性無關(guān)答案：Akmam0,貝Ua,a丄，am線性相關(guān),amm 3中任意兩個(gè)向量都不成比例，則a,a,L ,5.設(shè)向量組ai, a, a線性無關(guān)，貝 U 下列向量組中線性無關(guān)的是（）A.aa,a.a,a aB.aa,a2a,a3aC.aa2a

13、,a2a23a,a3a4aD.a,aa2a, 2a3a.6a101答案:B由于aaa2aa3 逅a a a010，且矩12310 1陣01 0為滿秩矩陣，故a a,a2a,a3a線性無關(guān).12 36.設(shè) n 元齊次線性方程組 Ax 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系為a, a, a,a，則下列向量組中 為 Ax0 的基礎(chǔ)解系的是（）A.aa,aa,aa4,aaB.aa,a a,aa,aaC.a,aa,aaa,aa a aD.aa,a a,aa,aa答案：C.7. 設(shè)3階方陣 A 有一個(gè)特征值為2，則A2必有一個(gè)特征值為（）A.8B.4C. 4D.8答案：C.8. 二次型f x1, x22x；5x26x1x2的

14、規(guī)范型是（）A2 2A.yiy2B.y2C.yi2y；D.yi2y223答案：Cf的矩陣 A，易用順序主子式判定f正定，故f的規(guī)35范型中的兩個(gè)系數(shù)都為 1,于是只有選項(xiàng) C 正確.9.設(shè) A 為 nn 2階矩陣，且A2E，則必有（）A. A 的行列式等于 1B. A 的逆矩陣等于 EC. A 的秩等于 nD. A 的特征值均為 1答案：C10 010.已知矩陣 A 與對(duì)角矩陣D010相似，則 A2（）00 1A.AB.DC.ED.E答案：C由于 A 與對(duì)角矩陣相似，從而存在可逆陣 P，使 D P1AP，1A PDP，A；PDP1PDP1PD；P1E.二、填空題（本大題共 10 小題，每小題

15、2 分，共 20 分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填 上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。45011.若A670，則A1.008答案：3222的 2 重特征值，則2答案:答案：223則矩陣 A 的秩 r A4答案：1解析：因AB O,所以 B 的兩個(gè)列向量都是齊次線性方程組 Ax 0 的解，而 B 的00_8kx1XX3012.若方程組X1kx2X30有非零解，則常數(shù)k.2x1XX30答案：4或113.設(shè)a2,3, 5 ,a3, 7, 8 ,a1,6, 1 ,則aa2303答案:2,28,1014.已知 0 為矩陣A 的另一個(gè)特征值為.解析:因?yàn)?0,34.115.齊次線性方程組1XX30的基礎(chǔ)解系中所含向量

16、個(gè)數(shù)為.16.設(shè)矩陣A43O,但ABO,其中兩個(gè)列向量是線性無關(guān)的，故 Ax 0 的基礎(chǔ)解系中至少含 2 個(gè)向量，而基礎(chǔ)解系中所含向量個(gè)數(shù)為 n r A 3 r A ,所以 3 r A 2,即 r A 1,另外A4 3Or A 1,故 r A 1.2017. 設(shè) 2 階矩陣 A，則 A A23答案：6E12218. 設(shè) A,則 A22A E1 0答案:11019.若矩陣A 122，則二次型XTAX025答案：Xr2 x?5 X32 X|X24 X2X320.已知 2 階方陣 A 的特征值為12,23,則 det A2.答案：36解析：由特征值的性質(zhì)知A2的全部特征值為 4, 9,故 det A

17、24 9 36.三、計(jì)算題（本大題共 6 小題， 每小題 9 分，共 54 分）101221.計(jì)算行列式D2131010113421 0121 0121 0 120 1150 1150 1 15解：D31.0 1010 0160 0 1603540 02190 0 03122.已知矩陣A1 1,B1 1,矩陣 X 滿足AXBX,求 X1 002解：由 AX BXEAX BX1E A B2111 11111 11 13即 X1102312023 130000 10由5E A0430 0103 40 00eiT1,0,07同理 可得屬 于2，得屬于15的特征向量23. 設(shè)向量組a1,1,1 ,a1

18、,2,3 ,a4,5,t ,問 t 取何值時(shí)，該向量組線性相最大取值范圍使該二次型正定時(shí)，二次型f正定.50 00 13，求一個(gè)正交矩陣 P，使 P1AP0 315001 14114114解：由Aa a a1 2501 1011，知1 3t01 t 500 t 6a,a2,a3線性相關(guān)（線性無關(guān)）t 6 t6 .1 0 3當(dāng) t 6 時(shí)，由A0 11 ,得a3aa.關(guān)？何時(shí)線性無關(guān)？并在線性相關(guān)時(shí)把a(bǔ)表示成a, a的線性組合.0 0 024.設(shè)二次型f x1, x2,x32ax12 2ax2ax32XJX22x3X12x2X3，確定常數(shù) a 的解：二次型f對(duì)應(yīng)的矩陣 A 的特征值為a1,a 1

19、,a0時(shí)，即 a 1025.對(duì)矩陣APTAP 為對(duì)角矩陣.0,1,1T, &0, 1,1T解：由det E A013031得 A 的特征值15,24,32.故所求正交矩陣可取為P 倉e350 0它使 P1AP PTAP04 0.00 22x1x2x3x4x5026. 求方程組*X2 X3 X4 2X5 0的基礎(chǔ)解系和通解3 為 3X23X33x44X504X15X25X35X47X50解：對(duì)系數(shù)矩陣 A 作初等行變換:2111 111112111121111221111033353333 4333340666104555 74555709991513X55X43X3,X4, X5任意,

20、X2X3X5取X4X50,X31，得& 0,1,1,0,0T,取X3X50, X41，得T& 0,1,0,1,0 ,其單位特征向量分別為e2T0,1,1,e3.20,T1,1111120333 50 000 00 000 01111250 1 1 1 -30000 00000 0110 0 0350 1 1 1 30 000 00 000 0故方程組的通解為x ki&k2& k3E.四、證明題（本題 6 分）27. 設(shè)a,a,a均為 n 維向量，已知a可由ca,a線性表示，但a不能由a,a線性 表示.證明：a可由a線性表示證明：由條件知存在常數(shù)s,t（s,t不全

21、為零）使得asata,因a不能由a,a線性表示，故上式中的 t 必為零（否則 t 0,則有 ta asa a1a | a, 這與a不能由a,a線性表示矛盾），于是得asa盾），于是得asa2011 年10 月全國自考工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)模擬試卷（一）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分）在每小題列出的四 個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、 多選或未選均無分。1.設(shè) A 是 k 1 矩陣，B 是m n矩陣，如果乘積ACTB有意義，則C應(yīng)是（）A.2B.3C.2D.3答案：B3. 設(shè) A 為 n 階方陣，那么有（）取X3X40,X53

22、，得&T1, 5,0,0,3A.k n 矩陣B.k m 矩陣C.lm 矩陣D.ml 矩陣答案:D1 22.若行列式1325520,則a()aA.2A12A1B.2A1-A12111C.det 2A det A2f1D.det 2A 2det A答案：B4. 設(shè)a,2丄,am均為 n 維向量，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若對(duì)任一組不全為零的數(shù) 僉也，,km,都有 Kak?aL kmam0,則a,a丄，am線性無關(guān)B.若a,a, L ,am線性相關(guān)，則對(duì)任意一組不全為零的數(shù) 心*2, ,km，都有Kak2aL kmam0C.若&akzaL kmam0,貝Ua,a丄，am線性相關(guān)D.

23、若向量組a,a, L ,amm 3中任意兩個(gè)向量都不成比例，則a,a丄，am線性無關(guān)答案：A5. 設(shè)向量組a,a,a線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是（）A.aa,aa,aaB.aa,a2a,a3aC.aa2a,a2oc23a3,a3a?4a1 0 1答案：B 由于a a a2a a3a a a a0 10，且矩1231 0 1陣0 1 0為滿秩矩陣，故a a,a22a,a3a線性無關(guān).12 3D.a,aa2a, 2a3 a 6a6.設(shè) n 元齊次線性方程組 Ax 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系為a, a, a,a，則下列向量組中為 Ax 0 的基礎(chǔ)解系的是（）A.aa,aa,a況4,04aB.aa,a

24、a,aa,aaC.a,aa,aaa,aa a aD.aa,aa,aa,aa答案：C.7. 設(shè)3階方陣 A 有一個(gè)特征值為2，則A2必有一個(gè)特征值為（）A.8B.4C. 4D.8答案：C.8. 二次型f x1, x22x15x26x1x2的規(guī)范型是（）A.yi2逼B.y!C.yf y；D.yi2y223答案：Cf的矩陣 A，易用順序主子式判定f正定，故f的規(guī)35范型中的兩個(gè)系數(shù)都為 1,于是只有選項(xiàng) C 正確.9. 設(shè) A 為 nn 2階矩陣，且 A2E，則必有（）A.A 的行列式等于 1B. A 的逆矩陣等于 E答案：2,28,10C. A 的秩等于 nD.A 的特征值均為 1答案：C10.

25、已知矩陣 A 與對(duì)角矩陣DA.AB.DC.ED.E答案：C 由于 A 與對(duì)角矩陣相似，從而存在可逆陣 P，使 D P1AP ,1A PDP,A2PDP1PDP1PD2P1E.二、填空題（本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。45011.若A670，則A1.00875 022答案：3200018kx1X2X3012.若方程組X1kx2X30有非零解，則常數(shù)k.2x1X2X30答案：4或113.設(shè)a2,3, 5 ,a3, 7, 8 ,a1,6, 1 ,則aa23a1 0 02010相似，貝 u A ()0 0 1答案：110 2214

26、.已知0 為矩陣A2 22的 2 重特征值，則 A 的另一個(gè)特征值為.2 22答案： 4222 2解析： 因?yàn)镋 A222 0240，222 22 2故120,34.x115.齊次線性方程組2 3 0X2的基礎(chǔ)解,系中所含向量個(gè)數(shù)為.1 1 1 1X30X4答案：21216.設(shè)矩1陣A43O,但ABO,其中B13則矩陣 A 的秩 r A .14答案：1解析：因AB O,所以 B 的兩個(gè)列向量都是齊次線性方程組 Ax 0 的解，而 B 的 兩個(gè)列向量是線性無關(guān)的，故 Ax 0 的基礎(chǔ)解系中至少含 2 個(gè)向量，而基礎(chǔ)解 系中所含向量個(gè)數(shù)為 n r A 3 r A ,所以 3 r A 2,即 r A

27、 1,另外A4 3Or A 1,故 r A 1.2 017. 設(shè) 2 階矩陣 A，則 A A .2 3答案：6E1 218. 設(shè) A，則 A22A E .1 0線性相關(guān)（線性無關(guān)）t 6 t 6 .11019.若矩陣A122，則二次型xTAx025答案：X；2x；5xf2x24x2X320.已知 2 階方陣 A 的特征值為i2,23,則 detA答案：36解析：由特征值的性質(zhì)知A2的全部特征值為 4, 9,故 det A24 9 36.解：由 AXG,a,a10121012101201150115011501010016001603540021900031解：D31.114114114解：由A

28、TTTaaa125011011，知13t01t 500 t 6關(guān)？何時(shí)線性無關(guān)？并在線性相關(guān)時(shí)把a(bǔ)表示成a,a的線性組合.三、計(jì)算題（本大題共6 小題，每小題 9 分，共 54 分）21.計(jì)算行列式D120101131304211222.已知矩陣,B,矩陣 X 滿足AXX,求 X .23.設(shè)向量組1,1,1 ,a1,2,34,5,t問 t 取何值時(shí)，該向量組線性相110221當(dāng) t 6 時(shí)，由A 0031 ,得a3 aa2.024.設(shè)二次型fX1,X2,X3ax；axIax；2x1x22X3X12X2X3，確定常數(shù) a 的最大取值范圍使該二次型正定.解：二次型f對(duì)應(yīng)的矩陣 A 的特征值為a1,

29、a 1,a0時(shí)，即 a 10時(shí),二次型f正定.525.對(duì)矩陣A 00,求一個(gè)正交矩陣P，使 P1APPTAP為對(duì)角矩陣.解：由det E得 A 的特征值5,4,2.由 5E A15的特征向量ei1,0,0T；同理可4,的特征向量分別為T0,1,1 , & 0, 1,1其單位特征向量分別為e2T0,1,1，es0,T1,1故所求正交矩陣可取為Peie2e3012111022500它使 P1AP PTAP0 400 0 22XiX2X3X4X5026.求方程1組X1X2X3X42X50的基礎(chǔ)解系和通解3為3X23X33X44X504x-i5x25x35X47X50解： 對(duì)系數(shù)矩亍陣A 作初

30、等行變換 :2111 111112111121111221111033353333 4333340666104555 745557099915由此知方程組的用自由未知量表示的通解為:四、證明題（本題 6 分）3X55X4X5435X3,X4,X5任意,X2X3取X4X50,X31, 得ET10,1,1,0,0取X3X50, X41, 得ET20,1,0,1,0取X3X40,X53, 得E31, 5,0,0,3故方程組的通解為Xk1;弓k2E2k3E3.1T111120333 50 0 0 0 011112103153，00001 0 00 1 10 0 00 0 0127.設(shè)a,02,a均為

31、n 維向量，已知a可由a,a線性表示，但a不能由a,a線性表示.證明：a可由a線性表示.1證明：由條件知存在常數(shù)s,t（s,t不全為零）使得aSata,因a不能由a, a1 s線性表示，故上式中的 t 必為零（否則 t 0,則有 ta aSa a - d - a2,這與a不能由a,a線性表示矛盾）,于是得asa全國 2006 年 1 月高等教育自、人-4 、 r學(xué)考試線性代數(shù)試題課程代碼：02198試卷說明：AT表示矩陣 A 的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣 A 的伴隨矩陣，E 是單位矩陣，|A|表示方陣 A 的行列式，r（A）表示矩陣 A 的秩。一、單項(xiàng)選擇題（本大題共 10 小題，每小題 2 分，

32、共 20 分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。1 設(shè) A 是 3 階方陣，且|A|=2，則|-A|=（）A. -6B . -2C . 2D . 60202.設(shè) A=003 :，則 A 的伴隨矩陣 A*= ；（)4000 060 120A .12 00B .0080 806000120006C .008D .12006000803秩 A 是 n 階方陣，且 A 的第一行可由其余 n-1 個(gè)行向量線性表示，則下列結(jié) 論中錯(cuò)誤的是（）D . A 的 n-1 階余子式全為零4.設(shè) A 為 n 階方陣，AB=0，且 B 工 0,則

33、（）A.A 的列向量組線性無關(guān)C.A 的列向量組線性相關(guān)5.設(shè)a1、a2是非齊次線性方程組Ax=b則 Ax=b 必有一個(gè)解是（)A.1 2B .C.1 2D .2B. A=0D . A 的行向量組線性無關(guān)的解，B是對(duì)應(yīng)齊次方程組 Ax=0 的解,1 21 21 233A. r(A) n-1性表示B . A 有一個(gè)列向量可由其余列向量線C. |A|=0關(guān)，則 Ax=b 的通解可表示為 x=010. 設(shè) 3 階實(shí)對(duì)稱矩陣 A 的特征值分別為 1, 0, -1，則(A.|A|M0B. |A|=0C.A 負(fù)定D . A 正定二、填空題(本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空

34、格中填上正確答案.錯(cuò)填、不填均無分。11.按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，則排列54123 的逆序數(shù)=3212.0 124則秩(6.(A.C.7.A.C.設(shè)齊次線性方程組 Ax=0 )r(A)=0r(A)=2設(shè) A 與 B 等價(jià)，A 與 B 合同|A|=|B|8. 已知 A 相似于人的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)解向量，當(dāng) A 是 3 階方陣時(shí),B. r(A)=1D. r(A)=3,貝 U|A|=A.C.-209. 設(shè)是可逆陣 A 的一個(gè)特征值，則C.120B. A 與 B 相似D.r(A)=r(B)B.D.-12A-2必有一個(gè)特征值是(D .2013. 設(shè) A=,則 A-1=14.設(shè)1= (1,2, 4),

35、2=(-1,-2,y)且1與2線性相關(guān)，則y=15.設(shè)1= (1,1,1),2= ( 1, 1, 0),3= ( 1, 0, 0),4=(1,2,-3),關(guān)，則 Ax=b 的通解可表示為 x=016.若 A 是秩為 1 的三階方陣,1,2,3是 Ax=b 的解，且20 020017.已知 A=001與 B=_0y0相似，則x=。01 x00218. 若向量a= (1, -2, 1)與B= (2, 3, t)正交，貝 U t=_。19.已知三階實(shí)對(duì)稱矩陣 A 有三個(gè)特征值2,1,-2,B=A3+2E，貝 U B 的特征值是2二次型 f(X1, X2, X3, X4)=X1x1x23x1x4及其一

36、個(gè)極大線性無關(guān)組。24. 討論 p 取何值時(shí)，下列線性方程組無解？有解？并在有解時(shí)求其通解X1X2X3X4X513x12X2X3X43X50X22X32X46X535x14X23X33x4X5P2確定 a,b 以及的特征值。3求 r(A)。26.用正交變換化二次型 f(x1, X2, X3)=2x：3x23x：4X2X3為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫 出所用的正交變換。四、證明題(本大題共 2 小題，每小題 6 分，共 12 分)27. 設(shè)方陣 A 滿足 A2-A-2E=0，證明 A 可逆，并求其逆陣。20.5x4的對(duì)稱矩陣是21.計(jì)算題(本大題共 6 小題，每小題 8 分,共 48 分)計(jì)算行列式的值。22

37、.0設(shè) A=11且 AB=A+2B ,23. 設(shè)向量組:1= (-1, -1, 0, 0)2=(1,2,1,-1)丁，3=(0,1,1, -1)T4= (1, 3, 2, 1)T(2, 6, 4, -1)T，試求向量組的秩21225. 已知 A=5a3的一個(gè)特征向量是=(1, 1, -1)1b228設(shè)1,2,3是齊次方程組 Ax=o 的基礎(chǔ)解系，證明12的基礎(chǔ)解系。12,3也是 Ax=0全國 2006 年 4 月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)試題課程代碼：02198試卷說明：AT表示矩陣 A 的轉(zhuǎn)置矩陣,A 表示矩陣 A 的伴隨矩陣,E 是單位矩 陣,A表示方陣 A 的行列式。、單項(xiàng)選擇題（本大題共

38、 10 小題，每小題 2 分，共 20 分） 在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的， 題后的括號(hào)內(nèi)設(shè) n 階方陣 A 中有 n2-n 個(gè)以上元素為零，則A的值（B .等于零D .不能確定B.-1C.則非齊次線性方程組 Ax=b 有惟一解的充分必要條件是A.m=nB.Ax=0 只有零解C. 向量 b 可由 A 的列向量組線性表出A. 4B. 2C. 1D. -4X1X25.線性方程組X2X32有解的充分必要條件是a=()1x1X3請(qǐng)將其代碼填寫在錯(cuò)選、多選或未選均無分。1 行列式34的值為（5C.2.0設(shè) n 階方陣 A , B, C 滿足 ABC=E ,ACB=EB.-1則必有（

39、CBA=EC.BAC=EBCA=EA .大于零C.小于零4.設(shè) 3 階矩階 A=（a1Y), B=(a2,B,丫)，且A=2,B=-1，則AB=3.-16 .設(shè) A 為 mxn 矩陣,( )二、填空題(本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分) 請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案錯(cuò)填、不填均無分。123012中(2, 3)元素的代數(shù)余子式 A23的值為42514._ 向量組a1=(1,2,-1,1),a2=(2,0,3,0),a3=(-1,2,-4,1)的秩為_ .A.0B.1C.2D.30、28. 設(shè)矩陣A=120，則A為( )0、22u22A. 對(duì)稱矩陣B.反對(duì)稱矩陣C.正交矩陣D.

40、正定矩陣9. 下列二次型中為規(guī)范形的是()A.2 2-y1y2B.2 2-y1y2C.2 2-yy3D.2小2y13y25y23D.A 的列向量組線性無關(guān)，而增廣矩陣A的列向量組線性相關(guān)7.設(shè) A 為 3 階矩陣，A 的特征值為 0，礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為(1，2,那么齊次線性方程組 AX=0 的基)10 .已知 A 是 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣，A .正定二次型C.半正定二次型A2=A，B.秩負(fù)定二次型不定二次型(A) =n，則XTAX是(11.行列式12 .設(shè) A 是 4 階方陣,A|=-2，則A*=013.設(shè)矩陣 A=0040030020010，則A-1=0015. 設(shè)向量組a1，a2，as線

41、性無關(guān)，且可以由向量組B1，P2，Bt線性表出，則 S 與 t 的大小關(guān)系為 _.16._ 若a1，a2，a3都是齊次線性方程組 AX=0 的解向量，貝 U A (3a1-5a2+2a3) =.17._ 設(shè)a,B是n元非齊次線性方程組 Ax=b 的兩個(gè)不同的解，秩（A） =n-1, 那么方程組 Ax=b 所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組 Ax=0 的全部解為_ .1 11X1018.已知方程組1 23 x20有非零解，貝 u t=.2 3tX3012 02 0 019.設(shè)矩陣 A=22 0與1B=0 y 0相似，則 V=00 40 0 420.設(shè)矩陣A=1 2，則與 其相弓似的對(duì)角矩陣有4 3三、 計(jì)算

42、題（本大題共6 /J、 題,每 小題 8 分，共 48 分）3 11 121.計(jì)算行列式1 31 11 13 1的值.1 11 342 322 .設(shè) A=110，且矩陣 X 滿足 AX=A+2X，求 X.1 231 1223 .設(shè) A=2 24,求一秩為 2 的 3 階方陣 B 使 AB=0.3 36X1X2X3X4024.求線性方程組X1X2X33x40的通解，并用其基礎(chǔ)解系表示.X1x22X33X4012 025.求矩陣 A=230的所有特征值，指出 A 能否與對(duì)角矩陣相似，并說20 2明理由26.已知二次型 f（xi,X2,x3）=2x22x2ax2j2x2X3的矩陣 A 的一個(gè)特征值為

43、 1, 求a并寫出該二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.四、證明題（本大題共 2 小題，每小題 6 分，共 12 分）27 .已知向量組a1,a2,a3線性無關(guān)，證明向量組a1+2a2, 2a2+3a3, 3a3+a1線性無關(guān).28. 設(shè) A, B 都是正交矩陣，證明 AB 也是正交矩陣.全國 2006 年 7 月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)試題課程代碼：02198試卷說明：A表示矩陣 A 的轉(zhuǎn)置矩陣；A*表示 A 的伴隨矩陣；R（ A）表示矩 陣 A 的秩；|A|表示方陣 A 的行列式；E 表示單位矩陣。、單項(xiàng)選擇題（本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要

44、求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分1設(shè) A、B 均為 n 階方陣，則必有()A - |A| |B|=|B| |A|C.(A+B )T=A+B202 .設(shè) A=0 10 001，則 A-1=(12A.00C.01212012121-0023.若 4 階方陣 A 的行列式等于零，則必有（A.A 中至少有一行向量是其余向量的線性組合B. A 中每一行向量都是其余行向量的線性組合C. A 中必有一行為零行D. A 的列向量組線性無關(guān)4.設(shè) A 為 mxn 矩陣，且非齊次線性方程組 AX=b 有唯一解，則必有（）A. m=nB. R(A)=mC.R(A)=nD.R(A)vn若方程

45、組x1X22X30則入等于（)5.X12X2X30存在基礎(chǔ)解系，2x1X2X30A. 2B. 3C.4D.56.設(shè) A 為 n階方 陣，則（)A. A 的特征值一定都是實(shí)數(shù)B . | (A+B) |=|A|+|B|D . (AB)T=ATBTB. A 必有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量C. A 可能有 n+1 個(gè)線性無關(guān)的特征向量D. A 最多有 n 個(gè)互不相同的特征值7.若可逆方陣 A 有一個(gè)特征值為 2,則方陣（A2）-1必有一個(gè)特征值為1412F 列矩陣中不是C.8.正交矩陣的是（C.51J0、10.1049.B.C.D.若方陣 A 與方陣 B 等價(jià)，則（R （A） =R （B）| （入 E

46、-A）|=|（XE-B）|A|=|B|存在可逆矩陣P,使 P-1AP=B10.若矩陣A=02 正定，貝 U t 的取值范圍是tA. 0t2二、填空題請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。11.A=（1,0,1） ,B=E-ATA ,C=E+2ATA（E 為 3 階單位矩陣）2 2D .（本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分）12.已知 |A|=2，且 A-1=1=414，則 A =3cossin0sincos0Ovtw2t 2,則 BC=213 .設(shè) A=0 2 0,1A*為 A 的伴隨矩陣，貝A*|=10 114 .已知 A=0 2 0，貝 U( A+3E)-1(A

47、2-9E) =_。0 0 115.向量組a1= (1, 2, 3, 4) ,a2=(2, 3, 4, 5) ,a3= (3, 4, 5, 6) ,a4=(4, 5, 6, 7),則向量組a1,a2,a3,a4的秩是_ 。16.方程組230X1X2一0的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)是1100X320 020017.若 A=001 與 B 0y0相似，貝 U x+v=01X0011 0 018.如果方陣 A 與對(duì)角陣 D=0 1_0 相似，則 A10=。0 0 119 .二次型 f(X1,X2,X3)=x22x；3xf4X1X2X1X34X2X3的對(duì)稱矩陣為20._二次型 f(x1,x2)=2xf2X22

48、x1X2經(jīng)正交變換化成的標(biāo)準(zhǔn)形是 _ 。三、計(jì)算題(本大題共 6 小題，每小題 8 分，共 48 分)abcd21 .計(jì)算行列式 D=aabb ccda2ab3b c4c da3a b6b c8cd22. 用克萊姆規(guī)則解方程組2x1X2X3285x12X22X36610 x15x24x313723. 設(shè)向量組a1= (1, -1,2,4);a2= (0,3, 1, 2) ;a3=(3, 0, 7, 14);a4= (1, -1 , 2, 0);a5=(2, 1, 5, 6).問a1,a2,a4是否是其一個(gè)最大線性無關(guān)組？說明理由。2x14x25x33x4024 .求齊次線性方程組3x16x24

49、X32x40的一個(gè)基礎(chǔ)解系。4x18x217X311x4042525. 求矩陣 A=6 49的特征值與全部特征向量。53726. 化二次型（用配方法）f=x?2x25x22xg 2x1X36x2X3為標(biāo)準(zhǔn)型，并求所用的變換矩陣。四、證明題（本大題共 2 小題，每小題 6 分，共 12 分）27. 若向量a1,a2,a3線性無關(guān)，問a1+a2,a2+a3,a3+a1的線性相關(guān)性, 并證明之。28 .設(shè) A, B 為 n 階方陣，滿足 A+B=AB（1）證明 A-E 為可逆矩陣。1(2)若 B=20全國 2006 年 10 月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)試題課程代碼：02198試卷說明:AT表示矩陣

50、A 的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣 A 的伴隨矩陣，E 是單位矩陣，|A|表示方陣 A 的行列式。一、單項(xiàng)選擇題（本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。1.設(shè) A 是 4 階矩陣，則|-A|=( )A. -4|A|B . -|A|3 010，求矩陣 A0 2C. |A|D. 4|A|2設(shè) A 為 n階可逆矩陣，下列運(yùn)算中正確的是（）a3線性無關(guān)，則下列向量組線性無關(guān)的是（A. a1,a2,a1+a2B. a1,a2,a1-a2C.a1-a2,a2-a3,a3-a1D. a1+a2,

51、a2+a3,a3+a15.向量組a1= (1 , 0, 0),a2= ( 0, 0, 1),下列向量中可以由a1,表出的是(線性A. (2, 0， 0)(-3, 2,4)C. (1,1, 0)0)6 .設(shè) A , B 均為 3 階矩陣，若 A 可逆,秩（B）=2，那么秩（AB ）=C. 27 .設(shè) A 為 n 階矩陣，若 A 與 n 階單位矩陣等價(jià)，那么方程組 Ax=b （A .無解B .有唯一解D.解的情況不能確定C.有無窮多解8 .在 R3中，與向量a1=( 1 , 1 , 1) ,a2=( 1,2 , 1)都正交的單位向量是1(-1,0,1)% 21逅(1,0,1)(-1, 0, 1)C

52、.(1, 0, -1)9.F 列矩陣中，為正定矩陣的是11 31 2 030 0)121C.10.二次型 f(X1,X2,X3)=x4X；3x34x1x22X1X38X2X3的秩等于（A. (2A)T=2ATB. (3A)-1=3A-1C. (AT)T-1= (A-1)-1TD.(AT)-1=A3.設(shè) 2 階方陣 A 可逆,且 A-1=371 2，則 A=（)A27A.13B.2 71 3C27C.13D.3 71 24.設(shè)向量組a1,a2,A. 0B. 1征向量是_ .19. 設(shè) A 為 n 階方陣，已知矩陣 E-A 不可逆，那么矩陣 A 必有一個(gè)特征值為C. 2D. 3二、填空題（本大題共

53、 10 小題，每小題 2 分，共 20 分） 請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。11.行列式0 0 0 10 0 2 0 _0 3 0 0 =-4 0 0 012._ 設(shè)矩陣 A=b，則 AAT=.13.設(shè)矩陣 A=1_4，則行列式|A2|= .3414. 設(shè)向量組a1=（1,-3，a），a2=（1,0，0），a3=（1,3,-2）線性相關(guān),貝 U a=_ .15. 若 3 元齊次線性方程組 Ax=0 的基礎(chǔ)解系含 2 個(gè)解向量，則矩陣 A 的秩等于1 116.矩陣010 011的秩等于117 .設(shè)a1,a2是非齊次線性方程組Ax=b的解，的解，貝 U k1+k2=_118.已

54、知 P-1AP=21，其中 P=1 101 101,則矩陣 A 的屬于特征值1 2=-1 的特A. 0B. 1120.實(shí)對(duì)稱矩陣 A=200 3所對(duì)應(yīng)的二次型 xTAx=3 5三、計(jì)算題（本大題共6 小題，每小題 8 分，共 48 分）21 .計(jì)算行列式 D=5 022.設(shè)矩陣 A=0 10 31 00 10 33 00 22 0的值.0 4B=10,求矩陣方程 XA=B 的解 X.720A.-1B. k 工 323.設(shè) ti,t2,t3為互不相等的常數(shù)，討論向量組a1=( 1 , ti,tf) ,a2=( 1 , t2,t；) ,a3= ( 1, t3,t3)的線性相關(guān)性.x12X2x32x

55、4124.求線性方程組2X14X2X3X45的通解(要求用它的一個(gè)特解和導(dǎo)出X12X22X3X44組的基礎(chǔ)解系表示).25 設(shè)矩陣 A=1 4.(1) 求矩陣 A 的特征值和特征向量；(2)問 A 能否對(duì)角化？若能，求可逆矩陣 P 及對(duì)角矩陣 D，使 P-1AP=D.26.設(shè)f xf4x；4X22ax1x22X1X34X2X3,(1) 確定a的取值范圍，使 f 為正定二次型；(2) 當(dāng) a=0 時(shí)，求 f 的正慣性指數(shù) p 和負(fù)慣性指數(shù) q.四、證明題(本大題共 2 小題，每小題 6 分，共 12 分)27. 設(shè) A，B 為同階對(duì)稱矩陣，證明 AB+BA 也為對(duì)稱矩陣.28. 若向量組a1，a

56、2，a3可用向量組B1，B2線性表出，證明向量組a1，a2,a3線性相關(guān).全國 2007 年 1 月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)試題課程代碼：02198試卷說明：AT表示矩陣 A 的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣 A 的伴隨矩陣，E 是單位矩 陣，|A|表示方陣 A 的行列式，R (A)表示矩陣 A 的秩。一、單項(xiàng)選擇題(本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。k 121 .二階行列式 C ,彳工 0 的充分必要條件是()A.-1B. k 工 32k 1A. -1B. 0C. kM-1 且

57、 kM3D. k豐-1 或工 32.設(shè) A 為三階矩陣，|A|=aM0,則其伴隨矩陣 A*的行列式|A*|=()A. aB. a2C. a3D. a43.設(shè) A、B 為同階可逆矩陣，則以下結(jié)論正確的是（）A. |AB|=|BA|C. （AB）-1=A-1B-14 .設(shè) A 可逆，則下列說法錯(cuò)誤.的是（A .存在 B 使 AB=EC. A 相似于對(duì)角陣215.矩陣 A=1 的逆矩陣的（）B.C.6.設(shè)a1=1 , 2, 1,a2=0 , 5, 3,a3=2, 4, 2,則向量組a1,a2,a3的 秩是( )A. 0B. 1C.2D. 3 7 .設(shè)a1,a2是非齊次方程組Ax=b 的解，B是對(duì)應(yīng)的

58、齊次方程組 Ax=0 的解,則 Ax=b 必有一個(gè)解是（）A. a1+a2B.a1-a2C.p+a1+a211D. B +1 2222 0 02 0 08 .若 A=0 0 1 與 B0 10相似，貝 U x=()01 x0 0 1A.-1B. 0C.1D. 29 .若 A 相似于01，則|A-E|=()B. |A+B|=|A|+|B|D . (A+B)2=A2+2AB+B2)B. |A|M0D . A 的 n 個(gè)列向量線性無關(guān)C. 1D. 210. 設(shè)有實(shí)二次型 f(Xl,X2,X3)=X；X2，則 f (A .正定B.負(fù)定C.不定D .半正定二、填空題(本大題共 10 小題，每小題 2 分

59、，共 20 分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。11._設(shè) A， B 均為三階可逆陣，|A|=2，則|2B-1A2B|=_12 .在五階行列式中，項(xiàng) a21a32a45a14a53的符號(hào)為_ .13.設(shè) A=a b，則 A*=.c d10 014._ 設(shè)三階方陣A等價(jià)于01 0，則 R (A) =_0 0 015._ 設(shè)a1=1，2, X,a2=-2，-4，1線性相關(guān)，則 X=_116.矩陣11_ -1 1的秩為117._ 設(shè)入0是可逆陣 A 的一個(gè)特征值，則 A-2必有一個(gè)特征值是 _ .18. 已知齊次方程組 A4x5x=0 的基礎(chǔ)解系含有 3 個(gè)向量，則 R (A) =

60、_19. 已知三階矩陣 A 的三個(gè)特征值是-1，1，2,則|A|=_.20 .二次型 f(x1,X2,X3)=xf-2 X1X2+X2X3的矩陣是 _123 421. 求行列式341 0 022 .設(shè) A=1101 1 1三、計(jì)算題(本大題共6 小題，每小題 8 分，共 48 分)C. 1D. 3求(1) (A+2E)-1(A2-4E)(2) (A+2E)-1(A-2E)23.求向量組a1=1，-1, 2, 4，a2=0，3，1, 2，a3=3，0，7，14,a4=1， -1,2, 0的秩，并求出向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組。A. -4B. -1x12x3x4224 設(shè)有非齊次線性方程組xiX2X34x4ax1x23x32x41問 a 為何值時(shí)方程組無解？有無窮解？