高中數(shù)學(xué)--函數(shù)定義域-值域解題方法納

1、函數(shù)的三要素：對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域只有當(dāng)這三要素完全相同時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才能稱為同一函數(shù)。例：判斷下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是否是同一函數(shù)？為什么？1 y1(x3)( x5)y2x5解：不是同一函數(shù)，定義域不同x32。y1x1x1y2(x1)( x 1)解：不是同一函數(shù)，定義域不同3。f ( x)xg( x)x2解：不是同一函數(shù)，值域不同4 f ( x)xF ( x)3x3解：是同一函數(shù)5 f 1( x)(2x5) 2f 2 ( x)2x5解：不是同一函數(shù)，定義域、值域都不同關(guān)于復(fù)合函數(shù)設(shè) f(x)=2x 3 g(x)=x2+2 則稱 fg(x)（或 gf(x)）為復(fù)合函數(shù)。fg(x)=2(x2+2)

2、 3=2x2+1gf(x)=(2x 3)2+2=4x2 12x+11例：已知： f( x)= x2x+3求： f(1) f(x+1)解： f( 111x)=()2+3f(x+1)=(x+1)2 (x+1)+3=x2+x+3xxx1.函數(shù)定義域的求法分式中的分母不為零；偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于零；指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一；對(duì)數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一，真數(shù)大于零。ytan x.( xR,且 xk, k)正切函數(shù)2余切函數(shù) ycot xxR, 且 xk , k反三角函數(shù)的定義域( 有些地方不考反三角, 可以不理 ),函數(shù) y arcsinx的定義域是 1, 1，值域是2 2，函數(shù) y

3、arccosx的定義域是 1, 1，值域是 0,，(,)函數(shù) y arctgx的定義域是 R ，值域是22 ，函數(shù) y arcctgx的定義域是 R，值域是 (0, ) .注意，11.復(fù)合函數(shù)的定義域。x1(1,3)如：已知函數(shù) f ( x) 的定義域?yàn)椋?， 3），則函數(shù) F( x) f ( x 1)f (2 x) 的定義域。 2x(1,3)2. 函數(shù) f ( x) 的定義域?yàn)?(a, b) , 函數(shù) g( x) 的定義域?yàn)?(m, n) ,g (x)(a,b)則函數(shù) f g( x) 的定義域?yàn)?x (m, n)，解不等式，最后結(jié)果才是3. 這里最容易犯錯(cuò)的地方在這里：已知函數(shù) f (x1)

4、 的定義域?yàn)?(1,3),求函數(shù) f ( x) 的定義域；或者說，已知函數(shù)f (x 1) 的定義域?yàn)?(3,4),則函數(shù) f (2 x1) 的定義域?yàn)?_?一、復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成設(shè) ug( x) 是 A 到 B 的函數(shù)， yf (u) 是 B ' 到 C '上的函數(shù)，且中的元素時(shí)， y 取遍 C ，那么 yf (g ( x) 就是 A 到 C 上的函數(shù)。此函yf ( x) 和內(nèi)函數(shù) u g ( x) 復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。說明：復(fù)合函數(shù)的定義域，就是復(fù)合函數(shù)yf ( g(x) 中 x 的取值范圍。 x 稱為直接變量， u 稱為中間變量，u 的取值范圍即為 g( x) 的值域。 f (

5、 g (x) 與 g( f ( x) 表示不同的復(fù)合函數(shù)。例 2：若函數(shù) f (x) 的定義域是 0 ， 1 ，求 f (1 2x) 的定義域；若 f (2 x 1) 的定義域是 -1 ， 1 ，求函數(shù) f ( x) 的定義域；B B '，當(dāng) u 取遍 B數(shù)稱為由外函數(shù)已知f (x3) 定義域是4,5 ，求 f (2x3) 定義域要點(diǎn) 1：解決復(fù)合函數(shù)問題，一般先將復(fù)合函數(shù)分解，即它是哪個(gè)內(nèi)函數(shù)和哪個(gè)外函數(shù)復(fù)合而成的解答：函數(shù) f (12x) 是由 A到 B 上的函數(shù) u12x 與 B 到 C 上的函數(shù) yf (u) 復(fù)合而成的函數(shù)函數(shù) f ( x) 的定義域是 0 ， 1 ， B=0

6、,1，即函數(shù) u1 2x 的值域?yàn)?0 ， 1 0x11 01 2x1， 1 2x2 ， 函數(shù) f (1 2x) 的定義域 0 ， 20 ，即 2函數(shù) f (2x1) 是由 A到 B 上的函數(shù) u2x1 與 B 到 C 上的函數(shù) yf (u) 復(fù)合而成的函數(shù)f (2 x1) 的定義域是 -1 ， 1， A=-1,1，即 -1x1，32x 11, 即 u2x 1 的值域是 -3， 1， yf ( x) 的定義域是 -3，1 要點(diǎn) 2：若已知f (x)的定義域?yàn)锳 ，則 f g( x) 的定義域就是不等式g( x)A 的 x 的集合；若已知f g( x) 的定義域?yàn)?A ，則 f (x) 的定義域

7、就是函數(shù)g(x)( xA) 的值域。函數(shù) f ( x3) 是由 A 到 B 上的函數(shù) ux3與 B到 C上的函數(shù)yf (u) 復(fù)合而成的函數(shù)f ( x3) 的定義域是 -4 ，5),A=-4,5)即4x5，1x3 8 即 u x 3 的值域 B=-1 ， 8）又 f ( 2x3) 是由 A' 到 B' 上的函數(shù) u'2x3與 B 到 C 上的函數(shù) yf (u) 復(fù)合而成的函數(shù)，而 BB', 從而3的值域 B' 1,8) 22x 11,1 x11u'2x12x38211 f ( 2x3) 的定義域是 1 ， 2）例 4：已知函數(shù) f (x)x 1x

8、 , ( x1)求 f ( x) 的值域。分析：令u(x)x1 ， ( x1) ；則有 g(u) u 2u 1 ， (u 0)復(fù)合函數(shù)f (x)是由u( x)x1與g(u)u 2u 1復(fù)合而成，而g (u) u 2u 1，(u 0)的值域即f (x) 的值域，但 g(u)u 2u1 的本身定義域?yàn)镽 , 其值域則不等于復(fù)合函數(shù)f (x) 的值域了。2求有關(guān)復(fù)合函數(shù)的解析式，例 6已知f ( x) x 21, 求 f ( x1) ；已知f ( x1)( x1)21，求 f ( x) f (x1)x1，求 f ( x) ；例 7已知xf ( x1)x21，求 f ( x1) 已知xx2要點(diǎn) 3：3

9、已知 f (x) 求復(fù)合函數(shù) f g( x) 的解析式，直接把f (x) 中的 x 換成 g(x) 即可。已知 f g( x) 求 f (x) 的常用方法有：配湊法和換元法。配湊法就是在f g( x) 中把關(guān)于變量 x 的表達(dá)式先湊成 g(x) 整體的表達(dá)式，再直接把g(x) 換成 x 而得f (x) 。換元法就是先設(shè) g ( x)t ，從中解出 x （即用 t 表示 x），再把 x （關(guān)于 t 的式子）直接代入f g(x) 中消去 x 得到 f (t ) ，最后把f (t ) 中的 t 直接換成 x 即得 f (x) ，這種代換遵循了同一函數(shù)的原則。例 8已知 f (x) 是一次函數(shù)，滿足

10、3 f (x 1) 2 f ( x 1)2x17 ，求 f (x) ；3 f ( x) 2 f ( 1 ) 4x已知x，求 f (x) 要點(diǎn) 4： 當(dāng)已知函數(shù)的類型求函數(shù)的解析式時(shí)，一般用待定系數(shù)法。 若已知抽象的函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組、 消參的思想方法求函數(shù)的解析式。 已知 f (x) 滿足某個(gè)等式，1)f (x) 是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量，如 f (x) 、f (這個(gè)等式除x等，必須根據(jù)已知等式再構(gòu)造出其他等式組成方程組，通過解方程組求出f (x) 。三、總結(jié)：復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成；設(shè)函數(shù) yf (u) ， ug (x) ，則我們稱 yf ( g( x) 是由外函數(shù) yf (u) 和內(nèi)函

11、數(shù) ug (x) 復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。其中x 被稱為直接變量，u被稱為中間變量。復(fù)合函數(shù)中直接變量x 的取值范圍叫做復(fù)合函數(shù)的定義域，中間變量u 的取值范圍，即是g(x) 的值域，是外函數(shù) yf (u) 的定義域。有關(guān)復(fù)合函數(shù)的定義域求法及解析式求法：定義域求法：求復(fù)合函數(shù)的定義域只要解中間變量的不等式（由ag ( x)b 解 x）；求外函數(shù)的定義域只要求中間變量的值域范圍（由axb 求 g(x) 的值域）。已知一個(gè)復(fù)合函數(shù)求另一個(gè)復(fù)合函數(shù)的定義域，必須先求出外函數(shù)的定義域。特別強(qiáng)調(diào)，此時(shí)求出的外函數(shù)的定義域一定是前一個(gè)復(fù)合函數(shù)的內(nèi)函數(shù)的值域，例2（ 3）反映明顯。解析式求法：待定系數(shù)法、配湊

12、法、換元法、解方程組消元法2.函數(shù)值域的求法4（ 1）、直接觀察法對(duì)于一些比較簡單的函數(shù)，如正比例, 反比例 , 一次函數(shù) , 指數(shù)函數(shù) , 對(duì)數(shù)函數(shù) , 等等 ,其值域可通過觀察直接得到。1y, x1,2例 求函數(shù)x的值域例 2.求函數(shù) y3x 的值域。解：x0x0,3x3故函數(shù)的值域是：,3（ 2）、配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例 3.求函數(shù) y x 2 2x 5, x 1,2 的值域。解：將函數(shù)配方得： y (x 1) 24 x 1,2由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1 時(shí)， y min4 ，當(dāng) x1時(shí)， y max8故函數(shù)的值域是：4 ，8（ 3）、根判別式法對(duì)二次函數(shù)或

13、者分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這類題型有時(shí)也可以用其他方法進(jìn)行化簡如 :5a. yb型：直接用不等式性質(zhì)k+x 2b.ybx型 ,先化簡，再用均值不等式x 2mxn例： yx111+x 212x+xc . yx 2m xn通常用判別式x2mx型nd.yx 2xmxn 型n法一：用判別式法二：用換元法，把分母替換掉x2x1 （ x+12）+11例： y） （ x+1）x1x 1（ x+11211x 11xx2例 4.y1x2求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)化為關(guān)于x 的一元二次方程(y1) x 2( y1)x0（ 1）當(dāng) y1 時(shí)， x R( 1)24( y 1)(y 1) 01y3

14、解得： 221313（ 2）當(dāng) y=1 時(shí)， x1,故函數(shù)的值域?yàn)?2,0，而2224、反函數(shù)法 ( 原函數(shù)的值域是它的反函數(shù)的定義域)直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。3x4y例 求函數(shù)5x6 值域。3x46 y43y5xy 6 y 3x 4x35y , 分母不等于 0, 即y5x655、函數(shù)有界性法6直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)的值域。我們所說的單調(diào)性，最常用的就是三角函數(shù)的單調(diào)性。ycos x例 .求函數(shù)sin x3 的值域。解：由原函數(shù)式可得：y sin xcos x3y ，可化為：y 21 sin x (x)3ys

15、in x (x3y3y1)1即y 21 x R sin x ( x ) 1,1 即y 21解得：42y42故函數(shù)的值域?yàn)?2 , 426. 倒數(shù)法有時(shí)，直接看不出函數(shù)的值域時(shí)，把它倒過來之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)另一番境況x2y例求函數(shù)x3 的值域yx2x 3x 2 0時(shí)，1x21x11yx222 0 yx 22x2時(shí)，y=000y127. 函數(shù)單調(diào)性法例 .求函數(shù) yx1x1 的值域。y2x 1x 1解：原函數(shù)可化為：令 y1x1, y 2x1 ，顯然 y 1 , y 2 在 1, 上為無上界的增函數(shù)7所以 yy1 ， y 2 在 1, 上也為無上界的增函數(shù)22所以當(dāng) x=1 時(shí)， yy1 y 2 有最

16、小值 2 ，原函數(shù)有最大值2顯然 y0 ，故原函數(shù)的值域?yàn)?(0, 27. 換元法通過簡單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，例 11.求函數(shù) yxx1 的值域。解：令 x1 t ， ( t 0)則 x t 2y t 2t 1 (t1) 23124又 t0 ，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng) t0 時(shí)， y min1當(dāng) t0 時(shí)， y故函數(shù)的值域?yàn)?,)求函數(shù) yx,例 14.(sin x 1)(cos x 1) ，12 2 的值域。解： y(sin x1)(cos x1)sin x cos xsin xcos x1令 sin xsin x cos x1( t

17、21)y1( t 21) t 11( t 1) 2cos x t ，則222由 t sin x cosx2 sin(x/ 4)x,且12 22y max32t232t222 時(shí)，y2可得： 2當(dāng) t2 時(shí)，當(dāng)4832 , 32故所求函數(shù)的值域?yàn)?22。8. 數(shù)形結(jié)合法例 17. 求函數(shù) yx 26x 13x 24x 5 的值域。解：原函數(shù)可變形為：y( x 3) 2(0 2)2( x 2) 2(0 1)2上式可看成x 軸上的點(diǎn) P( x ,0) 到兩定點(diǎn) A (3,2), B( 2, 1) 的距離之和，由圖可知當(dāng)點(diǎn) P 為線段與 x 軸的交點(diǎn)時(shí)， y min | AB | ( 3 2) 2(2 1)243 ，故所求函數(shù)的值域?yàn)?3,10. 一一映射法axb0)y(c原理：因?yàn)閏xd在定義域上 x 與 y 是一一對(duì)應(yīng)的。故兩個(gè)變量中，若知道一個(gè)變量范圍，就可以求另一個(gè)變量范圍。13x例 21.y1 的值域。求函數(shù)2x1113xx1yx | x或 xy1 得2y3解：定義域?yàn)?