高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)4第1課時(shí)單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義單位圓與周期性教學(xué)案北師大版必

1、第 1 課時(shí)單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義單位圓與周期性 核心必知 1任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義(1) 單位圓的定義：在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn) 為圓心，以 單位長(zhǎng) 為半徑的圓 ，稱為單位圓(2) 正弦、余弦函數(shù)的定義：如圖所示 ，設(shè) 是任意角 ，其頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x 軸正半軸 重合 ，終邊與單位圓O交于點(diǎn) P( u， v) ，那么點(diǎn) P 的縱坐標(biāo) v 叫作角 的正弦函數(shù) ，記作 v sin _；點(diǎn) P 的橫坐標(biāo) u叫作角 的余弦函數(shù) ，記作 ucos _(3) 正弦、余弦函數(shù)的定義域，值域：通常，我們用x 表示自變量，即x 表示角的大小，用y 表示函數(shù)值，這樣我們就定義了任

2、意角三角函數(shù)y sin _x 和 y cos _x 它們的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?1， 1 (4) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值的符號(hào)象限三角第一象限第二象限第三象限第四象限函數(shù)sincos 2. 周期性(1) 周期函數(shù)一般地 ，對(duì)于函數(shù) f ( x) ，如果存在 非零常數(shù)T，對(duì)定義域內(nèi)的 任意一個(gè) x 值，都有 f ( xT) f ( x) ，則稱 f ( x) 為周期函數(shù) ， T 稱為這個(gè)函數(shù)的周期(2) 正弦函數(shù)、余弦函 數(shù)是周期函數(shù) ， 2k ( k Z， k0) 是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期 ，其中 2 是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正周期中最小的一個(gè)，稱為 最小正周期 -1-/10(3) 終邊相同的角的正

3、弦、余弦函數(shù)值間的關(guān)系 sin ( 2k ) sin _( kZ) ； cos ( 2k ) cos_( kZ) 問(wèn)題思考 1 等式 sin (30 ° 120° ) sin 302° 是否成立？如果這個(gè)式子成立，那么能否說(shuō)明3 是正弦函數(shù) y sinx 的周期？12提示：根據(jù)三角函數(shù)的定義sin 150 ° sin 30 ° 2成立 ，但不能說(shuō)3 是 y sin x 的周期，在周期函數(shù)定義中，對(duì)每一個(gè)x 都有 f ( xT) f ( x) ，則 T 是周期，而等式sin( x120° ) sinx，不是對(duì)任意的x 成立如 x 0&#

4、176;時(shí) sin 120 ° sin 0 ° .2公式sin(2 k x) sinx，k Z； cos(2 k x) cos x， k Z，揭示了什么規(guī)律，有什么作用？提示： (1) 由公式可知，三角函數(shù)的值有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，即角 的終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)一次(2) 利用此公式，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0 到 2 ( 或 0°到 360° ) 角的三角函數(shù)值講一講1已知角 的終邊在射線y2x( x 0) 上，求角 的正弦值和余弦值 嘗試解答 法一：設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為(，) ，P xy則 y 2x( x 0)

5、又因?yàn)?x2 y2 1，5x 5，255所以于是 sin y5 ， cos x 5 .y255，法二：在角的終邊上任取一點(diǎn)( ，)(x0) ，則P x yOPx2y2x24x25| x| ，又因?yàn)?x 0，所以 OP5x.-2-/10所以 sinyy25x2y25x5；cosxx5. 5x5x2y2求任意角的正弦、余弦值常用的兩種方法：(1)利用單位圓中的正、余弦函數(shù)的定義(2) 利用正、余弦函數(shù)定義的推廣：若P( x， y) 是角 終邊上的任意一點(diǎn)，則siny， cosxx2y2.x2y2練一練1 多維思考 本講中，把“射線y 2(x>0) ”改為“直線y 2 ”，求 sin， cos

6、xx.解：設(shè)直線 y 2x 與單位圓的交點(diǎn)為P( x， y)y 2x，525525則 x2y21，解得 P( 5 ， 5 ) 或 ( 5 ， 5 ) 當(dāng) x>0 時(shí)， P(5252555 ，5 ) ，則 sin5 ， cos 5 ；525當(dāng) x<0 時(shí)，P( 5 ， 5 ) ，255則 sin 5， cos 5 .講一講2 (1) 判斷符號(hào)： sin 340° cos 265 °；(2) 若 sin 2>0，且 cos<0，試確定 所在的象限 嘗試解答 (1) 340°是第四象限角，265°是第三象限角， sin 340°

7、; <0， cos 265 ° <0. sin 340° cos 265 °>0.(2) sin 2>0， 2k <2<2k ( kZ) ，k <<k 2 (kZ) 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，設(shè)k 2 (Z) ，m m-3-/10有 2m <<2m 2 ( m Z) ；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k (2 1)(Z) mm3有 2m <<2m 2 ( m Z) 為第一或第三象限角又由 cos <0，可知 為第三象限角1正弦、余弦函數(shù)值在各象限內(nèi)取正數(shù)的規(guī)律可概括為“正弦上為正、余弦右為正”，即當(dāng)角 的終邊在 x

8、 軸的上方時(shí)sin>0；當(dāng)角 的終邊在 y 軸的右側(cè)時(shí)， cos >0.2對(duì)于確定角 所在象限的問(wèn)題，應(yīng)首先確定題目中所有三角函數(shù)的符號(hào)，然后根據(jù)各三角函數(shù)的符號(hào)來(lái)確定角所在象限，則它們的公共象限即為所求3 由k < < (kZ) 確定所在象限時(shí)應(yīng)對(duì)k進(jìn)行分類討論 k2練一練2已知 sincos <0，試寫出角 所適合的集合解： sincos <0.sin >0，sin <0，或cos >0.cos<0， 是第二或第四象限的角 角 的集合為 k 2 <<k， kZ.講一講3求下列三角函數(shù)值(1)cos(1 050 

9、6;) ；31(2) sin4；(3)log2(4 sin 1 110°) 嘗試解答 (1) 1 050 ° 3×360° 30°， 1 050 °的角與30°的角終邊相同3 cos( 1 050) ° cos 30 ° 2 .-4-/1031(2) 4 4×2 4 ，31 角4 與角 4 的終邊相同312 sin 4sin4 2.(3) sin 1 110 ° sin (3 ×360 ° 30° ) sin 301° 2，221×4

10、log221. log 4sin 1 110 ° log2利用公式sin( x 2k ) sinx， cos( x 2k ) cos x， k Z，可以把任意角的正弦、余弦函數(shù)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為0 2間的角的正弦、余弦函數(shù)值問(wèn)題一般步驟是：(1) 把角 寫成 2k ( k Z) 形式；(2) 求出角 的正弦或余弦；(3) 得到角 2k ( k Z) 的正弦或余弦練一練3求下列三角函數(shù)值35(1) sin ( 1 020 ° ) ； (2) cos 6.解： (1) 1 020 ° 3×360° 60°， 1 050 °的角與60&

11、#176;的角的終邊相同3 sin ( 1 050 ° ) sin 60 ° 2 .3536(2) 6 6 6 3×2 6 ，35 6角的終邊和6 角的終邊相同；353 cos 6 cos 6 2 .已知角 的終邊落在直線y 3x 上，求 2sin 3cos 的值 錯(cuò)解一 取直線上一點(diǎn) (1 ， 3) ，則 sin 3， cos 1， 2sin 3cos 2×( 3) 3×1 3.-5-/10錯(cuò)解二取直線y 3x與單位圓的交點(diǎn)1010 ， 310103得 sin10， cos 10 ， 10103102sin 3cos 10 .錯(cuò)因錯(cuò)解一，犯了

12、兩個(gè)錯(cuò)誤，一是對(duì)正、余弦函數(shù)的定義理解有誤定義中的( x， y)須是 終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，不是任意點(diǎn)。二是 的終邊在直線 y 3x 上包括兩種情況，在射線y 3(0) 上或在射線y 3(0) 上，而錯(cuò)解中漏掉了一種情況x xxx錯(cuò)解二只考慮了y 3x( x0) 時(shí)的情形，沒(méi)考慮y 3x( x0) 時(shí)的情況 正解設(shè) 終邊與單位圓交點(diǎn)為 ( x， y) ；1010y 3x，x 10 ，x 10 ，則解得3或3 10x2y21，y10y10 ，10， 2sin 3cos310 10310或 2sin 3cos 10 .1已知 P(1 ， 5) 是終邊 上一點(diǎn)，則 sin等于 ()52626A 1

13、B 5 C 26D. 26解析：選 C x1， y 5， r 26，y526sin r 26 .2cos25的值為 ()6-6-/1013A2B 213C. 2D. 2解析：選 Dcos25cos3.6 cos 46263已知 是第三象限角，則 ()A sin >0， cos>0 B sin>0， cos<0C sin <0， cos>0 D sin<0， cos<0解析：選 D 由三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)，易知D 正確4已知函數(shù) y f ( x) 是周期函數(shù)，周期T 6， f (2) 1，則 f (14) _解析： f (14) f (2 &#

14、215;6 2) f (2) 1.答案：15sin 390° _解析： 390° 360° 30°，1 sin 390 ° sin 30° 2.答案：126 已知角 的終邊經(jīng)過(guò) 點(diǎn) P( a，3a)( a0) ，求角 的正弦、余弦解：|OP|a23a2 2| a| ，當(dāng) a>0 時(shí)，sin3a3a1 2a 2 ， cos 2a 2，3a3a1當(dāng) a<0 時(shí)， sin 2a 2 ， cos 2a 2.一、選擇題1如果 315°角的終邊過(guò)點(diǎn) (2 ， a) ，則 a 等于 ()A2 B 25C 5D± 2解

15、析：選 B cos ( 315° ) cos 45 °22 ，-7-/1022，解得a ±2，24a2又 315°是第一象限角， a292 cos4 等于()22A 2B. 2C1 D192解析：選 Bcos4 cos 2 4cos4 2.123 已知角 的終邊過(guò)點(diǎn) ( x， 6) ，若 sin 13，則 x 等于()55A. 2B 225C± 5D±2解析：選 Dsin6125.，解得x ±x2621324 設(shè) A 是第三象限角 ，且| sinAAA2| sin2，則 2是 ()A第一象限角B 第二象限角C第三象限角D 第

16、四象限角AAA解析：選D A 是第三象限角 ， 2是第二、四象限角又|sin2| sin20， sinAA20， 易知 2為第四象限角二、填空題5 sin ( 330° ) _1解析： sin ( 330°) sin( 360° 30° ) sin 30 ° 2.答案：126如果 cos x |cosx| ，那么角 x 的取值范圍是 _解析： cosx|cosx| ， cos x 0， 2 x 2k ， Z.2k2k-8-/10答案： x|2 k 2 x 2k 2 ，k Z7若點(diǎn) P(2 m， 3m)( m<0) 在角 的終邊上，則sin

17、 _， cos _解析：如右圖 ，點(diǎn) (2， 3)(<0) 在第二象限 ，且r，故有 sin3m3mPmmm13mr 13m31313 .2m2m213cos 13.r 13m313213答案： 13 138 sin 420 ° cos 750 ° sin( 690° )cos( 660°) _解析：原式sin(360° 60 ° )cos(720° 30° ) sin( 720 ° 30° )cos( 720 °331160° ) sin 60° cos 30 ° sin 30 ° cos 60°2×2 2×2 1.答案：1三、解答題19 已知 f ( x 3) f （x），求證： f ( x) 是周期函數(shù) ，并求出它的一個(gè)周期11解： f ( x 6) f ( x 3) 3 f ( x) ， f ( x) 是周期函數(shù) ，f （x 3）1f （ x）且 6 是它的一個(gè)周期10已知 cos