高中數(shù)學(xué)第一章不等式的基本性質(zhì)和證明不等式的基本方法1.5.2綜合法和分析法學(xué)案新人教B版選修4-5

1、15.2綜合法和分析法 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書 P19 讀教材·填要點(diǎn)1綜合法從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、已知的定義及定理，逐步推導(dǎo)，從而最后導(dǎo)出 要證明的命題 ，這種方法稱為綜合法2分析法從需要證明的命題出發(fā)，分析使這個(gè)命題成立的充分條件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后達(dá)到命題所給出的條件( 或者一個(gè)已證明過的定理或一個(gè)明顯的事實(shí)) ，這種證明方法稱為分析法 小問題·大思維1如何理解分析法尋找的是使要證命題成立的充分條件？提示：用分析法證題時(shí)，語氣總是假定的，常用“欲證A 只需證 B”表示，說明只要B成立，就一定有A 成立，所以B 必須是 A 的充分條件才行，當(dāng)然B是 A

2、的充要條件也可2用綜合法和分析法證明不等式有怎樣的邏輯關(guān)系？提示：綜合法：A? B1? B2? ? Bn? B( 逐步推演不等式成立的必要條件) ，即由條件出發(fā)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立分析法： B? B1? B2? ? Bn? A( 步步尋求不等式成立的充分條件) ，總之，綜合法與分析法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書 P19用綜合法證明不等式 例 1已知 a， b， c 均為正實(shí)數(shù)，且互不相等，又abc 1.111求證：abc<a b c. 思路點(diǎn)撥 本題考查用綜合法證明不等式，解答本題可從左到右證明，也可從右到左證明由左端到右端，應(yīng)注意左、右兩端的差異，這種差異正是我們思考的方向

3、左端1 / 91 11 b c含有根號(hào)，脫去根號(hào)可通過abc< 2 實(shí)現(xiàn)；也可以由右到左證明，按上述思路逆向證明即可 精解詳析 法一： a， b， c 是不等正數(shù)，且abc 1，111111111 b ca ca b 1 1 1 a b cbc acab 2 2 2 ab c.法二： a， b，c 是不等正數(shù)，且abc 1，111 ab c bc ca ab bc ca ca ab ab bc222 abc2 a2bc ab2c a b c.(1) 用綜合法證明不等式時(shí)，主要利用基本不等式，函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的性質(zhì)等知識(shí)，在嚴(yán)密的演繹推理下推導(dǎo)出結(jié)論(2) 綜合法證明不等式中所依賴的

4、已知不等式主要是重要不等式，其中常用的有如下幾2222a b 22個(gè)： a0( a R) ( a b) 0(a， b R) ，其變形有： a b 2ab， (2 ) ab. a212a bba222b2( a b) . 若 a， b 為正實(shí)數(shù)，2 ab. 特別 a b2. a b c ab bcca.1已知 a>0， b>0，求證 a( b2 c2) b( c2 a2) 4abc.證明：因?yàn)閎2 c22bc， a>0，所以 a( b2 c2) 2abc.22又因?yàn)?c a 2ac，b>0，因此 a( b2 c2) b( c2 a2) 4abc.用分析法證明不等式 例 2

5、a， b 均為正實(shí)數(shù)，且2c>a b.2 / 9求證： cc2 ab<a<cc2 ab. 思路點(diǎn)撥 本題考查分析法在證明不等式中的應(yīng)用解答本題需要對(duì)原不等式變形為c2 ab<a c<c2 ab，然后再證明 精解詳析 要證 cc2 aba cc2 ab，只需證c2 ab a cc2 ab，即證 | a c| c2 ab，兩邊平方得a2 2ac c2 c2 ab，也即證 a2 ab 2ac，即 a( a b) 2ac. a，b 均為正實(shí)數(shù)，且 a b 2c， a( a b) 2ac 顯然成立原不等式成立(1) 當(dāng)所證不等式與重要不等式、基本不等式?jīng)]有什么直接聯(lián)系，或很

6、難發(fā)現(xiàn)條件與結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用分析法來尋找證明途徑(2) 對(duì)于無理不等式的證明，常采用分析法通過平方將其有理化，但在乘方的過程中，要注意其變形的等價(jià)性(3) 分析法證題的本質(zhì)是從被證的不等式出發(fā)尋求使結(jié)論成立的充分條件，證明的關(guān)鍵是推理的每一步都必須可逆2已知 x>0， y>0，求證： ( x2 y2)>( x3 y3).證明：要證明( x2y2)>( x3 y3)，只需證 ( x2 y2) 3>( x3 y3) 2，即證 x63x4y2 3x2y4 y6>x6 2x3y3 y6，422433即證 3x y 3x y >2x y . x>0，

7、 y>0， x2y2>0.即證 3x2 3y2>2xy . 3x2 3y2>x2 y22xy， 3x2 3y2>2xy 成立 ( x2 y2)>( x3y3).分析法與綜合法的綜合應(yīng)用3 / 9例 3已知，均為正實(shí)數(shù)，且2. 求證：4442222cbacabc (abc) .a b 思路點(diǎn)撥 本題考查綜合法與分析法的綜合應(yīng)用解答本題可先采用分析法將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為較易證明的不等式，然后再用綜合法證明 精解詳析欲證原不等式成立，只需證a4 b4 c4 a4 b4 c4 2a2b2 2a2c2 2b2 c2 ，即證 a2b2b2c2 a2c2 0， b2

8、ac，故只需證 ( a2 c2) ac a2c2 0. a、 c 0，故只需證 a2c2 ac>0，又 a2c2>2ac， a2 c2ac>0 顯然成立原不等式成立(1) 通過等式或不等式的運(yùn)算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式易于證明(2) 有些不等式的證明，需要一邊分析一邊綜合，稱之為分析綜合法，或稱“兩頭擠”法，如本例，這種方法充分表明了分析與綜合之間互為前提，互相滲透，相互轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系1113已知 a>b>c，求證： a b bc c a>0.111證明：法一：要證明a b b c c a>0，111只需要證明>

9、;. a>b>c， ac>a b>0， b c>0，1 1 a b>a c，1111>0，>成立b ca bb c c a111 a b b c ca>0 成立法二：若令ab x， bc y，則 a cx y，4 / 9 a>b>c， x>0， y>0，111證明 a b b c c a>0，111只要證明： xyx y>0，也就是要證：y x y xx y xyxy>0，x yx2 y2 xy 0，即證： yxy x x>0， y>0， x y>0，x2 y2 xy>0，1

10、11上式成立，即 0，xyx y111故 a b b c ca>0. 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書 P20一、選擇題1設(shè) ，b均為正實(shí)數(shù)，ab， a b，則、的大小關(guān)系是 ()aABA BA ABBABC ABDA B解析：用綜合法 (ab) 2 a 2ab b，所以 A2B2 0.又 A0， B 0，AB.答案： C2已知>>，且x 0，下列不等式中成立的是 ()x y zyzA xy>yzBxz >yzC xy>xzDx| y|> z| y|解析：由已知得3x>x y z 0，3z<xy z 0， x>0，z<0.5 / 9x>0，由

11、得 xy>xz.y>z答案： C3若 a>0， b>0，下列不等式中不成立的是()ba22A. ab2Ba b 2abb2a2112C. a bD. 2ababa bbabab a解析：由 a(0 ， ) 且 b(0 ， ) ，得 a b2a· b，所以 A 成立， B 顯然成立，不等式3322220.C 可變形為 a b a bab ? ( a b )( a b)答案： D4已知 a、 b、c 為三角形的三邊且S a2 b2c2， P ab bc ca，則 ()A S2PBP<S<2PC >D2S PPSP解析： a2 b22ab， b2

12、c22bc， c2 a22ca， a2 b2c2 ab bc ca，即 SP.又三角形中 | ab| c， a2 b2 2ab c2.同理 b22bc c2 a2， c2 2aca2 b2， a2 b2c2<2( ab bc ca) 即 S<2P.答案： D二、填空題5 已 知 a ， b ， c R111111， 則 a b c 與ab bc ac 的 大 小 關(guān) 系 是_ 解析：因?yàn)? 121 ， 1121 ，1121 ，三式相加可得11 1a bab b cbc a caba b c111.abbcac111111答案： abcabbcac6若 x>0， y>0，

13、且 5x7y 20，則 xy 的最大值是 _ 6 / 9115x 7y 2 120 220解析： xy 35(5 x·7y) 352 352 7 .10當(dāng)且僅當(dāng) 5x 7y 10 即 x 2， y時(shí)取等號(hào)720答案：71117已知 a 0，b 0，若 P 是 a， b 的等差中項(xiàng)， Q是 a， b 的正的等比中項(xiàng)，是 ， R a b的等差中項(xiàng)，則P、Q、 R按從大到小的排列順序?yàn)開a b解析：由已知P2，Qab，111 a ba b2abR 2 2ab ，即 R a b，顯然 P Q，2ab2ab又2 ab， Q R. P QR.a bab答案： P Q R11a>b>c

14、 時(shí)恒成立，則8若不等式ab b c c a >0在條件 的取值范圍是_解析：不等式可化為1 1 > .a bb c ac a>b>c， ab>0， bc>0， ac>0，a c ac恒成立<a b bca c a ca b b ca b b c a b b cabb cb cab 2a b bc 2 2 4. <4.答案： ( ， 4)三、解答題9 a，b， c 為互不相等的正數(shù)，且abc 1.7 / 9111求證： a b c>abc.證明：法一：由左式推證右式 abc 1，且 a， b， c 為互不相等的正數(shù)，111bc aca

15、c ababbc a b c bc ac ab222> bc·ac ac·ab ab·bc( 基本不等式 )ca b.111ab c.>abc法二：由右式推證左式 a， b， c 為互不相等的正數(shù)，且abc 1， a b c111bcacab111111b ca ca b< 2 22(基本不等式)111 ab c.111 ab c> a b c.10已知> >0，求證：a b 2 a b ab<a b 2<.a b8a28ba b 2 a ba b 2證明：要證8a<2 ab<8b，只要證a b2a b2<2ab<，4aab4b即證a b 2ab)2a b 22<(<，a2b即證 0a ba ba b，2 a2b即證a ba b<2<b，a即證 1ba<2<1，ab8 / 9ba即證a<1<b成立a b因?yàn)?a>b>0，所以 >1， <1，b aba故a 1，b 1成立a b 2 a bab 2所以有8a< 2 ab<8b成立11已知實(shí)數(shù)、滿足， 1，222 1.求證： 14ccabc .a bba a b