與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證明

1、參考范例與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證明（1）類型之一與切線的性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算或證明【經(jīng)典母題】如圖 Z12 1， O 的切線 PC 交直徑 AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P， C 為切點(diǎn)，若P 30 ° ， O 的半徑為 1 ，則 PB 的長(zhǎng)為 _1_ 圖 Z12 1經(jīng)典母題答圖【解析】如答圖，連結(jié)OC. PC 為 O 的切線， PCO 90 ° ，在 Rt OCP 中， OC 1 ， P 30 ° ，OP2OC 2， PBOPOB 211.【思想方法】(1) 已知圓的切線，可得切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；(2) 已知圓的切線，常作過(guò)切點(diǎn)的半徑，得到切線與半徑垂直【中考變形】2017&

2、#183;天津 已知 AB 是 O 的直徑， AT 是 O 的切線，ABT 50 ° ， BT 交O 于點(diǎn) C， E 是AB 上一點(diǎn)，延長(zhǎng)CE 交 O 于點(diǎn) D.(1) 如圖 Z12 2 ，求 T 和 CDB 的大?。?2) 如圖，當(dāng) BE BC 時(shí)，求 CDO 的大小-參考范例圖Z12 2解： (1) 如答圖 ，連結(jié) AC ， AT 是 O 的切線， AB 是 O 的直徑， ATAB，即 TAB 90° ，ABT50° ， T90° ABT40° ，由 AB 是 O 的直徑，得 ACB 90 ° ，CAB90° ABC40

3、° ， CDB CAB 40° ；中考變形答圖中考變形答圖(2) 如答圖 ，連結(jié) AD ，在 BCE 中， BE BC ， EBC 50 ° ， BCE BEC 65 ° ， BAD BCD 65 ° ， OAOD ， ODA OAD 65° ，ADC ABC50 ° ，CDO ODA ADC 65° 50° 15 ° .【中考預(yù)測(cè)】2017 ·宿遷 如圖 Z12 3 ，AB 與 O 相切于點(diǎn) B ， BC 為 O 的弦， OC OA ， OA 與 BC 相交于點(diǎn) P.(1) 求證：

4、APAB ；(2) 若 OB 4，AB 3，求線段 BP 的長(zhǎng)圖 Z12 3中考預(yù)測(cè)答圖解： (1) 證明： OC OB ， OCB OBC ，-參考范例AB 是 O 的切線，OB AB ，OBA 90 ° ， ABP OBC 90° ， OCAO， AOC 90 ° ， OCB CPO 90 ° ， APB CPO ， APB ABP ， AP AB ；(2) 如答圖，作OH BC 于 H. 在 Rt OAB 中， OB 4， AB 3 ，OA32 42 5， APAB 3， PO2.在 Rt POC 中， PC OC2 OP225，11 2PC &#

5、183; OH 2OC · OP ，OH OP· OC45PC5，CH OC2 OH285，5165OH BC，CHBH ，BC2CH ，516565BPBC PC2 55.5類型之二與切線的判定有關(guān)的計(jì)算或證明【經(jīng)典母題】已知：如圖 Z12 4 ，A 是 O 外一點(diǎn)， AO 的延長(zhǎng)線交 O 于點(diǎn) C，點(diǎn) B 在圓上，且 AB BC ， A 30 ° ，求證：直線 AB 是 O 的切線圖 Z12 4經(jīng)典母題答圖證明： 如答圖，連結(jié)OB ，OBOC，ABBC，A30° ，-指導(dǎo)參考范例 OBC C A 30 ° ， AOB C OBC 60 &#

6、176; .ABO 180 ° (AOB A) 180 ° (60 ° 30 °)90 ° ，-參考范例AB OB ，又 OB 為 O 半徑， AB 是O 的切線【思想方法】證明圓的切線常用兩種方法“作半徑，證垂直”或者 “作垂直，證半徑”【中考變形】12016·黃石 如圖Z12 5 ，O 的直徑為AB ，點(diǎn) C 在圓周上 ( 異于A， B) ，AD CD.(1) 若 BC 3，AB5，求 AC 的值；(2) 若 AC 是 DAB 的平分線，求證：直線CD是O 的切線圖Z12 5中考變形1 答圖解： (1)AB 是O 直徑， C 在O

7、 上， ACB 90 °，又 BC 3，AB 5，由勾股定理，得AC4；(2) 證明：如答圖，結(jié)連OC ， AC 是 DAB 的平分線， DAC BAC ，又 AD DC ， ADC ACB 90 °， ADC ACB ， DCA CBA ，又 OA OC ， OAC OCA ， OAC OBC 90 °，OCA ACD OCD 90 °，直線CD 是 O 的切線22017 ·南充 如圖Z12 6 ，在 Rt ACB 中， ACB 90 °，以 AC 為直徑作 O 交 AB 于點(diǎn) D ， E 為 BC 的中點(diǎn)，連結(jié)DE 并延長(zhǎng)交 AC

8、 的延長(zhǎng)線點(diǎn) F.(1) 求證： DE 是 O 的切線；(2) 若 CF 2，DF 4，求O 直徑的長(zhǎng)-參考范例圖Z12 6中考變形2 答圖【解析】(1) 連結(jié) OD ，欲證 DE是 O 的切線，需證OD DE ，即需證 ODE 90 ° ，而ACB 90 ° ，連結(jié) CD ，根據(jù)“ 等邊對(duì)等角 ”可知 ODE OCE 90 ° ，從而得證；(2) 在 Rt ODF 中，利用勾股定理建立關(guān)于半徑的方程求解解： (1) 證明：如答圖，連結(jié)OD ， CD. AC 是 O 的直徑，ADC 90° .BDC 90° . 又 E 為 BC 的中點(diǎn)，1DE

9、 2BC CE ， EDC ECD. OD OC ， ODC OCD. EDC ODC ECD OCD ACB 90 ° .ODE 90° ，DE是 O 的切線；222(2) 設(shè) O 的半徑為 x. 在 Rt ODF 中， OD DF OF，即 x2 4 2 (x 2) 2，解得 x 3. O 的直徑為6.【中考預(yù)測(cè)】如圖 Z12 7， AB 是 O 的直徑，點(diǎn)C， D 在 O 上， A 2BCD ，點(diǎn) E在 AB 的延長(zhǎng)線上，AED ABC.(1) 求證： DE 與 O 相切；(2) 若BF 2， DF 10 ，求 O 的半徑圖 Z12 7中考預(yù)測(cè)答圖-參考范例解： (1

10、) 證明：如答圖，連結(jié)OD. AB 是 O 的直徑，ACB90° ，A ABC 90° ， BOD 2 BCD ， A2BCD ， BOD A， AED ABC ， BOD AED 90 ° ，ODE 90 ° ，即 OD DE ，DE 與 O 相切；(2) 如答圖，連結(jié) BD ，過(guò)點(diǎn) D 作 DH BF 于點(diǎn) H. DE 與 O 相切， ACD BCD ODB BDE 90 ° ， ACD OBD ， OBD ODB ， BDE BCD ， AED ABC ， AFC DBF ， AFC DFB ， ACF 與 FDB都是等腰三角形，122F

11、H BH 2BF 1， HD DFFH 3，22222在 Rt ODH中， OH DH2 OD，即 (OD 1) 3 OD，OD 5.即 O 的半徑是5.-參考范例與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證明（2）1.如圖 8 ， CD 是 0 的切線，切點(diǎn)為 A,AB是 0 的直徑 .E,F 0 上的點(diǎn) ,C(1)求證： DAE= FDE/A B.(2)若 EF/CD, 求證 : AEF 是等腰三角形FOA BDE2. 如圖 7 0 的半徑為1 ，過(guò)點(diǎn)A(2 ， 0) 的直線切 0 于點(diǎn) B，交 y 軸于點(diǎn) C.(1) 求線段 AB 的長(zhǎng)；(2) 求以直線 AC 為圖象的一次函數(shù)的解析式3、在 ABC中， A

12、B=AC，內(nèi)切圓O 與邊 BC 、 AC 、 AB分別切于D 、 E 、 F.（ 1 ）求證： BF=CE ；（2）若 C=30 ° ， CE23 ，求 AC.4.如圖 10 ，在 O 中， ACB= BDC=60° ， AC=23cm ，（ 1 ）求 BAC的度數(shù)；（ 2 ）求 O 的周長(zhǎng)-參考范例5 已知：如圖， AB 是 O 的直徑， AD是弦， OC 垂直 AD于 F 交O 于 E，連結(jié) DE 、BE，且C=BED （ 1 ）求證： AC是 O 的切線；C（ 2 ）若 OA=10， AD =16 ，求 AC的長(zhǎng)DEFBAO3. 如圖， MP 切O于點(diǎn) M ，直線 P

13、O 交O于點(diǎn) A 、B，弦 AC MP，(1) 求證： MO BC(2 補(bǔ)充 )連結(jié) CM,當(dāng)四邊形BCMO為菱形時(shí),求 P 的度數(shù)或反過(guò)來(lái)問(wèn): 當(dāng)P30 ° 時(shí) , 判斷四邊形BCMO的形狀 , 并說(shuō)明理由.MPCAOB4. 如圖，在ABC中， ABAC ，以 AB為直徑的O交BC 于點(diǎn) M，MN AC于點(diǎn) N （ 1）求證 MN是 O 的切線；AN（ 2）若 BAC120 °，AB 2 ，求圖中陰影部分的面積OBMC-參考范例8 如圖， ABC 內(nèi)接于半圓， AB 是直徑，過(guò)A 作直線 MN ，若 MAC= ABC （ 1）求證： MN是半圓的切線；M（ 2）設(shè)D是弧AC 的中點(diǎn)，連結(jié)BD 交AC于 G ，C過(guò)D 作DEAB 于E，交 AC于FD求證： FD FGGF AEBN5. 如圖，半圓的直徑AB10 ，點(diǎn) C 在半圓上，BC6 （ 1 ）求弦 AC 的長(zhǎng)；（ 2）若 P 為 AB 的中點(diǎn)， PE AB 交 AC 于點(diǎn) E，求 PE 的長(zhǎng)CEABP6.已知：如圖，AB為 O 的直徑， ABAC，BC 交O 于點(diǎn) D， AC交O 于點(diǎn)E， BAC45°A（ 1）求EBC 的度數(shù)；（ 2）求證： BDCDOECBD