九年級數(shù)學圓周角定理

1、圓周角定理及其運用1、如圖，拋物線過點A(2, 0)、B (6, 0)、C (1, d ),平行于x軸的直線CD交拋物線于C、D,以AB為直徑的圓交直線CD于點£ F,則CE+FD的值是，第5頁共12頁2、如圖，AB為0O的直徑，點C為半圓上一點，AD平分ZCAB交00于點D。(1) 求證：OD/ACx(2)若 AC=8, 4B=10,求 AD.知識點一圓周角定理及其推論【知識梳理】1、圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。(1) 左理有三個方面的意義：A、圓心角和圓周角在同圓或等圓中；B、它們對著同一條弧或所對的弧是等弧;C、具備A

2、、B兩個條件的圓周角都是相等的，且等于圓心角的一半。(2) 因為圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等，所以圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半。(3) 立理中的“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”結(jié)論就不成立。因為一條弦所對的弧有兩段。2.圓周角定理的推論：推論：同呱或等弧所對的圓周角相等：同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧。推論：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角(90。的圓周角)所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。推論：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形?！纠}精講一】例 仁1、如圖，已知A (23 , 0) . B (0. 2),點P為aAOB外接圓上的

3、一點，且ZAOP=45°,則P點坐標3.如圖,D 36°2、如圖，點 A、B、C在00 上，ZA = 36°, ZC=28°,則ZB=()A. 46°B 72°C 64°4、如圖，ZA是00的圓周角，則ZA+ZOCB=5、如圖，在0O中，半徑0A垂直于弦BC,垂足為E,點D在CA的延長線上，若ZDAB + ZAOB=60S(1)求ZAOB的度數(shù):(2)若AE=1,求BC的長?！菊n堂練習】1.如圖，)0中，弦AB與CD交于點M, ZA=45°,(第1題)2、如圖，在00中，直徑垂直弦CD, E為BC弧上一點，下列結(jié)論

4、：® Z1 = Z2： Z3=2Z4； Z3+Z5=18O°。其中正確的是()A.B. ©®C.陰3、如圖，0A. OB、OC 都是0O 的半徑，ZAOB=2ZBOCa(1)求證：ZACB = 2ZBAC：(2)若AC平分ZOAB,求ZA0C的度數(shù)。4、如圖，在aABC中，ZC=90% D是BC邊上一點，以DB為直徑的0O經(jīng)過AB的中點E,交AD的延長線 于點F,連結(jié)EF。 （1）求證：Z1 = ZF； （2）若CD=3, EF= 25 ,求00的半徑長。A知識點二圓內(nèi)接三角形、四邊形【知識梳理】1、圓內(nèi)接三角形泄義：經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外

5、接圓，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形。性質(zhì)：（1）三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形各頂點的距離相 等：（2）三角形的外接圓有且只有一個，即對于給泄的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù) 個，這些三角形的外心重合。注意：銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點處（即直角三角形外接圓半徑 等于斜邊的一半）；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部。2、圓內(nèi)接四邊形泄義：四邊形的四個頂點均在同一個圓上的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形。性質(zhì)：（1）圓內(nèi)接四邊形對角互補；（2）圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角，即外角等于內(nèi)對角。

6、注意：圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可以由同一條對角線（同一條弦）所對的兩種圓周角互補得到。A【例題精講二】 例21、如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，C是劣孤BD的中點，延長DA到E點。已知ZCOD=10%則ZBAE的度數(shù)是（）A.100°B. 110°C. 120°2、（第1題）（第2題）如圖，等腰 ABC內(nèi)接于OO,AB = AC = 4y/59 BC=8,則0 0 的半徑為.（2, 0） , OB與x軸正方向夾角為60。，則過A. 0、B三點的圓的圓心坐如圖，OA=OB,點A的坐標是3.（第3題）數(shù)。（第4題）O點在ZD的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，求ZOA

7、D+ZOCD的度5、如圖，OO為aABC的外接圓，ZA=72°,則ZBCO的度數(shù)為6、如圖，ZDAE是00的內(nèi)接四邊形ABCD的一個外角，且ZDAE=ZDAC。求證：DB=DC。知識點三弧、弦、圓心角轉(zhuǎn)化【知識梳理】1、弧、弦、圓心角的關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。2、推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的英余各組量分 別相等。注意：因為一條弦對的弧有兩條，所以由弦等得出弧等時，這里的弧等指的是弦對的劣弧與劣弧相等，優(yōu)弧與優(yōu) 弧相等?！纠}精講三】例3.1、如圖，已知四邊形ABCD是矩形，AB是00的直徑

8、，E是OO上一點，過點E作EFA.DC于點化 若DF=EF=g AB=3AE.則矩形ABCD中AD的長度為第7頁共12頁2、如圖，AB 是0O 的直徑，C、D 在00 上，AD = CD.若ZDAB = 58% 則ZCAB=3、如圖,在OO中，AB是直徑，C、D是圓上兩點，使得AD = BCo求證:4、如圖，00中，弦AD = BC.(1)求證：AC=BD：(2)若ZD=60% OO的半徑為2,求的長?！菊n堂練習】1、如圖，MN是00的直徑，MN=2,點A在00上，ZAMN=30。，B為弧AN的中點，P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值是第9頁共12頁2、如圖，將半徑為8的OO沿AB折疊

9、，弧AB恰好經(jīng)過與AB垂直的半徑0C中點D,則AB長為（）C. 8D. 103. 如圖，00是AABC的外接圓，AB是00的直徑，D為OO ±一點，OD丄AC,垂足為E,連接BD、CD.（1）求證：BD平分ZABC； （2）當ZODB = 30。時，求證：四邊形0BCD是菱形。4、已知aABC是QO的內(nèi)接正三角形，P為BC上一點（與點B、C不重合）。（1）如果點P是弧BC的中點，求證：PB+PC=PA；（2）如果點P在BC上移動，（1）的結(jié)論還成立嗎？請說明理由。1、有下列四個命題：直徑是弦：經(jīng)過三個點一左可以作圓：三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等:半徑相等的兩個半圓是等弧&#

10、176;其中正確的有（）A4個B. 3個C. 2個D1個2、下列說法：其中正確的個數(shù)有（）相等的圓心角所對的狐相等；相等的弧所對的弦相等；相等的弦所對的弧相等：半徑相等的兩個半圓是等弧。A.B. 2個C. 3個D. 4個如圖，AB、CD都是00的弦，且AB丄CD“若ZCDB=62°,則ZACD的大小為（）28°B. 31°A.點坐標為A. (3,C.（第5題）RtA ABC為直角三角形，ZABC=90% AB垂直于x軸，M為RtA ABC的外心。若A（3, 4） , M點坐標為（1, 1）,則B點坐標為（B. (3, -2)C. (3, - 3)D. (3, -4

11、)5、如圖,AB是半圓的直徑，點D是弧AC的中點，ZB = 50。，則下列判斷不正確的是（）A. ZACB=90° B AC=2CDC ZDAB = 65°D ZDAB + ZDCB = 180°7、如圖，半徑為5的0A中，弦BC, ED所對的圓心角分別是ZBAC、ZEAD,已知DE=6, ZBAC+ZEAD= 180°,則弦BC的長為,8、如圖，在0O 中，ZAOC=140°, ZACB=50°,則ZBAC=°C（第8題）E0（第9題）第11頁共12頁9、如圖，AB是00的一條弦，0D丄AB,垂足為C,交00于點D,點E在0O上。(1)若 ZAOD=50°,求 ZDEB 的度數(shù);(2)若 OC=3, ZA=30% 求 AB 的長。10. 如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于0O, ZBOD=80°,求ZBAD和ZBCD的度數(shù)。11、在00中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點D,連接CD。(1) 如圖1,若點D與圓心O重合，AC=2,求00的半徑r：(2) 如圖2,若點D與圓心O不重合，Z