CH3傅里葉變換ppt課件

1、第三章 傅里葉變換 信號(hào)的正交分解 傅里葉級(jí)數(shù) 周期信號(hào)的頻譜 傅里葉變換 抽樣信號(hào)與抽樣定理引 言傅里葉級(jí)數(shù)的發(fā)展史： 1807年，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉提出“任何周期信號(hào)都可以利用正弦級(jí)數(shù)來表示。 1829年，狄義赫利指出，周期信號(hào)只有滿足了若干限制條件，才能用傅里葉級(jí)數(shù)來表示。傅里葉級(jí)數(shù)與變換的應(yīng)用 物理學(xué)、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué) 等。 EG：反映地球氣候的周期性變化很自然地會(huì)引入正弦信號(hào)； 交流電源產(chǎn)生的正弦電壓和電流； 無線電臺(tái)和電視臺(tái)發(fā)射的信號(hào)都是正弦的。 一、 正交函數(shù)與正交函數(shù)集 設(shè)f1(t)和f2(t)是定義在(t1,t2)區(qū)間上的兩個(gè)實(shí)變函數(shù)(信號(hào))，

2、若在(t1,t2)區(qū)間上有 則稱 f1(t)和f2(t) 在(t1,t2)內(nèi)正交。210)()(21ttdttftf (3-5)3.1 信號(hào)的正交分解信號(hào)的正交分解 若f1(t)，f2(t), fn(t)定義在(t1,t2)區(qū)間上，并且在(t1,t2) 內(nèi)有 那么f1(t)，f2(t), fn(t) 在(t1,t2)內(nèi)稱為正交函數(shù)集，其中i, r=1,2,n; Ki為一正數(shù)。 f1(t)，f2(t), fn(t)稱為歸一化正交函數(shù)集 。210)()(ttiririkridttftf (3-6)2110)()(ttririridttftf (3-7)二、 完備的正交函數(shù)集 如果在正交函數(shù)集f1(

3、t)，f2(t), fn(t) 之外，找不到另外一個(gè)非零函數(shù)fi(t)與該函數(shù)集中每一個(gè)函數(shù)都正交，則稱該函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。 定理1: 設(shè)f1(t)，f2(t), fn(t) 在(t1,t2)區(qū)間內(nèi)是某一類信號(hào)(函數(shù))的完備正交函數(shù)集，則這一類信號(hào)中的任何一個(gè)信號(hào)f(t)都可以精確地表示為f1(t)，f2(t), fn(t) 的線性組合。 式中，Ci為加權(quán)系數(shù)，且有 )()()()(2211tfCtfCtfCtfnn (3-9) 常稱正交展開式，有時(shí)也稱為歐拉傅里葉公式或廣義傅里葉級(jí)數(shù)， Ci稱為傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。 dttfdttftfCttiitti2*2121)()()( 式子可以理解

4、為：f(t)的能量等于各個(gè)分量的能量之和，即反映能量守恒。定理2也稱為帕塞瓦爾定理。 定理定理2 2 在式在式 條件下，有條件下，有)()()()(2211tfCtfCtfCtfnn (3-9)dttfCdttfittiitt222121)()( (3-11)例例.1 已知余弦函數(shù)集已知余弦函數(shù)集cost,cos2t,cosnt(ncost,cos2t,cosnt(n為整數(shù)為整數(shù)) )(1) (1) 證明該函數(shù)集在區(qū)間證明該函數(shù)集在區(qū)間(0,2)(0,2)內(nèi)為正交函數(shù)集；內(nèi)為正交函數(shù)集；(2) (2) 該函數(shù)集在區(qū)間該函數(shù)集在區(qū)間(0(0，2)2)內(nèi)是完備正交函數(shù)集嗎內(nèi)是完備正

5、交函數(shù)集嗎? ?(3) (3) 該函數(shù)集在區(qū)間該函數(shù)集在區(qū)間(0(0，/2) /2) 內(nèi)是正交函數(shù)集嗎內(nèi)是正交函數(shù)集嗎? ? 解:(1) 因?yàn)楫?dāng)ir時(shí)0)sin()sin(21)cos()cos(2020ritriritridtrtit 可見該函數(shù)集在區(qū)間(0，2)內(nèi)滿足正交函數(shù)集的定義式，故它在區(qū)間(0，2)內(nèi)是一個(gè)正交函數(shù)集。 2020)2sin(2121)cos()cos(ittdtrtit 當(dāng)i=r時(shí)(2) 因?yàn)閷?duì)于非零函數(shù)sint，有 即sint在區(qū)間(0，2)內(nèi)與cosnt正交。故函數(shù)集cosnt在區(qū)間(0，2)內(nèi)不是完備正交函數(shù)集。 0cossin10cossin12020ntd

6、ttnntdttn時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)(3) 當(dāng)ir時(shí)對(duì)于任意整數(shù)，此式并不恒等于零。因而，根據(jù)正交函數(shù)集的定義，該函數(shù)集cosnt在區(qū)間(0,/2)內(nèi)不是正交函數(shù)集。 結(jié)論：一個(gè)函數(shù)集是否正交，與它所在區(qū)間有關(guān)，在某一區(qū)間可能正交，而在另一區(qū)間又可能不正交。 2/0222sin2cos2cos2sin1coscosrirriirirtdtit三、 常見的完備正交函數(shù)集三角函數(shù)集cos nt，sin nt(n=0,1,2) 在區(qū)間t0,t0+T內(nèi)，有 TttmnTmnTmntdtmtn00)0()(2)(0coscosTttmnTmnmntdtmtn002)0,(0sinsinTtttdtmtn000

7、cossin2T 在t0,t0+T區(qū)間內(nèi)，三角函數(shù)集對(duì)于周期為T的信號(hào)組成正交函數(shù)集，而且是完備的正交函數(shù)集(其完備性在此不討論)。而函數(shù)集cosnt,sin nt，也是正交函數(shù)集，但它們均不是完備的。 (2) 函數(shù)集 在t0,t0+T區(qū)間內(nèi)，對(duì)于周期為T的一類周期信號(hào)來說，也是一個(gè)完備的正交函數(shù)集。), 2, 1, 0(n netj(3) 函數(shù)集 在區(qū)間(-，)內(nèi)，對(duì)于有限帶寬信號(hào)類來說是一個(gè)完備的正交函數(shù)集。這里 稱為抽樣函數(shù)。 ), 2, 1, 0)( nnTtTSaxxxSasin)(3.2 3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)形式： 從數(shù)學(xué)上講，當(dāng)

8、周期信號(hào)滿足狄里赫利條件時(shí)才可展開為傅里葉級(jí)數(shù)。 （1在一個(gè)周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)是有限的；（2在一個(gè)周期內(nèi)，極大值和極小值的個(gè)數(shù)是有限的；（3在一個(gè)周期內(nèi)，信號(hào)時(shí)絕對(duì)可積的。 但在電子、通信、控制等工程技術(shù)中的周期信號(hào)一般都能滿足這個(gè)條件，故以后一般不再特別注明此條件。 )sin()cos(.)sin()cos(.)2sin()2cos()sin()cos()(111011121211110tnbtnaatnbtnatbtatbtaatfnnnnn100)(110TttdttfTa直流分量：100)cos()(211TttndttntfTa余弦分量的幅度：100)sin(

9、)(211TttndttntfTb正弦分量的幅度：)cos()(110nnntncctf)sin()(110nnntnddtfnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbaabdcbdcabadcdcaarctanarctancossinsincos22000 任何周期信號(hào)，只要滿足狄里赫利條件，都可以分解為許多頻率成整數(shù)倍關(guān)系的正(余)弦信號(hào)的線性組合。 在三角型傅里葉級(jí)數(shù)展開式中，a0是直流成分；a1cost, b1sint稱為基波分量， w=2/T為基波頻率； ancosnt, bnsinnt稱n次諧波分量。 直流分量的大小，基波分量和各次諧波的振幅、相位取決于周期信號(hào)的波形。有：an是n

10、的偶函數(shù)，bn是n奇函數(shù)， 例例.1 如圖所示鋸齒波，求其三角型傅里葉級(jí)如圖所示鋸齒波，求其三角型傅里葉級(jí)數(shù)展開式。數(shù)展開式。 t22f(t)圖 3 - 3解解 : : 由圖可知，該信號(hào)由圖可知，該信號(hào)f(t)f(t)在一個(gè)周期區(qū)間在一個(gè)周期區(qū)間(-,)(-,)內(nèi)，有內(nèi)，有由三角型傅里葉級(jí)數(shù)展開式，得由三角型傅里葉級(jí)數(shù)展開式，得故該信號(hào)故該信號(hào)f(t)f(t)的三角型傅里葉級(jí)數(shù)展開式為的三角型傅里葉級(jí)數(shù)展開式為ttttf0)(.)2 , 1 , 0( , 00naannnntdtntbnn2) 1(cos2sin1112T)3sin312sin21(sin2)( ttttf二、

11、指數(shù)形式與三角型傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)關(guān)系 ntjnenFtf1)()(1dtetfTFnFTttjnn01011)(1)(0000dcaF)(21nnnjbaF)(21nnnjbaF三、周期信號(hào)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系1、偶函數(shù) 若周期信號(hào)f(t)波形相對(duì)于縱軸是對(duì)稱的，即滿足f(t)=f(-t) 其傅里葉級(jí)數(shù)展開式中只含直流分量和余弦分量，即), 2 , 1 , 0( cos)(402/0 ntdtntfTabTnn2、奇函數(shù) 若周期信號(hào)f(t)波形相對(duì)于縱坐標(biāo)是反對(duì)稱的，即滿足 f(t)=-f(-t) 其傅里葉級(jí)數(shù)展開式中只含有正弦項(xiàng)，即 ), 2 , 1 , 0( sin)(402/0 nt

12、dtntfTbaTnn3、奇諧函數(shù) 若周期信號(hào)f(t)波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期后與原波形相對(duì)于時(shí)間軸像對(duì)稱，即滿足 則稱為奇諧函數(shù)或半波對(duì)稱函數(shù)。 其傅里葉級(jí)數(shù)展開式中只含有正弦和余弦項(xiàng)的奇次諧波分量。 T)2()(tftf (3-22)(tft21T1T21T)2(1Ttft21T1T21T4、偶諧函數(shù) 若周期信號(hào)f(t)波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期后與原波形完全重疊，即滿足則為偶諧函數(shù)或半周期重疊函數(shù)。其傅里葉級(jí)數(shù)展開式中只含有正弦和余弦波的偶次諧波分量。 )2()(Ttftf (3-23)21T21Tt1T)(tf一、信號(hào)頻譜的概念 從廣義上說，信號(hào)的某種特征量隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱為信號(hào)

13、的頻譜，所畫出的圖形稱為信號(hào)的頻譜圖。 描述各次諧波振幅與頻率關(guān)系的圖形稱為振幅頻譜 描述各次諧波相位與頻率關(guān)系的圖形稱為相位頻譜 3.3 3.3 典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù) nAn則對(duì)應(yīng)的振幅頻譜和相位頻譜 稱為單邊頻譜。 2、雙邊頻譜若周期信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為n則對(duì)應(yīng)的振幅頻譜Fn 和相位頻譜 稱為雙邊頻譜。 1、單邊頻譜若周期信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為)cos()(110nnntncctfntjnenFtf1)()(11、 周期矩形脈沖信號(hào)周期矩形脈沖信號(hào)(1) 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)t)(tf2221T21T1T1TE0nb112211001114

14、42( )coscosSa()2TnnnEaf tntdtEntdtcTTT120120102)(21TEEdtTdttfTaT442二、常用信號(hào)的頻譜111112( )Sa()cos2nnEEf tntTT 周期矩形脈沖信號(hào)的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)為 f(t)的指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)為)2(Sa21)(2111nTEajbaFnnnnntjnenTEtf1)2(Sa)(11nc1TE12TE11224nc1TE12TE1122424n（2頻譜圖頻譜圖nF1TE11224nF1TE1122424n24nc1TE12TE11224nF1TE11224nc1TE12TE11224nF1TE1122424

15、n24n24單邊頻譜圖單邊頻譜圖雙邊頻譜圖3、 周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)離散性 - 頻譜是離散的而不是連續(xù)的，這種頻譜稱為離散頻譜。諧波性 - 譜線出現(xiàn)在基波頻率= 2/T 的整數(shù)倍上。收斂性 - 幅度譜的譜線幅度隨著n 而逐漸衰減到零。頻譜圖的特點(diǎn)以矩形波的頻譜為例）（a單邊振幅頻譜與雙邊振幅頻譜 將雙邊振幅頻譜負(fù)n一邊對(duì)折到n一邊，并將振幅相加，便得到單邊振幅(b) 頻譜是離散的，兩譜線間隔為=2/T(c)直流分量、基波及各次諧波分量的大小正比于脈幅E和脈寬，反比于周期T，其變化受包絡(luò)線sinx/x的牽制。 (d) 當(dāng) 時(shí)，譜線的包絡(luò)線過零點(diǎn)。因而 稱為零分量頻率。 )2, 1( 2mm 2m(

16、e) 周期矩形脈沖信號(hào)包含無限多條譜線，可分解為無限多個(gè)頻率分量，但其主要能量集中在第一個(gè)零分量頻率之內(nèi)。 20 通常把 這段頻率范圍稱為矩形信號(hào)的有效頻譜寬度或信號(hào)的占有頻帶，記作頻譜結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系頻譜結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系T1, T1, ） 若不變，T1擴(kuò)大一倍，即T1=41T2=81 t)(tf12TE1Tnc4E2E124t)(tfE1Tnc4E8E124(1) 離散譜線的間隔=2/T 將變小，即譜線變密。 (2) 各譜線的幅度將變小，包絡(luò)線變化緩慢，即振幅收斂速度變慢。(3) 由于不變，故零分量頻率位置不變，信號(hào)有效頻譜寬度亦不變。 當(dāng)周期無限增大時(shí)，f(t)變?yōu)榉侵芷谛盘?hào)，從而

17、周期信號(hào)的離散頻譜過渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜.t)(tf12TE1Tnc4E2E124t)(tf12TE1Tnc4E8E12 若T1不變，減小一倍，即T1=41T1=82 如果保持矩形信號(hào)的周期 T 不變，而改變脈沖寬度，此時(shí)譜線間隔不變。 若減小 頻譜中的第一個(gè)零分量頻率 =2/ 增大， 同時(shí)出現(xiàn)零分量頻率的次數(shù)減小，相鄰兩個(gè)零分量頻率間所含的諧波分量增大。 并且各次諧波的振幅減小，即振幅收斂速度變慢。 若增大，則反之。 譜線間隔 =2/T1 只與周期 T1有關(guān)，且與T1 成反比； 零值點(diǎn)頻率=2m/只與有關(guān)，且與成反比； 譜線幅度與 T1和 都有關(guān)系，且與T1 成反比與成正比。2 2、周期

18、矩形信號(hào)、周期矩形信號(hào) 一個(gè)周期內(nèi) 的表達(dá)式為：)(tf11122202)(TtTETtEtf0)(11010TdttfTa0cos)(21011TntdtntfTa6 , 4 , 205 , 3 , 12sin)(21011nnnEtdtntfTbTn2E2E21T21T0)(tft1T(1)三角形式傅里葉級(jí)數(shù)：因而)5sin513sin31(sin2sin12)(1115 , 3 , 11ttEtnnEtfn得11,3,521( )cos()2nEf tntn)5sin513sin31(sin2sin12)(1115 , 3 , 11ttEtnnEtfn)5 , 3 , 1(2)arcta

19、n(nabnnnnncb6 , 4 , 205 , 3 , 12nnnE(1,3,5)2(1, 3, 5)2nnn 6, 4, 205, 3, 12)(21nnnjEbjjbaFnnnn111133( )33jtjtjtjtjEjEjEjEf teeee (1, 3, 5)nEFnn （2指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)nc113150E232E52En01131526 , 4 , 205 , 3 , 12nnnEcn)5 , 3 , 1(2nn22n1513111315nFE3E5E1131511315)5, 3, 1(nnEFn)5, 3, 1(2)5 , 3 , 1(2nnn)(tf2/E2/Et1T

20、1T41T41T3、對(duì)稱矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)、對(duì)稱矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù))5cos513cos31(cos2cos)2(Sa)(11111tttEtnnEtfn02220101TdtETa0nb)2(.6 , 4 , 20.5 , 3 , 12)sin(124)cos(244411144111111nSaEnnnEtnnETdttnETaTTTTnncE1131517nc11315E171131517n4、 周期鋸齒脈沖信號(hào)E/2tf(t)-E/2T1/2-T1/2111sin1) 1()(nntnnEtf 周期鋸齒脈沖信號(hào)的頻譜只包含正弦分量，諧波的幅度以1/n的規(guī)律收斂。5、 周期三

21、角脈沖信號(hào) 周期三角脈沖的頻譜只包含直流、奇次諧波的余弦分量，諧波的幅度以 的規(guī)律收斂。2/1 nEf(t)t-T1-T1/2T1/2T1.)3cos31(cos42)(1212ttEEtf三、 周期信號(hào)的功率譜 f(t)的平均功率定義為在1電阻上消耗的平均功率，即 該式稱為帕塞瓦爾(Parseval)定理。它表明周期信號(hào)的平均功率完全可以在頻域Fn用加以確定。 實(shí)際上它反映周期信號(hào)在時(shí)域的平均功率等于頻域中的直流功率分量和各次諧波平均功率分量之和。 若f(t)的指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)展開式代入 與n1的關(guān)系稱為周期信號(hào)的功率頻譜，簡(jiǎn)稱為功率譜。顯然，周期信號(hào)的功率譜也是離散譜。 2nF例例3.3.

22、13.3.1試求圖所示周期矩形脈沖信號(hào)試求圖所示周期矩形脈沖信號(hào)f(t)f(t)在有效在有效頻譜寬度內(nèi)，諧波分量所具有的平均功率占整個(gè)信號(hào)頻譜寬度內(nèi)，諧波分量所具有的平均功率占整個(gè)信號(hào)平均功率的百分比。設(shè)平均功率的百分比。設(shè)E=1E=1，T1=1/4T1=1/4， 201,41, 1TE解：解： 因?yàn)橐驗(yàn)?周期信號(hào)的平均功率為 WdttfTPTT2 . 0)(12/2/2在有效頻譜寬度內(nèi)信號(hào)的平均功率為 22423222120FFFFFPBWSSSaaa1806. 0)54()53()5(525122222故 9 . 02 . 01806. 0PPB 在所給出的周期矩形脈沖情況下，包含在有效頻

23、譜寬度內(nèi)的信號(hào)平均功率約占整個(gè)信號(hào)平均功率的90%。 5/)5/sin(51)2(nnnSTEFan3 34 4 傅里葉變換傅里葉變換 根據(jù)完備正交函數(shù)中的定理二可知，信號(hào)的能量是不會(huì)變的，在各個(gè)域中能量應(yīng)該守恒，也是說之前用傅里葉級(jí)數(shù)推得頻譜函數(shù)是行不通的，怎么解決？問題：非周期信號(hào)的頻譜是怎樣的？ 周期信號(hào)T時(shí)，周期信號(hào)就演變?yōu)榉侵芷谛盘?hào)， 而，T，使得Fn0，那又何談非周期信號(hào)的頻譜問題。t)(tf2221T21T1T1TE1Tt)(tf22E1T112T譜線間隔1T0211T0譜線間隔周期信號(hào)的離散譜非周期信號(hào)的連續(xù)譜一、傅里葉變換一、傅里葉變換1 1、頻譜密度函數(shù)、頻譜密度函數(shù) F稱

24、為頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻譜函數(shù)稱為頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻譜函數(shù) 推得：110110)()(2)(limlim11TnFnFFTdtetfFtj)()(deFtftj)(21)(2、傅里葉變換 傅里葉正變換式，記為: F f(t) =F() 或 f(t)F(). dtetfFtj)()(deFtftj)(21)( 傅里葉逆變換式，記為:)()()()(1tfFtfFF或3、傅里葉變換的存在條件充分條件）要使F()存在必須: tjetf)(是變量t的函數(shù)，它可正可負(fù)。但如果取絕對(duì)值再進(jìn)行積分，dtetfdtetfdtetftjtjtj)()()(則必有證：dtetfjFtj)()(1tje又 故假如

25、dttf)(那么 )()(jFdtetftj必然存在。 二、典型信號(hào)的傅里葉變換 1、單邊指數(shù)信號(hào)、單邊指數(shù)信號(hào))(tf1t000)(1ttetfat幅度頻譜: 2211)(aF相位頻譜 )arctan()(ajadteeFtjat1)(01幅度頻譜: 2211)(aF相位頻譜 )arctan()(a2、偶雙邊指數(shù)信號(hào)taetf)(2幅度頻譜2222)(aaF相位頻譜0)(2222)(aadteeFtjta3、奇雙邊指數(shù)信號(hào))0(00)(3atetetfatat2232)(aF0202)(220032)(ajdteedteeFtjattjat4、矩形脈沖信號(hào) )2()2()(4tutuEtf)

26、2()(4SaEF,.2 , 1 , 0) 1(4) 12(2) 12(240)(nnnnn)2()2sin(2)(224SaEEdtEeFtj5、符號(hào)函數(shù)信號(hào) 信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，但它卻存在傅里葉變換。對(duì)奇雙邊指數(shù)信號(hào) :)0(1)0(0)0(1)sgn()(5tttttf)0(00)(3atetetfatat當(dāng)a0時(shí)，有 )sgn()(30limttfa2)(5F0202)(jajFFaa2)2()()(220305limlim6、單位直流信號(hào) 該信號(hào)也不滿足絕對(duì)可積條件，但可利用指數(shù)函數(shù)取極限 ttf1)(61)()(limlim0206taaaetftf220002)()(2222

27、0206limlimdaaaaFFaa且)(2)(6F7、單位階躍信號(hào)ut）可利用單邊指數(shù)函數(shù)求其傅里葉變換，即 )()()()(limlim0107tuetftutfataa)(1)()(222200107limlimlimajaajaFFaaa)(220limaaajF1)()(7 單位沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)，也就是說，在整個(gè)頻率范圍內(nèi)頻譜是均勻的。這種頻譜常常被叫做“均勻譜或“白色頻譜”。7、沖激函數(shù)的傅里葉變換、沖激函數(shù)的傅里葉變換)(1tf/12/2/t11()Sa()2Fj24240)(tt)1(011)(jF1)(8F沖激偶的傅里葉變換沖激偶的傅里葉變換, 1)(tF上式兩邊對(duì)t

28、 求導(dǎo)得：dejtdtdtj)(21)(同理：nnjt)()()(FF( )tjdettj21)(三、三、 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)1 1、 線性線性例例.1 利用傅里葉變換的線性性質(zhì)求單位階躍信號(hào)利用傅里葉變換的線性性質(zhì)求單位階躍信號(hào)的頻譜函數(shù)。的頻譜函數(shù)。 解：因?yàn)閒t）=u(t)=1/2+(1/2)sgn(t) )()()()()()()()(21212211bFaFtbftafFtfFtf則：若jjF1)(221)(221)(2、 對(duì)稱性對(duì)稱性證明：證明： 因?yàn)閷⑸鲜街凶兞?和t互換)(2)()()(ftFFtf則：若)(2)(ftFdeFtftj)(2

29、1)(deFtftj)()(2)()()(2tFFdetFftj 傅里葉變換之間存在著對(duì)稱關(guān)系，即信號(hào)波形與信號(hào)頻譜函數(shù)的波形有著互相置換的關(guān)系。 其幅度之比為常數(shù)2。式中的表示頻譜函數(shù)坐標(biāo)軸必須正負(fù)對(duì)調(diào)。 EG:)(2)(21)(1)()()(ftFFttf例例.2若信號(hào)若信號(hào)f(t)f(t)的傅里葉變換為的傅里葉變換為 求求 f(t)f(t)解 :)2()(tSaAtf2022)(AF2022)(AtF根據(jù)對(duì)稱性得 Sa函數(shù)為偶函數(shù))2()(SaAf將F()中的換成t，并考慮F()為的實(shí)函數(shù) )2(2)(SaAtfF傅里葉變換由定義式可知為 3、奇偶虛實(shí)性(折疊性)無論f(

30、t)是實(shí)函數(shù)還是復(fù)函數(shù)，都有： )()()()()()()()(*為虛函數(shù)為實(shí)函數(shù)則：若tfFtfFFtfFtf)()()()()()(*FtfFFtfFFtfF(1) 當(dāng)f(t)為實(shí)函數(shù)時(shí)，那么 當(dāng)f(t)為實(shí)偶函數(shù) f(t) = f(-t) ，那么 )()()()()()(jXReFFtfj若)()()()()()()()(XXRRFF)(0)()()(為實(shí)偶函數(shù)FXRF當(dāng)f(t)為實(shí)奇函數(shù) ，那么 (2) 當(dāng)f(t)為虛函數(shù) ，那么 )(0)()()(為虛奇函數(shù)FRjXF)()()()()()()()(XXRRFF四、尺度變換性 由上可見，信號(hào)在時(shí)域中壓縮等效在頻域中擴(kuò)展； 反之，信號(hào)在

31、時(shí)域中擴(kuò)展等效在頻域中壓縮。特例：f(-t) F(-)()(1)()()(為非零的實(shí)常數(shù)則：若aaFaatfFtf例例.3 知知 , ,求頻譜函數(shù)求頻譜函數(shù)F() F() 。 0)(Etf4/4/tt解解: : 根據(jù)尺度變換性 的頻譜函數(shù) )2()2()(4tutuEtf)2()(4SaEF)2()(4tftf)4(2)2(21)(4SaEFF圖 3 - 21E2/02/)(0jF0 E/2/2t)(0tfE4 /04 /t)(tf)(jF02/E/4 五、時(shí)移特性五、時(shí)移特性例3.4.4：求下圖所示的單邊矩形脈沖信號(hào)的頻譜函數(shù)F() 。解：解：)(tfEt根據(jù)時(shí)移特性0)()

32、()()(0tjeFttfFtf則：若2)2()(jeSaEF)2()(SaEFG0)(1)(0tajeaFatatf擴(kuò)展：幅度譜保持不變，相位譜產(chǎn)生附加相移2/4( ) 2/E)(jF242六、頻移特性調(diào)制定理）六、頻移特性調(diào)制定理）)()()()(00FetfFtftj則：若)()(2sin)()()(21cos)(:000000FFjttfFFFttfFeg例：求矩形調(diào)幅信號(hào)的頻譜函數(shù)，已知f(t)=G(t) cos0t，其中G(t)為矩形脈沖，脈幅為E, 脈寬為。)(tfE2t2)()(21)(00jGjGjF2)(Sa2)(Sa200E解：)(jF20002E()Sa()2G jE七

33、、時(shí)域微分特性七、時(shí)域微分特性EG: EG: )()()(ttfn的頻譜函數(shù)F() )()()()()(FjdttfdFtfnnn則：若由時(shí)域微分性 njF)()(例例.5 如圖所示信號(hào)如圖所示信號(hào)f(t)f(t)為三角形函數(shù)為三角形函數(shù) t)/(tf(t) 10t(t)f 0/1/ 1-t(t)f 0)/(1)/(1)/(-2(a) (b) (c)圖3 - 2201)2()(tttftt01)2()(tttf解解: : 將將f(t)f(t)微分兩次后，得微分兩次后，得 )(1)(2)(1)( ttttft)/(tf(t) 10t(t)f 0/1/ 1-t(t)f 0)/(1)

34、/(1)/(-2(a) (b) (c)圖3 - 22八、頻域微分特性nnnnnnndFdtfjtdFdjtftddFtfjtddFjttfFtf)()()()()()()()()()(）（即）（即則：若例例.6 求求f(t)=tu(t)f(t)=tu(t)的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù)F()F()。解解: : 根據(jù)頻域微分性 jtuF1)()(21)(1)()(jjddjttuF九、時(shí)域積分性 例例.7 求圖所示信號(hào)求圖所示信號(hào)f(t)f(t)的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù)F() F() 。 (a) (b) (c)圖3 - 23tf(t)102/2/tf(t)102/2/1tf(t

35、)0)/(-1)/(12/2/(a) (b) (c)圖3 - 23tf(t)102/2/tf(t)102/2/1tf(t)0)/(-1)/(12/2/)()0()()()()(FjFdfFtft則：若解解: : 對(duì)對(duì)f(t)f(t)求兩次微分后，得求兩次微分后，得)2/(1)2/(1)( tttf)2sin(211)(2/2/ jeetfjtj由時(shí)域積分性)2()2sin(2)(0)2sin(2)()( Sadxxftft)2(1)()()0()2sin(2)()(2SajSajdxxftft十、頻域積分性例例.8 知知 tttf)sin()(求F() 解解: : ) 1()

36、1() 1() 1(22)(21)sin(jjeejtjtjt) 1() 1() 1() 1(1)sin(UUdxxxjjttdFtfjttfFtf)()()0()()()(則：若=u(+1)- u(-1)十一、時(shí)域卷積定理 )()()(*)()()()()(21212211FFtftfFtfFtf則：若解：因解：因 1)()()(tGtGtf例例.9如圖所示的三角形函數(shù)如圖所示的三角形函數(shù) 01)(ttftt可看做為兩個(gè)如圖所示門函數(shù)卷積。試?yán)脮r(shí)域卷積定理求其頻譜函數(shù)F()。 tf(t)10t(t)G102/2/1(a) (b)圖 3 - 24tf(t)10t(t)G102

37、/2/1(a) (b)圖 3 - 24)2()(SaG得：)2()(2SaF例例.10一個(gè)信號(hào)一個(gè)信號(hào)f(t)f(t)的希伯特變換的希伯特變換 是是f(t)f(t)和和 的卷積，即的卷積，即 求其傅里葉變換。求其傅里葉變換。 )(tft1dtfttftf)()(11)()(解： 因?yàn)?jt2)sgn(根據(jù)對(duì)稱性 )sgn(2)sgn(22jt)sgn(1jt)()sgn(1)()(jFjttftf十二、頻域卷積定理例3.3.11利用頻域卷積定理求f(t)=tu(t)的傅里葉變換F()。解：解： 因?yàn)橐驗(yàn)?jt )()(2)(2jt)(2jt )(*)(21)()()()()(

38、)(21212211FFtftfFtfFtf則：若jtu1)()()1()()(1)()(1)()(221)(jjjjjF)1()()(2 jjF十三、帕塞瓦爾定理可推廣 dFFdttftfFtfFtf)()(21)()()()()()(21212211則：若dFdttf2121)(21)(dFFdttftftftf)()(21)()()()(*212*121則：為復(fù)數(shù)若例例.12 求求 dSa)(2解：解： 因因 dSaSadSa)(2)(22142)(2)()(22tGSa由帕塞瓦爾定理可得dttGtGdSa)()(2)(2223.5 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉

39、變換周期信號(hào)周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)非周期信號(hào)非周期信號(hào)1T？傅里葉變換傅里葉變換1T一、復(fù)指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換 二、 正弦、余弦信號(hào)的傅里葉變換)()(cos000tF)()(sin000 jtFttf01cos)(1t-1ttf02sin)(1t-1)(1jF 0 00)()()(Im2jF 0 0)()(0圖 3 - 25 三、單位沖激序列的傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換。ntjnntjnnTeTeFt1111)(111/2/21111( )Tjn tnTFt edtTT01T12T1T12Tt)(tT) 1 (nTnTtttf)()()(1nnnnTF)()(21)(111101nF121

40、1211T 可見，時(shí)域周期為T1的單位沖激序列，其傅里葉變換也是周期沖激序列，而頻域周期為1，沖激強(qiáng)度相等，均為1 。 0112112)(jF)(1四、一般周期信號(hào)的傅里葉變換 對(duì)于一般周期為T的周期信號(hào)f(t)，其指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)展開式為 對(duì)上式兩邊取傅里葉變換 ntjnenFtf1)()(1nnnnnFnFF)(2)(2)(11 一般周期信號(hào)的傅里葉變換(頻譜函數(shù))是由無窮多個(gè)沖激函數(shù)組成。 沖激函數(shù)位于信號(hào)的各諧波頻率n1處，其強(qiáng)度為相應(yīng)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)Fn的2倍。 周期信號(hào)的頻譜是離散的。它不是有限值，而是沖激函數(shù)，這表明在無窮小的頻帶范圍(即諧頻點(diǎn))取得了無窮大的頻譜值。 解：已知矩形

41、脈沖f (t)的傅里葉級(jí)數(shù)為： 例3.5.1已知周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的幅度為E，脈寬為，周期為T1。試求其頻譜函數(shù) t)(tf2/2/1T1TE)2(Sa)(111011nTEjFTFnn)2(Sa)(0 EjFnF1TE11224設(shè)：411TnnnnnntnSaEnFnFF)()2()(2)(2)(1111111224)(1E)(jF 利用抽樣脈沖序列p(t)從連續(xù)信號(hào)f(t)中“抽取一系列的離散樣值。 p(t)稱為“取樣信號(hào)”。一、抽樣信號(hào) 1、抽樣)()()(tptftfs3.6 抽樣信號(hào)與抽樣定理（1矩形脈沖抽樣t)(tpsTE 2、抽樣信號(hào)fs(t)的頻譜)()()(tptftf

42、s根據(jù)頻域卷積定理可得抽樣信號(hào)fs(t)的頻譜函數(shù)為 nsssnnSaTEP)()2(2)(f(t) F() ；p(t) P() )()(21)(PFFsnsssnnSaTEF)()2(2)(21nsssnFnSaTE)()2(t)(t)=f(t) (t)(t-t0)= (t-t0)時(shí)域卷積定理： )()()()(2121FFtftf頻域卷積定理：)()(21)()(2121FFtftff s(t)中含有f(t)的全部信息，可從fs(t)恢復(fù)原信號(hào)f(t) 。（2沖激抽樣nsTnTtttp)()()(t)的抽樣性質(zhì)： (t) (t)=f(0) (t) (t) (t-t0)= (t0) (t-t

43、0)()()(ttftfTsnssnTP)(2)()()(21)(PFFsnssnTF)(2)(21nssnFT)(1f(t) F() ；p(t) P() 均勻沖激抽樣，稱為“理想抽樣”；矩形脈沖抽樣，也稱為“自然取樣”。 當(dāng)s 2m時(shí)， Fs()是由原信號(hào)的頻譜F()的無限個(gè)頻移組成。當(dāng)s 2m時(shí)，則各頻移的頻譜將相互有重疊部分，無法將它們分開，因而不能再恢復(fù)原信號(hào)。 頻譜重疊的這種現(xiàn)象可稱為混疊現(xiàn)象。3、頻譜混疊結(jié)論：p(t)的頻率fs足夠高，抽樣信號(hào)的頻譜就不會(huì)混疊； 反之，頻譜就會(huì)混疊，無法恢復(fù)原信號(hào)。s變大s變小二、時(shí)域抽樣定理 一個(gè)頻譜受限的信號(hào)f(t)，若頻譜分布在（-m，m）

44、，則信號(hào)f(t)可以用等間隔的抽樣值fs(t) 惟一表示，要求抽樣信號(hào)p(t)的最低頻率為2fm. 奈奎斯特間隔：奈奎斯特間隔： TsTs1/(2fm)1/(2fm)。連續(xù)信號(hào)離散化時(shí)。連續(xù)信號(hào)離散化時(shí)允許的最大抽樣間隔。允許的最大抽樣間隔。 奈奎斯特頻率：奈奎斯特頻率：fsfs2fm2fm。允許的最低抽樣頻率。允許的最低抽樣頻率。 2、原信號(hào)f(t)的恢復(fù) 若使均勻沖激抽樣信號(hào)fs(t)通過一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)為 的理想低通濾波器，則可恢復(fù)出原信號(hào)。 nSSSnSSSSSnTtTSanTfnTtTnTtTnTftf)()()()(sin)()(mmsTH0)(證明： 由頻域分析可知：由頻域分析可知：Y()=Fs()H()Y()=Fs()H()從圖中的從圖中的Fs()Fs()和圖和圖 (b)(b)可以看出：可以看出：Y()=F()Y()=F()所以所以 ：y(t)=f(t) y(t)=f(t) 即在滿足抽樣定理的條件下，均勻沖激抽樣信號(hào)fs(t)通過上述的理想低通濾波器后可完全恢復(fù)信號(hào)。 )()(tTSathSnSSnTtnTftf)()()(故 nSSSsnTtTSanTftfthtfty)()()()()()(證畢 例4.