chapt08-分離變量法6學(xué)時(shí)ppt課件

1、第八章 分離變量法本章中心內(nèi)容本章中心內(nèi)容用分離變量法求解各種有界問(wèn)題；用分離變量法求解各種有界問(wèn)題；本章基本要求本章基本要求n掌握有界弦的自由振動(dòng)解及其物理意義掌握有界弦的自由振動(dòng)解及其物理意義n著重掌握分離變量法的解題思路、著重掌握分離變量法的解題思路、n 解題步驟及其核心問(wèn)題解題步驟及其核心問(wèn)題-本征值問(wèn)題本征值問(wèn)題問(wèn)題的引入問(wèn)題的引入 2,0,0ttxxtua uu xxuxx,0 xtxx (1)(2)(3)行波法行波法達(dá)朗貝爾公式達(dá)朗貝爾公式 1,22x atx atxatxatu x tda 前一章所講的行波法，適用范圍會(huì)受到一定限制本章介前一章所講的行波法，適用范圍會(huì)受到一定限

2、制本章介紹的分離變量法又稱為本征函數(shù)展開(kāi)法是解偏微分方紹的分離變量法又稱為本征函數(shù)展開(kāi)法是解偏微分方程定解問(wèn)題最常用的重要方法程定解問(wèn)題最常用的重要方法 其基本思想是把偏微分方程分解為幾個(gè)常微分方程，其其基本思想是把偏微分方程分解為幾個(gè)常微分方程，其中有的常微分方程帶有附加條件從而構(gòu)成本征值問(wèn)題中有的常微分方程帶有附加條件從而構(gòu)成本征值問(wèn)題 8.1 分離變量理論 11111( , )( , )( , )( , )( , )0 xxyyxyA x y uC x y uD x y uE x y uF x y u8.1.1 8.1.1 偏微分方程變量分離及條件偏微分方程變量分離及條件 對(duì)于一個(gè)給定的

3、偏微分方程實(shí)施變量分離應(yīng)該具備什么條件？假設(shè) （8.1.2的解有下列分離的形式 ( , )( ) ( )u x yX x Y y11111( , )( , )( , )( , )( , )0A x y X YC x y XYD x y X YE x y XYF x y XY1. 1. 常系數(shù)偏微分方程常系數(shù)偏微分方程,X Y假設(shè)假設(shè).4的系數(shù)均為常數(shù)，并分別用小寫的的系數(shù)均為常數(shù)，并分別用小寫的 , , , ,a c d e f代表代表 11111,A C D E F，將方程兩邊同，將方程兩邊同除以除以XY, XY, 那么那么0XYXYacdefXYXYaXdXcYeYfXY

4、要等式恒成立，只能它們等于一個(gè)既不依賴于x,也不依賴于y的常數(shù)，記為 ，從而得到兩個(gè)常微分方程0()0aXdXXcYeYfY對(duì)于變系數(shù)函數(shù)對(duì)于變系數(shù)函數(shù) 111( , ),( , ),( , ),A x y C x y D x y ，假設(shè)存在某一個(gè)函數(shù)，假設(shè)存在某一個(gè)函數(shù) ( , )0P x y ，使得方程除以，使得方程除以( , )P x y后變?yōu)榭煞蛛x的形式后變?yōu)榭煞蛛x的形式112233( )( )( )( ) ( )( )0a x X Yb y XYa x XYb y XYa xb y XY上式要恒成立，只有它們均等于同一個(gè)常數(shù)，記為上式要恒成立，只有它們均等于同一個(gè)常數(shù)，記為 1122

5、33( )( )( )( ) ( )( )0a x X Yb y XYa x XYb y XYa xb y XY123123()XXYYaaabbbXXYY ，從而得到兩個(gè)常微分方程，從而得到兩個(gè)常微分方程123123()0;()0a Xa XaXbYb YbY由以上討論知道：對(duì)于常系數(shù)二階偏微分齊次方程，總是能實(shí)施變量分離 需要滿足一定的條件，即必須找到討論需要滿足一定的條件，即必須找到討論2 2中適當(dāng)中適當(dāng)?shù)牡?函數(shù)才能實(shí)施變量分離函數(shù)才能實(shí)施變量分離 但對(duì)于變系數(shù)的二階偏微分齊次方程但對(duì)于變系數(shù)的二階偏微分齊次方程 ( , )P x y第一類邊界條件第二類邊界條件( )|,x lu x

6、|, x lux 8.1.2 邊界條件可實(shí)施變量分離的條件邊界條件可實(shí)施變量分離的條件|x luhux假設(shè)具體定解問(wèn)題以弦的橫振動(dòng)為例的邊界假設(shè)具體定解問(wèn)題以弦的橫振動(dòng)為例的邊界條件為齊次的：條件為齊次的： (0, )0, ( , )0utu l t( , )( ) ()u xtX xT t(0) ( ) 0, ( ) ( ) 0XT tX l T t可見(jiàn)，只有當(dāng)邊界條件是齊次的，方可分離出單變可見(jiàn)，只有當(dāng)邊界條件是齊次的，方可分離出單變量未知函數(shù)的邊界條件此外，進(jìn)行分離變量時(shí)，量未知函數(shù)的邊界條件此外，進(jìn)行分離變量時(shí)，還須根據(jù)具體情況確定直角坐標(biāo)系，球坐標(biāo)系以及還須根據(jù)具體情況確定直角坐標(biāo)系

7、，球坐標(biāo)系以及柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系( , )u x t( )0T t 須須(0)0, ( )0XX l8.2直角坐標(biāo)系中的分離變量法 8.2.1 8.2.1 分離變量法介紹分離變量法介紹例例.1：具體考慮長(zhǎng)為：具體考慮長(zhǎng)為l，兩端固定的均勻弦的自由振動(dòng)，兩端固定的均勻弦的自由振動(dòng)泛定方程泛定方程 初始條件初始條件 02xxttuau(0, 0)xlt（.）00,0 xxluu(0)t （.）00( ),( )tttux ux)0(lx （.） 【解】 第一步：分離變量第一步：分離變量用分離變量法求解定解問(wèn)題，具體分如下四個(gè)步驟：用分離變量法

8、求解定解問(wèn)題，具體分如下四個(gè)步驟：變量分離形式的試探解變量分離形式的試探解 ( , )( ) ( )u x tX x T t代入代入8.2.和和8.2.）:2( )( )( ) ( )0X x T ta Xx T t2( )( )( )( )XxTtXxa T t寫為寫為偏微分方程分離成兩個(gè)常微分方程偏微分方程分離成兩個(gè)常微分方程: :2( )( )0TtaT t(8.2.4)(8.2.4)( )( )0XxX x(8.2.5)(8.2.5)(0) ( )0( ) ( )0XT tX l T t(8.2.6)(8.2.6)( )0T t 0)0(X0)(lX（.7） 第二步：求

9、解本征值或稱為固有值問(wèn)題第二步：求解本征值或稱為固有值問(wèn)題上面推導(dǎo)的方程上面推導(dǎo)的方程0 XX （.5） (0)0,X0)(lX（.7）三種可能逐一加以分析三種可能逐一加以分析000本征值本征值 不能任意取，只能根據(jù)邊界條件不能任意取，只能根據(jù)邊界條件.7取某些特定值。取某些特定值。（.5的解為的解為 （）（）0 xxeCeCxX21)(1C2C和和由由.確定，即有確定，即有. 0, 02121lleCeCCC由此解出由此解出0, 021CC0)(xX0)()(),(tTxXtxu0被排除被排除 （）（）0方程方程8

10、.的解是的解是21)(CxCxX解出解出1C2C和和由由.7確定，即確定，即 21200CC lC0, 021CC0)(xX0 XTu0也被排除也被排除 （.5的解的解xCxCxXsincos)(21120sin0CCl如如 0sinl，則仍然解出，則仍然解出 0, 021CC0),(txu01C2C和和只剩下一種可能性： 0sin, 01lCln222nnl), 3 , 2 , 1(n（.8）2( )sinnn xXxCl( )sinnn xXxl（.9正是傅里葉正弦級(jí)數(shù)的基本函數(shù)族正是傅里葉正弦級(jí)數(shù)的基本函數(shù)族

11、n對(duì)應(yīng)的函數(shù)為對(duì)應(yīng)的函數(shù)為 常數(shù)常數(shù)的這種特定數(shù)值叫作本征值，相應(yīng)的解叫作的這種特定數(shù)值叫作本征值，相應(yīng)的解叫作本征函數(shù)本征函數(shù)第三步：先求特解，再疊加求出通解第三步：先求特解，再疊加求出通解22220nTaTl （8.2.10）方程的解：方程的解：( )cossinnnnn atn atT tABll（.11）( )nT tn，由方程，由方程8.2.4求出相應(yīng)的求出相應(yīng)的 ( , )cossinsinnnnn atn atn xux tABlll),3,2, 1(n（.12）這就是滿足這就是滿足(8.2.1)(8.2.1)和條件和條件.2的

12、通解的通解11( , )( , )cossinsinnnnnnn atn atn xu x tux tABlll（8.2.13）初始條件初始條件(8.2.3)(8.2.3)確定疊加系數(shù)確定疊加系數(shù) ,nnA B11sin( )sin( )nnnnn xAxln an xBxll（.14）002( )sind 2( )sindlnlnnAllnBn al (8.2.15)至此，定解問(wèn)題至此，定解問(wèn)題.1）-(8.2.3)-(8.2.3)的解已經(jīng)求出的解已經(jīng)求出(2)(2)第二個(gè)限制：二階線性偏微分方程的解，第二個(gè)限制：二階線性偏微分方程的解，不一定是分離變量的乘

13、積形式不一定是分離變量的乘積形式分離變量法是有條件的，會(huì)受到一定的限制分離變量法是有條件的，會(huì)受到一定的限制注意：注意：8.2.2. 解的物理意義特解特解 (8.2.12) (8.2.12) 改寫為改寫為 ,cossinnnnnn xux tNtl22, arctan, nnnnnnnBn aNABAl (8.2.16)駐波疊加駐波疊加振幅振幅: : sinnn xNl頻率頻率: : n初位相初位相: : n波節(jié)波節(jié): : 120 ,nlllxlnnn2135,2222nllllxnnnn波腹波腹: :點(diǎn)數(shù)為2，3，4的駐波形狀 0 l / 2l 0 l 圖 14.1 圖8.1（成倍增長(zhǎng)）、位

14、相不同、振幅不同的駐波疊加而成的（成倍增長(zhǎng)）、位相不同、振幅不同的駐波疊加而成的 所以分離變量法又稱駐波法各駐波振幅的大小和位相所以分離變量法又稱駐波法各駐波振幅的大小和位相于是我們也可以說(shuō)解于是我們也可以說(shuō)解),(txu是由一系列頻率不同是由一系列頻率不同的差異，由初始條件決定，而圓頻率的差異，由初始條件決定，而圓頻率 nn al與初始條件無(wú)關(guān)，所以也稱為弦的本征頻率與初始條件無(wú)關(guān)，所以也稱為弦的本征頻率 中最小的一個(gè) 稱為基頻，n1al111,sinsinxaux tNtll稱為基波稱為基波 ,432稱為諧頻，稱為諧頻， 相應(yīng)的相應(yīng)的,432uuu稱為諧波稱為諧波 基波的作用往往最顯著基波

15、的作用往往最顯著 2222222uuuuatxyz( , , , )( , , ) ( )u x y z tV x y z T t坐標(biāo)變量和時(shí)坐標(biāo)變量和時(shí)間變量分離間變量分離 2. 2. 三維形式的直角坐標(biāo)分離變量三維形式的直角坐標(biāo)分離變量三維齊次熱傳導(dǎo)方程為例三維齊次熱傳導(dǎo)方程為例: :222222221TVVVka TVxyz 在上式中平方形式來(lái)表示固有值得在上式中平方形式來(lái)表示固有值得 22( )( )0T ta k T t22222220VVVk Vxyz亥姆霍茲方程( , , )( ) ( ) ( )V x y zX x Y y Z z20XYZkXYZ由于上式中函數(shù)的每一項(xiàng)都是單一

16、自變量的函數(shù)由于上式中函數(shù)的每一項(xiàng)都是單一自變量的函數(shù) 分離變數(shù)：其中其中 000XXYYZZ2k上面三個(gè)方程，就是上面三個(gè)方程，就是X, Y, ZX, Y, Z的分離方程的分離方程. .這些方程這些方程的通解是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的組合的通解是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的組合而時(shí)間部分的解為:2()( )a tT te 因而，三維形式中熱傳導(dǎo)問(wèn)題的完整解為因而，三維形式中熱傳導(dǎo)問(wèn)題的完整解為2(),( , , , )( )( )( )a tl m nlmnlmnu x y z tCeXx Yy Zz 8.2.3直角坐標(biāo)系分離變量例題分析 上面我們已經(jīng)研究的例題上面我們已經(jīng)研究的例題8.2.1討論的是兩

17、個(gè)討論的是兩個(gè)邊界點(diǎn)均為第一類齊次邊界條件的定解問(wèn)題下邊界點(diǎn)均為第一類齊次邊界條件的定解問(wèn)題下面討論的例題面討論的例題8.2.2是既有第一類，也有第二類齊是既有第一類，也有第二類齊次邊界條件的定解問(wèn)題；而例題次邊界條件的定解問(wèn)題；而例題8.2.3討論的是均討論的是均為第二類齊次邊界條件的定解問(wèn)題，注意到本征為第二類齊次邊界條件的定解問(wèn)題，注意到本征值和本征函數(shù)的區(qū)別值和本征函數(shù)的區(qū)別22222, (0, ),0 (14.2.17)(0, )( , )0 0 (14.2.18)( ,0)( ), xuuaxl ttxutu l ttu xx (14.2.19)( ,0)( ), (0, ) (1

18、4.2.20)tu xxxl例例8.2.2 研究定解問(wèn)題：研究定解問(wèn)題： 【解】用分離變量法求解【解】用分離變量法求解. 令令( , )() ( ) (14.2.21)u xtT t X x( )( ) 0 (14.2.22)(0)() 0 (14.2.23)X xX xXX l2( )( )0 (14.2.24)TtaT t0( )cossinX xAxBx則方程的解是則方程的解是(0)0( )cos0XAX lBlcos0l非零解非零解即即: 1() (0,1,2, )2lnn故得到本征值故得到本征值:221() , 0,1,2,2nnnl相應(yīng)的本征函數(shù)是相應(yīng)的本征函數(shù)是21 ( )sin

19、 , (0,1,2, )2nnXxxnl1() (0,1,2, )2lnn將將n代入代入8.2.24解得解得2121cossin , (0,1,2,)22nnnnnTCatDatnll( , )( )( ) (0,1,2,)nnnu x tT t X xn疊加得疊加得0212121( , ) cossinsin 222nnnnnnu x tCatDatxlll系數(shù)由定解條件確定傅里葉展開(kāi)式系數(shù)可確定為傅里葉展開(kāi)式系數(shù)可確定為021( ,0)( ) sin 2nnnu xxCxl02121( ,0)( ) sin 22tnnnnu xxDaxll0221 ( )sin( )d 2lnnCxx x

20、ll0421( )sin d (0,1,2,) (21)2lnnDxx xnnal例例:熱傳導(dǎo)：設(shè)物體表面溫度保持零度，初始溫度分布為熱傳導(dǎo)：設(shè)物體表面溫度保持零度，初始溫度分布為 ),()0 ,(zyxzyxu【解】定解問(wèn)題為：230000,(0,0,0,0)000( , , )txx ayy bzz ctukuxaybzc tuuuuuuux y z(8.2.36)(8.2.37)(8.2.38)(8.2.39)(8.2.40)(1) 時(shí)空變量的分離： (2) 空間變量的分離空間變量的分離 ： ),()(zyxVtTu 代入方程式，可得：代入方程式，可得：21100 xyzTkTVVVV

21、(8.2.41)( )( , )VX x W y z代入代入8.2.41式及式及8.2.37） 關(guān)于關(guān)于)(xX的常微分方程及邊界條件，構(gòu)成本征值問(wèn)題：的常微分方程及邊界條件，構(gòu)成本征值問(wèn)題：同時(shí)， 滿足滿足0,00)(021 axxXXXX( , )W y z20yyzzWWW （8.2.428.2.42）再令再令 ( , )( ) ( )W y zY y Z z可得另外兩個(gè)本征值問(wèn)題可得另外兩個(gè)本征值問(wèn)題 和 0, 00)(032byyYYYY 0, 0003czzZZZZ(3) 求本征值問(wèn)題求本征值問(wèn)題 這三個(gè)本征值問(wèn)題的本征值與本征函數(shù)分別為：這三個(gè)本征值問(wèn)題的本征值與本征函數(shù)分別為：

22、 22322223222122,sin,(1,2,3,),sin,(1,2,3,),sin,(1,2,3,)nmPnnZz nccmmYy mbbppXxpaa(8.2.43)(8.2.44)(8.2.45)（8.2.468.2.46）本征值相加:2222222pmnpmnabc本征函數(shù)相乘本征函數(shù)相乘: :sin()sin()sin()pmnpmnVxyzabc(4) 求解關(guān)于 (5) (5) 解疊加起來(lái)解疊加起來(lái): :)(tT的常微分方程的常微分方程 ：021TkT2pmnk tpmnpmnTAe21110sin()sin()sin()( , , )pmnk tpmnpmntpmnuA e

23、xyzabcux y z其中其中0008( , , )sin()sin()sin()d d dabcpmnpmnAx y zxyz x y zabcabc 21110sin()sin()sin()( , , )pmnk tpmnpmntpmnuAexyzabcux y z83 二維極坐標(biāo)系下拉普拉斯方程分離變量 例例 8.3.1 物理模型：物理模型： 帶電的云與大地之間的靜電場(chǎng)近似是勻強(qiáng)靜電場(chǎng),其電場(chǎng)強(qiáng)度 E0 是豎直的，方向向下水平架設(shè)的輸電線處于這個(gè)靜電場(chǎng)之中，輸電線是導(dǎo)體圓柱，柱面由于靜電感應(yīng)出現(xiàn)感應(yīng)電荷，圓柱鄰近的靜電場(chǎng)也就不再是勻強(qiáng)的了，如圖8.2所示不過(guò)離圓柱“無(wú)遠(yuǎn)限遠(yuǎn)處的靜電場(chǎng)仍保持為勻強(qiáng)的現(xiàn)在研究導(dǎo)體圓柱怎樣改變了勻強(qiáng)靜電場(chǎng),求出柱外的電勢(shì)分布 B A 帶電云 + + + + + + + y x 圖 8.2 解題分析：首先需要把這個(gè)物理問(wèn)題表示為定解問(wèn)解題分析：首先需要把這個(gè)物理問(wèn)題表示為定解問(wèn)題取圓柱的軸為題取圓柱的軸為Z Z軸如果圓柱軸如果圓柱“無(wú)限長(zhǎng)無(wú)限長(zhǎng)”，那么，那么，這個(gè)靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度、電勢(shì)顯然與這個(gè)靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度、電勢(shì)顯然與Z Z坐標(biāo)無(wú)關(guān)，我坐標(biāo)無(wú)關(guān)，我們只需在們只需在XYXY平面上加以研究就行了圖平面上加以研究就行了圖8.28.2畫出了畫出了 XYXY平面上的靜電場(chǎng)分布，圓柱面在平面上的靜電場(chǎng)分布，圓柱面在