201x屆高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 3-3等比數(shù)列經(jīng)典實(shí)用學(xué)案（） 新人教版

1、基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)一、等比數(shù)列的基本概念與公式一、等比數(shù)列的基本概念與公式1如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的的 等于等于 ，這個(gè)數(shù)列叫等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫，這個(gè)數(shù)列叫等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等比數(shù)列的等比數(shù)列的 即即 q(nN*，且，且n2)或或 q(nN*)或或an 比比同一個(gè)常數(shù)同一個(gè)常數(shù)公比公比2若若an是等比數(shù)列，則通項(xiàng)是等比數(shù)列，則通項(xiàng)an 或或an，當(dāng)，當(dāng)nm為大于為大于1的奇數(shù)時(shí)，的奇數(shù)時(shí)，q用用an、am表示為表示為q ；當(dāng)；當(dāng)nm為正偶數(shù)時(shí)，為正偶數(shù)時(shí)，q ana1qn1可變形為可變形為anAqn，其中，其中A ；點(diǎn)；點(diǎn)(n，a

2、n)是曲線是曲線y 上一群彼此上一群彼此 的點(diǎn)的點(diǎn) 單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)性： an是是 ； a1qn1amqnm孤立孤立遞增數(shù)列遞增數(shù)列 an是是 ；q1an是是 ；q0an為為 若若a，b，c成等比數(shù)列，則稱(chēng)成等比數(shù)列，則稱(chēng)b為為a，c的的 ，且，且b2 或或b .因此，因此，a，b，c是等比數(shù)列是等比數(shù)列 遞減數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)數(shù)列常數(shù)數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列等比中項(xiàng)等比中項(xiàng)acb2ac或或b ，其中，其中ac0 3等比數(shù)列等比數(shù)列an中，中，Sn求和公式的推導(dǎo)方法是求和公式的推導(dǎo)方法是 求和公式求和公式變形為變形為SnBqnB(q1)，其中，其中B 且且q0，q1. 已知三數(shù)成等比，設(shè)三數(shù)為已知三數(shù)成

3、等比，設(shè)三數(shù)為 或設(shè)為或設(shè)為 四個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為四個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為 ，其中公比，其中公比為為 . 乘公比，錯(cuò)位相減法乘公比，錯(cuò)位相減法a，aq，aq2q24等比數(shù)列的判定方法等比數(shù)列的判定方法(1)an1anq(q是不為是不為0的常數(shù)，的常數(shù)，nN*)an是等比是等比數(shù)列數(shù)列(2)ancqn(c，q均是不為均是不為0的常數(shù)，的常數(shù)，nN*)an是等是等比數(shù)列比數(shù)列(3)A anan2(anan1an20，nN*)an是等比是等比數(shù)列數(shù)列(4)SnAqnA(A、q為常數(shù)且為常數(shù)且A0，q0,1)an是是公比不為公比不為1的等比數(shù)列的等比數(shù)列二、等比數(shù)列的性質(zhì)二、等比數(shù)列的性質(zhì)1amanqmn

4、，q (m，nN*)2在等比數(shù)列中，若在等比數(shù)列中，若pqmn，則，則apaqaman；若若2mpq，則，則a apaq(p，q，m，nN*)3若若an、bn均為等比數(shù)列，且公比為均為等比數(shù)列，且公比為q1、q2，則，則數(shù)列數(shù)列 pan、anbn、 仍為等比數(shù)列且公比為仍為等比數(shù)列且公比為 ， ， ， q1q1q24在等比數(shù)列中，等距離取出若干項(xiàng)，也構(gòu)成一個(gè)在等比數(shù)列中，等距離取出若干項(xiàng)，也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即等比數(shù)列，即an，anm，an2m仍為等比數(shù)列，公比仍為等比數(shù)列，公比為為 .5等比數(shù)列前等比數(shù)列前n項(xiàng)和項(xiàng)和(均不為零均不為零)構(gòu)成等比數(shù)列，即構(gòu)成等比數(shù)列，即Sn，S2nSn，S3n

5、S2n，構(gòu)成等比數(shù)列且公比為構(gòu)成等比數(shù)列且公比為 .6等比數(shù)列中依次等比數(shù)列中依次k項(xiàng)積成等比數(shù)列，記項(xiàng)積成等比數(shù)列，記Tn為前為前n項(xiàng)項(xiàng)積，即積，即Tk、 成等比數(shù)列，其公比為成等比數(shù)列，其公比為 . qmqmqk27等比數(shù)列等比數(shù)列an的前的前n項(xiàng)積為項(xiàng)積為T(mén)n，則，則當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，Tn 為中間項(xiàng)為中間項(xiàng)) 8對(duì)于一個(gè)確定的等比數(shù)列，在通項(xiàng)公式對(duì)于一個(gè)確定的等比數(shù)列，在通項(xiàng)公式ana1qn1中，中，an是是n的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)由正比例函數(shù)的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)由正比例函數(shù)an 和指數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)uqn(nN*)復(fù)合而成復(fù)合而成當(dāng)當(dāng)a10， 或或a10, 時(shí)，等比數(shù)列是遞增時(shí)，等比數(shù)列

6、是遞增數(shù)列；數(shù)列；當(dāng)當(dāng)a10, 或或a10， 時(shí)，等比數(shù)列時(shí)，等比數(shù)列an是是遞減數(shù)列遞減數(shù)列當(dāng)當(dāng) 時(shí)，是一個(gè)常數(shù)列時(shí)，是一個(gè)常數(shù)列當(dāng)當(dāng) 時(shí)，無(wú)法判斷數(shù)列的單調(diào)性，它是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)時(shí)，無(wú)法判斷數(shù)列的單調(diào)性，它是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列列q10q10q1q1q1q0易錯(cuò)知識(shí)易錯(cuò)知識(shí)一、不理解等比數(shù)列的定義一、不理解等比數(shù)列的定義1設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an為等比數(shù)列，則下列四個(gè)數(shù)列：為等比數(shù)列，則下列四個(gè)數(shù)列：a；pan(p為非零常數(shù)為非零常數(shù))；anan1；anan1其中是等比數(shù)列的有其中是等比數(shù)列的有_(填正確的序號(hào)填正確的序號(hào))答案：答案：二、等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用失誤二、等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用失誤2等比數(shù)列等比數(shù)列an

7、中，中，S27，S691，則，則S4_.答案：答案：28三、忽視隱含條件失誤三、忽視隱含條件失誤3x 是是a、x、b成等比數(shù)列的成等比數(shù)列的_條件條件答案：答案：既不充分也不必要既不充分也不必要四、設(shè)元不當(dāng)失誤四、設(shè)元不當(dāng)失誤4若四個(gè)數(shù)符號(hào)相同成等比數(shù)列，還知這四個(gè)數(shù)的若四個(gè)數(shù)符號(hào)相同成等比數(shù)列，還知這四個(gè)數(shù)的積，則可設(shè)這四個(gè)數(shù)為積，則可設(shè)這四個(gè)數(shù)為_(kāi)答案：答案：5若這四個(gè)數(shù)符號(hào)不相同成等比數(shù)列，還知這四個(gè)若這四個(gè)數(shù)符號(hào)不相同成等比數(shù)列，還知這四個(gè)數(shù)的積，則可設(shè)這四個(gè)數(shù)為數(shù)的積，則可設(shè)這四個(gè)數(shù)為_(kāi)答案：答案： 五、等比數(shù)列中的符號(hào)問(wèn)題五、等比數(shù)列中的符號(hào)問(wèn)題6已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列an中的中

8、的a3，a9是方程是方程x26x20的兩根，則的兩根，則a6_，若改為，若改為a2，a10是方程的兩是方程的兩根，則根，則a6_.答案：答案： 回歸教材回歸教材1(2009北京西城北京西城)若數(shù)列若數(shù)列an是公差為是公差為2的等差數(shù)的等差數(shù)列，則數(shù)列列，則數(shù)列2an是是()A公比為公比為4的等比數(shù)列的等比數(shù)列B公比為公比為2的等比數(shù)列的等比數(shù)列C公比為公比為 的等比數(shù)列的等比數(shù)列D公比為公比為 的等比數(shù)列的等比數(shù)列 解析：解析：n1， 2anan1224，所以數(shù)列，所以數(shù)列2an是公比為是公比為4的等比數(shù)列的等比數(shù)列答案：答案：A2 等 比 數(shù) 列 等 比 數(shù) 列 an 中 ，中 ， a1 1

9、 ， a1 0 3 ， 則， 則a2a3a4a5a6a7a8a9()答案：答案：A3在等比數(shù)列在等比數(shù)列an中，若中，若a21，a52，則，則a11_.答案：答案：84(2009北京豐臺(tái)北京豐臺(tái))設(shè)設(shè)S1393n 2(nN*)，則，則S_.解析：解析：由等比數(shù)列求和公式可得：由等比數(shù)列求和公式可得：S 答案：答案： 5(課本課本P133,7題原題題原題)已知已知an是等比數(shù)列，是等比數(shù)列，Sn是其前是其前n項(xiàng)和，項(xiàng)和，a1，a7，a4成等差數(shù)列，求證：成等差數(shù)列，求證：2S3，S6，S12S6成等比數(shù)列成等比數(shù)列 .證明：由已知得證明：由已知得2a1q6a1a1q3即即2q6q310得得q31

10、或或q3 當(dāng)當(dāng)q31時(shí)即時(shí)即q1an為常數(shù)列，為常數(shù)列，2S3S6S12S6命題成立命題成立當(dāng)當(dāng)q3 命題成立命題成立【例【例1】an為等比數(shù)列，求下列各值為等比數(shù)列，求下列各值(1)已知已知a3a636，a4a718，an ，求，求n；(2)已知已知a2a836，a3a715，求公比，求公比q；(3)已知已知q ，S815(1 )，求，求a1.命題意圖命題意圖本題考查等比數(shù)列的基本公式本題考查等比數(shù)列的基本公式解答解答(1)解法一：解法一：又又a3a6a3(1q3)36，a332.a an na a3 3q qn n3 332 32 n n3 32 28 8n n 21，8n1，即，即n9.

11、 解法二：解法二：a4a7a1q3(1q3)18且且a3a6a1q2(1q3)36，q ，a1128又又ana1qn127 n128n 218n1，即，即n9.(2)a2a8a3a736且且a3a715，a33，a712或或a312，a73，(2008福建福建)設(shè)設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a11，a516，則數(shù)列，則數(shù)列an前前7項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為()A63B64C127D128答案：答案：C解析：解析：a5a1q4，16q4.又又q0，故，故q2，S7 (課本課本P129習(xí)題習(xí)題3.5,1題題)在等比數(shù)列在等比數(shù)列an中，中，a31 【例【例2】(1)已知等比數(shù)

12、列已知等比數(shù)列an，a1a2a37，a1a2a38，則，則an_.(2)已知數(shù)列已知數(shù)列an是等比數(shù)列，且是等比數(shù)列，且Sm10，S2m30，則則S3m_(mN*)(3)在等比數(shù)列在等比數(shù)列an中，公比中，公比q2，前，前99項(xiàng)的和項(xiàng)的和S99 56，則，則a3a6a9a99_.分析分析利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題解答解答(1)a1a2a3a 8，當(dāng)當(dāng)a11、a22、a34時(shí)，時(shí)，q2，an2n1，當(dāng)當(dāng)a14、a22、a31時(shí)，時(shí)，(2)an是等比數(shù)列，是等比數(shù)列，(S2mSm)2Sm(S3mS2m)，即，即20210(S3m30)得得S3m70.(3)a3a6a9a99是數(shù)列

13、是數(shù)列an的前的前99項(xiàng)中的一項(xiàng)中的一組，還有另外兩組，它們之間存在著必然的聯(lián)系組，還有另外兩組，它們之間存在著必然的聯(lián)系設(shè)設(shè)b1a1a4a7a97，b2a2a5a8a98，b3a3a6a9a99，則則b1qb2，b2qb3且且b1b2b356，b3b1q232.答案答案(1)4 總結(jié)評(píng)述總結(jié)評(píng)述整體思想就是從整體著眼考查所研究的整體思想就是從整體著眼考查所研究的問(wèn)題中的數(shù)列特征，結(jié)構(gòu)特征，以探求解題思想，從而優(yōu)問(wèn)題中的數(shù)列特征，結(jié)構(gòu)特征，以探求解題思想，從而優(yōu)化簡(jiǎn)化解題過(guò)程的思想方法在數(shù)列中，倘若抓住等差、化簡(jiǎn)化解題過(guò)程的思想方法在數(shù)列中，倘若抓住等差、等比數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)、整體代換可簡(jiǎn)化解答

14、過(guò)程等比數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)、整體代換可簡(jiǎn)化解答過(guò)程(2009山東濟(jì)南山東濟(jì)南)在等比數(shù)列在等比數(shù)列an中，若中，若a3a5a7a9a1132，則，則 的值為的值為()A4B2C2D4答案：答案：B解析：解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：等比數(shù)列等比數(shù)列an中，中，a1an66，a2an1128，前，前n項(xiàng)項(xiàng)的和的和Sn126，求，求n和公比和公比q.分析：分析：利用等比數(shù)列的性質(zhì)、建立利用等比數(shù)列的性質(zhì)、建立a1、an的方程組求的方程組求出出n與與q.解答：解答：a1ana2an1128，又，又a1an66，列的前列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，注意公比是否等于項(xiàng)和公式時(shí)，注意公比是否等于1.

15、如不確定如不確定要討論要討論.【例【例3】(2008陜西陜西)(文文)已知數(shù)列已知數(shù)列an的首項(xiàng)的首項(xiàng)a1 在數(shù)列在數(shù)列an中，中，a12，an14an3n1，nN*.(1)證明數(shù)列證明數(shù)列ann是等比數(shù)列；是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列求數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn；(3)求證對(duì)任意求證對(duì)任意nN*都有都有Sn14Sn命題意圖：命題意圖：本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前考查等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公項(xiàng)和公式、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理論證式、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和

16、推理論證能力能力解答：解答：(1)由題設(shè)由題設(shè)an14an3n1，得，得an1(n1)4(ann)，nN*.又又a111，所以數(shù)列，所以數(shù)列ann是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為1，且公比為，且公比為4的等比數(shù)列的等比數(shù)列(2)由由(1)可知可知ann4n1，于是數(shù)列，于是數(shù)列an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式為為an4n1n.所以，數(shù)列所以，數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn 設(shè)設(shè)an，bn是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，且是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，且cnanbn，證明數(shù)列，證明數(shù)列cn不是等比數(shù)列不是等比數(shù)列分析：分析：考查等比數(shù)列的定義，證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)考查等比數(shù)列的定義，證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列應(yīng)從定義入手，證明一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，只需舉出列應(yīng)從定義入手，證明一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，只需舉出三項(xiàng)不成等比即可三項(xiàng)不成等比即可證明：證明：采用分析法證明，采用分析法證明，設(shè)設(shè)an、bn的公比分別為的公比分別為p、q，pq，cnanbn，c(a1pb1q)2ap2bq22a1b1pq，c1c3(a1b1)(a1p2b1q2)ap2bq2a1b1