全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題第一試試題

1、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題第一試試題、選擇題nai 恒成立，則實i11、對任意一組非負(fù)實數(shù) a1,a 2, ,a n，規(guī)定 a1=an+1，若有ak2 ak ak 1 ak2 1k1數(shù)的最大值為 .A0 B. 2 C 1 D 222、已知 A， B， C為 ABC的三個內(nèi)角，記 y=sin3A+sin3B+sin3C ，則 y的取值范圍是 3 3 3 3A0 ，2 B 2, C -2 ，2 D 0,223、若 p,q N+且 p+q>2007, 0<p<q 2007， (p,q)=11，則形如 1 的所有分?jǐn)?shù)的和為 pqA2006200720072008F 的直線交橢圓于 P，

2、Q 兩點，且 OP OQ，則橢4、橢圓的中心為原點 O，焦點在 x 軸上，過橢圓的左焦點圓的離心率 e 的取值范圍是 A0, 5 1D5 1 5 1 4,45、若對實數(shù) x 10,+ ）恒有 |log mx| 2，則 m取值范圍是 。1010A（0，1）B (1, 10 C 0,D 10 ,1 1, 1010106、將 20 個乒乓球（不加區(qū)分）裝入 5 個不同的盒子里，要求不同的盒子中的球數(shù)互不相同，且盒子都不 空，一共有 種不同裝法。4A7 B 14 C C19 D 7×5！二、填空題7、已知復(fù)數(shù) z1,z 2,z3滿足 |z 1| 1,|z 2| 1,|2z 3-（z 1+z2

3、）| |z 1-z 2| ，則 |z 3| 的最大值與最小值的差為138、已知平面向量 a=( 3 ,-1),b= 1, 3 ，若存在非零實數(shù) k 和角 , , ，使得 c=a+(tan 2 2 2 2 -3)b, d=-ka+(tan )b ，且 c d，則 k=。(用表示)9、AM為拋物線的一條弦， C為 AM的中點， B在拋物線上，且 BC平行于拋物線的對稱軸， E 為 AC中點， DEDEBC14、給定 a>2，數(shù)列an 定義 如下：a0=1, a1=a,an+1=an2an 12 an ， 證 明 ： 對 任 何 k N ， 有11a0 a11 1(2 aa2 4) 。ak 2

4、15、設(shè)拋物線 S 的頂點在原點，焦點在x 軸上，過焦點F 作一條弦 AB，設(shè) AO，BO 延長線分別交準(zhǔn)線于C，D，若四邊形 ABCD的面積的最小值為 8，試求此拋物線的方程。以下是答案一、選擇題1、C因 為 ak2 ak ak 12ak 122akak 1(akak 1)ak2ak 1所以k122akak ak 1ak 1akak 1k1ak .k1又當(dāng) a1=a2= =an 時，“ =”成立，所以最大為 1。2、B當(dāng) A=B ，C0時，y-2，設(shè) ABC，則C ，所以 sin3C 0,所以 y>-2 ；又當(dāng) A=B= ,C39y=sin3A+sin3B+sin3C 3A 3(B C

5、) 3A2cos cos sin2 1 3 1 sin 3A321 sin 3A 23323、C記 2007=n，往證pq1. 當(dāng) n=2 時，顯然成立。設(shè)當(dāng) n=k 時成立，當(dāng) n=k+1 時，取所有滿足21p+q=k, (p,q)=1 的 的和記為 S，所有形如pq1(p<k, (k,p)=1) 的和記為 T， kp則 Sk=Sk-1+T-S ；再證 S=T，1在 S 中任取一個分?jǐn)?shù) 1 ， T 中恰有一對分?jǐn)?shù)pq1，pk111 與之對應(yīng)，而且 1 qkpq1pk1 ，這樣的對應(yīng)是 qk對應(yīng)，所要 Sk-1=Sk，所以 Sn24、A 設(shè)橢圓方程為 x2a22 y b21(a>b

6、>0),P(r 1cos ,r 1sin ),Qcosr2 sin即 Q(-r 2sin ,r 2cos ) ，因為P，Q 在橢圓上，所以 12r1212 r21b2。設(shè) O到 PQ 距離為d. 則r1 r2d22r1r2aba2 b2c(ca2 b2 )，解得 51.2 -25、D 當(dāng) x10 時，log mx-2 即 lgx lgm2或 lgx lgm-2 (m>0 且 m 1) ，解得1<m 10 或 1010m 1.6、D 問題等價于求方程 x1+x2+x3+x4+x5=20 滿足 i j,x i xj 的正整數(shù)解組數(shù)， 先考慮方程 y1+y2+y3+y4+y5=5

7、滿足 0y1y2y3y4y5的非負(fù)整數(shù)解， 設(shè)滿足 y1+y2+ +yk=n 滿足 0y1y2 y k的非負(fù)整數(shù)解組數(shù) 為 f(k,n). 則 f(5,5)=1+f(4,5) =1+1+f(3,5)=2+f(2,2)+f(2,5)=7.所以所求方程正整數(shù)解有 7×5！組。故選 D。、填空題7、 2. 由 |2z 3-(z 1+z2)| |z 1-z 2| 得2|z 3|-|z 1+z2| |z 1-z 2| 和|z 1+z2|-2|z 3| |z 1-z 2| ，1所以 (|z 1+z2|-|z211-z 2|) |z 3| (|z 1+z2|+|z21-z 2|).又 |z 1+z

8、2|-|z 1-z 2|= (| z1 z2 | | z1 z2 |)24(|z1 |2 |z2 |2) 2 2.當(dāng)且僅當(dāng) z1,z 2 輻角相差 時， |z 3| 取最大值 2. 2|z 3| min =0.又|z 3| 0，當(dāng)且僅當(dāng) z2,z 1輻角相差 時， z3可以為 0，所以28、14(tan33tan ), 。由 a?b=( 3 ,-1)?223 =02a b ，又 ka2=(tan 3d，則 a+(tan-3tan )b ，所以-3 )b?-ka+(tan3k|a|2=(tan 3)b=0,2-3tan )|b|由題設(shè) |a|=2,|b|=1 。從而 k1 1 (tan 3 3t

9、an ),449、33. 設(shè)拋物線方程為4x2px(p 0)，點 C(x1,y 1)把 AM參數(shù)方程yx1 tcos , 21 代入 y2=2px 得 y1 tsin22t 2sin 2 +2(y 1sin -pcos)t+2y1 2px1y12 -2px 1=0，所以 t1 t21 12sin，又 |BC |2px1 y12 ，2p ，所以 AC CMBC2p2sin，同理 AE EMDE2 2p ，所以 DE sin 2 BC10、0 假設(shè)存在這樣的函數(shù) f(x) ，則由條件知它為單射，且 f(f(0)=0=f(f(1)+1) ，所以 f(0)=f(1)+1. 又 f(f(1)=1=f(f

10、(0)+1) ，所以 f(1)=f(0)+1 ，與矛盾。11、由 an+1=(n-1)(an+an-1)得 an+1-nan=-an-(n-1)an-1， 所以 a n+1-nan 是首項為 a2-a1=1，公比為 (-1)的等比數(shù)列，所以 an+1-nan=(-1)n-1，所以 an 1ann! (n 1)!( 1) n1n!在中用2，3，n-1代替n 并相加得ana2所以 an(n 1)!11!1)112!( 1)2(n1)!1!1)12!( 1) 31!+(-1)n-2? 1(n 1)!12、900延長 AD，13!( 1)n(n 1)!BC交于 E，連結(jié) PE，則 DE=DA，PA=P

11、E= 2,AE=2，所以 PE PA，又 PD AB ，AB AD ，所以 AB 平面 PAE， 所以 PE AB，所以 PE 平面 PAB。所以 APBC 為直二面角。三、解答題13、證明 (1)若 0<x 1，則 0<xy y< ，所以 cosxy>cosy ，又 cosx 1，所以 1+cosxy>cosx+cosy ；(2)若 0<y 1，同理可得 1+cosxy>cosx>cosy ；3)若 x>1,y>1 ，則 xy (x y) , 記 x y42t ，則0<t 2 , 所以 xy t 2 ，所以 cosxy cos

12、t 22又 cosx+cosy=2cos x y cos x y 2cost,22所以只需證 1+cost 2 2cost ，即證f(t)=1+cost22-2cost 0.這 里 t 1, ， 則 f'(t)22(sin t 2 ) 2t2sint 2t sint22sint , 因 為 0<t<t < ， t2所以2sint >sint>sint ,所以 f'(t) 0. t所以 f(t)1,上單調(diào)遞減，又 f222cos2而而2因為 2 9 )，所以 cos 21 cos , 32所以0 ，所以 f(t)>0 。所以原不等式成立。14、

13、證明 記 f(x)=x 2-2 ，則f(x) 在 0,+ )上是增函數(shù)，又a1a0a22 ，所以 2 a1a1=a2-a>a ，a0所以a2a1a1 ，依此類推有 an 1a0ananan 12 ，再用數(shù)學(xué)歸納法證明原命題。1)2)當(dāng) k=0,1 時， 設(shè)當(dāng) k=m 時，不等式顯然成立。原不等式成立。當(dāng) k=m+1 時，因為ananan 1an 1 an 2a2 a1 a1 a0(n 1)(a)f(n 2)(a)f (1) (a) f 0(a),其中 f (0) (a)<a ，所以 1(0)1(1)15、f (0)(a) f(0)(a)f (1)(a)12 2 f (1)(a)(f(1)(a)(1)(1) 2 412 a 2a(1)f (0)(a) f (1)(a) fa a2 4 1解 若拋物線的開口向右，設(shè)其方程為2y2=2px(p>0) ，設(shè) A y12p(n1)(a)<