高中數(shù)學(xué)人教版必修5——第五講：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

1、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和“教學(xué)目粽)教學(xué)重點(diǎn)： 掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和通項(xiàng)公式及性質(zhì)，數(shù)列最值的求解，與函數(shù)的關(guān)系教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列最值的求解及與函數(shù)的關(guān)系知識(shí)梳1 .數(shù)歹K前n項(xiàng)和一般地，我們稱 闞a? a3 . an為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，用Sn表示；記法：Snaia?a3an顯然，當(dāng)n 2時(shí)，有anSnSn 1所以an與Sn的關(guān)系為an Si n 1 Sn Sn i n 2n a1 ann n 12 .等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn nai d223 .等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式性質(zhì)(1) 等差數(shù)列中，依次k k 2,k N 項(xiàng)之和仍然是等差數(shù)列，即2Sk,S2k Sk,S3k S2k,S4k S3k,成等差數(shù)

2、列，且公差為k dS.(2) Sn是等差數(shù)列n(3) 等差數(shù)列 an中，若an m, am n m n ,則am n 0 ；若Sn m,Sm n m n,則 Smnm n4 a S(4) 若an和bn均為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別是Sn和Tn,則有bnT2n 1S 項(xiàng)數(shù)為2n的等差數(shù)列 an ，有Sn n a an 1 ,有S偶-$奇二nd , 一奇/偶=San an4 .等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn na1 n n 1 d可以寫成Sn -n2a1 d n若令222d A,ai d B, 22盜典例餅練）類型一：數(shù)列及等差數(shù)列的求和公式例1.已知數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn

3、 n2 2n,求an解析：當(dāng)n 1時(shí)，a1§3；當(dāng) n 2 時(shí)，an Sn Sn 12n 1當(dāng)n 1時(shí)，上式成立所以an 2n 1答案：an 2n 1練習(xí)1.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn n2 2na2答案：a2 5練習(xí)2：已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn22n,求a10答案：aw 211 -，一,Sm15,求 m 及 am23例2.已知等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn ,闞 -,d2解析:Sm3 m.215 ,整理得2m 7m 60 0,解得 m 12 或3一.1一m 5 （舍去）am知 一12 1一1522練習(xí)3.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,ai 1,an512, Sn1022 ,

4、求 d答案：d 171練習(xí)4.已知等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn, S 24,求a2 a448答案：a2 a4 竺 5例3.在等差數(shù)列 an中，前n項(xiàng)和為Sn若3 48,S12 168，求a1和公差d(2)若a4 9,396,求滿足Sn 54的所有n的值解析：(1)由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式有8a1 28d 48,12a1 66d 168, a18,d 4一 ，一1(2 )由 a4 9,a96, a1 18, d 3 所以 Sn 18n n n 1354 即22n 13n 36 0 解得 n 4或 n 9答案：(1) a18,d 4(2) n 4或 n 9練習(xí)5.設(shè)Sn是等差數(shù)列 an的前項(xiàng)和，a

5、1 2,35 3a3，則S9 答案：54練習(xí)6.在等差數(shù)列 an中，a2 1,a4 5,則an的前5項(xiàng)和S5 答案：15類型二：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)例4.在等差數(shù)列 an中，(1)若 a4 a1720,求 S20(2) 若共有n項(xiàng)，且前四項(xiàng)之和為 21,后四項(xiàng)之和為67,前n項(xiàng)和Sn 286，求n(3) 若 Go 100,S1oo 10求 S11020斛析：(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)，知a1a20a4a1720S20a1a202002(2)由題意得，知a1a2a3a421,anan 1an2 an 3 67,由等差數(shù)列的性質(zhì)知aana?an 1% an 2a4an 3an88, a1 an

6、22286n工 a1 an2n 22n 26(4)答案:(2)(3)練習(xí)因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列，所以S|0,S20S10, S30S20,，S100S90,S110S100成等差數(shù)列，首項(xiàng)為S0 100 ,S100S10S20S10又S|10為該數(shù)列的前11項(xiàng)和,(1) S20200n 26S1101107. （2014山東淄博一中期中）設(shè)1A.一9答案：C1B.3設(shè)其公差為S100S90故 S11011d ,則S100為該數(shù)列的前10項(xiàng)和,1010010 9100 d211 1022210解得d22,110Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S8SI6練習(xí)8. （2014山東青島期中）已知等差數(shù)

7、列ana1 a222013 2013at t N貝U tA.2014B.2013答案：C例5.已知等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為3A.一24B.一3解析：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，等差數(shù)列n 5得亙碼空2-5 b35b3 T55 13C.101D.一8的公差dC.1007Sn 和 Tn，5C.一32nn 1D.1006則電=（）b312D. 7an的前n項(xiàng)和Snn a12annanj同理Tn nbn 1令答案：C練習(xí)9.已知是an等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，n N若a3 I6S20 20則S10的值為答案：110練習(xí)10.已知等差數(shù)列 an的公差為2,項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為15,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為

8、35,則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 答案：20類型三：等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的最值及與函數(shù)的關(guān)系例6.已知數(shù)列 an的前項(xiàng)和為Sn 2n2 30n(1) 這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？求出它的通項(xiàng)公式(2) 求使得Sn最小的n值解析：(1)因?yàn)閍n Sn Sn 1 4n 32 n 2當(dāng)n 1時(shí)a1 S1 2 3028也適合上式，所以這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an 4n 32 又因?yàn)閍n an 1 4n 324 n 1324 n 2 所以an 是等差數(shù)列2o15225Sn 2n2 30n 2 n 225因?yàn)閚是正整數(shù)，所以當(dāng)n 7或8時(shí)S0最小，22最小值為-112答案：(1)是；an 4n 32(2)當(dāng)n 7或8時(shí)

9、Sn最小，最小值為-112練習(xí)11.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,S7 7,S15 75,Tn為數(shù)列 組 的前n項(xiàng)和, n求數(shù)列Tn的通項(xiàng)公式n2 9答案：Tn n 9 n 44練習(xí)12.等差數(shù)列an中，若& 24,§0 120 ,求&5=答案：S15330例7.已知等差數(shù)列 an中，ai 0,S9 S求使該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn取得最小值的n的值1 1解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則由題意得9al 9 8 d 12al - 12 11 d2 22口”d 2121r.八-.即 3al30d, a110d, a10dosnn d d0Sn 有228*最小值；又;n N

10、, n 10或n 11時(shí)，Sn取最小值答案：n 10或n 11時(shí)，Sn取最小值練習(xí)13.已知等差數(shù)列an中，&28,d 4則使前n項(xiàng)和Sn取得最小值的n值為（）A.7B.8C.7或 8D.6或 7答案：C練習(xí)14.數(shù)列an滿足an2n 11,則使得其前n項(xiàng)和取得最大值的n等于（）A.4B.5C.6D.7答案：B必當(dāng)堂檢測(cè)）1 .四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，S4=32, a2 a3= 13,則公差d等于（）A. 8B. 16C. 4D. 0答案：A2 .設(shè)an是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且8<Ss, S6= Sz>S8,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 （ ） A. d<0B. a7=0C.

11、 Sa>S5D. S6 與 S7 均為 Sn 的最大值.答案：C3 .已知an為等差數(shù)列，a +a3+a5= 105, a2+a4+a6=99, 8是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和， 則使得Sn達(dá)到最大值的門是（）A. 21B. 20C. 19D. 18答案：B 一,，.1， 一,4 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, a5=5, S5=15,則數(shù)列的前100項(xiàng)和為（）anan+ 1A 100B 毀TD101A.101.101100.100答案：A5 .在等差數(shù)列an中，若S12=8S4,且d” 則01等于（）9c 102A.而B(niǎo).§C- 2D.3答案：A6 .設(shè)Sn為等差數(shù)列an的

12、前n項(xiàng)和，若a1=1,公差d = 2, Sk+2&= 24,則k=（）A. 8B. 7C. 6D. 5答案：D7 . （2014福建理，3）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為若a1=2, Sa=12,則a6等于（）A. 8B. 10C. 12D. 14答案：C電當(dāng)堂總結(jié)）觀&家庭作業(yè))基礎(chǔ)鞏固1 .等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,已知 am-i + am+i-aim=0, &m1 = 38,則 m=()A. 38B. 20C. 10D. 9答案：C2 .數(shù)列an是等差數(shù)列，ai + a2 + a3=24, ai8+ai9+ a20= 78,則此數(shù)列的前 20項(xiàng)和等于()A.

13、i60B. i80C. 200D. 220答案：B3 .等差數(shù)列an的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)首項(xiàng)ai和d變化時(shí)，a2+a8+aii是一個(gè)定值， 則下列各數(shù)中也為定值的是()A. S7B, S8C, Si3D. Si5答案：C4 .已知等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為15,偶數(shù)項(xiàng)之和為30,則其公差是()A. 5B. 4C. 3D. 2答案：C1 15 一5 .在等差數(shù)列an中，ai > 0, d=2，an= 3,Sn="2,則ai =, n=.答案：2 , 36 .設(shè)Sn是等差數(shù)列an(nC N*)的前n項(xiàng)和，且ai=1, a4=7,則8=.答案：257 .設(shè)an是公

14、差為一2的等差數(shù)列，若 ai +a4+a7+ a97 = 50,則a3+a6+a9+ a99 的值為.答案：828 .若等差數(shù)列an滿足a7+a8+a9>0, a7+ai0<0,則當(dāng)n =時(shí)，an的前n項(xiàng)和最 大.答案：89 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足S3=0, S5 = - 5.(1)求an的通項(xiàng)公式；一. 1， 一(2)求數(shù)列的刖n項(xiàng)和.a2n ia2n+1答案：(1)設(shè)an的公差為d,則Sn=nai+n n2 1 d.3ai + 3d=0由已知可得，解得ai=1, d = - 1.5ai+ 10d=- 5由an的通項(xiàng)公式為 an=2n.(2)由(1)知a2n-ia2

15、n+i3 2n 1 一 2n答案：C_ 1 12(2n 3 2n 1)1從而數(shù)列的刖n項(xiàng)和為a2n 1a2n+111111112( 丁彳+13+ 2)n1 2n.10 .設(shè)an是等差數(shù)列，前 n項(xiàng)和記為已知a10 = 30, a20= 50.(1)求通項(xiàng)an；(2)若Sn=242,求n的值.答案：(1)設(shè)公差為d,則 a20 a10= 10d = 20,d= 2. a10= a + 9d = a +18 = 30,3=12.an=a + (n 1)d = 12+2(n 1) = 2n+ 10.(2)Sn = -2n a+ an n 2n + 22= n2+ 11n=242,n2+ 11n-24

16、2= 0, n= 11.能力提升11 .在等差數(shù)列an和bn中，a1=25, b1=15, 2100 +b00= 139,則數(shù)列an+bn的前 100 項(xiàng)的和為()A. 0B. 4 475C. 8 950D. 10 00021.等差數(shù)列an中，d<0,若|a3|=|a9|,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和取最大值時(shí)， n的值為的平均值為4,則抽取的項(xiàng)是（）A. a8B. a9C. aoD. an答案：D13 . 一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角成等差數(shù)列，其中最小的內(nèi)角為120。，公差為5。，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)n等于（）A. 12B. 16C. 9D. 16 或 9答案：C14 .已知一個(gè)等差數(shù)列的前四項(xiàng)之和為

17、21,末四項(xiàng)之和為 67,前n項(xiàng)和為286,則項(xiàng)數(shù)nA. 24B. 26C. 27答案：B15.設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S3= 4a3, a7=2,則 a9=()A. - 6B. - 4C. -2為（）D. 28D. 2答案：A、一S3 1 一. S616.設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S3=1,則S；等于（）S6 3S12A.130B.1D.9答案：A17.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若OB=a1OA+a2ooOC,且A、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過(guò)點(diǎn)O）,則S200=（）A. 100B. 101C. 200D. 201答案：A18 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為18,若S3

18、=1, an+an-1+an-2= 3,則n=答案：2719 .已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2-8,則通項(xiàng)公式an=.-7 n= 1答案：2n- 1n>220 .設(shè)an是遞減的等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和是15,前三項(xiàng)的積是105,當(dāng)該數(shù)列的前n項(xiàng)和最大時(shí)，n等于（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案： A答案：5或622.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為&.已知a3= 12, S12>0, Si3<0.(1)求公差d的取值范圍;(2)指出Si, S2,，S12中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由.12X 11Si2= 12a1 + 2d>0答案：(1)依題意，一 “13X 12 ,-

19、Si3= 13a 1 + 2d<02a1 + 11d>0, a1 + 6d<0.由 a3= 12,得 a1 + 2d=12.將分別代入，得24+7d>03+d<0解得一24<d<- 3.(2)由d<0可知an是遞減數(shù)列，因此若在1wnw12中，使an>0且an+1<0,則Sn最大.由于 S12= 6(a6+ a7)>0, S13=13a7<0,可得a6>0, a7<0,故在S1, S2,，S12中3的值最大.23 .已知等差數(shù)列an中，a1=1, a3=- 3.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列an的前k

20、項(xiàng)和Sk= 35,求k的值.答案：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則an = a1+(n- 1)d.由 a= 1, a3 = - 3 可得 1 + 2d= 3.解得 d=- 2.從而，an=1 + (n-1)x(-2)=32n.(2)由(1)可知 an=3 2n.n13 2n 2所以 Sn=-12= 2n-n2.進(jìn)而由 Sk=- 35,可得 2k- k2=- 35.又kC N*,故k= 7為所求.24 .在等差數(shù)列an中：(1)已知 a5+a1o=58, a4+a9=50,求 S10;(2)已知 S7=42, Sn = 510, an 3=45,求 n.答案：(1)解法一：由已知條件得as+ai0=2ai+ 13d =58a4+ a9= 2ai + 11d = 50解得a1= 3d = 4c10X 10- 1Sw= 10a+2x d10X 9= 10X3 + 2-X4=210.as+a0= a+a10 +4d = 58解法二：由已知條件得a4+a9= a+a