多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用

1、推廣推廣 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 注意注意: 善于類比善于類比, 區(qū)別異同區(qū)別異同多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 及其應(yīng)用及其應(yīng)用 第七章 第一節(jié)第一節(jié)一、區(qū)域一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 )(0oPPU00 PP一、一、 區(qū)域區(qū)域1. 鄰域鄰域點(diǎn)集, ) ,(0PPU稱為點(diǎn) P0 的 鄰域鄰域. .例如例如, ,在平面上, ),(),(0yxPU(圓鄰域)在空間中, ),(),(0zyxPU(球鄰

2、域)說明：說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫成. )(0PU點(diǎn) P0 的去心鄰域去心鄰域記為0PP)()(2020yyxx)()()(202020zzyyxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)?),() ,U(0yxP。0P因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.,0 xx0 yy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 區(qū)域區(qū)域(1) 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn) P : 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E = , 若對(duì)點(diǎn) P 的任一任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點(diǎn)也含 EE則稱 P 為

3、 E 的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)；則稱 P 為 E 的外點(diǎn)外點(diǎn) ;則稱 P 為 E 的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的外點(diǎn) ,顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E , E 的外點(diǎn)必不屬于 E , E 的邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于 E . (2) 聚點(diǎn)聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的 , ,點(diǎn)P 的去心機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ) ,(PUE鄰域內(nèi)總有E 中的點(diǎn) , 則稱 P 是 E 的聚點(diǎn)聚點(diǎn).內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；聚點(diǎn)可以屬于 E , 也可以不屬于 E (因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為 所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為 E 的導(dǎo)集導(dǎo)集 .E 的邊界點(diǎn) ) 例如：也可以定義為也可以定義為(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)10|

4、),(22yxyx若點(diǎn)P 的任何鄰域內(nèi)總有E 中的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn) ，則稱 P 是 E 的聚點(diǎn)聚點(diǎn). 聚點(diǎn)聚點(diǎn) 也稱 為極限點(diǎn).D(3) 開區(qū)域及閉區(qū)域 若點(diǎn)集 E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱 E 為開集； 若集 D 中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱 D 是連通的 ; 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡(jiǎn)稱區(qū)域 ;機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 。 。 E 的邊界點(diǎn)的全體稱為 E 的邊界, 記作E ; 若點(diǎn)集 E 的余集 是開集 , 則稱 E 為閉集；CE例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx開區(qū)域

5、閉區(qū)域機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyo21xyoxyoxyo21 整個(gè)平面 點(diǎn)集 1),(xyx是開集， 是最大的開域 , 也是最大的閉域；但非區(qū)域 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 11oxy 對(duì)區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點(diǎn) PD 與某定點(diǎn) A 的距離 AP K , 則稱 D 為有界域有界域 , 界域界域 .否則稱為無(wú)無(wú)3. n 維空間維空間n 元有序數(shù)組),(21nxxx),(21nxxx的全體稱為 n 維空間維空間,Rnn 維空間中的每一個(gè)元素稱為空間中的kx數(shù)稱為該點(diǎn)的第 k 個(gè)坐標(biāo)坐標(biāo) .記作即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 RRRRnnkxxxxkn

6、,2, 1,R),(21一個(gè)點(diǎn)點(diǎn), 當(dāng)所有坐標(biāo)時(shí)，0kx稱該元素為 nR中的零元,記作 O .n 維空間維空間線性運(yùn)算法則 的距離距離記作2222211)()()(),(nnyxyxyxyx中點(diǎn) a 的 鄰域鄰域?yàn)?,(21nyyyy與點(diǎn)),(,R),(axxxaUn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(R21nnxxxx中的點(diǎn),),(yxyx或規(guī)定為 ),(R21nnxxxx中的點(diǎn)與零元 O 的距離為22221nxxxx.,3, 2, 1xxn通常記作時(shí)當(dāng)0Raxaxn滿足與定元中的變?cè)? ax 記作nR二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念 引例引例: : 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓

7、強(qiáng) 三角形面積的海倫公式,2hrV,(為常數(shù)）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappS機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 hr定義定義1. 設(shè)非空點(diǎn)集,RnD DPPfu, )(或點(diǎn)集 D 稱為函數(shù)的定義域定義域 ; 數(shù)集DP,Pfuu)(稱為函數(shù)的值域值域 .特別地 , 當(dāng) n = 2 時(shí), 有二元函數(shù)2R),(),(Dyxyxfz當(dāng) n = 3 時(shí), 有三元函數(shù)3R),(),(Dzyxzyxfu映射R:Df稱為定義在 D 上的 n 元函數(shù)元函數(shù) , 記作),(21nxxxfu機(jī)動(dòng) 目錄

8、 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xzy例如, 二元函數(shù)221yxz定義域?yàn)?),(22 yxyx圓域說明說明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面., )sin(,yxz 又如機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的圖形一般為空間曲面 .12R),(yx三元函數(shù) )arcsin(222zyxu定義域?yàn)?),(222zyxzyx圖形為4R空間中的超曲面.單位閉球xyzoxzy說明說明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的圖形一般為空間曲面 .1xyzo,),(),(),(,),(),(,),(,),(

9、DyxyxfzzyxDyxzyxMzyxyxfzDyxP得一空間點(diǎn)集上一切點(diǎn)時(shí)取遍當(dāng)，一點(diǎn)為豎坐標(biāo)在空間就確定為縱坐標(biāo)為橫坐標(biāo)這樣，以對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為對(duì)于任意取定的二元函數(shù)二元函數(shù)二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D的圖形的圖形.這點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限定義定義2. 設(shè) n 元函數(shù),R),(nDPPf點(diǎn) , ) ,(0PUDP,-)(APf則稱 A 為函數(shù)(也稱為 n 重極限)當(dāng) n =2 時(shí), 記20200)()(yyxxPP二元函數(shù)的極限可寫作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0

10、是 D 的聚若存在常數(shù) A ,對(duì)一記作，時(shí)的極限當(dāng)0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)任意正數(shù) , 總存在正數(shù) ,切例例1. 設(shè))0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求證：.0),(lim00yxfyx證證:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,0 0),( yxf,022時(shí)當(dāng)yx22yx 222yx , 總有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 要證 例例2. 設(shè)0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求證：.0),(lim00yxfyx證：證：0),(yxf故0),(lim00yxfy

11、x, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 時(shí)，當(dāng)022yxxyyx11sinsin總有 2 要證機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 若當(dāng)點(diǎn)),(yxP趨于不同值或有的極限不存在，解解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點(diǎn) (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在點(diǎn) (0, 0) 的極限.),(yxf故則可以斷定函數(shù)極限則有21kkk 值不同極限不同值不同極限不同 !在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在 .以不同方式趨于,),(000時(shí)yxP不存在 .例例3. 討論函數(shù)函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

12、例例4. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而620)cos1 (4limrrr此函數(shù)定義域不包括 x , y 軸,222yxr令則62)cos1 (4rr6402limrrr2cos1r22r故22222200)()cos(1limyxyxyxyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 222222200)(2sin2limyxyxyxyx原式=222222200)()2(2limyxyxy

13、xyx)(21lim222200yxyxyx)11(21lim2200 xyyx僅知其中一個(gè)存在,推不出其它二者存在. 二重極限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同. 如果它們都存在, 則三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf顯然),(limlim00yxfyyxx與累次極限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例3 知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在 .例3 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四四、 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義3 . 設(shè) n 元函數(shù))(Pf定義在 D 上,)()(lim00PfPfPP

14、0)(PPf在點(diǎn)如果函數(shù)在 D 上各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上,0DP 聚點(diǎn)如果存在否則稱為不連續(xù),0P此時(shí)稱為間斷點(diǎn) .則稱 n 元函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 連續(xù).連續(xù), 例如例如, 函數(shù)0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在, 又如又如, 函數(shù)11),(22yxyxf上間斷.122 yx 故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn).在圓周機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 結(jié)論結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).定理定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,0) 1 ( K)()2(Pf

15、, ,Mm;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 對(duì)任意，DQ;)(Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) 閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):.11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例5. .求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例6. 求函數(shù)的連續(xù)域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2oyx2內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 區(qū)域 鄰域 :, ) ,(0PU) ,(0PU 區(qū)域連通的開集 空間nR2. 多元函

16、數(shù)概念n 元函數(shù)),(21nxxxf常用二元函數(shù) (圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)DP)(Pfu nR機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 APfPP)(lim0,0 ,0 時(shí)，當(dāng)00 PP有)( APf3. 多元函數(shù)的極限4. 多元函數(shù)的連續(xù)性1) 函數(shù)連續(xù)在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)P11 題 2; 4; 5 (3), (5) ( 畫圖 ) ; 8P72 題 3; 4機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)解答提示解答提示: :P11 題 2. ),(),(

17、2yxftytxtf稱為二次齊次函數(shù) .P11 題 4.xyxyxyxyxyxyxf2)()(),(P11 題 5(3).定義域 0:yyxDP11 題 5(5).定義域22222:RzyxrD2xy DyxoRxyoDr機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P12 題 8.間斷點(diǎn)集02),(2 xyyxP72 題 3.定義域104:222yxxyD240422001limlimxkxkyxyxxyx)0,21(),(lim021fyxfyx43ln2P72 題 4. 令 y= k x ，0若令xy 42200limyxyxyx212202limxxxDxy42yx1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

18、 結(jié)束 , 則 可見極限不存在備用題備用題1. 設(shè),),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法1 令uyxvxy23vuy 3vuux ),(vuf32)(2vuu32)( vu,2xyu yxv ),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1 .設(shè),),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法2 令uvyx2vuxy2vy uvx ),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yxyxxx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,12.yxxyxyx)1ln(lim00是否存在？解解：xxy取所以極限不存在.333,0,)1ln(yxyx利用yxxyxyx)1ln(lim00機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 證明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面連續(xù).證證:,)0 , 0(),(處在yx),(yxf為初等函數(shù) , 故連續(xù).又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函數(shù)在全平面連續(xù) .由夾逼準(zhǔn)則得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4 4