初中數(shù)學(xué)中地折疊問(wèn)題

1、實(shí)用文檔初中數(shù)學(xué)中的折疊問(wèn)題折疊問(wèn)題（對(duì)稱問(wèn)題）是近幾年來(lái)中考出現(xiàn)頻率較高的一類題型，學(xué)生往往由于對(duì)折疊的實(shí)質(zhì)理解不夠透徹，導(dǎo)致對(duì)這類中檔問(wèn)題失分嚴(yán)重。本文試圖通過(guò)對(duì)在初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及到的幾種折疊的典型問(wèn)題的剖析，從中抽象出基本圖形的基本規(guī)律，找到解決這類問(wèn)題的常規(guī)方法。其實(shí)對(duì)于折疊問(wèn)題，我們要明白：1、折疊問(wèn)題（翻折變換）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換.2、折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱.對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后 圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.3、對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問(wèn)題可以實(shí)際操作圖形的折疊，在畫(huà)圖時(shí)，畫(huà)出折疊前后的圖形， 這樣便于找到圖形之間的數(shù)量關(guān)系和位

2、置關(guān)系.4、在矩形（紙片）折疊問(wèn)題中，重合部分一般會(huì)是一個(gè)以折痕為底邊的等腰三角形5、利用折疊所得到的直角和相等的邊或角，設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x,然后根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度， 選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求解.、矩形中的折疊1 .將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖的方式折疊，其中BC, BD為折痕，折疊后BG和BH在同一條直線上，/ CBD=度.BC BD是折痕，所以有/ ABC = /GBC / EBD = Z HBD 則/ CBD = 90°折疊前后的對(duì)應(yīng)角相等2 .如圖所示，一張矩形紙片沿BC折疊，頂點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，再過(guò)點(diǎn)A折疊使折痕DE/BC 若 AB

3、=4, AC=3則4 ADE的面積是.1沿BC折疊，頂點(diǎn)落在點(diǎn) A處，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到 BC垂直平分AA',即AF = 1 AA',又DE/ BC,得到 ABC s AADE再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出三角 形ADE的面積=24對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線初中數(shù)學(xué)中的折疊問(wèn)題QQ :.如圖，矩形紙片 ABCM, AB=4, AD=3折疊紙片使 AD邊與對(duì)角線BD重合，得折痕DG 求AG的長(zhǎng).由勾股定理可得 BD = 5 ,由對(duì)稱的性質(zhì)得 ADG叁 AADG 由 A D = AD = 3, AG = AG 則 A' B = 5

4、 - 3 = 2, 在RtAA, BG中根據(jù)勾股定理，列方程可以求出AG的值根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到相等的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，再在直角三角形中根據(jù)勾股定理列方程求解即4 .把矩形紙片 ABCDgBE折疊，使得BA邊與BC重合，然后再沿著 BF折疊，使得折痕 BE也與BC邊重合，展開(kāi)后如圖所示，則/DFB等于（）Ap根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到/ ABE=Z CBE / EBF=/ CBF據(jù)此即可求出/ FBC的度數(shù)，又知道/ C=90° ,根據(jù)三角形外角的定義即可求出/ DFB = 112.5 °-注意折疊前后角的對(duì)應(yīng)關(guān)系5 .如圖，沿矩形 ABCM對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E的位置，已知 B

5、C=8cm AB=6cm求 折疊后重合部分的面積.點(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于直線 BD對(duì)稱，/ 1 = Z2.AD/ BC,1 = Z3/ 2 = / 3/.FB = fd yrT*設(shè) FD = x ,貝U FB = x , FA = 8、 x在 RtBAF中，BA2 + AF 2 = BF 2.-62 + (8 - x)2 = x 225解得x = 4一，_1125752所以，陰影部分的面積 Safbd = 2 FD X AB = 2 X X 6 = cm重合部分是以折痕為底邊的等腰三角形6.將一張矩形紙條 ABCD®如圖所示折疊，若折疊角/ FEC=64 ,則/ 1=度； EFG 的形狀 三

6、角形. 四邊形CDFEJ四邊形C D' FE關(guān)于直線EF對(duì)稱 / 2 = Z3 = 64 ° / 4 = 180 ° - 2 X 64 ° = 52 °7 .如圖，將矩形紙片 ABC誠(chéng)如下的順序進(jìn)行折疊：折，展平，得折痕 EF （如圖）；延 CG折疊，使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)B'處，（如圖）；展平，得折痕GC（如圖）；沿GH折疊， 使點(diǎn)C落在DH上的點(diǎn)C處，（如圖）；沿GC折疊（如圖）；展平，得折痕 GC , GH（如圖）.（1）求圖中/ BCB的大小;（2）圖中的4 GCC是正三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.DC圖B'3C1（1）由對(duì)稱的性質(zhì)

7、可知：B' C=BC然后在RtAB FC中，求得cos/B' CF=-,利用特殊角的三角函數(shù)值的知識(shí)即可求得/BCB = 60 ° ;（2）首先根據(jù)題意得： GC平分/ BCB,即可求得/ GCC = 60 ° ,然后由對(duì)稱的性質(zhì)知: GH線段CC的對(duì)稱軸，可得 GC = GC,即可得 GCC是正三角形.理清在每一個(gè)折疊過(guò)程中的變與不變8 .如圖，正方形紙片 ABCD勺邊長(zhǎng)為8,將其沿EF折疊，則圖中四個(gè)三角形的周長(zhǎng)之和為四邊形BCFE與四邊形B' C FE關(guān)于直線EF對(duì)稱，則這四個(gè)三角形的周長(zhǎng)之和等于正方形ABC曲周長(zhǎng)折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等9 .如圖，

8、將邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD&著折痕EF折疊，使點(diǎn)B 落在邊AD的中點(diǎn)G處，求四邊形 BCFE的面積初中數(shù)學(xué)中的折疊問(wèn)題QQ : 1519819521BC設(shè) AE = x ,則 BE = GE = 4 - x 在RtAEG中，根據(jù)勾股定理 有：AF + AG2 = GE2 即：x2 + 4 = (4 - x) 2解得 x = 1.5 , BE = EG = 4 - 1.5 = 2.5, / 1 + /2 = 90 ° , / 2 + /3 = 90 °1 = Z3又. / A = / D = 90 ° .AEG s ADGP.,A! = EG,則 11 =這

9、，解得 gp = UDG GP 2 GP3102PH = GH - GP = 4 -=-33，一 ，.，一.，.3. / 3 = Z 4, tan Z 3 = tan / 1 =-4FHFH =X PH =41.CF = FH = 21 15二S 梯形 BCFE= 2 ( 2 + 2 ) X4 = 6注意折疊過(guò)程中的變與不變，圖形的形狀和大小不變，對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角相等10.如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片 ABC所疊，使點(diǎn)B落在邊AD上 不與A、D重合.MN 為折痕，折疊后 B' C'與DN于P.連接BP,那么BP與MN勺長(zhǎng)度相等嗎？為什么？(2)設(shè)BM=y AB' =x

10、,求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)猜想當(dāng)B點(diǎn)落在什么位置上時(shí)，折疊起來(lái)的梯形MNC B'面積最??？并驗(yàn)證你的猜想.(1)BB' = MN過(guò)點(diǎn)N作NH/ BC交AB于點(diǎn)H),證 ABB AHNM (2)MB' = MB = y , AM = 1 - y , AP = x 在 RtAABE?中BP = AB" + AB' 2 =1 + x因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)B'關(guān)于MN寸稱, 則 BQ = 2J1 + x 2所以BQ = B' Q由 BMQ BB' A得BMK BA = BQX BB'1- y =卜1 + x 22(1+x 2)(3)梯

11、形MNC B'的面積與梯形 MNCB勺面積相等 由(1)可知，HM = AB' = x ,初中數(shù)學(xué)中的折疊問(wèn)題QQ : 1519819521BH = BM - HM = y - x ,則 CN = y - x，梯形MNCB勺面積為：1 12 (y - x + y) x 1 = 2 (2y - x)=2 (2 X 11(1 + x 2) - x)=1 (x -1 )2 + 32(2 )8當(dāng)x = 1時(shí)，即B點(diǎn)落在AD的中點(diǎn)時(shí)，梯形 MNC B'的面積有最小值，且最小值是 328及對(duì)稱的性質(zhì)，折疊的角與其對(duì)應(yīng)角相等，和平角AB為底的等腰三角形、紙片中的折疊:/a = /1,

12、/2 = Z 1Z a = / 2 .2/ a +/ABE=180 ,即 2/ & +30° =180° ,解得/ a =75° .題考查的是平行線的性質(zhì)，同位角相等，為180度的性質(zhì)，注意 EAB是以折痕C12.如圖，將一寬為 2cm的紙條，沿BC使/ CAB=45 ,則后重合部分的面積為作 CDL AB,1. CE/ AB, .1 = 72,根據(jù)翻折不變性，/ 1 = Z BCA故/ 2=Z BCA .AB=AC又. / CAB=45 ,在 RtADC中,AC = 2陋,AB = 2 v2& abc =2 ABXCD = 272在折疊問(wèn)題中，一

13、般要注意折疊前后圖形之間的聯(lián)系，將圖形補(bǔ)充完整，對(duì)于矩形（紙片） 折疊，折疊后會(huì)形成“平行線 +角平分線”的基本結(jié)構(gòu)，即重疊部分是一個(gè)以折痕為底邊的 等腰三角形ABC1013.將寬2cm的長(zhǎng)方形紙條成如圖所示的形狀，那么折痕PQ的長(zhǎng)是如圖，作 QHL PA,垂足為 H,則QH=2cm 由平行線的性質(zhì)，得/ DPA=/ PAQ=60 由折疊的性質(zhì)，得/ DPA =/PAQ/ APQ=60 ,又 / PAQW APQ=60 ,. APQ為等邊三角形，HQ 在 RtAPQH, sin/HPQ =一PQ. .范=4,則pQ =小 2 PQ3+角平分線”的基本結(jié)構(gòu)圖形，即有以折痕為注意掌握折疊前后圖形的

14、對(duì)應(yīng)關(guān)系.在矩形（紙片）折疊問(wèn)題中，會(huì)出現(xiàn)“平行線底邊的等腰三角形 APQ 14.如圖a是長(zhǎng)方形紙帶，/ DEF=20 ,將紙帶沿EF折疊成圖b,再沿BF折疊成圖c,則圖c中的/ CFE的度數(shù)是（）vzK/x1. AD/ BC,/ DEF=/ EFB=20° ,在圖 b 中，GE = GF, / GFC=180 -2/EFG=140 ,在圖 c 中 / CFE=Z GFC-Z EFG=120 ,本題考查圖形的翻折變換，解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變.由題意知/ DEF=Z EFB=20 圖 bZ GFC=140 ,圖

15、c 中的/ CFE=/ GFC-Z EFG15.將一張長(zhǎng)為70 cm的長(zhǎng)方形紙片 ABCD沿對(duì)稱軸EF折疊成如圖的形狀，若折疊后，AB與CD間的距離為60cm,則原紙片的寬 AB是（）設(shè) AB=xcm右圖中，AF = CE = 35 , EF = x根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，得 AE=CF=35-x (cm). 貝U有 2 (35-x) +x=60,x=10.16. 一根30cmi寬3cm的長(zhǎng)方形紙條，將其按照?qǐng)D示的過(guò)程折疊（陰影部分表示紙條的反面），為了美觀，希望折疊完成后紙條兩端超出點(diǎn)P的長(zhǎng)度相等，則最初折疊時(shí)，求 MA勺長(zhǎng)將折疊這條展開(kāi)如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，兩個(gè)梯形的上底等于紙條寬，即3

16、cm,下底等于紙條寬的 2倍，即6cm,兩個(gè)三角形都為等腰直角三角形，斜邊為紙條寬的2倍，即6cm,故超出點(diǎn)P的長(zhǎng)度為（30-15） +2=7.5,三、三角形中的折疊17.如圖，把RtAABC（ / C=90° ）,使A, B兩點(diǎn)重合，得到折痕 ED,再沿BE折疊，C點(diǎn) 恰好與D點(diǎn)重合，則 CE AE=初中數(shù)學(xué)中的折疊問(wèn)題QQ : 151981952118.在 ABC中，已知 AB=2a, / A=30° , CD是AB邊的中線，若將 ABC沿CD對(duì)折起來(lái),1折疊后兩個(gè)小 ACM BCD1疊部分的面積恰女?等于折疊前ABC的面積的4 .(1)當(dāng)中線CD等于a時(shí)，重疊部分的面

17、積等于 (2)有如下結(jié)論(不在“ C*于a”的限制條件下)： AC邊的長(zhǎng)可以等于a;折疊前 的 ABC的面積可以等于 噲2 ;折疊后，以A B為端點(diǎn)的線段 AB與中線CD平行且相 等.其中，結(jié)論正確(把你認(rèn)為正確結(jié)論的代號(hào)都填上，若認(rèn)為都不正確填“無(wú)”).-1 _(1)CD = J AB/ ACB = 90°. AB = 2a , BC = a , . AC = J3a 13 2Saabc= 2 x ACX BC = -a重疊部分的面積為：1x3a2 = 乎a2(2)若AC = a ,如右圖180° - 30 °. AD = a , .2 = 2= 75 

18、6;ZBDC = 180 ° - 75 ° = 105 °. B'DC = 105 ° / 3 = 105 ° - 75 ° = 30 °1 = /3.AC/ B'D四邊形AB'DC是平行四邊形1重疊部分 CDE的面積等于C的面積的,4B若折疊前 ABC的面積等于a2過(guò)點(diǎn)C作CHL AB于點(diǎn)H,則13 22 x ABX CH = 2 a3CH = 2 a一CH又 tan / 1 =- AH初中數(shù)學(xué)中的折疊問(wèn)題QQ : 1519819521142C.AH =32aB323C43 = Z4, DA = D

19、B31.BH = 2a則 tan / B = CH ,得/ B = 60 ° BH . CBD等邊三角形.Z 2 = Z4 / 3 = Z4, AD/ CB又 CB = BC = BD = a , . CB = AD 四邊形adcb是平行四邊形1則重疊部分 CDE的面積是 ABC面積的，4(3)如右圖，由對(duì)稱的性質(zhì)得，/1 = Z2又.一/ 3 + Z4 = Z1 + /21. Z 4 = / 1.ABb/ CD注意“角平分線+等腰三角形”的基本構(gòu)圖，折疊前后圖形之間的對(duì)比，找出相等的對(duì)應(yīng)角 和對(duì)應(yīng)邊現(xiàn)把 CDE沿DE進(jìn)行不同的折疊得 C DE,(3)如圖(3)把 CDE沿DE斜向上

20、折疊，探求/ 1、/ 2、/ C的關(guān)系.19.在 ABC中，已知/ A=80° , / C=30° , 對(duì)折疊后產(chǎn)生的夾角進(jìn)行探究：(1)如圖(1)把 CDE沿DE折疊在四邊形(2)如圖(2)把 CDE沿DE折疊覆蓋/ A,ADE的，則求/ 1 + Z 2的和;則求/ 1 + /2的和；(1)根據(jù)折疊前后的圖象全等可知，/1=180° -2/CDE / 2=180° -2/CED再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理比可求出答案；(2)連接DG將/ ADG吆AGD乍為一個(gè)整體，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來(lái)求；(3)將/ 2看作180° -2/CED / 1看作2/C

21、DE-180。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來(lái)求.解：(1)如圖(1)71+72=180° - 2 ZCDE +180° - 2 / CEDE圖初中數(shù)學(xué)中的折疊問(wèn)題QQ : 151981952126=360° - 2 (/ CDE+ CED=360° -2 (180° - /C)=2/ C=60° ;(2)如圖(2)連接DG71+72=180° - /C' - (/ADG +/ AGD =180° -30° - (180° -80 ° ) =50° ;(3)如圖(3)/2-

22、/1=180° - 2 /CED - (2/CDE - 180 ° )=360° - 2 (/ CDE + /CED=360° - 2 (180° - /C)=2/ C所以：/ 2 - /1=2/C.由于等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，所以在折疊三角形 時(shí)常常會(huì)出現(xiàn)等腰三角形20.觀察與發(fā)現(xiàn)：將三角形紙片 ABC （AB> A。沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使得 AC落在AB邊上，折痕為AD,展開(kāi) 紙片（如圖）；在第一次折疊的基礎(chǔ)上第二次折疊該三角形紙片，使點(diǎn) A和點(diǎn)D重合，折 痕為EF,展平紙片后得到 AEF （如圖）.小明認(rèn)為 AEF是等腰三角形，你同

23、意嗎？請(qǐng)說(shuō) 明理由.實(shí)踐與運(yùn)用：（1）將矩形紙片ABCDg過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn) A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為BE （如圖 ）；再沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn) D落在BE上的點(diǎn)D'處，折痕為EG （如圖）；再展平 紙片（如圖）.求圖中/ a的大小.在第一次折疊中可得到/EAD = / FAD在第二次折疊中可得到 EF是AD的垂直平分線，則 AD± EF AEF = / AFE. AEF是等腰三角形(1)由折疊可知/ AEB = / FEB, / DEG = / BEG而/ BEG = 45° + / a因?yàn)? AEB + Z BEG + Z DEG = 180

24、6; 所以 45 ° + 2 (45° +/ a) = 180 ° / a = 22.5 °由于角平分線所在的直線是角的對(duì)稱軸，所以在三角形中的折疊通常都與角平分線有關(guān)。要抓住折疊前后圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系(2)將矩形紙片ABCD按如下步驟操作：將紙片對(duì)折得折痕EF,折痕與AD邊交于點(diǎn)E,與BC邊交于點(diǎn)F;將矩形ABFE與矩形EFCM另1J沿折痕 MN PQ折疊，使點(diǎn)A、點(diǎn)D都與點(diǎn)F 重合，展開(kāi)紙片，此時(shí)恰好有 MP=MN=PQ口圖)，求/ MNF勺大小.由題意得出：ZNMF=/ AMN= MNF.MF=NF由對(duì)稱性可知,MF=PF ，NF=PF而由題意得出

25、：MP=M N又 MF=MF . MNH MPFPMF=/ NMF 而/ PMF+Z NMF廿 MNF=180 ,即 3/ MNF=180 ,在矩形中的折疊問(wèn)題，通常會(huì)出現(xiàn)“角平分線+平行線”的基本結(jié)構(gòu)，即以折痕為底邊的等腰三角形21.直角三角形紙片 ABC中，/ ACB=90 , A(X BC,如圖，將紙片沿某條直線折疊，使點(diǎn) A 落在直角邊BC上，記落點(diǎn)為D,設(shè)折痕與ARAC邊分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F.探究：如果折疊后的 CDF與4BDE均為等腰三角形，那么紙片中/B的度數(shù)是多少？寫(xiě)出你的計(jì)算過(guò)程，并畫(huà)出符合條件的后的圖形.CDF中，/ 0=90° ,且 CDF是等腰三角形, .CF=

26、CD/ 0FD=/ CDF=45 , 設(shè)/ DAE=x ,由對(duì)稱性可知，AF=FD AE=DEI 一 1 。,一。/ FDA=2 / CFD=22.5 , / DEB=2乂 ,分類如下：當(dāng) DE=DB寸，/ B=Z DEB=2X , 由/ 0DE=/ DEB-+Z B,彳導(dǎo) 45° +22.5 ° +x=4x, 解得：x=22.5 ° .此時(shí)/ B=2x=45° ;見(jiàn)圖形(1),說(shuō)明：圖中 AD應(yīng)平分/ 0AB當(dāng) BD=BE寸，貝U/ B= (180° -4x ), 由/ 0DE=/ DEB+Z B得：45+22.5+x=2x+180-4x 解

27、得 x=37.5 ° ,此時(shí)/ B= (180-4x) ° =30° . 圖形(2)說(shuō)明：/ CAB=60 , / 0AD=22.5° .180° - 2x DE=BE時(shí)，貝U/ B= 2 _180° 由 / 0DE=/ DEB+Z B的，45+22.5+x=2x+此方程無(wú)解.DE=B環(huán)成立.綜上所述/ B=45或30先確定 CDF是等腰三角形，得出/ 0FD=/ 0DF=45 ,因?yàn)椴淮_定 BD弱以那兩條邊為腰 的等腰三角形，故需討論， DE=DBBD=BEDE=BE然后分別利用角的關(guān)系得出答案 即可22.下列圖案給出了折疊一個(gè)直角

28、邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形紙片（圖 1）的全過(guò)程：首先對(duì)折，如圖2,折痕CD交AB于點(diǎn)D;打開(kāi)后，過(guò)點(diǎn) D任意折疊，使折痕 DE交BC于點(diǎn)E, 如圖3;打開(kāi)后，如圖4;再沿AE折疊，如圖5;打開(kāi)后，折痕如圖 6.則折痕DE和AE長(zhǎng) 度的和的最小值是（）一過(guò)D點(diǎn)作DF/ BC,交AC于F,作A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn) A',連接DA , 貝U DA'就是DE和AE的最小值. .D點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，DF=1, FC=1, .FA' =3 .DA'=" + 3 2 =回 折痕DE和AE長(zhǎng)度的和的最小值是平本題經(jīng)過(guò)了三次折疊，注意理清折疊過(guò)程中的對(duì)稱關(guān)系，求兩條線段的和

29、的最小值問(wèn)題可以參見(jiàn)文章 23.小華將一條1 （如圖1）,沿它對(duì)稱軸折疊1次后得到（如圖），再將圖沿它對(duì)稱軸折屋后得到=（如圖=3廣;則圖=3中一條H長(zhǎng);同工1祚，方小隼連續(xù)如圖1 TOT n次后訪得到（如圖n+1） 一條腰長(zhǎng)為多少?解：每次折疊后，腰長(zhǎng)為原來(lái)的2故第2次折疊后得到的等腰直角三角形的一條腰長(zhǎng)為（ 步）2- 2則小華連續(xù)將圖1的等腰直角三角形折疊 n次后所得到的等腰直角三角形的一條腰長(zhǎng)為*n 盡聲本題是一道找規(guī)律的題目， 這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的.24 .如圖，矩形紙片 ABCD43, AB=/6 , BC=/1

30、0 .第一次將紙片折疊，使點(diǎn) B與點(diǎn)D重合， 折痕與BD交于點(diǎn)O; OD的中點(diǎn)為D,第二次將紙片折疊使點(diǎn) B與點(diǎn)D重合，折痕與BD交 于點(diǎn)Q;設(shè)QD的中點(diǎn)為小，第三次將紙片折疊使點(diǎn) B與點(diǎn)D2重合，折痕與BD交于點(diǎn)Q,.按 上述方法，第n次折疊后的折痕與 BD交于點(diǎn)。，則BO=, BO=第一次折疊時(shí)，點(diǎn)第二次折疊時(shí)，點(diǎn)第三次折疊時(shí)，點(diǎn)。是BD的中點(diǎn)，則BO = DO1O2是BD的中點(diǎn)，則BO = D 1QQ是BD2的中點(diǎn)，則BO = D2Q因?yàn)锳B =耶，BC = #0 ,所以BD = 4第一次折疊后，有.BO = 2第二次折疊后，有BO = DO1BO = D 1O2BD - DD1 .BQ

31、 = 2BO BD - 22第三次折疊后，有BG = D2Q .BQ =BD - D 1D2即當(dāng)n = 1時(shí),BOBD - 一 2230BO = 2 = 2T時(shí),BQ =時(shí),BO3 =302132239831- 1_1x2 - 3232 - 1-2X2 - 3233 - 1-3X2 - 32則第n次折疊后，BO =3n22n - 3問(wèn)題中涉及到的折疊從有限到無(wú)限,要明白每一次折疊中的變與不變，充分展示運(yùn)算的詳細(xì)觀察其中的變與不變， 特別是變化的數(shù)過(guò)程。在找規(guī)律時(shí)要把最終的結(jié)果寫(xiě)成一樣的形式, 據(jù)與折疊次數(shù)之間的關(guān)系25 .如圖，直角三角形紙片 ABC中，AB=3 AC=4, D為斜邊BC中點(diǎn)，

32、第1次將紙片折疊， 使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕與 AD交于點(diǎn)P1;設(shè)P1D的中點(diǎn)為D,第2次將紙片折疊，使點(diǎn) A 與點(diǎn)D重合，折痕與 AD交于點(diǎn)P2；設(shè)BD的中點(diǎn)為C2,第3次將紙片折疊，使點(diǎn) A與點(diǎn)D2 重合，折痕與 AD交于點(diǎn)P3；設(shè)Pn-1d2的中點(diǎn)為D-1,第n次紙片折疊，使 A與點(diǎn)1-1重5AD =2第一次折疊后,ADAP1 =-=第二次折疊后,AP1 = P 1D,54PQ = D 1DAP2 = P2D,P2D2 = D 2D1ADAP2 =2AD - DD1APAD - -221516第三次折疊后,AP3 = P 3D2AD2AR = 2AD 1- D 1D22AD -AP22即當(dāng)

33、n = 1時(shí),AP1 =時(shí),AP2 =1516230 X 5223k515158 - 32 _ 45=264時(shí),AP3 =4564則第n次折疊后，AR =2432X5263n - 1 X522n,35X5故AF6 =2優(yōu)此題考查了翻折變換的知識(shí),解答本題關(guān)鍵是寫(xiě)出前面幾個(gè)有關(guān)線段長(zhǎng)度的表達(dá)式,從而得出一般規(guī)律，注意培養(yǎng)自己的歸納總結(jié)能力26 .閱讀理解如圖1, ABC中，乜目/ BAC的平分線AB折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/B1A1C的平分線A18折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/BAC的平分線AnR+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合，無(wú)論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，/ 小麗展示了確定/

34、BAB ABC的好角的兩種情形.情形一：如圖 2,沿等腰三角形 ABC頂 角/ BAC的平分線AB折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情形二：如圖3,沿/ BAC的平分線AB折疊, 剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/ B1A1C的平分線AB折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合.探究發(fā)現(xiàn)（1） ABC中，/ B=2Z C,經(jīng)過(guò)兩次，/ BAC是不是 ABC的好角？（填“是”或“不是”）.（2）小麗經(jīng)過(guò)三次折疊發(fā)現(xiàn)了/ BAC是 ABC的好角，t#探究/ B與/C （不妨設(shè)/B>/C：之間的等量關(guān)系.根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過(guò)n次折疊/ BAC是4ABC的好角，則/ B與/ C（不妨設(shè)/ B>/C）之間的等量關(guān)系為

35、應(yīng)用提升（3）小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為 角都是此三角形的好角.請(qǐng)你完成，如果一個(gè)三角形的最小角是 的三個(gè)角均是此三角形的好角.15° 、 60° 、 105° ,發(fā)現(xiàn) 60° 和 105° 的兩個(gè)4。，試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形設(shè)另外兩個(gè)角是4x, 4y,則4x + 4y + 4 = 1804x = 4y x a（a是正整數(shù)）44所以y 二 一廠a + 1因?yàn)閤,V, a,都是正整數(shù)，則 a的值應(yīng)為:1、3、10、21、43當(dāng) a = 1 時(shí)，x = y = 22, 4x = 4y = 88當(dāng) a = 3 時(shí)，y = 11

36、當(dāng) a = 10 時(shí)，y = 4當(dāng) a = 21 時(shí)，y = 2當(dāng) a = 43 時(shí)，y = 1,x =33 ,x =40 ,x =42 , ,x =43 ,4x =1324x =1604x =1684x =1724y = 444y = 164y = 84y = 4理解注意折疊過(guò)程中的對(duì)應(yīng)角和三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)外角的和的運(yùn)用,三角形中如果有一個(gè)角是好角之后，另兩個(gè)角之間的關(guān)系， 通過(guò)這樣的問(wèn)題培養(yǎng)歸納總結(jié)能力27 .我們知道：任意的三角形紙片可通過(guò)如圖所示的方法折疊得到一個(gè)矩形.(1)實(shí)踐：將圖中的正方形紙片通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ㄕ郫B成一個(gè)矩形(在圖中畫(huà)圖說(shuō)明)(2)探究：任意的四邊

37、形紙片是否都能通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ㄕ郫B成一個(gè)矩形？若能，直接在圖(要求：畫(huà)圖應(yīng)中畫(huà)圖說(shuō)明；若不能，則四邊形至少應(yīng)具備什么條件才行？并畫(huà)圖說(shuō)明.體現(xiàn)折疊過(guò)程，用虛線表示折痕，用箭頭表示方向，后圖形中既無(wú)縫隙又無(wú)重疊部分)解：(1)折疊方法如圖所示.(2)不能.四邊形至少應(yīng)具備的條件是：“對(duì)角線互相垂直.折疊方法如圖所示.折疊即對(duì)稱28.如圖，雙曲線 y =6 (x>0)經(jīng)過(guò)四邊形 OABC勺頂點(diǎn)A、C, / ABC=90 , OC平分OA x與x軸正半軸的夾角，AB/ x軸，將 ABC沿AC翻折后得到 AB'C , B'點(diǎn)落在OA上，則四邊形OABC勺面積是多少？6 設(shè) C(m,

38、 m)根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)有：CD = CB = CB'1 iI i12 m 12所以 B(m, ) , A(2 , ) , D(m, 0)AB = 2 , BD = , CD = m , OD = m 則四邊形OABC勺面積為：122 X (AB + OD) X BD - & X ODX CD匚I _ II I I II c=-X(m + m) X- - - Xmx62'2" m 2 m明白折疊中的對(duì)應(yīng)邊就行29.已知一個(gè)直角三角形紙片 OAB其中/ AOB=90 , OA=2, OB=4如圖，將該紙片放置在 平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點(diǎn)C,與

39、邊AB交于點(diǎn)D.(1)若折疊后使點(diǎn) B與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B',設(shè)OB =x, OC=y試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析 式，并確定y的取值范圍；(3)若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B，且使B D/ OB求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo).AB = y4 + 16 = 2 平. BCD BAD 1 BCX BO = BDX BA5 " BCX 4 = J5 X 2y5 , BC = 2I EZI I_一一533 .OC =OB - BC = 4 -2 =2,貝UC(0,2 )"LTJU(2)如右圖，BC= B'CB'C = BC = OB - OC = 4 - y在 RtOB'C 中根據(jù)勾股定理有：y2 + x 2 = (4 - y) 2所以 y = -1 x2 + 2.