導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中應(yīng)用(教學(xué)設(shè)計(jì))

1、3.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（教學(xué)設(shè)計(jì)）（ 1）§函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（2 課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能目標(biāo)：在觀察、探索的基礎(chǔ)上，歸納出函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并用其判斷函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)。過程與方法目標(biāo)：利用圖象為結(jié)論提供直觀支持，通過觀察分析、歸納總結(jié)等方式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的數(shù)學(xué)思維。情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心與求知欲；在教學(xué)過程中，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新思想。教學(xué)重點(diǎn)： 了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系； 能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性， 會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。教學(xué)難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來探究函數(shù)的

2、單調(diào)性，理解用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的實(shí)質(zhì)。教學(xué)過程：一創(chuàng)設(shè)情景、新課引入：函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，研究函數(shù)時(shí)， 了解函數(shù)的增與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對(duì)數(shù)量的變化規(guī)律有一個(gè)基本的了解下面，我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從中體會(huì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用二師生互動(dòng)，新課講解：1問題 1：如圖，它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)h(t )4.9t 26.5t10 的圖像，圖3.3-1（2）表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度v 隨時(shí)間 t變 化 的 函 數(shù) v(t)h' (t)9.8t6.5 的圖像運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，

3、以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別？通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：（ 1）運(yùn)動(dòng)員從起點(diǎn)到最高點(diǎn)，離水面的高度h 隨時(shí)間 t 的增加而增加，即h(t ) 是增函數(shù)相應(yīng)地， v(t )h' (t)0 （ 2）從最高點(diǎn)到入水，運(yùn)動(dòng)員離水面的高度h 隨時(shí)間 t 的增加而減少，即h(t ) 是減函數(shù)相應(yīng)地， v(t )h' (t)0 2函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系問題 2：分別作出下列函數(shù)的圖象：1（1） y=x(2)y=x 2(3)y=x 3(4)y= 1x觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系如圖 3.3-3，導(dǎo)數(shù)f ' ( x0 ) 表示函數(shù)f (

4、x) 在點(diǎn) ( x0 , y0 ) 處的切線的斜率在 xx0 處， f ' (x0 )0 ，切線是“左下右上”式的，這時(shí)，函數(shù)f ( x) 在 x0 附近單調(diào)遞增；在 xx1 處， f ' (x0 )0 ，切線是“左上右下”式的，這時(shí)，函數(shù)f (x) 在 x1 附近單調(diào)遞減2結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在某個(gè)區(qū)間(a ,b) 內(nèi)，如果 f ' ( x)0 ，那么函數(shù) yf ( x) 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果 f ' (x)0 ，那么函數(shù)yf ( x) 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減說明：特別的，如果f ' ( x)0 ，那么函數(shù)yf ( x) 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常

5、函數(shù)3求解函數(shù)yf (x) 單調(diào)區(qū)間的步驟：（ 1）確定函數(shù)yf ( x) 的定義域；（ 2）求導(dǎo)數(shù)y'f ' ( x) ；（ 3）解不等式 f ' ( x) 0 ，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；（ 4）解不等式 f ' ( x) 0 ，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間例 1（課本 P91 例 1）已知導(dǎo)函數(shù)f ' (x) 的下列信息 ：當(dāng) 1x 4時(shí)， f ' ( x) 0 ；當(dāng) x4 ，或 x1時(shí)， f ' ( x)0 ；當(dāng) x4 ，或 x1時(shí)， f ' (x)0試畫出函數(shù) yf ( x) 圖像的大致形狀解： 當(dāng) 1 x4 時(shí)，

6、f ' ( x)0 ，可知 yf (x) 在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng) x4 ，或 x1時(shí)， f ' ( x)0 ；可知 yf ( x) 在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng) x4 ，或 x1時(shí)， f ' (x)0 ，這兩點(diǎn)比較特殊，我們把它稱為“臨界點(diǎn)” 綜上，函數(shù) yf ( x) 圖像的大致形狀如圖所示例 2（課本 P91 例 2）判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間（ 1） f (x)x33x；（ 2） f ( x)x22x 3（ 3） f (x)sin xx x(0,) ；（ 4） f ( x)2x33x2 24 x 1解：（ 1）因?yàn)?f (x)x33x ，所以，f '

7、( x) 3x233 x(21)03因此， f ( x)x33x 在 R 上單調(diào)遞增，如圖3.3-5（ 1）所示（ 2）因?yàn)?f( x)x22 x 3 ，所以，f ' ( x)2x22 x1當(dāng) f ' ( x)0，即x1時(shí)，函數(shù) f ( x)x22x3 單調(diào)遞增；當(dāng) f ' ( x)0，即x1時(shí)，函數(shù) f (x)x22x3 單調(diào)遞減；函數(shù) f ( x)x22x3 的圖像如圖3.3-5（ 2）所示（ 3）因?yàn)?f( x)sin xx x(0,) ，所以， f ' (x)cosx1 0因此，函數(shù)f ( x)sin xx在 (0,) 單調(diào)遞減，如圖3.3-5（ 3）所

8、示（ 4）因?yàn)?f( x)2x33x224x1 ，所以當(dāng) f ' ( x)0，即時(shí)，函數(shù) f ( x)x22x3；當(dāng) f ' ( x)0，即時(shí)，函數(shù) f ( x)x22x3；函數(shù) f ( x)2x33x224x1 的圖像如圖3.3-5（4）所示注：（ 3）、（ 4）生練例 3（課本 P92 例 3）如圖 3.3-6，水以常速（即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對(duì)應(yīng)的水的高度h 與時(shí)間 t 的函數(shù)關(guān)系圖像4分析：以容器（2）為例，由于容器上細(xì)下粗，所以水以常速注入時(shí)，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快反映在圖像上， （ A

9、）符合上述變化情況同理可知其它三種容器的情況解：1B,2A,3D,4C思考：例 3 表明，通過函數(shù)圖像， 不僅可以看出函數(shù)的增減， 還可以看出其變化的快慢 結(jié)合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？一般的，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化的快，這時(shí)，函數(shù)的圖像就比較“陡峭” ；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些如圖 3.3-7所示，函數(shù)yf (x) 在 0, b或 a ,0 內(nèi)的圖像“陡峭” ，在 b ,或, a內(nèi)的圖像“平緩” 例 4 求證：函數(shù) y2x33x212x1在區(qū)間2,1 內(nèi)是減函數(shù)證明：因?yàn)?y'6x26 x126x2x 26x 1x2

10、當(dāng)x2,1即 2x 1時(shí)，y'0y33x212x 12,1，所以函數(shù)2x在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)說明：證明可導(dǎo)函數(shù)fx 在 a , b 內(nèi)的單調(diào)性步驟：（ 1）求導(dǎo)函數(shù) f ' x ；（ 2）判斷 f ' x 在 a , b 內(nèi)的符號(hào)；（ 3）做出結(jié)論：f 'x 0 為增函數(shù)，f 'x0 為減函數(shù)例 5已知函數(shù)f (x)4xax22 x3 (xR) 在區(qū)間1,1 上是增函數(shù)， 求實(shí)數(shù) a 的3取值范圍解： f ' ( x) 42ax2x2，因?yàn)?fx在區(qū)間1,1上是增函數(shù)，所以f ' (x) 0 對(duì)x1,1 恒成立，即x2ax2 0對(duì)x1,1 恒

11、成立，解之得： 1 a15所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍為1,1 說明：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：即“ 若函數(shù)單調(diào)遞增，則f ' ( x)0 ；若函數(shù)單調(diào)遞減，則f ' ( x)0 ”來求解，注意此時(shí)公式中的等號(hào)不能省略，否則漏解例 6 已知函數(shù) y=x+1，試討論出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 .x1解： y =( x+ )x2 x21 ( x 1)( x 1)=1 1·x =x2x2( x1)( x1)令x2 0.解得 x1或 x 1. y=x+1 的單調(diào)增區(qū)間是 (， 1)和 (1， + ).x令 ( x1)( x1) 0，解得

12、 1 x 0 或 0 x 1.x2 y=x+1的單調(diào)減區(qū)間是 ( 1， 0)和 (0，1)x課堂練習(xí)：（課本 P93 練習(xí) NO ： 1； 2； 3； 4）三課堂小結(jié)，鞏固反思：（1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（2）求解函數(shù)yf ( x) 單調(diào)區(qū)間（3）證明可導(dǎo)函數(shù)fx 在 a , b 內(nèi)的單調(diào)性四布置作業(yè)A 組：1、（課本 P98 習(xí)題 3.3 A 組： NO ： 1（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）2、（課本 P98 習(xí)題 3.3 A 組： NO ： 2（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）63、 (tb11505002) 求函數(shù) y=x 3-x2-x 的單調(diào)區(qū)間。（答：增區(qū)間 (-, 1） ,(1

13、,+)；減區(qū)間為 (-1 ,1)334、 (tb11504803) （ 1）求函數(shù)f(x)=x 3 的單調(diào)區(qū)間；（ 2）求函數(shù) f(x)= 1 x3-x2 +x+1 的單調(diào)區(qū)間；3（ 3）求函數(shù) f(x)= 1 x3-3x 2+8x+4 的單調(diào)區(qū)間。3（答：（ 1）定義域上的增函數(shù)； （ 2）定義域上的增函數(shù)； （ 3）增區(qū)間： (-,2)和 (4,+)；減區(qū)間： (2,4)）B 組：1、 (tb11504802) 求函數(shù) y= xx2的單調(diào)區(qū)間。（答：定義域： 0,1增區(qū)間（ 0, 1 ）；減區(qū)間 (1,1)）22b(b>0) 的單調(diào)區(qū)間。2、 (tb6007101) 求函數(shù) y= x

14、x（答：增區(qū)間： ( ,b )和(b ,) ；減區(qū)間： (b,0)和(0,b) ）C 組：32在 R 上為單調(diào)遞增函數(shù)，求a 的取值范圍。1、 (tb10005003) 若函數(shù) f(x)=ax -x +x-5（答： 1, ) 32、 (05 福建文 ) 已知函數(shù)f (x)x3bx 2cx d 的圖象過點(diǎn) P（ 0， 2），且在點(diǎn) M（ 1，f （ 1）處的切線方程為6xy 70.（）求函數(shù)yf ( x) 的解析式；（）求函數(shù)yf ( x) 的單調(diào)區(qū)間 .本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)， 考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力 . 滿分 12 分.解：（）由 f ( x) 的圖象經(jīng)過P（ 0， 2），知 d=2，所以( )322,f x xbx cx7f ( x)3x22bx c.由在 M(1, f( 1) 處的切線方程是6x y70，知6