四點共圓(一)復(fù)習(xí)課程

1、第二十四講 四點共圓（一）【知識要點】四點共圓的判定方法：1、若四個點到一定點的距離相等，則這四個點在同一個圓上（即這四點共圓）。2、若一個四邊形的一組對角的和等于180 度，則這個四邊形的四個頂點共圓。3、若一個四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角，則這個四邊形的四個頂點共圓。4、若兩個點在一條線段的同旁，并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等，那么這兩個點和這條線的兩個端點 共圓。5、若 AB 、 CD兩線段相交于 P點，且 PA PB PC PD，則 A、 B、C、D四點共圓。6、若 AB 、 CD兩線段延長后相交于 P點，且 PA PB PC PD，則 A、 B、C、D四點共圓。7、若四邊形兩

2、組對邊乘積的和等于對角線的乘積，則四邊形的四個頂點共圓。典例精講】例 1、銳角 ABC的三條高 AD、BE、CF交于 H，在 A、B、C、D、E、 F 、 H七個點中能組成四 點共圓的組數(shù)是（ ）A、 4組B、 5組C、 6組D、7組BC例 2、如圖， A、 B、 C、 D 四點在同一圓上， AD的延長線與 BC的延長線交于 E點，且 EC ED 。1）證明： CD/ AB；2）延長 CD到F ，延長 DC到G，使得 EF EG ，證明： A、B、G、F四點共圓 .例 3、如圖，在梯形 ABCD中， AD / BC ，點E ，F(xiàn)分別在邊 AB，CD上，設(shè)ED與 AF相交于點 G，若B， C，

3、F ， E 四點共圓，求證： AG GF DG GE 例 4、已知點 A（2，0） ， B（3，5） ，直線l過點 B與y軸交于點 C（0，c），若O、A、B、C四點共圓，則 c的值為（ ）2228B、5、17D 、無法求出例 5、 在圓內(nèi)接等腰三角形ABC 的底邊 BC 上任取二點 D 、 E ，延長 AD 、 AE 分別交圓于 F 、 G ，求證： AD AF AE AG.例6、如圖， D，E分別是 AB ， AC邊上的點，且不與頂點重合，已知AE m，AC n， AD ， AB為方程 x2 14 x mn 0 的兩根 .（1）證明： C，B， D，E四點共圓；（2）若 A 90 ，m 4

4、，n 6，求 C ， B ， D ， E四點所在圓的半徑例7、如圖， AB為圓O的直徑， CD為垂直于 AB的一條弦，垂足為 E ，弦BM與CD交于點 F （1）證明： A、E、F、M 四點共圓；（2）證明： AC2 BF BM AB2例 8、如圖，在平行四邊形 ABCD 中，BAD為鈍角，且 AE BC， AFCD1）求證： A、E、C、F 四點共圓；2）設(shè)線段 BD與（ 1）中的圓交于 M 、N 求證：BM ND 例9、如圖所示， I 為 ABC的內(nèi)心，求證：BIC的外心 O與 A、B、C四點共圓.例 10、 A、 B、C三點共線， O點在直線外， O1， O2 ， O3分別為 OAB，

5、OBC， OCA的外心求證：O， O1， O2 ， O3四點共圓 .O例 11、如圖，在 ABC中， AD，BE分別是 A， B的角平分線， O是 AD與 BE的交點，若 C，D，O， E四點共圓， DE 3，則 ODE 的內(nèi)切圓半徑為多少？例 12、如圖，點 F 是 ABC外接圓弧 BC 的中點，點D、 E在邊 AC上，使得 ADAB ，BE EC 。證明：BB、 E、 D 、 F 四點共圓 .例 13、如圖， AH AC，EB BC， AE AK，BH BM （ 1）求證： E 、 H 、 M 、 K 四點共圓；（2）若 KE EH ，CE 3求線段 KM 的長CE，又點O是 ADF 的E

6、H例14、在 ABC的邊AB ， BC ， CA上分別取 D，E，F(xiàn)使得 DE BE，F(xiàn)E 外心（1）證明： D，E，F(xiàn) ， O四點共圓；（2）證明： O 在 DEF 的平分線上ODF例 15、如圖， CD 為 ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線 CD于點D ， E、 F分別為弦 AB與弦 AC上B的點，且 BC AEDC AF，B、E、F 、C四點共圓1）證明：CA 是 ABC 外接圓的直徑；2）若 DB BEEA ，求過 B 、 E 、F 、 C 的圓的面積與ABC 外接圓面積的比值例 16、 如圖，銳角 點（ 1）求證： A ，F(xiàn) ，點 E 為內(nèi)切圓 D 與邊 AC 的切 的度數(shù)AB

7、C的內(nèi)心為 D ，過點 A作直線 BD的垂線，垂足為 D，F(xiàn) ， E四點共圓；（2）若 C 50 ，求 DEF11例 17、如圖，在正ABC中，點 D ， E分別在邊 BC 、 AC上，且 BDBC，CE CA， AD，BE相33交于點 P ，求證：（ 1） P，D，C，E四點共圓；（ 2） AP CPEP強化訓(xùn)練】1、如圖， AB是 O的直徑，弦 BD ， CA的延長線相交于點 E，EF垂直 BA的延長線于點 F 求證：（1） BE DE AC CE CE2；（2）E， F，C， B四點共圓2、如圖，已知 AP是 O的切線， P為切點， AC是 O的割線，與 O交于 B，C兩點，圓心 O在

8、PAC 的內(nèi)部，點 M 是BC的中點（1）證明 A，P，O，M 四點共圓；（ 2）求 OAM APM的大小3、如圖，已知 AB為半圓 O的直徑， BE、CD 分別為半圓的切線， 切點分別為 B、C ， F ，AC的延長線交 BE于 EAD DC ，D為垂足（1）求證： A、D 、F 、B四點共圓；DC 的延長線交（ 2）求證： EFBE于FB F4、如圖，已知 ABC中的兩條角平分線 AD和CE相交于 H ， B 60 ， F 在 AC上， 且 AE AF （1）證明： B，D， H ， E四點共圓； （2）證明： CE平分 DEF5、如圖，已知 BA是 O的直徑， AD是 O的切線，割線 B

9、D 、 BF分別交 O于C、E，連接 AE、CE 求證： BE BF BC BD D6、如圖，O 與 P 相交于 A 、 B 兩點，圓心 P 在 O 上，O 的弦 BC 切P于點 B ， CP及其延長線交 P于 D，E兩點，過點 E作EF CE，交 CB的延長線于點F （ 1 ）求證：B、P、E、 F 四點共圓；2）若CD 2，CB 2 2 ，求出由四點 B、P、E、F 所確定圓的直徑F7、如圖所示，已知 PA切圓 O于 A，割線 PBC交圓 O于 B、 C， PD 于點E，連接CE并延長交圓 O于點F ，連接 AFAB于 D，PD與 AO的延長線相交23 時，求圓 O的半徑3（1）求證： B

10、，C，E，D四點共圓；（ 2）當(dāng) AB 12 ， tan EAF8、如圖， ABC是直角三角形， ABC 90 以AB為直徑的圓 O交AC于點 E點D是BC邊的中點，連OD 交圓 O于點 M （1）求證： O， B，D， E四點共圓；（ 2）求證： 2DE2 DM AC DM AB.D9、如圖所示，在RtABC中， ACB 90 ，點O為三角形外的一點， 以O(shè)為圓心， OC為半徑的圓與邊 AB相 切，切點為 E，圓 O與邊 BC相交于 D點，直徑 EF與邊 BC交于G點，連接 AG 求證： AG / ED 10、如圖，在 AGF中， AGF是直角， B是線段 AG上一點，以AB為直徑的半圓交

11、AF 于D，連接 DG交 半圓于點 C，延長 AC交FG于 E（1）求證 D、C、 E 、 F四點共圓；（2）若 GE 3 ，求 2GA的值GB 2 GF11、如圖所示， AB是 O的直徑， G為 AB延長線上的一點， GCD是 O的割線，過點 G 作 AB的垂線， 交 AC 的延長線于點 E ，交 AD的延長線于點 F ，過 G 作 O 的切線，切點為 H 求證：（1）C，D，F(xiàn)，E四點共圓；（2）GH2 GE GF EG12、如圖，已知PA與 O相切于點 A ， PBC為 O的割線，弦CD / AP ， AD與BC相交于點 E，F(xiàn) 為CEAAPOBFECDADCPOEBAFEBCDDE2214、如圖，