第三章優(yōu)化設計的數(shù)學基礎

1、第三章優(yōu)化設計的數(shù)學基礎一 等值（線）面目標函數(shù)是 n 維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在 n+1 維空間中描述出來。為了在 n 維設計空間中反映目標函數(shù)的變化情況，常采用目標函數(shù)等值面的方法。對于可計算的函數(shù) f(x) ，給定一個設計點 X(k) ，f(x) 總有一個定值 c 與之對應；而當 f(x) 取定值 c 時，則有無限多個設計點 X(i) （i=1,2, ）與之對應，這些點集構(gòu)成一個曲面，稱為等值面。即具有相等目標函數(shù)值的設計點構(gòu)成的平面曲線或曲面稱為等值線或等值面。目標函數(shù) F(x)的等值面（線）數(shù)學表達式為：F(x)=C當 c 取 c1,c2, 等值時，就獲得一族曲面族，稱為等值面

2、族。等值線的“心”（以二維為例）一個“心”：是單峰函數(shù)的極（小）值點，是全局極（?。┲迭c。沒有“心”：例，線性函數(shù)的等值線是平行的，無“心” ，認為極值點在無窮遠處。多個“心”：不是單峰函數(shù)，每個極（小）值點只是局部極（?。┲迭c，必須通過比較各個極值點和“鞍點” （須正確判別）的值，才能確定極（?。┲迭c。等值線的形狀：同心圓族、橢圓族，近似橢圓族；嚴重非線性函數(shù)病態(tài)函數(shù)的等值線族是嚴重偏心和扭曲、分布疏密嚴重不一的曲線族。等值線的疏密：沿等值線密的方向，函數(shù)值變化快；沿等值線疏的方向，函數(shù)值變化慢。等值線的疏密定性反應函數(shù)值變化率。二 方向?qū)?shù)與梯度1 方向?qū)?shù)二元函數(shù)在點 x0 處沿某一方向

3、 s 的方向?qū)?shù)Flim F ( x10x1, x20x2 ) F (x10 , x20 )s x0S 0s方向?qū)?shù)是偏導數(shù)概念的推廣。方向?qū)?shù)與偏導數(shù)之間的數(shù)量關系是FFFcos 2s x0x1 xcos 10x2x0n 元函數(shù)在點 x0 處沿 s方向的方向?qū)?shù)FFcos 1Fcos 2x0x0x 0sx1x2nFcos ix 0i 1xi2 梯度二元函數(shù)的梯度x2Sxsx2x20x0x121Ox10x1Fcos nx 0xnFs x0F (x0 )Fcos 1Fx1 xcos 20x2 x0FFcos 1x1x2x0cos 2FTx1FFFx1x2 x0x2x0F(x0)為函數(shù) F( x1

4、， x2 ) 在 x 0 點處的梯度。cos 1設scos 2FFFcos 1sx1x2cos 2F TsFs cos F, ss 方向和梯度方向重合時，方向?qū)?shù)值最大。梯度的模：F22FFx1x2cos設 scos1為單位向量2則有Fx 0F ( x0 )T sF ( x0 ) cos( F , s)s梯度方向是函數(shù)值變化最快的方向，而梯度的模就是函數(shù)變化率的最大值。x2f(x0)最速上升方向x0f(x0)上升方向最速下降方向變化率為零的方向下降方向Ox1多元函數(shù)的梯度F ( x0 )Fnx0si 1梯度 F(x0)的模Fx1Fx2Fxnx 0Fx 0cosxiF ( x0 )FFTFx1x

5、2xn x0iF ( x0 )T sF ( x0 ) cos(F , s)1nF2()2x0i 1xi函數(shù)的梯度方向與函數(shù)等值面相垂直，也就是和等值面上過 x0 的一切曲線相垂直。由于梯度的模因點而異，即函數(shù)在不同點處的最大變化率是不同的。因此，梯度是函數(shù)的一種局部性質(zhì)。梯度兩個重要性質(zhì)：（搜索方向問題）性質(zhì)一：函數(shù)在某點的梯度不為零，則必與過該點的等值面垂直；性質(zhì)二：梯度方向是函數(shù)具有最大變化率的方向。x2f(x0)最速上升方向x0f(x0)上升方向最速下降方向變化率為零的方向下降方向Ox1例題 1：求函 f ( x) x12x224x14 數(shù)在點 3,2 T 的梯度。解：ff ( x)x12 x14f2x2x2在點 x(1) =3,2T 處的梯度為：f ( x(1) )2x1422x2x(1)4例 2：試求目標函數(shù)fx1, x224x1 x22X 0T3x1x2 在0,1點處的最速下降方向，并求沿這個方向移動一單位長度后新點的目標函數(shù)值。fX6x1fX4x1 2x2解：由于x14x2 ,x2則函數(shù)在X 0T處的最速下降方向是0,1fXPf X 0x16x14x2X4x12x2 x1f0x2x10x2