判斷下列冪級數(shù)的收斂域

1、 1.判斷下列藉級數(shù)的收斂域 (2)這是缺項的藉級數(shù)，按數(shù)項級數(shù)判別法來做。 1 , . . . x 亍時，帚級數(shù)收斂。 V3 第八章籍級數(shù) (1) 胃 n 4 n 3 (2) 3nx2z n=0 解：(1)這是不缺項的藉級數(shù)，可按公式來做。 1 lim n_: (n 1)311 1 n3n ,所以收斂半徑 R=3，收斂區(qū)間為(0,6)。 在 x =0 處, M 旦 n,收斂。在 x=6 處，級數(shù)為發(fā)散。 n 4 n n=1 n 故收斂域為 10,6 on 1 2n 3 3 x lim -： - n 3nx2n 1 =lim3 x2 =3x2。 n L : lim 3 x n n 2n:： 1

2、 從而 lim 3nx2n*0,藉級數(shù)發(fā)散。 n_;: 1 . 當 x=jg 時，原級數(shù)成為 oO E n=0 發(fā)散。 該藉級數(shù)的收斂域為 .L,二 L 收斂半徑為R=4。 .3 -3 .3 2.將函數(shù) f(x)=arctan 展開成藉級數(shù)。 1 -x 解：f (x) = arctan 1 x 1 -x 1 x QO =Z (1)nx2n,(1 x1),再逐項積分 n zo x 一 二(3 一 = (-1)n x2ndx = Lx2n1 -1 ：x ：1 ,n. nH 0 n2n 1 f(x) = f (0) ClLx2n 1 =_ 、- C1-x2n 1 1 x 1 n2n 1 4 n2n

3、1 x ,、 f (x)dx = (T) 0 0 nx2n dx 當 3x2 1,即 但在 X = 1 處，右邊級數(shù)收斂，所以和函數(shù)在 X = 1 處連續(xù)。 一 1 X , 而 f （X） = arctan - 在X = 一 1 處連續(xù)，于正 心 叫 / 4n _ / 4n 書 f(1)=lim f(X)= lim + 上、河書=一+，土 Jj+、4 nq2n+1 J 4 nq2n+1 所以有 arctanU=+?Bx2n書 _公 1。 1 -X 4 n/n 1 注：展開式在開區(qū)間內(nèi)部可以逐項積分， 逐項求導。但由此得到的信新的展開式在端點處是 否成立？ 要檢查：若端點處級數(shù)收斂，被展開的函數(shù)

4、在該端點連續(xù) （左端點處右連續(xù)，右端點處左連 續(xù)）。 3.求藉級數(shù) Z xnA的收斂域，并求其和函數(shù)。 n4 n2 1 解：limjp !m(n*?2 = 1，所以收斂半徑 n n :on j 在X = 2 處， - = Z 發(fā)散，在X = -2 處, n 旦 n2n n 旦 2n R=2。 二（_2）n 二（-1）n” , Z （ 2） =收斂，故藉級 伯 n2n n* 2n 數(shù) xn-L的收斂域為1-2,2 )。 n* n2n 、一 1 n A 記 S(X) = X , 2 X2, nd n2 二 1 n 則 XS(X) X nn2n 由逐項求導可得 IxS(x)】=fT2xn =!-1n

5、xn=- 0 =1 =,2X2 Vnn2 J nw2 2nml2j 2 1_X 2-X 2 兩邊從 0 到X積分 X 1 X f - dx = Tn( 2 - X ) 、。2-X 0 = ln( 2x) + ln2, X 即 XS(X ) -。= Tn( 1 - 一)， 2 在x = 1處，上述級數(shù)收斂， arctanx在x = 1處亦連續(xù), _1ln(1m 故 S(x) = x 2 1 2 -2 ： x ： 2,x = 0 x = 0 其中 x=0 時 S(x )的值來源于原始級數(shù) S(x) = mixn。由于藉級數(shù)的逐項積分，逐 n4 n2n 項求導只能在收斂區(qū)間(開區(qū)間)內(nèi)進行，所以上述

6、右邊的區(qū)間寫的是開區(qū)間。 但是 x = -2 處原級數(shù)收斂，并且 一】in(1g)在 x = -2 連續(xù)，故在 x = -2 亦成立，即有 x 2 一(1 一與 S(x)= x 2 1 2 -2 三 x ： 2,x = 0 x =0 4.設 f (x)= 1 x arctan x x 1 解: f ( x 展開成x的藉級數(shù)，并求級數(shù) 二(-1)n 、的和。 北1 4n arctan x = ! larctan x 1 0 dx 1 - dx = 1 x2 0 ： (-1)nx2n dx nd3 = (T)n nW xx2ndx=；5 0 n2n 1 2nd x , x ( -1,1) QO 可知 arctan x =二： n =0 (-1)n 2n 1 2n 1 xT,1。 于是 2 1 X , - arctan X X I- 2n X nA 2n 1 二 1 (1)n n 4 =1 X2m n 2n 1 n 1 Vln n4 2n -1 -2 2n X 4n -1 n 2n -X 2n 1 1 二-1) n0 oO =1 t (-1)n n 4 =1 Vgx2n, X. L1,1,X=0 n4 1 -4n ；里廣2 n 2n 1 1 2n