4-2-2_三角形等高模型與鳥頭模型：知識例題精講

1、4-2-2_三角形等高模型與鳥頭模型：知識例題精講 4- 2- 2 三角形等高模型與鳥頭模型 題庫 page 1 of 16 i i hl 例題精講 板塊一三角形等高模型 我們已經知道三角形面積的計算公式：三角形面積 底高 2 從這個公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積. 如果三角形的底不變，高越大 （ 小 ） ，三角形面積也就越大 （ ?。?如果三角形的高不變，底越大 （ 小 ） ，三角形面積也就越大 （ 小）； 這說明當三角形的面積變化時，它的底和高之中至少有一個要發(fā)生變化但是，當三角形的底和高同時發(fā)生 變化時，三角形的面積不一定變化.比如當高變?yōu)樵瓉淼?3 倍，

2、底變?yōu)樵瓉淼? ，則三角形面積與原來的一 3 樣.這就是說：一個三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的變化.同時 也告訴我們：一個三角形在面積不改變的情況下，可以有無數(shù)多個不同的形狀. 在實際問題的研究中，我們還會常常用到以下結論: 等底等高的兩個三角形面積相等； 兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比； 兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比； 如左圖 s : s 2 a:b 夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖 s a acd s a bcd ； 反之，如果 s a acd s a bcd ，則可知直線 ab 平行于 cd 等底等高的兩個平行四邊形面積相等

3、 （ 長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形 ） ； 三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半； 兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比. 【例 11 你有多少種方法將任意一個三角形分成： 3 個面積相等的三角形； 4 個面積相等的三角形； 6 個面積相等的三角形. 【例 21 如圖，bd 長 12 厘米，dc 長 4 厘米，b、c 和 d 在同一條直線上. 求三角形 abc 的面積是三角形 abd 面積的多少倍？ 求三角形 abd 的面積是三角形 adc 面積的多少倍？舷書名師網絡小班 中小學務品陌 jfi 小班觀環(huán)右老坤 j 對科

4、龍薦戲 4- 2- 2 三角形等高模型與鳥頭模型 題庫 page 2 of 16 【例 3】如右圖， abfe 和 cdef 都是矩形， ab 的長是 4 厘米，bc 的長是 3 厘米，那么圖中陰影部分的面 積是 平方厘米. 【例 4】如圖，長方形 abcd 的面積是 56 平方厘米，點 e 、 f 、g 分別是長方形 abcd 邊上的中點， h 為 ad 邊上的任意一點，求陰影部分的面積. 【例 5】長方形 abcd 的面積為 36 cm 2 , e 、 f 、g 為各邊中點， h 為 ad 邊上任意一點，問陰影部分面積 是多少？ 【例 6】長方形 abcd 的面積為 36, e 、 f 、

5、g 為各邊中點， h 為 ad 邊上任意一點，問陰影部分面積是 多少? 家家學 i 名師網絡小班 jlajlaxue.com申小學拓品耶黑小班觀環(huán)右老坤 j 對 f 科走有戲 iwwb 4- 2- 2 三角形等高模型與鳥頭模型 題庫 page 3 of 16 4- 2- 2 三角形等高模型與鳥頭模型 題庫 page 4 of 16 【例 9】（第四屆'迎春杯'試題）如圖，三角形 abc 的面積為 1，其中 ae 3ab，bd 2bc，三角形 bde 的面積是多少？ 【例 11】 如圖 abcd 是一個長方形，點 e、f 和 g 分別是它們所在邊的中點如果長方形的面積是 36 個

6、平方單位，求三角形 efg 的面積是多少個平方單位. 【例 7】 如右圖，e 在 ad 上，ad 垂直 bc, ad 12 厘米，de 面積的幾倍？ 3 厘米.求三角形 abc 的面積是三角形 ebc 【例 8】 如圖，在平行四邊形 abcd 中，ef 平行 ac,連結 be、 共有哪幾個三角形？ ae、cf、bf 那么與 vbec 等積的三角形一 【例 10】 （ 2021 年四中考題 ） 如右圖， ad db ，ae 的面積是 _ 平方厘米. ef fc ,已知陰影部分面積為 5 平方厘米, abc b f c c 網絡小班 申小學拓障陌擠小雅觀環(huán)右窪 wu 對 f 棘龍各戲 4- 2-

7、2 三角形等高模型與鳥頭模型 題庫 page 5 of 16 家家學名師 jiajlaxuexxm 如圖，大長方形由面積是 12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平方厘米的四個小長方 形組合而成求陰影部分的面積. 【例 14】 （ 2021 年第七屆'希望杯'二試六年級 ） 如圖，在三角形 abc 中，已知三角形 ade 、三角形 dce、 三角形 bcd 的面積分別是 89, 28, 26 .那么三角形 dbe 的面積是 _ 【例 15】 （第四屆小數(shù)報數(shù)學競賽 ） 如圖，梯形 abcd 被它的一條對角線 bd 分成了兩部分.三角形 bdc 的面積比三角形 a

8、bd 的面積大 10 平方分米.已知梯形的上底與下底的長度之和是 15 分米, 它們的差是 5 分米.求梯形 abcd 的面積. 【例 16】 圖中 vaob 的面積為 15cm 2 ，線段 ob 的長度為 od 的 3 倍，求梯形 abcd 的面積. 【解 析】在 vabd 中，因為 s vaob 15cm 2 ，且 ob 3od，所以有 s vaod s vaob 3 5cm 2 . 因為 vabd 和 vacd 等底等高，所以有 s/ abd s vacd .【例 12】 12cm 2 48cm 2 【例 13】 如圖，三角形 abc 中，dc 的面積是多少？ 2bd , ce 3ae

9、,三角形 ade 的面積是 20 平方厘米，三角形 abc 聽叢名師網絡小班 申小學拓品耶擠小班觀環(huán)右老 wu 對 f 棘龍各戲 4- 2- 2 三角形等高模型與鳥頭模型 題庫 page 6 of 16 從而 s vocd 15cm 2 ，在 vbcd 中，s vboc 3s vocd 45cm 2 ，所以梯形面積：15 5 15 45 80( cm 2 ). 【例 17】 如圖，把四邊形 abcd 改成一個等積的三角形. （第三屆"華杯賽'初賽試題）一個長方形分成 4 個不同的三角形，綠色三角形面積占長方形 面積的 15%，黃色三角形面積是 21cm 2 .問：長方形的面積

10、是多少平方厘米? 【例 20】 如右圖，過平行四邊形 abcd 內的一點 p 作邊的平行線 ef 、gh，若 pbd 的面積為 8 平方 分米，求平行四邊形 phcf 的面積比平行四邊形 pgae 的面積大多少平方分米？ 【例 22】 在長方形 abcd 內部有一點 o ,形成等腰 aob 的面積為 16,等腰 doc 的面積占長方形面積 【例 18】 【例 19】 o 是長方形 abcd 內一點，已知 積是多少？ obc 的面積是 5cm 2 , oab 的面積是 2cm 2 ，求 obd 的面 【例 21】 abcd 的面積是 20 ,正三角形 bpc 的面積是 15，求陰影 bpd 的面

11、積. 聽叢名師網絡小班 申小學拓品耶擠小班觀環(huán)右老 wu 對 f 棘龍各戲 4- 2- 2 三角形等高模型與鳥頭模型 題庫 page 7 of 16 的 18%，那么陰影 aoc 的面積是多少？ 働聽驚名師網絡小班 申小學拓品陌珞小章現(xiàn)亦衣證 wu 對 f 轉走洛賽 4- 2- 2 三角形等高模型與鳥頭模型 題庫 page 8 of 16 【例 23】 【例 24】 【例 25】 【例 26】 o （2021 年"陳省身杯'國際青少年數(shù)學邀請賽六年級）如右圖所示，在梯形 abcd 中, 分別是其兩腰 ab 、cd 的中點，g 是 ef 上的任意一點，已知 adg 的面積為 1

12、5cm 2 ，而 面積恰好是梯形 abcd 面積的，則梯形 abcd 的面積是 cm ? . 20 如圖所示，四邊形 abcd 與 aegf 都是平行四邊形，請你證明它們的面積相等. 正方形 abcd 的邊長為 6， ae 1.5，cf 2 .長方形 efgh 的面積為 如圖, g 如圖，abcd 為平行四邊形，ef 平行 ac,如果 vade 的面積為 4 平方厘米.求三角形 面積. e 、 bcg cdf 4- 2- 2 三角形等高模型與鳥頭模型 題庫 page 9 of 16 家家學 i 名師網絡小班 jlajlaxuexxm 廠3 申小學務帰兩 sfr 小班現(xiàn)捧有奄蹄対秒充存厭 6 厘

13、米和 4 厘米，則圖中陰影部分三角形的面積是多少平方厘米. 【例 29】 （ 2021 年'華杯賽'決賽 ） 右圖中，abcd 和 cgef 是兩個正方形，ag 和 cf 相交于 h ,已知 ch 等于 cf 的三分之一，三角形 chg 的面積等于 6 平方厘米，求五邊形 abgef 的面積. 【例 30】 （第八屆小數(shù)報數(shù)學競賽決賽試題 ） 如下圖， e 、 f 分別是梯形 abcd 的下底 bc 和腰 cd 上的 點，df fc,并且甲、乙、丙 3 個三角形面積相等已知梯形 abcd 的面積是 32 平方厘米求圖 中陰影部分的面積. 【例 31】 如圖，已知長方形 adef

14、 的面積 16，三角形 adb 的面積是 3，三角形 acf 的面積是 4 ，那么 【例 28】 如圖，有三個正方形的頂點 厘米，求陰影部分的面積. d 、g、 k 恰好在同一條直線上，其中正方形 gfeb 的邊長為 10 圖中兩個正方形的邊長分別是 【例 27】 p k 4- 2- 2 三角形等高模型與鳥頭模型 題庫 page 10 of 16 三角形 abc 的面積是多少？ 名師網絡小班 申小學拓品耶珞小離觀環(huán)右老 wu 對 f 轉充各戲 4- 2- 2 三角形等高模型與鳥頭模型 題庫 page 11 of 16 【例 32】 如圖，在平行四邊形 abcd 中，be ec , cf 2fd

15、 .求陰影面積與空白面積的比. 【例 33】 （第七屆'小機靈杯'數(shù)學競賽五年級復賽 ） 如圖所示，三角形 abc 中， d 是 ab 邊的中點， e 是 ac 邊上的一點， 且 ae 3ec , o 為 dc 與 be 的交點.若 ceo 的面積為 a 平方厘米， bdo 的 面積為 b 平方厘米且 b a 是 2.5 平方厘米，那么三角形 abc 的面積是 _ 平方厘米. 【例 34】 如圖，在梯形 abcd 中， ad : be 4:3 , be : ec 2:3，且 boe 的面積比 aod 的面積小 10 平方厘米.梯形 _ 平方厘米. 【例 35】 如右圖所示，在長

16、方形內畫出一些直線，已知邊上有三塊面積分別是 13 , 35 , 49 那么圖中 陰影部分的面積是多少? abcd 的面積是 名師網絡小班 申小學拓品耶珞小離觀環(huán)右老 wu 對 f 轉充各戲 4- 2- 2 三角形等高模型與鳥頭模型 題庫 page 12 of 16 【例 36】 圖中是一個各條邊分別為 5 厘米、12 厘米、13 厘米的直角三角形. 將它的短直角邊對折到斜邊 上去與斜邊相重合，那么圖中的陰影部分 （ 即未被蓋住的部分 ） 的面積是多少平方厘米？ 鹽裳名師網絡小班 申 小寧務腎肚 站小薙現(xiàn)舒 君老肪 j 內?補充薦戲 4- 2- 2 三角形等高模型與鳥頭模型 題庫 page 1

17、3 of 16 【例 38】 （ 2021 年六年級希望杯二試試題 ）如圖，三角形田地中有兩條小路 ae 和 cf，交叉處為 d ，張大 伯常走這兩條小路， 他知道 df dc ， 且 ad 2de .則兩塊地 acf 和 cfb 的面積比是 _ . 【例 39】 （2021 年第一屆'學而思杯'綜合素質測評六年級 2 試 ） 如圖，bc 45 , ac 21 , abc 被分 成 9 個面積相等的小三角形，那么 di fk _ . 【例 41】 （2021 年四中入學測試題）如圖，已知 cd 5 , de 7 , ef 15 , fg 6，線段 ab 將圖形分 【例 37】

18、如圖，長方形 abcd 的面積是 2 平方厘米, ec 2de , f 是 dg 的中點.陰影部分的面積是 【例 40】 （2021 年人大附中分班考試題 的中點，已知甲、乙、丙面積和為 ）已知 abc 為等邊三角形，面積為 400, d 、 e 、 f 分別為三邊 143,求陰影五邊形的面積. （ 丙是三角形 hbc ） g b 鹽裳名師網絡小班 申 小寧務腎肚 站小薙現(xiàn)舒 君老肪 j 內?補充薦戲 4- 2- 2 三角形等高模型與鳥頭模型 題庫 page 14 of 16 成兩部分，左邊部分面積是 38，右邊部分面積是 65,那么三角形 adg 的面積是 _ . 4- 2- 2 三角形等高

19、模型與鳥頭模型 題庫 page 15 of 16 【例 42】 （ 2021 年仁華考題 ） 如圖，正方形的邊長為 10,四邊形 efgh 的面積為 5,那么陰影部分的面積 是 _ . 【例 43】 （2021 年走美六年級初賽 ） 如圖所示，長方形 abcd 內的陰影部分的面積之和為 70, ab 8 , ad 15，四邊形 efgo 的面積為 _ . 【例 44】 （清華附中分班考試題）如圖，如果長方形 abcd 的面積是 56 平方厘米，那么四邊形 mnpq 的 面積是多少平方厘米？ 【例 45】 （2021 年日本第 12 屆小學算術奧林匹克大賽初賽 ） 如圖，陰影部分四邊形的外接圖形

20、是邊長為 2 10cm 的正方形，則陰影部分四邊形的面積是 cm .中小字去悟肚琳小我規(guī)亦戸證 hi j 對 f 秩充各賽 o 聽書名師網絡小班 申小學拓障耶珞小班觀環(huán)右老 wu 對釋充各賽 4- 2- 2 三角形等高模型與鳥頭模型 題庫 page 16 of 16 1 1ci 【例 46】 如圖，三角形 aef 的面積是 17 , de 、 bf 的長度分別為 11、3求長方形 abcd 的面積. 一點， bl dm 4 、bk dn 5，那么陰影部分的面積是 【例 47】 ( 2021 年第二屆兩岸四地華羅庚金杯數(shù)學精英邀請賽 bc 30 . e 、 f 分別是 ab、bc 邊上的兩點，

21、be bf 是 )如圖，長方形 abcd 中，ab 67 , 49 那么，三角形 def 面積的最小值 【例 48】 (2021 首屆全國資優(yōu)生思維能力測試 )abcd 是邊長為 12 的正方形，如圖所示, p 是內部任意 o 聽書名師網絡小班 申小學拓障耶珞小班觀環(huán)右老 wu 對釋充各賽 4- 2- 2 三角形等高模型與鳥頭模型 題庫 page 17 of 16 abcd 中， e , f , g , h 分別是 abcd 各邊的中點，求陰影部分與四 邊形 pqrs 的面積之比.【例 49】 如圖所示，在四邊形 4- 2- 2 三角形等高模型與鳥頭模型 題庫 page 18 of 16 0

22、家家學 i 名師網絡小班 jlajlaxuexpm 曠燈 申小學拓陰區(qū)耀小班觀特宥琴蹄対棘充存 【例 51】 （2021 年日本小學算數(shù)奧林匹克大賽決賽 ）有正三角形 abc，在邊 ab 、bc、ca 的正中間分 別取點 l 、 m 、n，在邊 al 、 bm 、cn 上分別取點 p 、q、 r ，使 lp mq nr，當 pm 和 rl 、 pm 和 qn、qn 和 rl 的相交點分別是 x 、 y 、 z 時，使 xy xl . 這時，三角形 xyz 的面積是三角形 abc 的面積的幾分之幾？請寫出思考過程. 【例 52】 如圖：已知在梯形 abcd 中，上底是下底的-，其中 f 是 bc

23、 邊上任意一點，三角形 ame 、 3 角形 bmf 、三角形 nfc 的面積分別為 14 、20、 12 .求三角形 nde 的面積. 【例 53】 如圖，已知 abcd 是梯形， ad / bc , ad : bc 1:2 , s aof :s doe 1:3 , s bef 24cm 2 ，求 【例 50】 如圖，四邊形 abcd 中，de:ef:fc 3:2:1, bg : gh : ah 3: 2:1 , ad : bc 1:2，已知 四邊形 abcd 的面積等于 4,則四邊形 efhg 的面積 4- 2- 2 三角形等高模型與鳥頭模型 題庫 page 19 of 16 aof 的面

24、積. 4- 2- 2 三角形等高模型與鳥頭模型 題庫 page 20 of 16 【例 54】 （2021 年迎春杯決賽高年級組） 如圖，abcd 是一個四邊形， m 、n 分別是 ab 、cd 的中點.如 果 asm、 mtb 與 dsn 的面積分別是 6、7 和 8，且圖中所有三角形的面積均為整數(shù)，則四邊形 abcd 的面積為 _ . 板塊二鳥頭模型 兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面積比等于對應角 （ 相等角或互補角 ） 兩夾邊的乘積之比. 如圖在 abc 中， d,e 分別是 ab, ac 上的點如圖 （ 1）（或 d 在 ba 的延長線上，

25、e 在 ac 上）, 則 s aabc ： s aade （ab ac） ： （ad ae） 【例 55】 如圖在 abc 中， d,e 分別是 ab,ac 上的點，且 ad : ab 2:5 , ae : ac 4:7 , ade 16 平方厘米，求 abc 的面積. 中小學務品耶珞小說規(guī)訐右老坪 j 對 f 棘龍各戲 a d b c 圖 4- 2- 2 三角形等高模型與鳥頭模型 題庫 page 21 of 16 4- 2- 2 三角形等高模型與鳥頭模型 題庫 page 22 of 16 【例 56】 如圖在 abc 中， d 在 ba 的延長線上， e 在 ac 上，且 ab : ad 5

26、:2 , ae : ec 3: 2 , ade 12 平方厘米，求 abc 的面積. 【例 58】 已知 def 的面積為 7 平方厘米， be ce, ad 2bd,cf 3af ，求 abc 的面積. 【例 59】 如圖，三角形 abc 的面積為 3 平方厘米，其中 ab:be 2:5 , bc :cd 3: 2，三角形 bde 的 面積是多少？ 【例 57】 如圖所示，在平行四邊形 abcd 中，e 為 ab 的中點, 的面積為 8 平方厘米平行四邊形的面積是多少平方厘米？ d -c :b a e b af 2cf，三角形 afe（圖中陰影部分） 4- 2- 2 三角形等高模型與鳥頭模型 題庫 page 23 of 16 【例 60】 （ 2021 年'走美'五年級初賽試題 ） 如圖所示，正方形 cf -bc 三角形 def 的面積為 _ 平方厘米. 1 abcd 邊長為 6