選課指南(2015級)

1、復(fù)旦大學數(shù)學學院學生選課指南(自2015年新生開始)Version 1：2015/7/3 選課是大學和中學最大的不同之一，學生在大學學習階段需要在一定的范圍內(nèi)自己決定學什么課程，這對習慣中小學按學校安排課程學習的學生來說經(jīng)常會面臨選擇困境。從2015年開始，數(shù)學學院對教學方案作了較大的調(diào)整，主要是增加了學生選課的自由度和靈活度，這自然增加了學生選課的難度，因此學院組織撰寫選課指南幫助學生選課，請每個學生在選課之前仔細閱讀。大學數(shù)學課程的內(nèi)容和難度都是中學數(shù)學不能比擬的，而且這個內(nèi)容和難度隨著年級的增加以很大的加速度增加，所以除了上課時間外，學生平均需要付出兩三倍于上課的時間進一步學習鞏固，留有

2、足夠多的思考時間對學好數(shù)學是非常重要的，不投入相當?shù)臅r間精力是不可能學好任何一門數(shù)學課程的，膚淺地學一門數(shù)學是沒有什么意義的。所以我們建議學生一個學期選的數(shù)學專業(yè)的課程應(yīng)該在每周15個課時左右（注意是課時，不是學分，課時通常是大于等于學分的），不應(yīng)超過18個課時。A數(shù)學學院畢業(yè)學分要求：共143學分1. 通識課程：40學分。2. 大類基礎(chǔ)課：18 學分數(shù)學分析AI，數(shù)學分析A II，大學物理B（上), 大學物理B (下)。* 學生也可以選大學物理A系列8個學分。3. 專業(yè)必修課: 28學分課程: 24學分. 數(shù)學分析III，高等代數(shù) I, 高等代數(shù)II，解析幾何，抽象代數(shù)I，拓撲I(內(nèi)容包括歐

3、氏空間拓撲). * 對于轉(zhuǎn)專業(yè)學生，高等數(shù)學A(上、下)再加數(shù)學分析原理可以代替數(shù)學分析AI,AII,III. 畢業(yè)論文: 4學分.按A,B,C,D方式給成績, 申請A類成績的學生需教師推薦, 遞交論文并答辯.4. 限定必修課： 27學分 從下面12門課程中選9門(27個學分), 超過9門可以算成專業(yè)選修課: 常微分方程, 復(fù)變函數(shù), 實變函數(shù), 泛函分析, 概率論, 拓撲II, 微分幾何, 基礎(chǔ)力學, 數(shù)理方程, 抽象代數(shù)II, 數(shù)學模型，微分方程數(shù)值解.5. 專業(yè)選修課: 15 學分, 從培養(yǎng)方案所列選修課程中選(信息與計算專業(yè)有課程要求), 通常是5門課程. 包括限定必修課中的課程. 6

4、. 任意選修課: 15學分, 可選全校任意課程(包括數(shù)學學院專業(yè)選修課程). B學生選課指導(dǎo)：數(shù)學學院的學生需要修的數(shù)學課總數(shù)大約是：4門大類課程+6門專業(yè)必修+9門專業(yè)限定必修+5門專業(yè)選修+畢業(yè)論文，共24門課程加一個畢業(yè)論文，88個學分, 平均每個學期3門課11個學分。其它是通識課程和任意選修課, 任意選修課可以選學校其它學院的課程.數(shù)學的專業(yè)課程大致可以分成四類: 1. 分析, 占大多數(shù), 包括數(shù)學分析AI,AII,III, 常微分方程, 復(fù)變函數(shù), 實變函數(shù), 概率論, 泛函分析, 數(shù)理方程, ; 2. 代數(shù), 包括高等代數(shù)I,II, 抽象代數(shù)I,II3. 幾何/拓撲: 解析幾何,

5、微分幾何, 拓撲I,II4. 應(yīng)用: 數(shù)學模型, 微分方程數(shù)值解, 基礎(chǔ)力學對于數(shù)學類課程選課的建議：(1) 必修課：數(shù)學分析，解析幾何，高等代數(shù)是所有數(shù)學的基礎(chǔ)，是必修課，后面的許多課程都強烈地依賴于你是否學好了這些基礎(chǔ)課程?；A(chǔ)課一共分成為6門課，建議按下面的時間表完成。第一學期：數(shù)學分析AI，高等代數(shù)I，空間解析幾何第二學期：數(shù)學分析AII，高等代數(shù)II第三學期：數(shù)學分析III對于轉(zhuǎn)系學生來說，數(shù)學分析AI,AII,III可以用高等數(shù)學A（上、下）和數(shù)學分析原理三門課代替。拓撲I和抽象代數(shù)I也是必修課，拓撲I是點集拓撲，講授集合論，歐氏空間拓撲學，度量空間拓撲學以及一般拓撲學，很多分析和

6、幾何課程(如數(shù)分III，實變函數(shù)，復(fù)變函數(shù))都要用到這些基本語言， 這個課程比較靈活，一般建議在第四學期修讀，學習有余力的學生可以在第三甚至第二學期修讀。抽象代數(shù)I講授群環(huán)域等代數(shù)基本概念，是抽象代數(shù)II，代數(shù)幾何，代數(shù)拓撲等代數(shù)相關(guān)課程的基礎(chǔ)，建議在第三學期修讀。(2) 限定選修課（12選9）粗略地給數(shù)學學院的方向分一個類，純數(shù)學，應(yīng)用數(shù)學，計算，控制，概率統(tǒng)計，傳統(tǒng)的純數(shù)學是太大，通常分代數(shù)類（代數(shù)，代數(shù)幾何，數(shù)論等），幾何拓撲（幾何，拓撲，動力系統(tǒng)）類，分析類（微分方程，泛函分析，調(diào)和分析，動力系統(tǒng)，概率論，控制等）。分析是數(shù)學中最大的分支，應(yīng)用也最廣，所以在課程中的比例也比較大。1.

7、建議所有的學生都應(yīng)該選：常微分方程，復(fù)變函數(shù)，實變函數(shù)，泛函分析這四門課，分析的基礎(chǔ)就差不多夠用了；其中的常微分方程，它是其它多門課程的前序課程，建議在第三學期(最晚第四學期)修讀，這門課程實際上只要有數(shù)學分析AI,AII的知識, 少許數(shù)分III, 就可以了。 學泛函分析必須有實變函數(shù)的基礎(chǔ)；2. 對于代數(shù)類和幾何拓撲類感興趣的學生建議選：拓撲II，代數(shù)II，微分幾何等；3. 對于分析類感興趣的學生建議選：概率論, 數(shù)理方程，微分幾何，基礎(chǔ)力學等；其中概率論只要有微積分的基礎(chǔ)就可以；4. 對于應(yīng)用數(shù)學感興趣的學生建議選：概率論, 數(shù)理方程，數(shù)學模型，微分方程數(shù)值解等；5. 對于想選擇信息與計算

8、專業(yè)的學生建議選：數(shù)理方程，微分方程數(shù)值解等。以上僅僅是建議, 鼓勵學生按照自己的興趣和能力來選課.(3) 專業(yè)選修課和任意選修課這兩類課程一般是在5，6，7，8四個學期，那時同學們對數(shù)學課程體系已經(jīng)比較熟悉，有能力來做出好的選擇。對于有志于數(shù)學研究的同學來說，應(yīng)該考慮選本碩合開課程，繼續(xù)打好數(shù)學基礎(chǔ)。對于不打算做數(shù)學研究的同學，那么專業(yè)選修課可以選一些應(yīng)用類的課程，也可以選統(tǒng)計和計算機類的課程，任意選修課可以隨意選擇，比如文史哲的課程和經(jīng)濟管理類課程。選修課的應(yīng)該完全按照自己的興趣和能力自由選擇。C. 限定必修課程介紹下面我們對這些課程及其預(yù)備知識做一簡單介紹：1. 常微分方程: (林偉提供

9、) 是一門歷史悠久的學科，是數(shù)學分析、高等代數(shù)和解析幾何的應(yīng)用與發(fā)展，也是解決物理、生物、化學、信息以及經(jīng)濟等學科和工程技術(shù)問題有力的建模手段。大學本科階段主要講授各類典型常微分方程的基本解法，一般方程的基本理論；并初步講授常微分方程的定性理論以及動力系統(tǒng)基礎(chǔ)知識。預(yù)備課程：數(shù)學分析AI,AII、高等代數(shù)、解析幾何。數(shù)學分析III的部分, 需要用到其中的隱函數(shù)存在定理、重積分、場論以及含參變量求導(dǎo)等知識。開課學期: 秋季(春季也可能開).2. 復(fù)變函數(shù)：（邱維元提供）是數(shù)學各專業(yè)的基礎(chǔ)必修課，也是許多理工類專業(yè)學生需要修讀的課程。主要介紹復(fù)變量全純函數(shù)理論，包括Cauchy的積分理論、Weie

10、rstrass的級數(shù)理論和Riemann的映射理論。修讀復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)主要是數(shù)學分析，除了微積分基本理論，還需要用到冪級數(shù)理論、曲線積分及Green公式等。預(yù)備課程：數(shù)學分析AI,AII,III。開課學期: 春季3. 實變函數(shù)：（姚一雋提供）主要介紹Lebesgue測度和積分理論。為此要對一些無窮集合的理論和歐氏空間(特別是直線上的)拓撲及子集的Lebesgue可測性加以介紹。利用Lebesgue測度和積分理論，就可以對于實變函數(shù)以及函數(shù)列的性質(zhì)有更深入的理解。前序課程: 數(shù)學分析AI,AII, 或者數(shù)學分析原理. 開課學期: 春季4. 概率論：（應(yīng)堅剛提供）是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的主要數(shù)學工具，

11、在工程，計算和經(jīng)濟金融領(lǐng)域都有深刻的應(yīng)用。主要講授隨機性的度量-概率，隨機變量的平均-期望，隨機變量與分布及其收斂性等基本內(nèi)容，最終會證明作為解釋概率的直觀含義的數(shù)學定理-大數(shù)定律和解釋同分布大樣本下平均值所體現(xiàn)出的共性的數(shù)學定理-中心極限定理等重要概率論定理。概率論課程需要用到多元積分的知識。預(yù)備課程：數(shù)學分析AI,AII,III 或者高等數(shù)學(上下), 學過實變函數(shù)更好但不是必須的, 實際上學生只要有一元與多元微積分知識就可以了。開課學期: 秋季(春季也可能開)5. 泛函分析：（郭坤宇提供）這門課程主要介紹無窮維線性空間及其上的(有界)線性泛函和線性算子的基本知識。將會看到具體的分析問題經(jīng)

12、過抽象化的手段可以得到統(tǒng)一的處理。預(yù)備課程：實變函數(shù)，高等代數(shù)I,II. 開課學期: 秋季6. 拓撲II：（呂志提供）主要內(nèi)容涉及代數(shù)拓撲學中兩個重要理論同倫論及同調(diào)論。在同倫論方面將介紹一個空間的同倫群是如何定義的，重點討論基本群及覆蓋空間理論。在同調(diào)論方面將介紹單純同調(diào)群以及單純上同調(diào)群（環(huán)）以及證明同調(diào)群的拓撲及同倫不變性；介紹如何將單純同調(diào)思想拓廣到一般拓撲空間上，建立出奇異同調(diào)理論；介紹同調(diào)論的Eilenberg-Steenrod公理化體系等。預(yù)備課程：拓撲I, 高等代數(shù), 抽象代數(shù)I, 數(shù)學分析. 開課學期：秋季.7. 抽象代數(shù)II：（王慶雪提供）本課程將在在抽象代數(shù)I的基礎(chǔ)上，進

13、一步學習基本的代數(shù)結(jié)構(gòu)和代數(shù)方法。包括：1）Galois 理論，主要討論有限Galois 擴張理論，代數(shù)方程的根式求解及一些例子。2）一般環(huán)上模的基本理論，主要討論模的基本性質(zhì)， 主理想整區(qū)上的模結(jié)構(gòu)理論。3）群的表示理論，主要討論有限群在復(fù)數(shù)域上的有限維表示的理論。預(yù)備課程：高等代數(shù)，數(shù)學分析，抽象代數(shù)I。開課學期: 春季8. 微分幾何：（嵇慶春提供）基本內(nèi)容是以三維歐式空間中的曲線和曲面為例闡明以下的幾何原理和方法：（1）如何找到曲線和曲面的微分幾何不變量；（2）如何用這些幾何量刻畫曲線和曲面的形狀，并進一步討論如何用這些幾何量研曲面的拓撲。預(yù)備知識：數(shù)學分析, 高等代數(shù), 拓撲I, 常微

14、分方程。開課學期: 秋季9. 數(shù)理方程:（雷震提供）數(shù)理方程不僅是一個非常重要的數(shù)學分支，而且與數(shù)學的眾多其他學科如微分幾何、調(diào)和分析等等互為工具，同時在數(shù)學物理、工程、力學等方面有著廣泛應(yīng)用。本課程主要講授拉普拉斯方程、熱傳導(dǎo)方程和波動方程等有很強的物理背景及應(yīng)用的經(jīng)典偏微分方程的數(shù)學理論，探討其研究的思想及方法，介紹經(jīng)典的研究結(jié)果。預(yù)備課程：數(shù)學分析、常微分方程、大學物理。開課學期: 春季10. 基礎(chǔ)力學：（姚一雋提供）是一門介紹利用現(xiàn)代數(shù)學來處理及闡明力學/理論物理基本問題的課程。在簡要回顧牛頓力學的基礎(chǔ)上，課程的主體部分介紹拉格朗日力學和哈密頓力學的主要內(nèi)容和基本思想(變分法，辛變換)

15、。如時間允許，亦可包括關(guān)于辛幾何和流體力學的簡介。預(yù)備課程：數(shù)學分析，常微分方程，大學物理。開課學期: 春季11. 微分方程數(shù)值解: （陳文斌提供）主要介紹常微分方程和偏微分方程的數(shù)值解法，常微分方程的線性多步法，偏微分方程（包括橢圓型方程、拋物型方程、對流方程和波動方程）的差分方法和有限元方法。強調(diào)基本概念特別是適定性、相容性、穩(wěn)定性和收斂性的理解和分析，能用一些經(jīng)典的數(shù)值方法求解簡單的常微分方程和偏微分方程，并對計算結(jié)果能進行定性分析。作業(yè)要求用Latex完成，程序用Matlab（可選其他語言）完成。對于部分優(yōu)秀的同學要求能報告一篇論文。預(yù)備課程: 數(shù)學分析，高等代數(shù)，常微分方程，最好學過

16、數(shù)理方程. 開課學期: 春季12. 數(shù)學模型：（蔡志杰提供）以案例為線索，介紹建立數(shù)學模型的基本原理和方法，內(nèi)容涉及交通、生態(tài)、航空、航天、環(huán)境、人口等眾多領(lǐng)域。涉及的主要數(shù)學方法有初等數(shù)學、初等幾何、微積分、線性代數(shù)、運籌學、圖論、常微分方程等。通過學習，使學生了解數(shù)學建模的基本概念和基本方法，初步掌握解決實際問題的能力。本課程也是學生準備參加大學生數(shù)學建模競賽的基礎(chǔ)課程。預(yù)備課程：數(shù)學分析，高等代數(shù)，解析幾何，常微分方程。開課學期: 春季D. 專業(yè)選修課：學院提供大量的各個方向的專業(yè)選修課程，其中有專門為不同去向不同專業(yè)設(shè)計的本科生專業(yè)選修課, 有和本科生合開的研究生基礎(chǔ)課程，也有大量的外

17、系外學院開設(shè)的專業(yè)選修課, 學生可以根據(jù)自己今后的計劃進行選擇，計劃繼續(xù)深造做研究的，應(yīng)該多選擇基礎(chǔ)類課程，計劃畢業(yè)后工作或者讀專業(yè)碩士的，可以選擇應(yīng)用類課程，或者其它學院的課程。選修課程大概分成以下幾類, 分類沒有嚴格的標準. 帶*的是本碩合開課程. 本科生在選本碩合開課程時, 如果確定在本院讀研時也需要修讀此課程, 可先和任課老師溝通, 在老師同意情況下, 在研究生修讀時可以不再參加考試, 直接使用本科時候的成績, 教師可以在登記本科成績同時以研究生標準給出學生成績.n 基礎(chǔ)數(shù)學：基礎(chǔ)數(shù)學的選修課大致分成以下三類, (一) 分析類: 變分法與積分方程, 動力系統(tǒng),多復(fù)變函數(shù)論, 隨機過程,

18、 數(shù)理方程續(xù)論, Fourier 分析, 復(fù)分析,測度論, 特殊函數(shù)論, 現(xiàn)代分析基礎(chǔ)I, 現(xiàn)代分析基礎(chǔ)II, 數(shù)學分析原理, 泛函分析續(xù)論*, 泛函分析續(xù)論II*, 遍歷論*,現(xiàn)代偏微分方程*,現(xiàn)代概率論基礎(chǔ)*, 隨機分析*, Sobolev 空間*, (二) 代數(shù)類: 數(shù)論基礎(chǔ), 抽象代數(shù)III, 代數(shù)幾何初步, 橢圓曲線入門, 抽象代數(shù)續(xù)論*, 代數(shù)幾何*, (三) 幾何拓撲類: 微分流形, 分形幾何, 流形的拓撲學*, 幾何拓撲選講, 李群和李代數(shù)*, 復(fù)流形*, 黎曼曲面*, n 應(yīng)用數(shù)學：小波分析, 計算幾何, 應(yīng)用偏微分方程, 應(yīng)用幾何, 利息理論, 積分方程及其應(yīng)用, 非壽險精

19、算數(shù)學, 壽險精算數(shù)學, 時間序列分析, 數(shù)學建模與實驗(上), 數(shù)學建模與實驗(下), 風險理論, 生存模型, 數(shù)據(jù)科學中的隨機方法, 數(shù)據(jù)科學中的圖像處理方法, 數(shù)據(jù)科學中的現(xiàn)代逼近方法, 李群在微分方程中的應(yīng)用, 引力的數(shù)學基礎(chǔ), 馬氏鏈及其應(yīng)用, 統(tǒng)計方法選講, 隨機模型, 物理學與偏微分方程, 統(tǒng)計推斷, 數(shù)理統(tǒng)計, n 計算數(shù)學：計算方法, 數(shù)值逼近, 數(shù)值代數(shù), 程序設(shè)計，積分方程數(shù)值解法, 統(tǒng)計中的計算方法, 數(shù)字信號處理, (信息與計算方向的學生的專業(yè)選修課需要從以上7門課程中選4門), 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu), 微分方程數(shù)值解法, 科學計算, 反問題的模型與計算, 有限元方法, 反問題的正則化理論, 運籌學, 計算機輔助幾何設(shè)計, 生物數(shù)學, n 運籌控制: 數(shù)學金融學, 最優(yōu)控制理論, 控制理論基礎(chǔ), 對策論, 非線性規(guī)劃, 組合優(yōu)化, 線性規(guī)劃, 計算方法, (運籌與控制方向的學生的專業(yè)選修課需要從以上8門課程中選4門).n 其它學院課程：數(shù)理邏輯I(哲), 數(shù)理邏輯II(哲), 模型論導(dǎo)論(哲), 可計算性和隨機性(哲), 力迫法(哲), 數(shù)字圖像處理(信)