2020版高考理科數(shù)學(xué)(人教版)一輪復(fù)習(xí)講義：第二章+第五節(jié)+二次函數(shù)和冪函數(shù)及答案

1、2020版高考理科數(shù)學(xué)(人教版)一輪復(fù)習(xí)講義：第二章+第五節(jié)+二次函數(shù)和備函數(shù)及答案第五節(jié)二次函數(shù)與募函數(shù)1 .募函數(shù)(1)募函數(shù)的定義一般地，形如V=xg R)的函數(shù)稱為哥函數(shù)，其中X是自變量，”為常數(shù).(2)常見的5種募函數(shù)的圖象-4 - / 13排列特點(diǎn)：第一象限內(nèi)，在直線X = 1右側(cè)，其指數(shù)越大，圖象越高，即“指大圖高圖象規(guī)律：哥函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限，一 定不會出現(xiàn)在第四象限.圖象若與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，一 定交于坐標(biāo)原點(diǎn).二點(diǎn)注意：(1)當(dāng)a< 0時，國數(shù)圖象與坐標(biāo)軸沒后交點(diǎn)，類似于y=x 1的圖象，且在第一象限內(nèi)，逆時針方向指數(shù)在增大；一 1,一(2)當(dāng)0V a<

2、 1時，函數(shù)圖象傾向 x軸，類似于y=x的圖象；(3)當(dāng)o>1時，函數(shù)圖象傾向 y軸，類似于y=x3的圖象，且在第一象限內(nèi)，逆時針方向指數(shù)在增大.(3)哥函數(shù)的性質(zhì)哥函數(shù)在(0, +8)上都有定義；當(dāng)0>0時，哥函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在(0, +8)上單調(diào)遞增；當(dāng)“V 0時，哥函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1),且在(0, +8)上單調(diào)遞減.'，一，n ,對于形如f(x) = xm(其中mCN , nCZ, m與n互質(zhì))的帚函數(shù)：: :1(1)當(dāng)n為偶數(shù)時，f(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于 y軸對稱；1!(2)當(dāng)m, n都為奇數(shù)時，f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；

3、! |(3)當(dāng)m為偶數(shù)時，x>0(或x>0), f(x)是非奇非偶函數(shù)，圖象只在第一象限(或第一象限及，|原點(diǎn)處).！ii2 .二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的3種形式一般式：f(x) = ax2+bx +c(aw 0).頂點(diǎn)式：f(x) = a(xm)2+n(aw 0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m , n).零點(diǎn)式：f(x) = a(xx1)(x x2)(aw 0), x1, x2 為 f(x)的零點(diǎn).(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y= ax2+ bx + c(a>0)y= ax2 + bx+ c(a v 0)圖象(拋物線)定義域R值域4ac b2-koo4a ，4ac b28'

4、 4a對稱軸b x= 2a頂點(diǎn)坐標(biāo)b 4ac b2一 2a4a奇偶性當(dāng)b = 0時是偶函數(shù)，當(dāng)b w 0時是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在一0°, 一 b-上是減函數(shù)； 2a在+°0上是增函數(shù) 2a在8, b-上是增函數(shù)； 2a在十°°上是減函數(shù) 2a熟記常用結(jié)論關(guān)于二次函數(shù)的幾個常用結(jié)論(1)關(guān)于函數(shù) f(x)=a(xh)2+k(a>0), xC p, q的最值問題若hC p, q,則x=h時有最小值k,最大值是f(p)與f(q)中較大者;若h?p , q,則f(p), f(q)中較小者為最小值，較大者為最大值.(2)根的分布問題設(shè)函數(shù)y= ax2+bx+

5、c(aw 0),若對區(qū)間a , b有f(a)>0, f(b)w 0,則曲線必與x軸相交(至少有一個交點(diǎn)，且交點(diǎn)必在a, b上).設(shè)xi, x2是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx + c= 0(a>0)的兩根，根的分布對照y=ax2+bx+ c(a>0)的圖象，知其等價不等式組的關(guān)系是：A>0,若 xi<x2< m,則 f m >0,2020版高考理科數(shù)學(xué)(人教版)一輪復(fù)習(xí)講義：第二章+第五節(jié)+二次函數(shù)和備函數(shù)及答案-6 - / I3A>0,若mvxix2,則f m >0,-2a>m;A>0,若xi< m< x2,則f

6、m v 0;A>0,f mi >0,若 Xi, x2 (mi, m2),則 f m2 >0 ,mi<- b-< m2；2a若xi, x2有且僅有一個在(mi, m2)內(nèi)，A>0,則f mi f m2 v 0.小題查驗(yàn)基礎(chǔ)一、判斷題(對的打，錯的打“X”)(i)函數(shù)y= 2x1是哥函數(shù).()3(2)當(dāng)n>0時，哥函數(shù)y=xn在(0, +8)上是增函數(shù).()(3)二次函數(shù)y= ax2+ bx+ c(x R)不可能是偶函數(shù).()4ac b2(4)二次函數(shù) y=ax2+ bx+c(x a , b)的取值一一定是4a .()(5)在y= ax2+bx + c(a

7、w0)中，a決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開口大 小.()答案：(i)X (2)， (3)X (4)X (5)V二、選填題i.已知哥函數(shù)y= f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)4, i ,則f(2) = ()ia.4C.22.2B. 4D. .2解析：選C設(shè)f(x)=x",一 一 一 i i i圖象過點(diǎn) 4, 2 , .f(4) = 4a=2,解得 a=1 2.f(2) = 2 2 =二.故選 C.2020版高考理科數(shù)學(xué)(人教版)一輪復(fù)習(xí)講義：第二章+第五節(jié)+二次函數(shù)和備函數(shù)及答案-17 - / 132.若四個募函數(shù)y=xa, y=xb, y=xc, y=xd在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖，

8、則a, b, c,d的大小關(guān)系是()A. d>c>b>aC. d>c>a>bB. a>b>c>dD. a>b>d>c解析：選B根據(jù)募函數(shù)的性質(zhì)及圖象知選B.3.已知函數(shù)f(x)= ax2+x+5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是()1A. 0， 201C. 2? +°°2 0解析：選C ,一函數(shù)f(x)= ax2+x+5的圖象在x軸上方,a>0,A= 12-20a<0,1解得a> .4.函數(shù)f(x)= (m2m1)xm是哥函數(shù)，且在x (0, +oo)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù) m的值為解析：

9、-.f(x)= (m2 m 1)xm 是哥函數(shù), .m2 m 1 = 1,解得 m= 1 或 m = 2.又f(x)在(0, + 8)上為增函數(shù),. m = 2.答案：25,已知f(x)=4x2-mx+ 5在2,十 )上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是 解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=4x2mx+5的單調(diào)遞增區(qū)間為十°° ,所以£w2,即mW 16.答案：(一8, 16基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)考點(diǎn)一哥函數(shù)的圖象與性質(zhì)題組練透1 .已知哥函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(9,3),則f(2)-f(1)=()A. 3B. 1-V2C./2- 1D. 11解析：選C 設(shè)備函數(shù)f(x) = xa,則

10、f(9) = 9"=3,即a= 2所以f(x) = x2 =vx,所以f(2) -f(1)=V2- 1,故選 C.2.當(dāng)xC(0, +8)時，哥函數(shù)y=(m2+m1)x-5m-3為減函數(shù)，則實(shí)數(shù) m的值為()A. - 2B. 1C. 1 或2D . m w 2解析：選B因?yàn)楹瘮?shù)y=(m2+m1)x-5m-3既是募函數(shù)又是(0, + m)上的減函數(shù)，所m2 + m -1 = 1,以解得m=1.5m 3 v 0 ,一2 ,3.募函數(shù)y=x - - (mC Z)的圖象如圖所示，則m的值為()A. 1B. 0C. 1D. 2解析：選C 從圖象上看，由于圖象不過原點(diǎn)，且在第一象限下降，故m2-

11、2m-3<0,即一1vmv3;又從圖象看，函數(shù)是偶函數(shù)，故 m22m 3為負(fù)偶數(shù)，將m= 0,1,2分別代入， 可知當(dāng)m=1時，m2 2m 3= 4,滿足要求.4.已知a =34, b=42, c=121,則a, b, c的大小關(guān)系為()555A. bvavcB. avbvcC. cvbv aD . c< avb解析：選C 因?yàn)閍= 811, b=161, c= 121,由募函數(shù) y=x1 在(0, + °°)上為增函數(shù)， 5555知a>b>c,故選 C.5,若(a+1)2<(32a)2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .1解析：易知函數(shù)y=x2的定義域

12、為0,+8),在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以a+ 1 > 0 >3 2a 0, 解得一 1Waw. 3 a + 1 v 3 2a,2答案：1,3名師微點(diǎn)(1)晶函數(shù)y=x,的形式特點(diǎn)是“哥指數(shù)坐在x的肩膀上”，圖象都過點(diǎn)(1,1).它們的單調(diào)性要牢記第一象限的圖象特征：當(dāng)心0時，第一象限圖象是上坡遞增；當(dāng) “V 0時，第一象限圖象是下坡遞減.然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定y軸左側(cè)的增減性即可.(2)在比較哥值的大小時，必須結(jié)合哥值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比 較，既不同底又不同次數(shù)的備函數(shù)值比較大?。撼Ｕ业揭粋€中間值，通過比較備函數(shù)值與中 間值的大小進(jìn)行判斷.準(zhǔn)確掌握各個哥函數(shù)的

13、圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.口訣記憶哥函數(shù)，啥模樣，哥指坐在肩膀上；圖象恒過點(diǎn)1,1,單調(diào)牢記一象限；正哥遞增負(fù)哥減，奇偶性質(zhì)定左邊 .考點(diǎn)二師生共研過關(guān)求一次函數(shù)的解析式典例精析已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2) = 1, f(-1) = - 1,且f(x)的最大值是8,求二次函數(shù)f(x)的 解析式.解法一：(利用二次函數(shù)的一般式)設(shè) f (x)= ax. m = 2,又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8,，n=8, .y= f(x)= a x 2 2+ 8.1c- . f(2) = 1, . .a 2 2 2+8= 1,解得 a= 4,.f(x) = - 4 x-2 2+8= 4x2 + 4x+7.法三：(

14、利用二次函數(shù)的零點(diǎn)式)+ bx+ c(a w 0).由題意得4a+ 2b+ c= 1,a b+ c= 1,4ac b24a =8a= 4,解得b=4,c= 7.故所求二次函數(shù)為 f(x)= 4x2+4x+7.法二：(利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式)設(shè) f(x)= a(x m)2+ n(aw 0).2+ 11f(2) = f( 1), 拋物線對稱軸為 x= 2 =2由已知f(x) + 1 = 0的兩根為xi=2, X2=1,故可設(shè) f(x) +1 = a(x 2)(x+1),即 f(x)= ax .已知二次函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(4) = 4f(2)= 16,則函數(shù)f(x)的解析式為 .解析：由題意可

15、設(shè)函數(shù)f(x) = aN+c(aw0),則 f(4)=16a+c= 16,4f(2) = 4(4a+c)= 16a+4c=16,所以 a= 1, c=0,故 f(x) = x2.答案：f(x)=x22,已知二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+1(a, bCR), xC R,若函數(shù) f(x)的最小值為 f(1)=0, 貝U f(x) =.解析：設(shè)函數(shù) f(x)的解析式為 f(x)= a(x+1)2= ax2+2ax+a,又 f(x)= ax2+bx+1,所以 a =1,故 f(x) = x2+2x+ 1.答案：x2+2x+13.已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,3),它在x軸上截得的線段長為2

16、,并且任意 xCR,都有 f(2-x)=f(2+x),求 f(x)的解析式. 解：/f(2-x)=f(2 + x)對 xCR 恒成立，f(x)的對稱軸為x=2. ax 2a 1.又函數(shù)有最大值 ymax=8,4a 2a 1 a2即n=8.4a解得a=- 4或a= 0(舍去)，故所求函數(shù)解析式為f(x)= 4x2+4x+7.解題技法求二次函數(shù)解析式的策略過關(guān)訓(xùn)練又言(刈的圖象被x軸截得的線段長為2,.f(x)=0的兩根為1和3.設(shè) f(x)的解析式為 f(x)=a(x1)(x3)(aw。).又f(x)的圖象過點(diǎn)(4,3),，3a = 3, a=1.，所求f(x)的解析式為f(x)= (x 1)(

17、x 3),即 f(x)= x2 4x + 3.全析考法過關(guān)考點(diǎn)三二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用考法全析考法(一)二次函數(shù)的單調(diào)性問題例1 已知函數(shù)f(x)=ax2+(a-3)x+1在區(qū)間1,)上是遞減的，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是()A. -3,0)B.(巴3C. -2,0D. -3,0(2)函數(shù) f(x) = x2bx+c 滿足 f(x+ 1) = f(1-x),且 f(0) = 3,則 f(bx)與 f(cx)的大小關(guān)系是()A. f(bx)wf(cx)B. f(bx)>f(cx)C. f(bx)>f(cx)D.與x有關(guān)，不確定解析(1)當(dāng)a = 0時，f(x) = 3x+1在-1, +8)

18、上遞減，滿足題意.當(dāng)aw。時，f(x)的對稱軸為x = 3r-a,2aa< 0,由f(x)在1, +8)上遞減知3 a解得一3Wa<0.綜上，a的取值范圍為3,0.(2)由題意知，函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于直線 x= 1對稱，b=2,又f(0)=3, .-.c=3,則bx= 2x, cx=3x.易知f(x)在(8, 1)上單調(diào)遞減，在1, +8)上單調(diào)遞增.若x>0,則3x>2x>1, .f(3x)>f(2x);若 x<0,則 3x< 2X< 1,，f(3x)>f(2x).，f(3x)>f(2x),即 f(bx)wf(cx).故選

19、 A.答案(1)D (2)A考法(二)二次函數(shù)的最值問題例2 若函數(shù)f(x)=ax2+2ax+1在1,2上有最大值4,則a的值為.解析f(x)= a(x+1)2+1 a.當(dāng)a=0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上的值為常數(shù)1,不符合題意，舍去；當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，最大值為f(2) = 8a+1 = 4,解得a=1;8當(dāng)a<0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，最大值為f(1) = 3a+1 = 4,解得a=1,不符合題意，舍去.綜上可知，a的值為3.83答案38考法(三)二次函數(shù)中的恒成立問題例3已知函數(shù)f(x) = x2-x+1,在區(qū)間1,1上，不等式

20、f(x)>2x+m恒成立，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是.解析f(x)>2x+m 等價于 x2 x+1>2x+m,即 x2 3x + 1 m>0,令 g(x)=x2 3x+ 1 m ,要使 g(x) = x2 3x+ 1 - m>0 在1,1上恒成立，只需使函數(shù)g(x) = x2-3x+ 1 -m在1,1上的最小值大于 0即可. g(x) = x2- 3x+ 1 - m 在1,1上單調(diào)遞減， .g(x)min = g(1)= m 1.由一m 1>0,得 mv 1.因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(一8, 1).答案(一巴1)規(guī)律探求看個性考法(一)是研究二次函數(shù)的單

21、調(diào)性問題，二次函數(shù)的單調(diào)性在其圖象對稱軸 的兩側(cè)/、同，因此研究二次函數(shù)的單調(diào)性時要依據(jù)其圖象的對稱軸進(jìn)行分類 討論.考法(二)是研究二次函數(shù)的最值問題.對于含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題，無論對稱軸還是區(qū)間含有參數(shù)，都把對稱軸看作靜止不動的參照物，即"動兮定兮對稱軸，看作靜止參照物 ”，然后利時十字法求解即可.求一次函數(shù)最值的口訣棄y軸，十字圖，對應(yīng)橫軸對稱軸；函數(shù)草圖隨意作，開口方向莫疏忽；區(qū)間與軸描分布，高低位置最值處；二次函數(shù)含參數(shù)，邏輯分類誰做主；動兮定兮對稱軸，看作靜止參照物.考法(三)是考法(一)和考法(二)的逆運(yùn)用，最終轉(zhuǎn)化為最值問題求解找共性解決二次函數(shù)性質(zhì)問題應(yīng)注意的兩個關(guān)鍵(1)拋物線的開口、對稱軸位置、定義區(qū)間三者相互制約，要注意分類討論.(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤箕是給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題過關(guān)訓(xùn)練1 .口訣第1、2、3句若二次函數(shù)y=kx2-4x+2在區(qū)間1,2上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A. 2, +oo)B. (2, +oo)C.(巴 0)D.(巴 2)解析：選A 二次函數(shù)y=kx2 4x+2的對稱軸為x=2,當(dāng)k>0時，要使函數(shù)y=kx2- k4x+2在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，只需2W1,解得k>2. k當(dāng)k<0時，