2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷理科新課標ⅱ

1、2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標n）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選 項中，只有一項是符合題目要求的。（5.00 分）A.2.（5.00 分）已知集合 A= （x, y） |x2+y2<3, x ZyC Z）,則A中元素的個第3頁（共24頁）數(shù)為（）A.9 B. 8（5.00 分）3.C.的圖象大致為（6. （5.00分）在 ABC中,co,BC= AC=5 貝U AB=（）A. 4也B.年C.亞D.2VS7. （5.00分）為計算 S=i +L工+2 3 499100,設計了如圖的程序框圖，則A. i=i+1 B. i=i+2在空白框

2、中應填入（）A.-B114C .L d CD- I15C. i=i+3D. i=i+48. （5.00分）我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成”，如果.哥德巴赫猜想是每個大于 2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和30=7+23.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）9. （5.00 分）在長方體 ABCD- AiBiCiDi 中，AB=BC=1 AAi=?3 ,則異面直線 ADi與DB所成角的余弦值為（）B.C.一 D.5A.n2C.D.九、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。=f (1+x),若 f (1) =2,貝Uf(1)+f(2)+f

3、(3)+- +f (50)=()A. - 50 B. 0 C. 2 D. 502212. （5.00分）已知Fi, F2是橢圓C:耳+匚=1 （a>b>0）的左、右焦點，A是 a2 b2C的左頂點，點P在過A且斜率為近的直線上， PFF2為等腰三角形，/6FiF2P=120°,則C的離心率為（）A.二 3亍 C.二 D13. (5.00分)曲線y=2ln (x+1)在點(0, 0)處的切線方程為 .14. (5.00分)若x, y滿足約束條件,則z=x+y的最大值為t 工-54口15. (5.00分)已知 sin +cos p = 1 cos+sin 0= 0貝U sin

4、 ( a+0) =.16. (5.00分)已知圓錐的頂點為S,母線SA, SB所成角的余弦值為SA與圓錐底面所成角為45°,若4SAB的面積為5后，則該圓錐的側面積為 三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根要求作 答。（一）必考題：共60分。17. （12.00分）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知a1二-7, S3=- 15.（1）求an的通項公式；（2）求&,并求Sn的最小值.18. （12.00分）如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y （單位：

5、億元）的折線圖.為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了 y與時間變量t的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,17)建立模型：口=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1, 2,7)建立模型：y=99+17.5t.(1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū) 2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；(2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由.19. (12.00分)設拋物線C: y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k (k> 0)的直線l與C交于A, B兩點，|AB|=8.(1)求l的方程；(2

6、)求過點A, B且與C的準線相切的圓的方程.20. (12.00 分)如圖，在三棱錐 PABC 中，AB=BC=22, PA=PB=PC=AC=4O 為AC的中點.(1)證明：P0±¥面 ABC;(2)若點M在棱BC上，且二面角M-PA- C為30°,求PC與平面PAM所成角 的正弦值.p21. (12.00分)已知函數(shù) f (x) =ex- ax2.(1)若 a=1,證明：當 x>0 時，f (x) >1；(2)若f (x)在(0, +oo)只有一個零點，求a.(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做, 則按所做的第一題

7、計分。選彳4-4:坐標系與參數(shù)方程22. (10.00分)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為產(chǎn)去"?，(8為 參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為卜,1+僮竽口，(t為參數(shù)).(y=2+tsin Ct(1)求C和l的直角坐標方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1, 2),求l的斜率.選彳4-5:不等式選講23. 設函數(shù) f (x) =5- | x+a| - | x-2| .(1)當a=1時，求不等式f (x) >0的解集;(2)若f (x) <1,求a的取值范圍.第5頁(共24頁)2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標n）參考答案與試題解析、選擇題：本題

8、共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1. (5.00 分)L+2iL-2i第9頁（共24頁）A.i CD.5 5【分析】利用復數(shù)的除法的運算法則化簡求解即可.【解答】解:1+21=(1-2 (1+2C故選：D.【點評】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算，是基本知識的考查.2. (5.00 分)已知集合 A= (x, y) |x2+y2<3, x Z, yC Z),則 A 中元素的個數(shù)為()A. 9 B. 8 C. 5 D. 4【分析】分別令x=-1, 0, 1,進行求解即可.【解答】解：當x=-1時，y2<2,得y=-1, 0, 1,

9、當 x=0時，y2<3,得 y=1, 0, 1,當 x=1 時，y2<2,得 y=-1, 0, 1,即集合A中元素有9個，故選：A.【點評】本題主要考查集合元素個數(shù)的判斷，利用分類討論的思想是解決本題的 關鍵.3. (5.00分)函數(shù) f (x)的圖象大致為（）D.【分析】則函數(shù)fC.判斷函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的定點的符號的特點分別進行判斷即可.解:(x)當x=1時，f當X 一+8時,函數(shù) f（ X）=一一一一 （r）?巳一吐為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，排除(1) =e >0,排除D.cf（X）一+oo,排除 C,=-f(X),A,故選：B.【點評】本題主要考查函數(shù)的圖象的識

10、別和判斷,利用函數(shù)圖象的特點分別進行排除是解決本題的關鍵.4. （5.00分）已知向量3, b滿足|司=1, 33*b= - 1,貝Uw? (2a-b)=(A. 4B. 3C. 2 D. 0【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式計算即可.-HI!+ -|,J-*_.?-” =2+1=3,匕滿足| 叫=1, aTb=- 1,貝tja? (2a-b) =2T故選：B.【點評】本題考查了向量的數(shù)量積公式，屬于基礎題5. （5.00分）雙曲線b2=1 (a>0A. y=± 二xB. y=± xC. y=± . x【分析】根據(jù)雙曲線離心率的定義求出b>0）的離心率為Jj,

11、則其漸近線方程D y=± - xa, c的關系，結合雙曲線a, b, c的關系進行求解即可.【解答】解：二.雙曲線的離心率為e£二行,貝呼唇后？在二注哂，即雙曲線的漸近線方程為y=± x=± V2x,a故選：A.【點評】本題主要考查雙曲線漸近線的求解， 結合雙曲線離心率的定義以及漸近 線的方程是解決本題的關鍵.6. （5.00分）在 ABC中，coS7dg, BC=1, AC=5 則 AB=（）Z 5A. 46 B.C.幅 D,昭【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函數(shù)值，利用余弦定理轉化求解即可.【解答】解：在 ABC中，84后_, cosC=2<

12、|）:=彥，BC=1, AC=5,則 AB=/bC之十AC2-2BC火匚口X 1 X 5 X5 = =砒 故選：A.【點評】本題考查余弦定理的應用，考查三角形的解法以及計算能力.7. （5.00分）為計算S=1-二4-；+-熹，設計了如圖的程序框圖，則 上 3 q y y i uu在空白框中應填入（）A. i=i+1 B. i=i+2C. i=i+3D. i=i+4S=N T,【分析】模擬程序框圖的運行過程知該程序運行后輸出的 由此知空白處應填入的條件.【解答】解：模擬程序框圖的運行過程知, 該程序運行后輸出的是S=N- T= （1-二）+） +23 499 100 ?累加步長是2,則在空白處

13、應填入i=i+2.故選：B.【點評】本題考查了循環(huán)程序的應用問題，是基礎題.8. （5.00分）我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是 每個大于 2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和 ”，如 30=7+23.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于 30的概率 是（）A.工 B. 7 c.D 【分析】利用列舉法先求出不超過30的所有素數(shù)，利用古典概型的概率公式進 行計算即可.【解答】解：在不超過30的素數(shù)中有，2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29共10個,從中選2個不同的數(shù)有=4 =45種， c 10和等于 30 的有(

14、7, 23), (11, 19), (13, 17),共 3 種,則對應的概率P= = 1 ,45 15故選：C.【點評】本題主要考查古典概型的概率的計算，求出不超過30的素數(shù)是解決本題的關鍵.9. (5.00 分)在長方體 ABCA A1B1C1D1 中，AB=BC=1 AA=。，則異面直線 AD1與DB所成角的余弦值為()A t B-C.二 D.【分析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線 AD1與DB1所成角的余弦化【解答】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角 坐標系， .在長方體 ABCD- A1B1

15、C1D1 中，AB=BC=1AA1=V 3, .A （1, 0, 0）, D1 （0, 0,近），D （0, 0, 0）,B1 （1,1,毋），西=（1, 0,心），西=（1,1,設異面直線AD1與DB1所成角為9,則 cos 0異面直線ADi與DB1所成角的余弦值為 故選：C.Di【點評】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面 面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎 題.10. (5.00分)若f(x) =cosx- sinxft - a, a是減函數(shù)，則a的最大值是()A.C.D.九【分析】利用兩角和差的正弦公式化簡f(x),由WhZ

16、kn工4條2kn，第11頁(共24頁)7UTkC Z,得，加冗工標兀+2E , kC Z,取k=0,得f(x)的一個減區(qū)間為 看n,結合已知條件即可求出a的最大值.【解答】 解：f (x) =cosx sinx= (sinx- cosx)由2kn，kC Z,得一豕冗工福兀十2kn , kC乙取k=0,彳3 f (X)的一個減區(qū)間為T，濘，由f (x)在-a, a是減函數(shù), 故選：A.則a的最大值是今.【點評】本題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應用，三角函數(shù)的求值，屬于 基本知識的考查，是基礎題.11. (5.00分)已知f (x)是定義域為(-8, +oo)的奇函數(shù)，滿足f (1-x)=f

17、(1+x),若 f (1) =2,貝U f (1) +f (2) +f (3) +- +f (50)=()A. - 50 B. 0 C. 2 D. 50【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關系求出函數(shù)的周期是4,結合函數(shù)的周期性和奇偶性進行轉化求解即可.【解答】解：:f (x)是奇函數(shù)，且f (1-x) =f (1+x), f (1-x) =f (1+x) =- f (x- 1), f (0) =0,則 f (x+2) = - f (x),則 f (x+4) =- f (x+2) =f (x),即函數(shù)f (x)是周期為4的周期函數(shù)，-f (1) =2,- f (2) =f (0) =0, f (3

18、) =f (1-2) =f (-1) =-f (1) =-2,f (4) =f (0) =0,則 f(1) +f (2) +f (3)+f(4) =2+0 2+0=0,貝Uf(1) +f (2) +f (3)+-+f (50) =12f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (49)+f (50)=f (1) +f (2) =2+0=2,故選：C.【點評】本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關系求出函數(shù) 的周期性是解決本題的關鍵.2212. （5.00分）已知F1, F2是橢圓C:q+Ar=1 （a>b>0）的左、右焦點，A是 a2 bC的左頂點，點 P在過

19、A且斜率為坐的直線上， PFF2為等腰三角形，/6F1F2P=120°,則C的離心率為（）A.二 B.亍 C.二 D二【分析】求得直線AP的方程：根據(jù)題意求得P點坐標，代入直線方程，即可求 得橢圓的離心率.【解答】解：由題意可知：A ( -a,0),Fi(-c,0),F2(c,0),直線AP的方程為:(x+a),由 / FiF2P=120°, | PE| =| F1F2I =2c,貝U P (2c, Qc),代入直線AP:寸空=工3 (2c+a),整理得：a=4c, 6題意的離心率e三J.故選：D.【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)，直線方程的應用，考查轉化思想，屬于中檔題.二、填

20、空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13. (5.00分)曲線y=2ln (x+1)在點(0, 0)處的切線方程為 y=2x .【分析】欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數(shù)求出在x=0處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率.從而問題解決.【解答】解：= y=2ln (x+1),當 x=0 時，v =2曲線y=2ln (x+1)在點(0, 0)處的切線方程為y=2x.故答案為：y=2x.【點評】本小題主要考查直線的斜率、 導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某 點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力.屬于基礎題.算+2y - 5）Q14. （5.00分）若x, y滿

21、足約束條件，篁-的+3>0,則z=x+y的最大佰為 9 lk-54 0【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，代 入目標函數(shù)得答案.支-2第+3。作出可行域如圖，化目標函數(shù)z=x+y為y= - x+z,由圖可知，當直線y=- x+z過A時，z取得最大值，由卜書 ，解得a（5, 4）,x-2y+3=0目標函數(shù)有最大值，為z=9.故答案為：9.【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合的解題思想方法， 是中檔 題.15. （5.00分）已知 sin +cos p = 1 cos+sin 0= 0貝U sin （ a+位=_上【分析】把已知等式兩邊平方化簡可得

22、 2+2 （sin a cosngs a sin）B=1,再利用兩 角和差的正弦公式化簡為2sin （ o+B） =-1,可得結果.【解答】解：sin +cos0= 1兩邊平方可得：sin2a+2sin a coscOs2p =1 ，cos +sin B = 0兩邊平方可得：cos2 o+2cos a sin+sin2 0 0,，由 + 得：2+2 (sin a cos- cosasin)B=1,即 2+2sin ( a+位=1,2sin ( a+ 份=-1.sin ( a+ B)=二.2故答案為：用.【點評】本題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應用，三角函數(shù)的求值，屬于 基本知識的考查，是基

23、礎題.16. (5.00分)已知圓錐的頂點為S,母線SA, SB所成角的余弦值為SA與圓第15頁(共24頁)錐底面所成角為45°,若4SAB的面積為57元，則該圓錐的側面積為40匹工【分析】利用已知條件求出圓錐的母線長，利用直線與平面所成角求解底面半徑,S,母線SA, SB所成角的余弦值為可得sin/然后求解圓錐的側面積.【解答】解：圓錐的頂點為AS訴"喑 SAB的面積為5/15,可得LsA2sin/ASB=5Tj,x-=5;,即 SA=4 .228SA與圓錐底面所成角為45。，可得圓錐的底面半徑為： 乎/函=2/a.則該圓錐的側面積：/X 410 X 蚯 n =402冗.

24、故答案為：40/2 Tt.【點評】本題考查圓錐的結構特征，母線與底面所成角，圓錐的截面面積的求法, 考查空間想象能力以及計算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根要求作答。（一）必考題：共60分。17. （12.00分）記sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知ai=-7, S3=-15.（1）求an的通項公式；（2）求sn,并求$的最小值.【分析】（1）根據(jù)ai=-7,加-15,可得ai = - 7, 3ai+3d=-15,求出等差數(shù)列 an的公差，然后求出an即可；（2）由 a1 = -

25、7, d=2, an=2n-9,得 Sn!（力 +口得（2門216口）=n28n= （n 4） 2-16,由此可求出S以及8的最小值.【解答】解：（1）二.等差數(shù)列an中，a1=-7, S3=- 15, a1 = - 7, 3a1+3d=-15,解得 a1=-7, d=2, .an=- 7+2 （n- 1） =2n-9;（2） a1 = - 7, d=2, an=2n - 9, $告 （a1+弓（如2 T 6口） =n2 - 8n=（n-4） 2-16，當n=4時，前n項的和Sn取得最小值為-16.【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的前n項的和公式，屬于中檔題. （12.

26、00分）如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y （單位： 億元）的折線圖.籌資額240220200 180 160 140 120100S0 60 40 20為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了 y與時間變量t的兩個 線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1,2, 17）建立模型：爐-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t 的值依次為1, 2,，7）建立模型：7=99+175.（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū) 2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值； （2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由

27、.【分析】（1）根據(jù)模型計算t=19時日的值，根據(jù)模型計算t=9時；的值即可； （2）從總體數(shù)據(jù)和2000年到2009年間遞增幅度以及2010年到2016年間遞增 的幅度比較，即可得出模型的預測值更可靠些.【解答】解：（1）根據(jù)模型：30.4+13.5t, 計算 t=19 時，口= 30.4+13.5X19=226.1;利用這個模型，求出該地區(qū) 2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值是 226.1億 元；根據(jù)模型：7=99+175,計算 t=9 時，不=99+17.5 X 9=256.5;.利用這個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值是 256.5億元；（2）模型得到的預測值更

28、可靠；因為從總體數(shù)據(jù)看，該地區(qū)從2000年到2016年的環(huán)境基礎設施投資額是逐年上 升的，而從2000年到2009年間遞增的幅度較小些，從2010年到2016年間遞增的幅度較大些，所以，利用模型的預測值更可靠些.【點評】本題考查了線性回歸方程的應用問題，是基礎題.19. （12.00分）設拋物線C: y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k （k> 0）的直線 l與C交于A, B兩點，|AB|=8.(1)求l的萬程；(2)求過點A, B且與C的準線相切的圓的方程.【分析】(1)方法一：設直線AB的方程，代入拋物線方程，根據(jù)拋物線的焦點弦公式即可求得k的值，即可求得直線l的方程；方法二：根據(jù)拋

29、物線的焦點弦公式| AB|二 % ,求得直線AB的傾斜角，即可 Sin e求得直線l的斜率，求得直線l的方程；(2)根據(jù)過A, B分別向準線l作垂線，根據(jù)拋物線的定義即可求得半徑，根據(jù)中點坐標公式，即可求得圓心，求得圓的方程.【解答】解：(1)方法一：拋物線C: y2=4x的焦點為F (1, 0),當直線的斜率不存在時，|AB|=4,不滿足；設直線 AB的方程為：y=k (x - 1),設 A (x1，y1)，B (x2, y2),則 1y1,整理得：k2x22 ( k2+2) x+k2=0,貝U x1+x2=?仕 +?), x1x2=1,V，4Kk2由 | AB| =x1+x2+p=&quo

30、t;* +" +2=8,解得：k2=1,貝 k=1, k2直線l的方程y=x 1 ；萬法二：拋物線C: 線的弦長公式| AB|y2=4x的焦點為F (1, 0),設直線AB的傾斜角為9,由拋物2 n 1sAu001-2第#頁(共24頁)0 2二 則直線的斜率k=l,直線l的方程y=x- 1;(2)由(1)可得AB的中點坐標為D (3, 2),則直線AB的垂直平分線方程為 y-2=- (x 3), 即 y= x+5,設所求圓的圓心坐標為(xo, yo),則產(chǎn)尸31 0+59 (yn-xn-bl) 2G0+l)憶一一+16解得:K產(chǎn)或戶1兀= 2 y0=-6因此，所求圓的方程為(x- 3

31、) 2+ (y-2) 2=16 或(x-11) 2+ (y+6) 2=144.【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關系，拋物線的焦點弦公 式，考查圓的標準方程，考查轉換思想思想，屬于中檔題.20. （12.00 分）如圖，在三棱錐 PABC 中，AB=BC=22, PA=PB=PC=AC=4O 為AC的中點.（1）證明：P0±¥面 ABC;（2）若點M在棱BC上，且二面角M-PA- C為30°,求PC與平面PAM所成角 的正弦值.【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明 POL AC, P0± OB即可；（2）根據(jù)二面角的大小求出平面 PAM

32、的法向量，利用向量法即可得到結論.【解答】（1）證明：連接B0,v AB=BC=22, 0 是 AC 的中點, BOI AC,且 BO=2, 又 pa=pc=pb=ac=2 .POLAC, PO=%, 貝U PB?=PO2+BO2,則 PO± OB, .OBnAC=Q .POL面 ABC;(2)建立以O坐標原點，OB, OC, OP分別為x, y, z軸的空間直角坐標系如 圖：A (0, -2, 0), P (0, 0, 2/3), C (0, 2, 0), B (2, 0, 0),爵(-2, 2, 0),則菽輛-BA= （-2入，2A 0）設而=ABC= ( - 2入，2% 0),

33、 0(點 1(2, - 2, 0) = (2 2% 2 2+2, 0),則平面PAC的法向量為ir= （1, 0, 0）,設平面MPA的法向量為n= （x, y, z）,則心(0, -2, - 2a則法以二一2y- 2V3z=0, n?AI= (2 2 入)x+ (2H2) y=0令 z=1,貝U y=-Vs, x=(入：?寸3 ,I-A即鼻(耳誓，vy 1),I一九.二面角 M - PA- C 為 30°,cos30=|第19頁（共24頁）解得入卷或入=3（舍）,則平面MPA的法向量法二(23, -k/3, 1),FC= (0, 2, - 2仃)，PC與平面PAM所成角的正弦值si

34、n 8Hos(元，卮| 二|3Izl|V16 716164【點評】本題主要考查空間直線和平面的位置關系的應用以及二面角，線面角的求解，建立坐標系求出點的坐標，利用向量法是解決本題的關鍵.21. (12.00分)已知函數(shù) f (x) =ex- ax2.(1)若 a=1,證明：當 x>0 時，f (x) >1；(2)若f (x)在(0, +oo)只有一個零點，求a.【分析】(1)通過兩次求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可證明，(2)方法一、分離參數(shù)可得a="在(0, +00)只有一個根，即函數(shù)y=a與G (x)其的圖象在(0, 十°°)只有一個交

35、點.結合圖象即可求得 a. x方法二、：當 a00 時，f (x) =ex- ax2>0, f (x)在(0, +°°)沒有零點.當a00時，設函數(shù)h (x) =1-ax2e-x. f (x)在(0, +引只有一個零點？ h(x)在(0, +oo)只有一個零點.利用h'(x) =x (x-2) e x,可得h (x)在(0, 2)遞減，在(2, +引遞增，結合函數(shù)h (x)圖象即可求得a.【解答】證明：(1)當a=1時，函數(shù)f (x) =ex-x2.則 f' (x) =ex - 2x,令 g (x) =ex- 2x,則 g' (x) =ex-

36、2,令 g' (x) =0,彳x= x=ln2.當 xC (0, ln2)時，g'(x) <0,當 xC (ln2, +oo)時，g，(x) >0,g (x) >g (ln2) =e1n2 2?ln2=22ln2>0, .f (x)在0, +oo)單調(diào)遞增，；f (x) >f (0) =1,解：(2)方法一、，f (x)在(0, +8)只有一個零點？方程ex-ax2=0在(0, 十8)只有一個根，? aW在(0, +oo)只有一個根， x即函數(shù)y=a與G （x）e2的圖象在（0, +8）只有一個交點.G J 當 xC (0, 2)時，G (x) &

37、lt;0,當 e (2, +oo)時，G (x) >0, G (x)在(0, 2)遞減，在(2, +oo)遞增，當一0 時，G (x) 一+OO,當一+OO時，G (x) 一+OO,2.f (x)在(0, +oo)只有一個零點時，a=G (2)方法二：當 a00 時，f (x) =ex- ax2>0, f (x)在(0, +00)沒有零點. .當a>0時，設函數(shù)h (x) =1-ax2e-x. f (x)在(0, +引只有一個零點？ h (x)在(0, +8)只有一個零點.h'(x) =x (x- 2) e x,當 xC (0, 2)時，h' (x) <

38、0,當 xC (2, +oo)時，h' (x) >0, .h (x)在(0, 2)遞減，在(2, +8)遞增，.ha，1rl=h(2)=l當，(x>0). e2當 h (2) <0 時，即 a>£由于 h (0) =1,且當 x>0 時，ex>x2,可得 h (4a) =1A=1一年r>l°T=1'>0. hCe2a)2 (2a)4 a（x）在（0, +8）有2個零點2當h （2） >0時，即<£_, h （x）在（0, +8）沒有零點，42當h （2） =0時，即a2, h （x）在（0, +oo）只有一個零點，42綜上，f （x）在（0, +OO）只有一個零點時，a£一.4【點評】本題考查了利用導數(shù)探究函數(shù)單調(diào)性，以及函數(shù)零點問題，考查了轉化思想、數(shù)形結合思想，屬于中檔題.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做， 則按所做的第一題計分。選彳4-4:坐標系與參數(shù)方程22 . （10.