曾量子力學(xué)題庫(網(wǎng)用)(一)

1、0 < x < a'0V(x) =x < 0 or x > a000 - x - a處于狀x ： 0 or x a態(tài)中(刈=(群_e小)，其中2a2 二一、，一 口一口 ，八k =，請(qǐng)問該狀態(tài)是否是定態(tài)？為什么?a、簡述題：1. (1)試述 Wien公式、Rayleigh-Jeans公式和Planck公式在解釋黑體輻射能量密度隨頻率分布的問 題上的差別2. (1)試給出原子的特征長度的數(shù)量級(jí)(以 m為單位)及可見光的波長范圍(以 ？為單位)3. (1)試用日nstein光量子假說解釋光電效應(yīng)4. (1)試簡述Bohr的量子理論5. (1)簡述波爾-索末菲的量子化

2、條件6. (1)試述de Broglie物質(zhì)波假設(shè)7. (2)寫出態(tài)的疊加原理8. (2)在給定的狀態(tài)中測(cè)量某一力學(xué)量可得一測(cè)值概率分布。問在此狀態(tài)中能否測(cè)得其它力學(xué)量的 概率分布？試舉例說明。9. (2)在給定狀態(tài)下測(cè)量某一力學(xué)量，能測(cè)量到什么程度？10. (2)按照波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，試給出波函數(shù)應(yīng)滿足的條件11. (2)假設(shè)一體系的基態(tài)波函數(shù)在全空間上都大于零，試解釋是否存在某一激發(fā)態(tài)，該激發(fā)態(tài)在全 空間范圍內(nèi)也都大于零。12. (2)已知粒子波函數(shù)在球坐標(biāo)中為中(r,e,平)，寫出粒子在球殼(r,r +dr)中被測(cè)到的幾率以及在(牝中)方向的立體角元dC = sindd中中找到粒子的幾率

3、。13. (2)什么是定態(tài)？它有哪些特征？14. (2) W(x)=5(x)是否定態(tài)？為什么？1 I” 15. (2)設(shè),=-e，試寫成其幾率密度和幾率流密度r16. (2)試解釋為何微觀粒子的狀態(tài)可以用歸一化的波函數(shù)完全描述。17. (3)簡述和解釋隧道效應(yīng)018. (3) 一維無限深勢(shì)阱體系 V(x)=Q019. (3)說明一維方勢(shì)阱體系中束縛態(tài)與共振態(tài)之間的聯(lián)系與區(qū)別。20. (3)某一維體系，粒子的勢(shì)能為2酎2x2,其中N為粒子質(zhì)量，說明該體系是什么體系，并寫出體系能量的可能取值。21. (3)說明共振能級(jí)與束縛態(tài)能級(jí)的區(qū)別，并用不確定度關(guān)系解釋為何一維有限深方勢(shì)阱中束縛態(tài) 能級(jí)低于相

4、應(yīng)的共振能級(jí)。22. (4)試述量子力學(xué)中力學(xué)量與力學(xué)量算符之間的關(guān)系23. (4)簡述力學(xué)量算符的性質(zhì)24. (4)試述力學(xué)量完全集的概念25. (4)試討論：若兩個(gè)厄米算符對(duì)易，是否在所有態(tài)下它們都同時(shí)具有確定值？26. (4)若算符A、B?均與算符C?對(duì)易，即區(qū)(?=舊(?=0, A、B?、(？是否可同時(shí)取得確定值?為什么？并舉例說明。27. (4)對(duì)于力學(xué)量 A與B,寫出二者在任何量子態(tài)下的漲落所滿足的關(guān)系，并說明物理意義。28. (4)微觀粒子X方向的動(dòng)量？*和乂方向的角動(dòng)量？x是否為可同時(shí)有確定值的力學(xué)量？為什么？29. (4)試寫出態(tài)和力學(xué)量的表象變換的表達(dá)式30. (4)簡述幺

5、正變換的性質(zhì)31. (4)在坐標(biāo)表象中，給出坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符的矩陣表示,、.1,22,32. (4)粒子處在 V(x)=Neo x的一維諧振子勢(shì)場(chǎng)中，試寫出其坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象的定態(tài)2Schr?dinger 方程。33. (4)使用狄拉克符號(hào)導(dǎo)出不含時(shí)間的薛定謂方程在動(dòng)量表象中的形式。34. (4)如果A,B?均為厄米算符，下列算符是否也為厄米算符？a) % b) l(Ag . B/?)b) l - BA)22235. (5)試述守恒量完全集的概念36. (5)全同粒子有何特點(diǎn)？對(duì)波函數(shù)有什么要求？37. (5)試述守恒量的概念及其性質(zhì)38. (5)自由粒子的動(dòng)量和能量是否為守恒量？為什么？

6、?239. (5)電子在均勻電場(chǎng)E = (0,0,名)中運(yùn)動(dòng)，哈密頓量為H? =- ez。試判斷？x,?y,?z各2m量中哪些是守恒量，并給出理由。40. (6)中心力場(chǎng)中粒子處于定態(tài)，試討論軌道角動(dòng)量是否有確定值41. (6)寫出中心力場(chǎng)中的粒子的所有守恒量42. (6)試給出氫原子的能級(jí)簡并度并與一般中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)粒子的能級(jí)簡并度進(jìn)行比較43. (6)二維、三維各向同性諧振子及一維諧振子的能級(jí)結(jié)構(gòu)有何異同，并給出二維、三維各向同性 諧振子能級(jí)簡并度。1. .3, 一44. (6)氫原子體系處于狀態(tài)中(r,eW)= R31(r)Y11(HW) +R32(r)Y2(日W),給出L2和Lz22可

7、能取值及取值幾率，并說明該狀態(tài)是否是定態(tài)？為什么？45. (6)氫原子的基態(tài)波函數(shù)具有什么特點(diǎn)？46. (6)分別處于2s、4p、5f狀態(tài)的氫原子的徑向波函數(shù)各有幾個(gè)節(jié)點(diǎn)(不包括 r = 0及無窮遠(yuǎn)處的零 點(diǎn))。47. (6)已知中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子哈密頓表示為H?=_-©(r29)+?+V(r)，試列舉出幾種2 Jr2 ：:rFr2Jr2該量子體系力學(xué)量完全集的選取方案。48. (7)什么是正常Zeeman效應(yīng)？寫成與其相應(yīng)的哈密頓量，并指出系統(tǒng)的守恒量有哪些。49. (8)試給出電子具有自旋的實(shí)驗(yàn)依據(jù)50. (8)寫出z表象中 J、仃y和仃z的本征值與本征態(tài)矢51. (8)已知磁

8、場(chǎng)B =B。!？，其中單位矢量 ？=0.8i +0.6k,6為泡利算符，求：(1)泡利算符 6在？方向的投影矩陣；(2)此投影矩陣的本征值和本征態(tài)；(3)在此磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子因自旋引起的附加能量本征值。52. (8)試述旋量波函數(shù)的概念及物理意義53. (8)能否選擇一個(gè)表象，該表象下自旋算符的三個(gè)分量&,Sy,Sz的表示矩陣都是實(shí)矩陣。54. (8)以a和P分別表示自旋向上和自旋向下的歸一化波函數(shù)，寫出兩電子體系的自旋單態(tài)和自旋重態(tài)波函數(shù)(只寫自旋部分波函數(shù))并計(jì)及電子的自旋一軌道55. (8)若|心和|戶是氫原子的定態(tài)矢 (電子和質(zhì)子的相互作用為庫侖作用, 耦合項(xiàng))，試給出|心和|

9、戶態(tài)的守恒量完全集56. (10)若在Ho表象中,H? = H?0+H?f, H0與H?'的矩陣分別為10-0010-0010400000106b.10.10r0.10.2000015J052 )是否可以將H?看作微擾，從而利用微擾理論求解H?的本征值與本征態(tài)？為什么 ？57. (11)利用日nstein自發(fā)輻射理論說明自發(fā)輻射存在的必然性。58. (11)是否能用可見光產(chǎn)生1阿秒(10,8s)的激光短脈沖，利用能量一時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系說明原因。59. (11)試給出躍遷的Fermi黃金規(guī)則(golden rule)公式，并說明式中各個(gè)因子的含義。60. (12)在質(zhì)心坐標(biāo)系中，設(shè)入射粒子

10、的散射振幅為f(9),寫出靶粒子的散射振幅，并分別寫出全同玻色子碰撞和無極化全同費(fèi)米子碰撞的微分散射截面表達(dá)式。、判斷正誤題(請(qǐng)說明理由)1. (2)由波函數(shù)可以確定微觀粒子的軌道2. (2)波函數(shù)本身是連續(xù)的，由它推求的體系力學(xué)量也是連續(xù)的3. (2)平面波表示具有確定能量的自由粒子，故可用來描述真實(shí)粒子4. (2)因?yàn)椴òS著時(shí)間的推移要在空間擴(kuò)散，故真實(shí)粒子不能用波包描述5. (2)正是由于微觀粒子的波粒二象性才導(dǎo)致了測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系6. (2)測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式是判別經(jīng)典力學(xué)是否適用的標(biāo)準(zhǔn)7. (2)設(shè)一體系的哈密頓H?與時(shí)間t無關(guān)，則體系一定處于定態(tài)8. (2)不同定態(tài)的線性疊加還是定態(tài)9. (

11、3)對(duì)階梯型方位勢(shì)，定態(tài)波函數(shù)連續(xù)，則其導(dǎo)數(shù)必然連續(xù)10. (3) H?顯含時(shí)間3則體系不可能處于定態(tài)，H?不顯含時(shí)間t,則體系一定處于定態(tài)11. (3) 一維束縛態(tài)能級(jí)必定數(shù)非簡并的12. (3) 一維粒子處于勢(shì)阱中，則至少有一條束縛態(tài)13. (3)粒子在一維無限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)量一定是守恒量14. (3)量子力學(xué)中，靜止的波是不存在的15. (3) 8勢(shì)阱不存在束縛態(tài)-16. (4)自由粒子的能量本征態(tài)可取為sin kx ,它也是？x =-工C的本征態(tài):x17. (4)若兩個(gè)算符有共同本征態(tài)，則它們彼此對(duì)易18. (4)在量子力學(xué)中，一切可觀測(cè)量都是厄米算符19. (4)如果A,B是厄米

12、算符，其積 尺目不一定是厄米算符20. (4)能量的本征態(tài)的疊加態(tài)仍然是能量的本征態(tài)21. (4)若A,g對(duì)易，則 A,t?在任意態(tài)中可同時(shí)確定22. (4)若A,B1不對(duì)易，則 A,E?在任何情況下不可同時(shí)確定23. (4) ?x和Lx不可同時(shí)確定24. (4)若A,g對(duì)易，則 反的本征函數(shù)必是 目的本征函數(shù)25. (4)對(duì)應(yīng)一個(gè)本征值有幾個(gè)本征函數(shù)就是幾重簡并26. (4)若兩個(gè)算符不對(duì)易，則它們不可能同時(shí)有確定值27. (4)測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系只適用于不對(duì)易的物理量28. (4)根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理，任一微觀粒子的動(dòng)量都不能精確測(cè)定，只能求其平均值29. (4)力學(xué)量的平均值一定是實(shí)數(shù)30. (5)體

13、系具有空間反演不變性，則能量本征態(tài)一定具有確定的宇稱31. (5)在非定態(tài)下力學(xué)量的平均值隨時(shí)間變化32. ( 5)體系能級(jí)簡并必然是某種對(duì)稱性造成的33. (5)量子體系的守恒量無論在什么態(tài)下，平均值和幾率分布都不隨時(shí)間改變34. (5)全同粒子系統(tǒng)的波函數(shù)必然是反對(duì)稱的35. ( 5)全同粒子體系波函數(shù)的對(duì)稱性將隨時(shí)間發(fā)生改變36. (5)描述全體粒子體系的波函數(shù)，對(duì)內(nèi)部粒子的隨意交換有確定的對(duì)稱性37. (6)粒子在中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，若角動(dòng)量？z是守恒量，那么 Lx就不是守恒量38. (6)在中心力場(chǎng) V(r)中運(yùn)動(dòng)的粒子，軌道角動(dòng)量各分量都守恒39. (6)中心力場(chǎng)中粒子的能量一定是簡并

14、的40. (6)中心力場(chǎng)中粒子能級(jí)的簡并度至少為21 +1, l =0,1,2，41. (8)電子的自旋沿任何方向的投影只能取為242. (8)兩電子的自旋反平行態(tài)為三重態(tài)三、證明題:1. (2)試由Schr?dinger方程出發(fā)，證明二'' ? 二0,t，其中 ?(r, t)=i *c.c.) 2m2. (3) 一維粒子波函 中(x)數(shù)滿足定態(tài)Schr?dinger方程，若 以(x)、匕(x)都是方程的解,則有51匕'川2中1'=常數(shù)(與x無關(guān))3. (3)設(shè)¥(x)是定態(tài)薛定謂方程對(duì)應(yīng)于能量E的非簡并解，則此解可取為實(shí)解4. ( 3)設(shè)甲1 (x)

15、和中2 (x)是定態(tài)薛定謂方程對(duì)應(yīng)于能量E的簡并解，試證明二者的線性組合也是該定態(tài)方程對(duì)應(yīng)于能量 E的解。5. (3)對(duì)于6勢(shì)壘，V(x) =Y&(x),試證6勢(shì)中中'(x)的躍變條件2 d26. ( 3)設(shè)甲(x)是定態(tài)薛定謂方程I-d= +V(x) W (x) = E中(x)的一個(gè)解，對(duì)應(yīng)的能量為 E , 2m dx2試證明中* (x)也是方程的一個(gè)解，對(duì)應(yīng)的能量也為E7. (3) 一維諧振子勢(shì)場(chǎng) m62x2/2中的粒子處于任意的非定態(tài)。試證明該粒子的位置概率分布經(jīng)歷 一個(gè)周期2元/切后復(fù)原。V1 ,x ： a8. (3)對(duì)于階梯形方勢(shì)場(chǎng) V(x) = |，若(V2 -Vi

16、)有限，則定態(tài)波函數(shù) 中(x)及其V2x a導(dǎo)數(shù)中(x)必定連續(xù)。9. (3)證明一維規(guī)則勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，其束縛態(tài)能級(jí)必定是非簡并的10. (4)證明定理：體系的任何狀態(tài)下，其厄米算符的平均值必為實(shí)數(shù)11. (4)證明定理：厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交12. (4)證明：在定態(tài)中幾率流密度矢量與時(shí)間無關(guān)二 213. (4)令？：=/2£y，試證？2為厄密算符二 x14. (4)試證T?= ?2/2m為厄密算符di? 。？15. (4)設(shè)U?(t)是一個(gè)幺正算符且對(duì)t可導(dǎo)，證明H?(t)=濁9又1?是厄米算符。dt16. (4)已知A和國是厄米算符，證明(A+B?)和區(qū)

17、2也是厄米算符17. (4)試證明：任何一個(gè)力學(xué)量算符在它以自己的本征矢為基矢的表象中的表示為對(duì)角矩陣18. (4)試證明x表象中？算符的矩陣元是(p)x,x" = i左土 6(x'x")ex'19. (4)試證明p表象中x算符的矩陣元是(x)p，p" =i方£&(p'-p")20. (4)若厄米算符 A白具有共同本征函數(shù)，即 ? .=人中心 覬nOt=Bn中皿，而且構(gòu)成體系 狀態(tài)的完備函數(shù)組，試證明 A B = 021. (4)若 Q(x); n =1,2,構(gòu)成完備基組，證明：8(x-x)=£ 中；(

18、x)Q(x)n22. (4)證明兩個(gè)線性算符之和仍為線性算符23. (4)設(shè)算符F? = AB?, AB?-BA=1,若邛為F的本征函數(shù)，相應(yīng)的本征值為w,求證十三A邛和中三Ae也是F?的本征函數(shù)，并求出相應(yīng)的本征值。24. (4)試證明中(xyz) = x十y+z是角動(dòng)量平方算符l?2屬于本征值2元2的本征函數(shù)。25. (4)試證明表象變換并不改變算符的本征值26. (4)證明對(duì)易關(guān)系 ?x ,'-' ( x):-i ；x27. (4)證明在12的本征態(tài)下lx =ly =028. (4)設(shè)粒子處于YmgW胖態(tài)下，證明("x f =("y f =1 1(1

19、+1)m2米229. (4)證明諧振子的零點(diǎn)能E0 = 2 %是測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 AxP-2的直接結(jié)果。30. (4) 一維體系的哈密頓算符具有分立譜，證明該體系的動(dòng)量在能量本征態(tài)中的平均值等于零31. (4)如果厄米算符 A對(duì)任何矢量|u> ,有<u|A|u>三0,則稱A為正定算符。試證明算符 A=|a><a| 為厄米正定算符32. (5)設(shè)全同二粒子的哈密頓量為H?(1,2),波函數(shù)為中(1,2),試證明交換算符 g2是個(gè)守恒量33. (5)證明在定態(tài)下，任意不顯含時(shí)間t力學(xué)量A取值幾率分布不隨時(shí)間改變。34. (5)設(shè)力學(xué)量A是守恒量，證明在任意態(tài)下A的取值概率分

20、布不隨時(shí)間改變。35. (5)證明：量子體系的守恒量，無論在什么態(tài)下，平均值不隨時(shí)間改變。36. (5)試證在一維勢(shì)場(chǎng) V(x)中運(yùn)動(dòng)的粒子所受勢(shì)壁的作用力在束縛定態(tài)中的平均值為0 (提示：利i -用對(duì)勿關(guān)系H?,x = i?x)37. (5)設(shè)系統(tǒng)的哈密頓量為H?,厄米算符A與H?對(duì)易。i證明dA=0,其中AA是A的均方根偏dt差，即 Mk(A-<Aa)2 >/2 ,式中尖括號(hào)表示求平均值。38. (5)如果A, H?=民H = 0 ,但A, B? # 0 ,試證明H?的本征值必有簡并。39. (5)粒子在對(duì)數(shù)函數(shù)型勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，V(r) =C1n(r/r0),其中常數(shù)C>。

21、/。>0。試?yán)肰irial定理證明：各束縛態(tài)的動(dòng)能平均值相等。40. (5)試根據(jù)力學(xué)量平均值表達(dá)式F= fP*(x,t)FW(x,t)dx證明力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化為dF：?1 .=+ J氏H?,其中H?為體系的哈密頓dt：:ti41. (4、5)證明：宇稱算符的本征函數(shù)非奇即偶:,|x|b42.(5)設(shè)粒子處在對(duì)稱的雙方勢(shì)阱中V (x)=0 a <| x |< bVo| x k：a(1)在V0T g情況下求粒子能級(jí)，并證明能級(jí)是雙重簡并;(2)證明Vo取有限值情況下，簡并將消失。43.(5、6)證明在氫原子的任何定態(tài)wn1m (r, e,中)中，動(dòng)能的平均值等于該定態(tài)

22、能量的負(fù)值，即2 ? /2.nim-En44.(6)已知中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子哈密頓表示為-2-仔H? = 2 c (r2C)+ L2+V(r),證明中心2r2開±2日r245.力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子角動(dòng)量守恒(8)證明Pauli算符各個(gè)分量的反對(duì)易關(guān)系46.(8)若電子處于 SZ的本征態(tài)。試證在此態(tài)中,Sy取值九/2或方/2的概率各為1/2。47.(8)設(shè)有兩個(gè)電子，自旋態(tài)分別為 工=10>0cos-e2Qsin e2上.72i 1/2。證明兩個(gè)電子處于自旋單態(tài)(S=0)和三重態(tài)(S=1)的幾率分別為 a二一(1 - cos 一),2212 1、 b = (1 cos 一)2248.

23、(10)在一定邊界條件下利用定態(tài)薛定謂方程求解體系能量本征值與變分原理等價(jià)。49. .1i;(12)已知在分波法中 f(8)= Z(2l +1)e "sin a P (cos日)k l=0- 4.二i .=工、2l +1e°sin6lY0(9), ki =0四、計(jì)算題:1. (2)2. (3)據(jù)此證明光學(xué)定理。設(shè)一維自由粒子的初態(tài)為 中(x,0)=eik°x,求中(x,t)。質(zhì)量為m的粒子在一維無限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)阱可表示為V x = 0;x°,ap"' x :二 0, x a(1)求解能量本征值 En和歸一化的本征函數(shù) 中n(x)；

24、1.(2)若已知t=0時(shí)，該粒子狀態(tài)為¥(x,0 )=.(中1(x)+2(x),求t時(shí)刻該粒子的波函數(shù);(3)求t時(shí)刻測(cè)量到粒子的能量分別為 E1和E2的幾率是多少?(4)求t時(shí)刻粒子的平均能量E和平均位置x o3.(3)粒子在一維6勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)V(x) = -a5(x) (a > 0),求粒子的束縛定態(tài)能級(jí)與相應(yīng)的歸一化波函數(shù)。4.(3)設(shè)有質(zhì)量為 m的粒子(能量E >0)從左入射，碰到d勢(shì)壘V(x)=%(x)(常數(shù)Y >0),試推導(dǎo)出6勢(shì)中中'的躍變條件。5.(3)質(zhì)量為m的粒子，在位勢(shì) V(x)= ct&(x)+V(豆<0)中運(yùn)動(dòng)，其中x

25、0V。0a.b.6.(3)一個(gè)質(zhì)量為m的粒子在一維勢(shì)場(chǎng) V(x)=(X)| x L a | |,求波函數(shù)滿足的方程及連續(xù)性|x|< a0 V =V0試給出存在束縛態(tài)的條件，并給出其能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)；給出粒子處于x>0區(qū)域中的幾率。它是大于1/2,還是小于1/2,為什么?條件，并給出奇宇稱能量本征波函數(shù)及相應(yīng)的本征能量。7.(3)質(zhì)量為m的粒子在一維勢(shì)場(chǎng) V(x)= <0| x卜a中運(yùn)動(dòng)。求|x| a粒子的定態(tài)能量 En與歸一化的波函數(shù) 中n(x)；粒子在態(tài)中n(x)上的位置平均值8.(3)如圖所不，一電量為 -q質(zhì)量為m的帶電粒子處在電量為 +Q固定點(diǎn)電荷的強(qiáng)電場(chǎng)中

26、，并被約束在一直線AB上運(yùn)動(dòng)，+Q到AAB的距離為a,由于+Q產(chǎn)生的電場(chǎng)很強(qiáng),-q只能在平衡位置O附近振動(dòng)，即a遠(yuǎn)大于粒子的運(yùn)動(dòng)范圍,設(shè)平衡位置。為能量參考點(diǎn)，試求體系可能的低能態(tài)能級(jí)。9.(3) 一電量為-q質(zhì)量為m的帶電粒子處在強(qiáng)度為E的均勻強(qiáng)電場(chǎng)中，并被約束在一半徑為 R的圓弧上運(yùn)動(dòng),電場(chǎng)方向如圖所示,由于電場(chǎng)很強(qiáng)， -q只能在平衡位置 。附近振動(dòng)，即 R遠(yuǎn)大于粒子的運(yùn)動(dòng)范圍，設(shè)平衡位置O為能量參考點(diǎn)，試求體系可能的低能態(tài)能級(jí)。10. (3) 一維諧振子處于基態(tài) 中0 (x) =1 2 2一晨x e 2,求諧振子的2 21)平均值X ; 2)平均值p ; 3)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。2(U)

27、(提示： X0neJKx dx =12, K >0, r函數(shù)滿足遞推關(guān)系:n 1K萬1r(z +1)=z(z),=1,(2)=石11.12.(3)把傳導(dǎo)電子限制在金屬內(nèi)部的是金屬內(nèi)勢(shì)的一種平均勢(shì), 對(duì)于下列一維模型(如圖)V(x) =-V0 ,x :二 00 ,x 0試就(1) E >0, (2) V0 < E <0兩種情況計(jì)算接近金屬表面的傳導(dǎo)電子的反射和透射幾率。(3、4)設(shè)t =0時(shí)，質(zhì)量為 m、頻率為0的諧振子處于(x, c) = Ae2 ：2 x2(cos ：)H 0(： x)sin :2*2H 2(： x)f . >1/2狀態(tài)，其中A, P是實(shí)常數(shù)，a

28、 = (7 J , H n(ax)是厄米多項(xiàng)式。(1)求歸一化常數(shù)A ;(2)求t時(shí)刻體系的狀態(tài) 中(x, t)；(3)求t時(shí)刻位置的平均值 x(t);(4)求諧振子能量取值及相應(yīng)幾率13.14.(3)設(shè)一維粒子由x =-必處以平面波Win =e曲入射，在原點(diǎn)處受到勢(shì)能 V(x)=V06(x)的作用。(1)寫出波函數(shù)的一般表達(dá)式；(2)確定粒子在原點(diǎn)處滿足的邊界條件；(3)求出該粒子的透 射系數(shù)和反射系數(shù)；(4)分別指出V0 >0與V0父0時(shí)的量子力學(xué)效應(yīng)。(3、4、5)設(shè)一維線性諧振子處于基態(tài)(1)求 <x >, < ?x >(2)寫出本征能量 E ,并說明它反

29、映微觀粒子的什么性質(zhì)A A xxx = x< x 2 A - <x >2(3)利用位力定理證明：AxApx ="/2,其中S;22Px :?x- ?x15. (4)設(shè)一維諧振子能量本征函數(shù)為Tn。試?yán)眠f推公式X呼n =2 J"1中n中十JnPn 1求諧f 21 2；振子坐標(biāo)在能量表象中的矩陣表示16. (4、5) 一維諧振子t =0時(shí)處于基態(tài) 中0和第一激發(fā)態(tài) 中1的疊加態(tài)11-(x,0) 三丁(:0(x)1-1( x)7 212 2-x 其中中0(x)= N0e 2,_1 -2x21(x) = N1e 22： x(1)求t時(shí)刻位置和動(dòng)量的平均值<

30、 x At, < p>t;(2)證明對(duì)于一維諧振子的任何狀態(tài)，t時(shí)刻位置和動(dòng)量的平均值有關(guān)系;d1<x>t= <pt； dtm(3)求t時(shí)刻能量的平均值H t17. (4)設(shè)體系處于 中=c1Y10 +c2Y21狀態(tài)(已歸一化，即|G |2 +|c2 |2=1)。求?z的可能測(cè)值及平均值；儼的可能測(cè)值及相應(yīng)的幾率。1 i18. (4)設(shè)一量子體系處于用波函數(shù)中(0 ) = (e °sinQ + cos6)所描述的量子態(tài)中。試求一 4 二(1)在該態(tài)下 E的可能測(cè)值和各個(gè)值出現(xiàn)的幾率；(2) ?的平均值19.(6) t =0時(shí)氫原子的波函數(shù)為 中(r,0)

31、=二2中100 ' 210' 21-；211 3,-; 21 。忽略自旋和,10躍遷。、 一、一一 .一2.一.一- .(1)寫出系統(tǒng)能量、角動(dòng)量平方 L及角動(dòng)量z分量Lz的可能測(cè)值(表示成基本物理的函數(shù)即可)；(2)上述物理量的可能測(cè)值出現(xiàn)的幾率和期望值；(3)寫出t時(shí)刻的波函數(shù)。、A B 一 ，,一20. (6)求勢(shì)場(chǎng)V(r)=-中的粒子的能級(jí)和定態(tài)波函數(shù)(A,B>0 )r r21. (7、8)設(shè)有一個(gè)定域電子，受到沿X方向均勻磁場(chǎng) B的作用，Hamiltonian量(不考慮軌道運(yùn)動(dòng))eB eB-mc 2mc表為H? =Sx =bx。設(shè)t =0時(shí)電子自旋“向上&quo

32、t; (Sz=)，求t>0時(shí)8的平均值。22. (8)假設(shè)一個(gè)定域電子(忽略電子軌道運(yùn)動(dòng))在均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)B沿z軸正向，電子磁矩e 4在均勻磁場(chǎng)中白勢(shì)能為：V= H B,其中U = gs二一s, ( gs = 2)為電子的磁矩，自旋用2me泡利矩陣?=46表示。(1)求定域電子在磁場(chǎng)中的哈密頓量，并列出電子滿足的薛定渭方程:力4(2)假設(shè)t=0時(shí)，電子自旋指向X軸正向，即0=也，求1>0時(shí)，自旋S的平均值;(3)求t >0時(shí)，電子自旋指向 y軸負(fù)向，即sy =1的幾率是多少?223. (8)自旋S = : ,并具有自旋磁矩 M? =N0§的粒子處于沿 x方向的

33、均勻磁場(chǎng) B中。已知t=0時(shí), 粒子的Sz =2 ,求在以后任意時(shí)刻發(fā)現(xiàn)粒子具有Sy =±1的幾率。24. (8)在SZ表象中求自旋角動(dòng)量在 (sin HcosQ sinHsin邛，cosH)方向的投影Sn =摟 sin 1 cos S? sin 1 sin Sz costin xyz的本征值和所屬的本征函數(shù)。12225. (8)兩個(gè)自旋為1/2的粒子，在(與z, s2z)表象中的表示為o r ,其中，叫是第i個(gè)粒子自旋向上的幾率，|也2是第i個(gè)粒子自旋向下的幾率。a.求哈密頓量H? =丫0(。做。2丫 一仃1丫仃2*)的本征值和本征函數(shù)(Vo為一常數(shù))；b.t=0時(shí)，體系處于態(tài) %

34、 =92 =1尸2 = 01 = 0,求t時(shí)刻發(fā)現(xiàn)體系在態(tài) 5 =日2 =0。2 = 3=1 的幾率(注：仃ix,iy為第i個(gè)粒子泡利算符的x,y分量)26. (8)考慮由兩個(gè)自旋為 1的粒子組成的體系，總自旋 §=?+8，求總自旋的平方及z分量(S2,Sz)的共同本征態(tài)，并表示成 ？和§本征函數(shù)乘積的線性疊加(取 ？=1)。11 -27. (8) 一束自旋為一的粒子進(jìn)入Stern-Gerlach裝置SG (I)后被分成兩束，去掉其中sz=-"的一2束穿過SG (II)后又被分為兩束，求這兩束粒子的相對(duì)數(shù)目之比。束，另一束(Sz = 一工方)進(jìn)入第二個(gè) SG (I

35、I), SG (I)與SG (II)的夾角為a。則粒子28. (8)試求 同表象中 氧的矩陣表示29. (8)自旋為1/2的粒子，其自旋角動(dòng)量算符和動(dòng)量算符分別為§和P?。令| Px，Py, Pz，±1/2>為PX, Py, Pz和Sz的共同本征態(tài)，其本征值分別為px, Py, Pz和±介/2 ,算符A= §戶。試問：(1) A是否為厄米算符？在以| Px，Py, Pz，±1/2 A為基的空間中，A?的矩陣形式如何？(2) A的本征值是什么？求出 風(fēng)匕當(dāng)月的共同本征函數(shù)系30. (8)對(duì)自旋為1/2的粒子，Sy和Sz是自旋角動(dòng)量算符，求

36、H? = A§y + BSz的本征函數(shù)和本征值(A與B是實(shí)常數(shù))31. (8)電子處于沿y軸方向的均勻恒定磁場(chǎng) B中，t=0時(shí)刻在Sz表象中電子的自旋態(tài)為一.COS" ,-(0)=,不考慮電子的軌道運(yùn)動(dòng)。2")(1)求任意t>0時(shí)刻體系的自旋波函數(shù) 之(t)；(2)在t時(shí)刻電子自旋各分量的平均值；(3)指出哪些自旋分量是守恒量，并簡述其理由。32. (8)考慮兩個(gè)電子組成的系統(tǒng)。它們空間部分波函數(shù)在交換電子空間部分坐標(biāo)時(shí)可以是對(duì)稱的或 是反對(duì)稱的。由于電子是費(fèi)米子，整體波函數(shù)在交換全部坐標(biāo)變量(包括空間部分和自旋部分) 時(shí)必須是反對(duì)稱的。* * W(1)假設(shè)

37、空間部分波函數(shù)是反對(duì)稱的，求對(duì)應(yīng)自旋部分波函數(shù)?？傋孕惴x為：S = s1 + s2o求：S2和Sz的本征值；(2)假設(shè)空間部分波函數(shù)是對(duì)稱的，求對(duì)應(yīng)自旋部分波函數(shù)，S2和Sz的本征值；(3)假設(shè)兩電子系統(tǒng)哈密頓量為：H =j3 12,分別針對(duì)(1) (2)兩種情形，求系統(tǒng)的能量。133. (8)兩個(gè)電子處在自旋單態(tài)00)= 2蟲1用(2)-P(1)ot(2)中，其中a、P分別是自旋算符Sz =亢/2和Sz =-左/2的單粒子自旋態(tài)。(1)試證明：7(00)是算符 憲 的本征態(tài)(？1和？2分別是兩個(gè)單電子的自旋算符)；(2)如果測(cè)量一個(gè)電子的自旋 z分量，得Sz =2,那么測(cè)量另一個(gè)電子的

38、自旋Sz =*/2的概率是多少？(3)如果測(cè)量00)態(tài)的一個(gè)電子的自旋 Sy,測(cè)量結(jié)果表明它處在 Sy=方/2的本征態(tài)，那么再34.35.測(cè)量另一個(gè)電子自旋 x分量，得到Sx =-左/2的概率是多少？(8)由兩個(gè)非全同粒子組成的體系，二粒子自旋均為方/2,不考慮軌道運(yùn)動(dòng)，粒子間相互作用可寫作H? =A§設(shè)初始時(shí)刻(t =0)粒子1自旋朝上(Siz =1/2),粒子2自旋朝下(5 = 1/2)。求 t 時(shí)刻(1)粒子1自旋向上的概率;(2)粒子1和2自旋均向上的概率;(3)總自旋為0和1的概率(8)質(zhì)量為m的一個(gè)粒子在邊長為 a的立方盒子中運(yùn)動(dòng)，粒子所受勢(shì)能V(x, y,z)由下式給出

39、:2”0，a；y0，a；Z 0，a廠,others(i)列出定態(tài)薛定謂方程，并求系統(tǒng)能量本征值和歸一化波函數(shù);(ii)假設(shè)有兩個(gè)電子在立方盒子中運(yùn)動(dòng)，不考慮電子間相互作用，系統(tǒng)基態(tài)能是多少？并寫出歸一化系統(tǒng)基態(tài)波函數(shù)(提示：電子自旋為 2,是費(fèi)米子)；(iii)假設(shè)有兩個(gè)玻色子在立方盒子中運(yùn)動(dòng)，不考慮玻色子間相互作用，系統(tǒng)基態(tài)能是多少?36.(2、4、6、8)已知 t=0 時(shí)，氫原子的波函數(shù)為皆(r,Sz,t = 0)=1 12_2i3< 2100(r)211 (r )并寫出歸一化系統(tǒng)基態(tài)波函數(shù)。nlm(r) =Rn.(r)Ym(eW)滿足歸一化條件W nlm(F) |2 d3r = 1

40、。試(1)寫出任意t時(shí)刻的波函數(shù) 中(F,sz,t)求能量E、軌道角動(dòng)量L2和？z、自旋Sz的可能取值和相應(yīng)的幾率以及平均值(3)計(jì)算t時(shí)刻自旋分量 Sx的平均值Sxh(4)寫出t時(shí)刻電子處在以原子核為球心，半徑為 R的球體積內(nèi)，且 Sz =一的幾率的表達(dá)2式37.(6、10)粒子處在無限深球方勢(shì)阱中(1)求其徑向波函數(shù)Rnr,0(r)和能量本征值Enr,0； (2)今加上一微擾V'=q(8為小量)，求能量一級(jí)修正值(只求第一激發(fā)態(tài)nr =1的結(jié)果)。38. (6、10) 一維無限深方勢(shì)阱(0 < x < a)中的粒子受到微擾xH?' = A cos (0 ： x

41、： a)a的作用，其中 A為常數(shù)。求基態(tài)能量的二級(jí)近似與波函數(shù)的一級(jí)近似。d212 239. ( 3、10) 一維諧振子的哈密頓為H?0 = -2 + mo x，右再加上一個(gè)外場(chǎng)作用2m dx 2H?'=ax (a «1),使用微擾論計(jì)算體系的能量到二級(jí)修正，并與嚴(yán)格解比較。H?040. (10)有一兩能級(jí)體系，哈密頓量為H? = H?0 +卬，在H?。表象中，卬0和H?表示為1 0JH?'為微擾，b表示微擾程度，試求 H?的本征值和本征態(tài)。1 c 0、41. (10)設(shè)Hamilton量的矩陣形式為：H = c 302 0 c-27(1)設(shè)c<<1,應(yīng)用

42、微擾論求 H本征值到二級(jí)近似；(2)求H的精確本征值；(3)在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。42. ( 10)設(shè)在表象H?0中,H? = H?0+H?，H0與微擾HT的矩陣為i"?0= E02J011、H?' = c 1 0 1J 1 2,其中E。與2E。分別是基態(tài)與激發(fā)態(tài)的零級(jí)近似能量，c是微小量。(1)求基態(tài)的一級(jí)近似能量與零級(jí)近似態(tài)矢(2)激發(fā)態(tài)的二級(jí)近似能量與一級(jí)近似態(tài)矢。N00、43. (10)已知系統(tǒng)哈密頓量為H0= 0?0 ,<00%44. ( 10)設(shè)粒子在二維無限深勢(shì)阱V (x, y)0 a 0、H '= a 0 b。用微擾法求能量至二級(jí)修正。&

43、lt;0 b 0,0 0 < x, y < a二 中運(yùn)動(dòng)，設(shè)加上微擾00 otherwhereH?i =兒xy (0 < x, y < a)。求基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的一階能量修正。45.(10)一個(gè)取向用角坐標(biāo)e和中 確定的轉(zhuǎn)子作受礙轉(zhuǎn)動(dòng)，用下述哈密頓描述：用一級(jí)微擾論計(jì)算系統(tǒng)的H? = Al? + B亢2 c o費(fèi))，式中A和B均為常數(shù)，且A» B , I?是角動(dòng)量平方算符。試p能級(jí)(1=1)的分裂，并算出微擾后的零級(jí)近似波函數(shù)。46.(3、10)對(duì)于一維諧振子，取基態(tài)試探波函數(shù)形式為47.與嚴(yán)格解進(jìn)行比較。(3、10) 一維無限深勢(shì)阱加上如圖所示的微擾, 勢(shì)函

44、數(shù)為V (x) = a i0°(Vo為小量)0 : x :二 ax <0 或 x > a48.試用微擾論求基態(tài)能量本和波函數(shù)至一級(jí)近似。(10)氫原子處于基態(tài)：沿 z方向加一個(gè)均勻弱電場(chǎng)九為參數(shù)。用變分法求基態(tài)能量，并則Oa名，視電場(chǎng)為微擾。求電場(chǎng)作用后的基態(tài)波函,平均電矩和電極化系數(shù)(不考慮自旋)49.(10)考慮體系 H? =T +V(x),且 V(x)=Ax (A 0)a.利用變分法，取試探波函數(shù)為 里i(x)求基態(tài)能量上限;-x2b.我們知道，如試探波函數(shù)為中2(x)=)1/22xe玄2 ,則基態(tài)能量上限為b2. 281 1/3/ A h 1/3E2 =(一)()

45、。對(duì)這兩個(gè)基態(tài)的能量上限，你能接受哪一個(gè)？為什么?4 二 m50.( 10)以中=e32為變分函數(shù)，式中久為變分參數(shù)，試用變分法求一維諧振子的基態(tài)能量和波函51. ( 10)質(zhì)量為已知°，XG >0 o(1)用變分法計(jì)算基態(tài)能量時(shí)，在 么？z A0區(qū)域內(nèi)的試探波函數(shù)應(yīng)取下列波函數(shù)中的哪一個(gè)？為什(a) zz 2,(b) e-'z(c) zez,(d )sin£z(2)算出基態(tài)能量。(2) 設(shè)該諧振子在=0時(shí)處于基態(tài)|0>,并開始受微擾H '= x2e ” kt的作用。求經(jīng)過充分長時(shí) "n -z .n!提不：必要時(shí)可利用積分公式：zn e

46、dz = Fo：他 x < 052. (10)質(zhì)量為 m的的粒子在勢(shì)場(chǎng) V(x)=12(C >0)中運(yùn)動(dòng)。Cx , x >0(1)用變分法估算粒子基態(tài)能量，試探波函數(shù)取中(x) = AxeTx,工為變分參量。(2)它是解的上限，還是下限？將它同精確解比較。n x n!、(附：積分公式 0 xne-蹬dx =F )a53. (10) (1)設(shè)氫原子處于沿 z方向的均勻靜磁場(chǎng) B = Bk中，不考慮自旋，在弱磁場(chǎng)下，求 n = 2能級(jí)的分裂情況；(2)如果沿z方向不僅有靜磁場(chǎng) B = Bk ,還有均勻靜電場(chǎng) E = %k ,再用微 擾方法求n = 2能級(jí)的分裂情況(取到一級(jí)近似，

47、必要時(shí)可以利用矩陣元 <200| z1210 k -3a )。"10、54. (11)設(shè)體系的Hamilton量為H = %,頻率6是實(shí)常數(shù)。<0 1；(1)求體系能量的本征值和本征函數(shù)；,-1 m 一， (2)如果t =0時(shí)體系處于一二I狀態(tài)，求t >0時(shí)體系所處的狀態(tài);<2 "上 b 一 - _/0 n(3)如果t =0時(shí)體系處于基態(tài)，當(dāng)一個(gè)小的與 t有關(guān)的微擾H '= eW 0；在t =0時(shí)加上后，求tTg時(shí)體系躍遷的激發(fā)態(tài)的幾率55. (11)設(shè)|n >(n =1,2,3,)為一維諧振子的能量本征函數(shù)，且已知1 . : n +1

48、nx 1nx J-| n +1a+«|n -1 > ,a I 22 2間(tT比)以后體系躍遷到|2 a態(tài)的幾率56. (11)中微子振蕩實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：電子中微子可以轉(zhuǎn)變?yōu)榭娮又形⒆印Ｎ覀冇貌ê瘮?shù)|11表示電子中微子，2)表示繆子中微子，用非對(duì)角項(xiàng)不為零的2 x 2矩陣表示哈密頓量，計(jì)算表明中微子將在電子中微子態(tài)|1)和繆子中微子態(tài) 2間振蕩。假設(shè):為：,> = a1)+b 2), Ja2 +b2 =1,中微子哈密頓量的矩陣表示:一一,中微子波函數(shù)可表不g gH =(，其中名和g都是實(shí)數(shù)；波函數(shù)隨時(shí)間的演化滿足薛定渭方程：H中)=中卅)(1)中微子哈密頓的本征方程是H W=九

49、y,求對(duì)應(yīng)本征值和歸一化本征矢量;(2)假設(shè)t =0時(shí)，全部是電子中微子：卜(0) =1)；證明t =t時(shí)，中微子波函數(shù)是,'(t)/ gt、 cos()./ gt、 -ism()(3)求t =t時(shí)電子中微子轉(zhuǎn)變?yōu)榭娮又形⒆拥膸茁?7. (11)基態(tài)氫原子處于平行板電場(chǎng)中，若電場(chǎng)是均勻的且隨時(shí)間按指數(shù)下降，即0,當(dāng)tE0苫oe,；當(dāng)t至0(為大于零的參數(shù))求經(jīng)過長時(shí)間后氫原子處在2P態(tài)的幾率。58. (11) 一個(gè)定域(空間位置不動(dòng))的電子處于z方向強(qiáng)磁場(chǎng)Bz中，自旋朝下(z軸負(fù)方向)。此時(shí)加上一個(gè)y方向交變?nèi)醮艌?chǎng) Bycost),其頻率切可調(diào)。自旋朝上與朝下的能量差可寫成瓦00。在8

50、。定3 » 1的條件下，用微擾方法求出很短時(shí)間七后粒子自旋朝上的幾率。59. (12)帶有電荷q的一維諧振子在光照下發(fā)生躍遷。(1)給出電偶極躍遷的選擇定則；(2)設(shè)照射光的強(qiáng)度為I (。)，計(jì)算振子由基態(tài)到第一激發(fā)態(tài)的躍遷速率(如必要，可利用遞推公式 x*(x) =(&n(x) +n21f n+(xj 進(jìn)行計(jì)算)。2. 260 .(12)質(zhì)量為R的高能粒子被中心力勢(shì) V(r) = Ae, ' (A> 0,a a 0)散射，求散射微分截面仃(外和總截面仃t。r /a61 .(12)用玻恩近似法求粒子在勢(shì)能U(r)=-U0e ,a > 0 ,時(shí)的微分散射截面

51、。:L_-mx2mn提示：必要時(shí)可用積分公式x xe sin nxdx一一2.22，m>00(m n )62 . (12)試用玻恩近似公式計(jì)算庫侖散射的微分截面仃(日)，庫侖勢(shì)為V (r)=",入射粒子質(zhì)量為k ,1速度為v, a為實(shí)數(shù)。提不：必要時(shí)可用積分公式：fsinqrdr =-oq部分解答:42.證明：由于V(-x)=V(x),故能量本征態(tài)有確定的宇稱，并有邊界條件 中(x) = 0, | x |> b o這里只對(duì)偶宇稱態(tài)進(jìn)行討論，并令Vo . E, k = ,2E/一, = 21(VoE)/'能量本征方程可以寫為卻"o |x|<a丫 ''+k2V=o a <| x |< b其解容易求出為;二-ex e-x |x|；a2=Asin k(b 二 x) a ：| x | ： b,-''根據(jù)x=a處一的連續(xù)條件，可得出能量方程 Vx _xe -ek cot k(b - a) = - th 其中 th x =-xxe e(1) 當(dāng) Vo t 時(shí)，匕 t 0 ,從而有 cot k(b 一 a) = -°0k(b a) = nn 由此得出能量本征值22 ；2n 二En -n 2(b-a)2b ix此能級(jí)對(duì)應(yīng)波函數(shù) v n = Asin nn a <