曾量子力學(xué)題庫(網(wǎng)用)(一)

1、0 < x < a'0V(x) =x < 0 or x > a000 - x - a處于狀x ： 0 or x a態(tài)中(刈=(群_e小)，其中2a2 二一、，一 口一口 ，八k =，請問該狀態(tài)是否是定態(tài)？為什么?a、簡述題：1. (1)試述 Wien公式、Rayleigh-Jeans公式和Planck公式在解釋黑體輻射能量密度隨頻率分布的問 題上的差別2. (1)試給出原子的特征長度的數(shù)量級(以 m為單位)及可見光的波長范圍(以 ？為單位)3. (1)試用日nstein光量子假說解釋光電效應(yīng)4. (1)試簡述Bohr的量子理論5. (1)簡述波爾-索末菲的量子化

2、條件6. (1)試述de Broglie物質(zhì)波假設(shè)7. (2)寫出態(tài)的疊加原理8. (2)在給定的狀態(tài)中測量某一力學(xué)量可得一測值概率分布。問在此狀態(tài)中能否測得其它力學(xué)量的 概率分布？試舉例說明。9. (2)在給定狀態(tài)下測量某一力學(xué)量，能測量到什么程度？10. (2)按照波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，試給出波函數(shù)應(yīng)滿足的條件11. (2)假設(shè)一體系的基態(tài)波函數(shù)在全空間上都大于零，試解釋是否存在某一激發(fā)態(tài)，該激發(fā)態(tài)在全 空間范圍內(nèi)也都大于零。12. (2)已知粒子波函數(shù)在球坐標(biāo)中為中(r,e,平)，寫出粒子在球殼(r,r +dr)中被測到的幾率以及在(牝中)方向的立體角元dC = sindd中中找到粒子的幾率

3、。13. (2)什么是定態(tài)？它有哪些特征？14. (2) W(x)=5(x)是否定態(tài)？為什么？1 I” 15. (2)設(shè),=-e，試寫成其幾率密度和幾率流密度r16. (2)試解釋為何微觀粒子的狀態(tài)可以用歸一化的波函數(shù)完全描述。17. (3)簡述和解釋隧道效應(yīng)018. (3) 一維無限深勢阱體系 V(x)=Q019. (3)說明一維方勢阱體系中束縛態(tài)與共振態(tài)之間的聯(lián)系與區(qū)別。20. (3)某一維體系，粒子的勢能為2酎2x2,其中N為粒子質(zhì)量，說明該體系是什么體系，并寫出體系能量的可能取值。21. (3)說明共振能級與束縛態(tài)能級的區(qū)別，并用不確定度關(guān)系解釋為何一維有限深方勢阱中束縛態(tài) 能級低于相

4、應(yīng)的共振能級。22. (4)試述量子力學(xué)中力學(xué)量與力學(xué)量算符之間的關(guān)系23. (4)簡述力學(xué)量算符的性質(zhì)24. (4)試述力學(xué)量完全集的概念25. (4)試討論：若兩個厄米算符對易，是否在所有態(tài)下它們都同時具有確定值？26. (4)若算符A、B?均與算符C?對易，即區(qū)(?=舊(?=0, A、B?、(？是否可同時取得確定值?為什么？并舉例說明。27. (4)對于力學(xué)量 A與B,寫出二者在任何量子態(tài)下的漲落所滿足的關(guān)系，并說明物理意義。28. (4)微觀粒子X方向的動量？*和乂方向的角動量？x是否為可同時有確定值的力學(xué)量？為什么？29. (4)試寫出態(tài)和力學(xué)量的表象變換的表達(dá)式30. (4)簡述幺

5、正變換的性質(zhì)31. (4)在坐標(biāo)表象中，給出坐標(biāo)算符和動量算符的矩陣表示,、.1,22,32. (4)粒子處在 V(x)=Neo x的一維諧振子勢場中，試寫出其坐標(biāo)表象和動量表象的定態(tài)2Schr?dinger 方程。33. (4)使用狄拉克符號導(dǎo)出不含時間的薛定謂方程在動量表象中的形式。34. (4)如果A,B?均為厄米算符，下列算符是否也為厄米算符？a) % b) l(Ag . B/?)b) l - BA)22235. (5)試述守恒量完全集的概念36. (5)全同粒子有何特點？對波函數(shù)有什么要求？37. (5)試述守恒量的概念及其性質(zhì)38. (5)自由粒子的動量和能量是否為守恒量？為什么？

6、?239. (5)電子在均勻電場E = (0,0,名)中運動，哈密頓量為H? =- ez。試判斷？x,?y,?z各2m量中哪些是守恒量，并給出理由。40. (6)中心力場中粒子處于定態(tài)，試討論軌道角動量是否有確定值41. (6)寫出中心力場中的粒子的所有守恒量42. (6)試給出氫原子的能級簡并度并與一般中心力場中運動粒子的能級簡并度進(jìn)行比較43. (6)二維、三維各向同性諧振子及一維諧振子的能級結(jié)構(gòu)有何異同，并給出二維、三維各向同性 諧振子能級簡并度。1. .3, 一44. (6)氫原子體系處于狀態(tài)中(r,eW)= R31(r)Y11(HW) +R32(r)Y2(日W),給出L2和Lz22可

7、能取值及取值幾率，并說明該狀態(tài)是否是定態(tài)？為什么？45. (6)氫原子的基態(tài)波函數(shù)具有什么特點？46. (6)分別處于2s、4p、5f狀態(tài)的氫原子的徑向波函數(shù)各有幾個節(jié)點(不包括 r = 0及無窮遠(yuǎn)處的零 點)。47. (6)已知中心力場中運動的粒子哈密頓表示為H?=_-©(r29)+?+V(r)，試列舉出幾種2 Jr2 ：:rFr2Jr2該量子體系力學(xué)量完全集的選取方案。48. (7)什么是正常Zeeman效應(yīng)？寫成與其相應(yīng)的哈密頓量，并指出系統(tǒng)的守恒量有哪些。49. (8)試給出電子具有自旋的實驗依據(jù)50. (8)寫出z表象中 J、仃y和仃z的本征值與本征態(tài)矢51. (8)已知磁

8、場B =B。!？，其中單位矢量 ？=0.8i +0.6k,6為泡利算符，求：(1)泡利算符 6在？方向的投影矩陣；(2)此投影矩陣的本征值和本征態(tài)；(3)在此磁場中運動的電子因自旋引起的附加能量本征值。52. (8)試述旋量波函數(shù)的概念及物理意義53. (8)能否選擇一個表象，該表象下自旋算符的三個分量&,Sy,Sz的表示矩陣都是實矩陣。54. (8)以a和P分別表示自旋向上和自旋向下的歸一化波函數(shù)，寫出兩電子體系的自旋單態(tài)和自旋重態(tài)波函數(shù)(只寫自旋部分波函數(shù))并計及電子的自旋一軌道55. (8)若|心和|戶是氫原子的定態(tài)矢 (電子和質(zhì)子的相互作用為庫侖作用, 耦合項)，試給出|心和|

9、戶態(tài)的守恒量完全集56. (10)若在Ho表象中,H? = H?0+H?f, H0與H?'的矩陣分別為10-0010-0010400000106b.10.10r0.10.2000015J052 )是否可以將H?看作微擾，從而利用微擾理論求解H?的本征值與本征態(tài)？為什么 ？57. (11)利用日nstein自發(fā)輻射理論說明自發(fā)輻射存在的必然性。58. (11)是否能用可見光產(chǎn)生1阿秒(10,8s)的激光短脈沖，利用能量一時間測不準(zhǔn)關(guān)系說明原因。59. (11)試給出躍遷的Fermi黃金規(guī)則(golden rule)公式，并說明式中各個因子的含義。60. (12)在質(zhì)心坐標(biāo)系中，設(shè)入射粒子

10、的散射振幅為f(9),寫出靶粒子的散射振幅，并分別寫出全同玻色子碰撞和無極化全同費米子碰撞的微分散射截面表達(dá)式。、判斷正誤題(請說明理由)1. (2)由波函數(shù)可以確定微觀粒子的軌道2. (2)波函數(shù)本身是連續(xù)的，由它推求的體系力學(xué)量也是連續(xù)的3. (2)平面波表示具有確定能量的自由粒子，故可用來描述真實粒子4. (2)因為波包隨著時間的推移要在空間擴(kuò)散，故真實粒子不能用波包描述5. (2)正是由于微觀粒子的波粒二象性才導(dǎo)致了測不準(zhǔn)關(guān)系6. (2)測不準(zhǔn)關(guān)系式是判別經(jīng)典力學(xué)是否適用的標(biāo)準(zhǔn)7. (2)設(shè)一體系的哈密頓H?與時間t無關(guān)，則體系一定處于定態(tài)8. (2)不同定態(tài)的線性疊加還是定態(tài)9. (

11、3)對階梯型方位勢，定態(tài)波函數(shù)連續(xù)，則其導(dǎo)數(shù)必然連續(xù)10. (3) H?顯含時間3則體系不可能處于定態(tài)，H?不顯含時間t,則體系一定處于定態(tài)11. (3) 一維束縛態(tài)能級必定數(shù)非簡并的12. (3) 一維粒子處于勢阱中，則至少有一條束縛態(tài)13. (3)粒子在一維無限深勢阱中運動，其動量一定是守恒量14. (3)量子力學(xué)中，靜止的波是不存在的15. (3) 8勢阱不存在束縛態(tài)-16. (4)自由粒子的能量本征態(tài)可取為sin kx ,它也是？x =-工C的本征態(tài):x17. (4)若兩個算符有共同本征態(tài)，則它們彼此對易18. (4)在量子力學(xué)中，一切可觀測量都是厄米算符19. (4)如果A,B是厄米

12、算符，其積 尺目不一定是厄米算符20. (4)能量的本征態(tài)的疊加態(tài)仍然是能量的本征態(tài)21. (4)若A,g對易，則 A,t?在任意態(tài)中可同時確定22. (4)若A,B1不對易，則 A,E?在任何情況下不可同時確定23. (4) ?x和Lx不可同時確定24. (4)若A,g對易，則 反的本征函數(shù)必是 目的本征函數(shù)25. (4)對應(yīng)一個本征值有幾個本征函數(shù)就是幾重簡并26. (4)若兩個算符不對易，則它們不可能同時有確定值27. (4)測不準(zhǔn)關(guān)系只適用于不對易的物理量28. (4)根據(jù)測不準(zhǔn)原理，任一微觀粒子的動量都不能精確測定，只能求其平均值29. (4)力學(xué)量的平均值一定是實數(shù)30. (5)體

13、系具有空間反演不變性，則能量本征態(tài)一定具有確定的宇稱31. (5)在非定態(tài)下力學(xué)量的平均值隨時間變化32. ( 5)體系能級簡并必然是某種對稱性造成的33. (5)量子體系的守恒量無論在什么態(tài)下，平均值和幾率分布都不隨時間改變34. (5)全同粒子系統(tǒng)的波函數(shù)必然是反對稱的35. ( 5)全同粒子體系波函數(shù)的對稱性將隨時間發(fā)生改變36. (5)描述全體粒子體系的波函數(shù)，對內(nèi)部粒子的隨意交換有確定的對稱性37. (6)粒子在中心力場中運動，若角動量？z是守恒量，那么 Lx就不是守恒量38. (6)在中心力場 V(r)中運動的粒子，軌道角動量各分量都守恒39. (6)中心力場中粒子的能量一定是簡并

14、的40. (6)中心力場中粒子能級的簡并度至少為21 +1, l =0,1,2，41. (8)電子的自旋沿任何方向的投影只能取為242. (8)兩電子的自旋反平行態(tài)為三重態(tài)三、證明題:1. (2)試由Schr?dinger方程出發(fā)，證明二'' ? 二0,t，其中 ?(r, t)=i *c.c.) 2m2. (3) 一維粒子波函 中(x)數(shù)滿足定態(tài)Schr?dinger方程，若 以(x)、匕(x)都是方程的解,則有51匕'川2中1'=常數(shù)(與x無關(guān))3. (3)設(shè)¥(x)是定態(tài)薛定謂方程對應(yīng)于能量E的非簡并解，則此解可取為實解4. ( 3)設(shè)甲1 (x)

15、和中2 (x)是定態(tài)薛定謂方程對應(yīng)于能量E的簡并解，試證明二者的線性組合也是該定態(tài)方程對應(yīng)于能量 E的解。5. (3)對于6勢壘，V(x) =Y&(x),試證6勢中中'(x)的躍變條件2 d26. ( 3)設(shè)甲(x)是定態(tài)薛定謂方程I-d= +V(x) W (x) = E中(x)的一個解，對應(yīng)的能量為 E , 2m dx2試證明中* (x)也是方程的一個解，對應(yīng)的能量也為E7. (3) 一維諧振子勢場 m62x2/2中的粒子處于任意的非定態(tài)。試證明該粒子的位置概率分布經(jīng)歷 一個周期2元/切后復(fù)原。V1 ,x ： a8. (3)對于階梯形方勢場 V(x) = |，若(V2 -Vi

16、)有限，則定態(tài)波函數(shù) 中(x)及其V2x a導(dǎo)數(shù)中(x)必定連續(xù)。9. (3)證明一維規(guī)則勢場中運動的粒子，其束縛態(tài)能級必定是非簡并的10. (4)證明定理：體系的任何狀態(tài)下，其厄米算符的平均值必為實數(shù)11. (4)證明定理：厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交12. (4)證明：在定態(tài)中幾率流密度矢量與時間無關(guān)二 213. (4)令？：=/2£y，試證？2為厄密算符二 x14. (4)試證T?= ?2/2m為厄密算符di? 。？15. (4)設(shè)U?(t)是一個幺正算符且對t可導(dǎo)，證明H?(t)=濁9又1?是厄米算符。dt16. (4)已知A和國是厄米算符，證明(A+B?)和區(qū)

17、2也是厄米算符17. (4)試證明：任何一個力學(xué)量算符在它以自己的本征矢為基矢的表象中的表示為對角矩陣18. (4)試證明x表象中？算符的矩陣元是(p)x,x" = i左土 6(x'x")ex'19. (4)試證明p表象中x算符的矩陣元是(x)p，p" =i方£&(p'-p")20. (4)若厄米算符 A白具有共同本征函數(shù)，即 ? .=人中心 覬nOt=Bn中皿，而且構(gòu)成體系 狀態(tài)的完備函數(shù)組，試證明 A B = 021. (4)若 Q(x); n =1,2,構(gòu)成完備基組，證明：8(x-x)=£ 中；(

18、x)Q(x)n22. (4)證明兩個線性算符之和仍為線性算符23. (4)設(shè)算符F? = AB?, AB?-BA=1,若邛為F的本征函數(shù)，相應(yīng)的本征值為w,求證十三A邛和中三Ae也是F?的本征函數(shù)，并求出相應(yīng)的本征值。24. (4)試證明中(xyz) = x十y+z是角動量平方算符l?2屬于本征值2元2的本征函數(shù)。25. (4)試證明表象變換并不改變算符的本征值26. (4)證明對易關(guān)系 ?x ,'-' ( x):-i ；x27. (4)證明在12的本征態(tài)下lx =ly =028. (4)設(shè)粒子處于YmgW胖態(tài)下，證明("x f =("y f =1 1(1

19、+1)m2米229. (4)證明諧振子的零點能E0 = 2 %是測不準(zhǔn)關(guān)系 AxP-2的直接結(jié)果。30. (4) 一維體系的哈密頓算符具有分立譜，證明該體系的動量在能量本征態(tài)中的平均值等于零31. (4)如果厄米算符 A對任何矢量|u> ,有<u|A|u>三0,則稱A為正定算符。試證明算符 A=|a><a| 為厄米正定算符32. (5)設(shè)全同二粒子的哈密頓量為H?(1,2),波函數(shù)為中(1,2),試證明交換算符 g2是個守恒量33. (5)證明在定態(tài)下，任意不顯含時間t力學(xué)量A取值幾率分布不隨時間改變。34. (5)設(shè)力學(xué)量A是守恒量，證明在任意態(tài)下A的取值概率分

20、布不隨時間改變。35. (5)證明：量子體系的守恒量，無論在什么態(tài)下，平均值不隨時間改變。36. (5)試證在一維勢場 V(x)中運動的粒子所受勢壁的作用力在束縛定態(tài)中的平均值為0 (提示：利i -用對勿關(guān)系H?,x = i?x)37. (5)設(shè)系統(tǒng)的哈密頓量為H?,厄米算符A與H?對易。i證明dA=0,其中AA是A的均方根偏dt差，即 Mk(A-<Aa)2 >/2 ,式中尖括號表示求平均值。38. (5)如果A, H?=民H = 0 ,但A, B? # 0 ,試證明H?的本征值必有簡并。39. (5)粒子在對數(shù)函數(shù)型勢場中運動，V(r) =C1n(r/r0),其中常數(shù)C>。

21、/。>0。試?yán)肰irial定理證明：各束縛態(tài)的動能平均值相等。40. (5)試根據(jù)力學(xué)量平均值表達(dá)式F= fP*(x,t)FW(x,t)dx證明力學(xué)量平均值隨時間的變化為dF：?1 .=+ J氏H?,其中H?為體系的哈密頓dt：:ti41. (4、5)證明：宇稱算符的本征函數(shù)非奇即偶:,|x|b42.(5)設(shè)粒子處在對稱的雙方勢阱中V (x)=0 a <| x |< bVo| x k：a(1)在V0T g情況下求粒子能級，并證明能級是雙重簡并;(2)證明Vo取有限值情況下，簡并將消失。43.(5、6)證明在氫原子的任何定態(tài)wn1m (r, e,中)中，動能的平均值等于該定態(tài)

22、能量的負(fù)值，即2 ? /2.nim-En44.(6)已知中心力場中運動的粒子哈密頓表示為-2-仔H? = 2 c (r2C)+ L2+V(r),證明中心2r2開±2日r245.力場中運動的粒子角動量守恒(8)證明Pauli算符各個分量的反對易關(guān)系46.(8)若電子處于 SZ的本征態(tài)。試證在此態(tài)中,Sy取值九/2或方/2的概率各為1/2。47.(8)設(shè)有兩個電子，自旋態(tài)分別為 工=10>0cos-e2Qsin e2上.72i 1/2。證明兩個電子處于自旋單態(tài)(S=0)和三重態(tài)(S=1)的幾率分別為 a二一(1 - cos 一),2212 1、 b = (1 cos 一)2248.

23、(10)在一定邊界條件下利用定態(tài)薛定謂方程求解體系能量本征值與變分原理等價。49. .1i;(12)已知在分波法中 f(8)= Z(2l +1)e "sin a P (cos日)k l=0- 4.二i .=工、2l +1e°sin6lY0(9), ki =0四、計算題:1. (2)2. (3)據(jù)此證明光學(xué)定理。設(shè)一維自由粒子的初態(tài)為 中(x,0)=eik°x,求中(x,t)。質(zhì)量為m的粒子在一維無限深方勢阱中運動，勢阱可表示為V x = 0;x°,ap"' x :二 0, x a(1)求解能量本征值 En和歸一化的本征函數(shù) 中n(x)；

24、1.(2)若已知t=0時，該粒子狀態(tài)為¥(x,0 )=.(中1(x)+2(x),求t時刻該粒子的波函數(shù);(3)求t時刻測量到粒子的能量分別為 E1和E2的幾率是多少?(4)求t時刻粒子的平均能量E和平均位置x o3.(3)粒子在一維6勢阱中運動V(x) = -a5(x) (a > 0),求粒子的束縛定態(tài)能級與相應(yīng)的歸一化波函數(shù)。4.(3)設(shè)有質(zhì)量為 m的粒子(能量E >0)從左入射，碰到d勢壘V(x)=%(x)(常數(shù)Y >0),試推導(dǎo)出6勢中中'的躍變條件。5.(3)質(zhì)量為m的粒子，在位勢 V(x)= ct&(x)+V(豆<0)中運動，其中x

25、0V。0a.b.6.(3)一個質(zhì)量為m的粒子在一維勢場 V(x)=(X)| x L a | |,求波函數(shù)滿足的方程及連續(xù)性|x|< a0 V =V0試給出存在束縛態(tài)的條件，并給出其能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)；給出粒子處于x>0區(qū)域中的幾率。它是大于1/2,還是小于1/2,為什么?條件，并給出奇宇稱能量本征波函數(shù)及相應(yīng)的本征能量。7.(3)質(zhì)量為m的粒子在一維勢場 V(x)= <0| x卜a中運動。求|x| a粒子的定態(tài)能量 En與歸一化的波函數(shù) 中n(x)；粒子在態(tài)中n(x)上的位置平均值8.(3)如圖所不，一電量為 -q質(zhì)量為m的帶電粒子處在電量為 +Q固定點電荷的強(qiáng)電場中

26、，并被約束在一直線AB上運動，+Q到AAB的距離為a,由于+Q產(chǎn)生的電場很強(qiáng),-q只能在平衡位置O附近振動，即a遠(yuǎn)大于粒子的運動范圍,設(shè)平衡位置。為能量參考點，試求體系可能的低能態(tài)能級。9.(3) 一電量為-q質(zhì)量為m的帶電粒子處在強(qiáng)度為E的均勻強(qiáng)電場中，并被約束在一半徑為 R的圓弧上運動,電場方向如圖所示,由于電場很強(qiáng)， -q只能在平衡位置 。附近振動，即 R遠(yuǎn)大于粒子的運動范圍，設(shè)平衡位置O為能量參考點，試求體系可能的低能態(tài)能級。10. (3) 一維諧振子處于基態(tài) 中0 (x) =1 2 2一晨x e 2,求諧振子的2 21)平均值X ; 2)平均值p ; 3)動量的幾率分布函數(shù)。2(U)

27、(提示： X0neJKx dx =12, K >0, r函數(shù)滿足遞推關(guān)系:n 1K萬1r(z +1)=z(z),=1,(2)=石11.12.(3)把傳導(dǎo)電子限制在金屬內(nèi)部的是金屬內(nèi)勢的一種平均勢, 對于下列一維模型(如圖)V(x) =-V0 ,x :二 00 ,x 0試就(1) E >0, (2) V0 < E <0兩種情況計算接近金屬表面的傳導(dǎo)電子的反射和透射幾率。(3、4)設(shè)t =0時，質(zhì)量為 m、頻率為0的諧振子處于(x, c) = Ae2 ：2 x2(cos ：)H 0(： x)sin :2*2H 2(： x)f . >1/2狀態(tài)，其中A, P是實常數(shù)，a

28、 = (7 J , H n(ax)是厄米多項式。(1)求歸一化常數(shù)A ;(2)求t時刻體系的狀態(tài) 中(x, t)；(3)求t時刻位置的平均值 x(t);(4)求諧振子能量取值及相應(yīng)幾率13.14.(3)設(shè)一維粒子由x =-必處以平面波Win =e曲入射，在原點處受到勢能 V(x)=V06(x)的作用。(1)寫出波函數(shù)的一般表達(dá)式；(2)確定粒子在原點處滿足的邊界條件；(3)求出該粒子的透 射系數(shù)和反射系數(shù)；(4)分別指出V0 >0與V0父0時的量子力學(xué)效應(yīng)。(3、4、5)設(shè)一維線性諧振子處于基態(tài)(1)求 <x >, < ?x >(2)寫出本征能量 E ,并說明它反

29、映微觀粒子的什么性質(zhì)A A xxx = x< x 2 A - <x >2(3)利用位力定理證明：AxApx ="/2,其中S;22Px :?x- ?x15. (4)設(shè)一維諧振子能量本征函數(shù)為Tn。試?yán)眠f推公式X呼n =2 J"1中n中十JnPn 1求諧f 21 2；振子坐標(biāo)在能量表象中的矩陣表示16. (4、5) 一維諧振子t =0時處于基態(tài) 中0和第一激發(fā)態(tài) 中1的疊加態(tài)11-(x,0) 三丁(:0(x)1-1( x)7 212 2-x 其中中0(x)= N0e 2,_1 -2x21(x) = N1e 22： x(1)求t時刻位置和動量的平均值<

30、 x At, < p>t;(2)證明對于一維諧振子的任何狀態(tài)，t時刻位置和動量的平均值有關(guān)系;d1<x>t= <pt； dtm(3)求t時刻能量的平均值H t17. (4)設(shè)體系處于 中=c1Y10 +c2Y21狀態(tài)(已歸一化，即|G |2 +|c2 |2=1)。求?z的可能測值及平均值；儼的可能測值及相應(yīng)的幾率。1 i18. (4)設(shè)一量子體系處于用波函數(shù)中(0 ) = (e °sinQ + cos6)所描述的量子態(tài)中。試求一 4 二(1)在該態(tài)下 E的可能測值和各個值出現(xiàn)的幾率；(2) ?的平均值19.(6) t =0時氫原子的波函數(shù)為 中(r,0)

31、=二2中100 ' 210' 21-；211 3,-; 21 。忽略自旋和,10躍遷。、 一、一一 .一2.一.一- .(1)寫出系統(tǒng)能量、角動量平方 L及角動量z分量Lz的可能測值(表示成基本物理的函數(shù)即可)；(2)上述物理量的可能測值出現(xiàn)的幾率和期望值；(3)寫出t時刻的波函數(shù)。、A B 一 ，,一20. (6)求勢場V(r)=-中的粒子的能級和定態(tài)波函數(shù)(A,B>0 )r r21. (7、8)設(shè)有一個定域電子，受到沿X方向均勻磁場 B的作用，Hamiltonian量(不考慮軌道運動)eB eB-mc 2mc表為H? =Sx =bx。設(shè)t =0時電子自旋“向上&quo

32、t; (Sz=)，求t>0時8的平均值。22. (8)假設(shè)一個定域電子(忽略電子軌道運動)在均勻磁場中運動，磁場B沿z軸正向，電子磁矩e 4在均勻磁場中白勢能為：V= H B,其中U = gs二一s, ( gs = 2)為電子的磁矩，自旋用2me泡利矩陣?=46表示。(1)求定域電子在磁場中的哈密頓量，并列出電子滿足的薛定渭方程:力4(2)假設(shè)t=0時，電子自旋指向X軸正向，即0=也，求1>0時，自旋S的平均值;(3)求t >0時，電子自旋指向 y軸負(fù)向，即sy =1的幾率是多少?223. (8)自旋S = : ,并具有自旋磁矩 M? =N0§的粒子處于沿 x方向的

33、均勻磁場 B中。已知t=0時, 粒子的Sz =2 ,求在以后任意時刻發(fā)現(xiàn)粒子具有Sy =±1的幾率。24. (8)在SZ表象中求自旋角動量在 (sin HcosQ sinHsin邛，cosH)方向的投影Sn =摟 sin 1 cos S? sin 1 sin Sz costin xyz的本征值和所屬的本征函數(shù)。12225. (8)兩個自旋為1/2的粒子，在(與z, s2z)表象中的表示為o r ,其中，叫是第i個粒子自旋向上的幾率，|也2是第i個粒子自旋向下的幾率。a.求哈密頓量H? =丫0(。做。2丫 一仃1丫仃2*)的本征值和本征函數(shù)(Vo為一常數(shù))；b.t=0時，體系處于態(tài) %

34、 =92 =1尸2 = 01 = 0,求t時刻發(fā)現(xiàn)體系在態(tài) 5 =日2 =0。2 = 3=1 的幾率(注：仃ix,iy為第i個粒子泡利算符的x,y分量)26. (8)考慮由兩個自旋為 1的粒子組成的體系，總自旋 §=?+8，求總自旋的平方及z分量(S2,Sz)的共同本征態(tài)，并表示成 ？和§本征函數(shù)乘積的線性疊加(取 ？=1)。11 -27. (8) 一束自旋為一的粒子進(jìn)入Stern-Gerlach裝置SG (I)后被分成兩束，去掉其中sz=-"的一2束穿過SG (II)后又被分為兩束，求這兩束粒子的相對數(shù)目之比。束，另一束(Sz = 一工方)進(jìn)入第二個 SG (I

35、I), SG (I)與SG (II)的夾角為a。則粒子28. (8)試求 同表象中 氧的矩陣表示29. (8)自旋為1/2的粒子，其自旋角動量算符和動量算符分別為§和P?。令| Px，Py, Pz，±1/2>為PX, Py, Pz和Sz的共同本征態(tài)，其本征值分別為px, Py, Pz和±介/2 ,算符A= §戶。試問：(1) A是否為厄米算符？在以| Px，Py, Pz，±1/2 A為基的空間中，A?的矩陣形式如何？(2) A的本征值是什么？求出 風(fēng)匕當(dāng)月的共同本征函數(shù)系30. (8)對自旋為1/2的粒子，Sy和Sz是自旋角動量算符，求

36、H? = A§y + BSz的本征函數(shù)和本征值(A與B是實常數(shù))31. (8)電子處于沿y軸方向的均勻恒定磁場 B中，t=0時刻在Sz表象中電子的自旋態(tài)為一.COS" ,-(0)=,不考慮電子的軌道運動。2")(1)求任意t>0時刻體系的自旋波函數(shù) 之(t)；(2)在t時刻電子自旋各分量的平均值；(3)指出哪些自旋分量是守恒量，并簡述其理由。32. (8)考慮兩個電子組成的系統(tǒng)。它們空間部分波函數(shù)在交換電子空間部分坐標(biāo)時可以是對稱的或 是反對稱的。由于電子是費米子，整體波函數(shù)在交換全部坐標(biāo)變量(包括空間部分和自旋部分) 時必須是反對稱的。* * W(1)假設(shè)

37、空間部分波函數(shù)是反對稱的，求對應(yīng)自旋部分波函數(shù)?？傋孕惴x為：S = s1 + s2o求：S2和Sz的本征值；(2)假設(shè)空間部分波函數(shù)是對稱的，求對應(yīng)自旋部分波函數(shù)，S2和Sz的本征值；(3)假設(shè)兩電子系統(tǒng)哈密頓量為：H =j3 12,分別針對(1) (2)兩種情形，求系統(tǒng)的能量。133. (8)兩個電子處在自旋單態(tài)00)= 2蟲1用(2)-P(1)ot(2)中，其中a、P分別是自旋算符Sz =亢/2和Sz =-左/2的單粒子自旋態(tài)。(1)試證明：7(00)是算符 憲 的本征態(tài)(？1和？2分別是兩個單電子的自旋算符)；(2)如果測量一個電子的自旋 z分量，得Sz =2,那么測量另一個電子的

38、自旋Sz =*/2的概率是多少？(3)如果測量00)態(tài)的一個電子的自旋 Sy,測量結(jié)果表明它處在 Sy=方/2的本征態(tài)，那么再34.35.測量另一個電子自旋 x分量，得到Sx =-左/2的概率是多少？(8)由兩個非全同粒子組成的體系，二粒子自旋均為方/2,不考慮軌道運動，粒子間相互作用可寫作H? =A§設(shè)初始時刻(t =0)粒子1自旋朝上(Siz =1/2),粒子2自旋朝下(5 = 1/2)。求 t 時刻(1)粒子1自旋向上的概率;(2)粒子1和2自旋均向上的概率;(3)總自旋為0和1的概率(8)質(zhì)量為m的一個粒子在邊長為 a的立方盒子中運動，粒子所受勢能V(x, y,z)由下式給出

39、:2”0，a；y0，a；Z 0，a廠,others(i)列出定態(tài)薛定謂方程，并求系統(tǒng)能量本征值和歸一化波函數(shù);(ii)假設(shè)有兩個電子在立方盒子中運動，不考慮電子間相互作用，系統(tǒng)基態(tài)能是多少？并寫出歸一化系統(tǒng)基態(tài)波函數(shù)(提示：電子自旋為 2,是費米子)；(iii)假設(shè)有兩個玻色子在立方盒子中運動，不考慮玻色子間相互作用，系統(tǒng)基態(tài)能是多少?36.(2、4、6、8)已知 t=0 時，氫原子的波函數(shù)為皆(r,Sz,t = 0)=1 12_2i3< 2100(r)211 (r )并寫出歸一化系統(tǒng)基態(tài)波函數(shù)。nlm(r) =Rn.(r)Ym(eW)滿足歸一化條件W nlm(F) |2 d3r = 1

40、。試(1)寫出任意t時刻的波函數(shù) 中(F,sz,t)求能量E、軌道角動量L2和？z、自旋Sz的可能取值和相應(yīng)的幾率以及平均值(3)計算t時刻自旋分量 Sx的平均值Sxh(4)寫出t時刻電子處在以原子核為球心，半徑為 R的球體積內(nèi)，且 Sz =一的幾率的表達(dá)2式37.(6、10)粒子處在無限深球方勢阱中(1)求其徑向波函數(shù)Rnr,0(r)和能量本征值Enr,0； (2)今加上一微擾V'=q(8為小量)，求能量一級修正值(只求第一激發(fā)態(tài)nr =1的結(jié)果)。38. (6、10) 一維無限深方勢阱(0 < x < a)中的粒子受到微擾xH?' = A cos (0 ： x

41、： a)a的作用，其中 A為常數(shù)。求基態(tài)能量的二級近似與波函數(shù)的一級近似。d212 239. ( 3、10) 一維諧振子的哈密頓為H?0 = -2 + mo x，右再加上一個外場作用2m dx 2H?'=ax (a «1),使用微擾論計算體系的能量到二級修正，并與嚴(yán)格解比較。H?040. (10)有一兩能級體系，哈密頓量為H? = H?0 +卬，在H?。表象中，卬0和H?表示為1 0JH?'為微擾，b表示微擾程度，試求 H?的本征值和本征態(tài)。1 c 0、41. (10)設(shè)Hamilton量的矩陣形式為：H = c 302 0 c-27(1)設(shè)c<<1,應(yīng)用

42、微擾論求 H本征值到二級近似；(2)求H的精確本征值；(3)在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。42. ( 10)設(shè)在表象H?0中,H? = H?0+H?，H0與微擾HT的矩陣為i"?0= E02J011、H?' = c 1 0 1J 1 2,其中E。與2E。分別是基態(tài)與激發(fā)態(tài)的零級近似能量，c是微小量。(1)求基態(tài)的一級近似能量與零級近似態(tài)矢(2)激發(fā)態(tài)的二級近似能量與一級近似態(tài)矢。N00、43. (10)已知系統(tǒng)哈密頓量為H0= 0?0 ,<00%44. ( 10)設(shè)粒子在二維無限深勢阱V (x, y)0 a 0、H '= a 0 b。用微擾法求能量至二級修正。&

43、lt;0 b 0,0 0 < x, y < a二 中運動，設(shè)加上微擾00 otherwhereH?i =兒xy (0 < x, y < a)。求基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的一階能量修正。45.(10)一個取向用角坐標(biāo)e和中 確定的轉(zhuǎn)子作受礙轉(zhuǎn)動，用下述哈密頓描述：用一級微擾論計算系統(tǒng)的H? = Al? + B亢2 c o費)，式中A和B均為常數(shù)，且A» B , I?是角動量平方算符。試p能級(1=1)的分裂，并算出微擾后的零級近似波函數(shù)。46.(3、10)對于一維諧振子，取基態(tài)試探波函數(shù)形式為47.與嚴(yán)格解進(jìn)行比較。(3、10) 一維無限深勢阱加上如圖所示的微擾, 勢函

44、數(shù)為V (x) = a i0°(Vo為小量)0 : x :二 ax <0 或 x > a48.試用微擾論求基態(tài)能量本和波函數(shù)至一級近似。(10)氫原子處于基態(tài)：沿 z方向加一個均勻弱電場九為參數(shù)。用變分法求基態(tài)能量，并則Oa名，視電場為微擾。求電場作用后的基態(tài)波函,平均電矩和電極化系數(shù)(不考慮自旋)49.(10)考慮體系 H? =T +V(x),且 V(x)=Ax (A 0)a.利用變分法，取試探波函數(shù)為 里i(x)求基態(tài)能量上限;-x2b.我們知道，如試探波函數(shù)為中2(x)=)1/22xe玄2 ,則基態(tài)能量上限為b2. 281 1/3/ A h 1/3E2 =(一)()

45、。對這兩個基態(tài)的能量上限，你能接受哪一個？為什么?4 二 m50.( 10)以中=e32為變分函數(shù)，式中久為變分參數(shù)，試用變分法求一維諧振子的基態(tài)能量和波函51. ( 10)質(zhì)量為已知°，XG >0 o(1)用變分法計算基態(tài)能量時，在 么？z A0區(qū)域內(nèi)的試探波函數(shù)應(yīng)取下列波函數(shù)中的哪一個？為什(a) zz 2,(b) e-'z(c) zez,(d )sin£z(2)算出基態(tài)能量。(2) 設(shè)該諧振子在=0時處于基態(tài)|0>,并開始受微擾H '= x2e ” kt的作用。求經(jīng)過充分長時 "n -z .n!提不：必要時可利用積分公式：zn e

46、dz = Fo：他 x < 052. (10)質(zhì)量為 m的的粒子在勢場 V(x)=12(C >0)中運動。Cx , x >0(1)用變分法估算粒子基態(tài)能量，試探波函數(shù)取中(x) = AxeTx,工為變分參量。(2)它是解的上限，還是下限？將它同精確解比較。n x n!、(附：積分公式 0 xne-蹬dx =F )a53. (10) (1)設(shè)氫原子處于沿 z方向的均勻靜磁場 B = Bk中，不考慮自旋，在弱磁場下，求 n = 2能級的分裂情況；(2)如果沿z方向不僅有靜磁場 B = Bk ,還有均勻靜電場 E = %k ,再用微 擾方法求n = 2能級的分裂情況(取到一級近似，

47、必要時可以利用矩陣元 <200| z1210 k -3a )。"10、54. (11)設(shè)體系的Hamilton量為H = %,頻率6是實常數(shù)。<0 1；(1)求體系能量的本征值和本征函數(shù)；,-1 m 一， (2)如果t =0時體系處于一二I狀態(tài)，求t >0時體系所處的狀態(tài);<2 "上 b 一 - _/0 n(3)如果t =0時體系處于基態(tài)，當(dāng)一個小的與 t有關(guān)的微擾H '= eW 0；在t =0時加上后，求tTg時體系躍遷的激發(fā)態(tài)的幾率55. (11)設(shè)|n >(n =1,2,3,)為一維諧振子的能量本征函數(shù)，且已知1 . : n +1

48、nx 1nx J-| n +1a+«|n -1 > ,a I 22 2間(tT比)以后體系躍遷到|2 a態(tài)的幾率56. (11)中微子振蕩實驗發(fā)現(xiàn)：電子中微子可以轉(zhuǎn)變?yōu)榭娮又形⒆?。我們用波函?shù)|11表示電子中微子，2)表示繆子中微子，用非對角項不為零的2 x 2矩陣表示哈密頓量，計算表明中微子將在電子中微子態(tài)|1)和繆子中微子態(tài) 2間振蕩。假設(shè):為：,> = a1)+b 2), Ja2 +b2 =1,中微子哈密頓量的矩陣表示:一一,中微子波函數(shù)可表不g gH =(，其中名和g都是實數(shù)；波函數(shù)隨時間的演化滿足薛定渭方程：H中)=中卅)(1)中微子哈密頓的本征方程是H W=九

49、y,求對應(yīng)本征值和歸一化本征矢量;(2)假設(shè)t =0時，全部是電子中微子：卜(0) =1)；證明t =t時，中微子波函數(shù)是,'(t)/ gt、 cos()./ gt、 -ism()(3)求t =t時電子中微子轉(zhuǎn)變?yōu)榭娮又形⒆拥膸茁?7. (11)基態(tài)氫原子處于平行板電場中，若電場是均勻的且隨時間按指數(shù)下降，即0,當(dāng)tE0苫oe,；當(dāng)t至0(為大于零的參數(shù))求經(jīng)過長時間后氫原子處在2P態(tài)的幾率。58. (11) 一個定域(空間位置不動)的電子處于z方向強(qiáng)磁場Bz中，自旋朝下(z軸負(fù)方向)。此時加上一個y方向交變?nèi)醮艌?Bycost),其頻率切可調(diào)。自旋朝上與朝下的能量差可寫成瓦00。在8

50、。定3 » 1的條件下，用微擾方法求出很短時間七后粒子自旋朝上的幾率。59. (12)帶有電荷q的一維諧振子在光照下發(fā)生躍遷。(1)給出電偶極躍遷的選擇定則；(2)設(shè)照射光的強(qiáng)度為I (。)，計算振子由基態(tài)到第一激發(fā)態(tài)的躍遷速率(如必要，可利用遞推公式 x*(x) =(&n(x) +n21f n+(xj 進(jìn)行計算)。2. 260 .(12)質(zhì)量為R的高能粒子被中心力勢 V(r) = Ae, ' (A> 0,a a 0)散射，求散射微分截面仃(外和總截面仃t。r /a61 .(12)用玻恩近似法求粒子在勢能U(r)=-U0e ,a > 0 ,時的微分散射截面

51、。:L_-mx2mn提示：必要時可用積分公式x xe sin nxdx一一2.22，m>00(m n )62 . (12)試用玻恩近似公式計算庫侖散射的微分截面仃(日)，庫侖勢為V (r)=",入射粒子質(zhì)量為k ,1速度為v, a為實數(shù)。提不：必要時可用積分公式：fsinqrdr =-oq部分解答:42.證明：由于V(-x)=V(x),故能量本征態(tài)有確定的宇稱，并有邊界條件 中(x) = 0, | x |> b o這里只對偶宇稱態(tài)進(jìn)行討論，并令Vo . E, k = ,2E/一, = 21(VoE)/'能量本征方程可以寫為卻"o |x|<a丫 ''+k2V=o a <| x |< b其解容易求出為;二-ex e-x |x|；a2=Asin k(b 二 x) a ：| x | ： b,-''根據(jù)x=a處一的連續(xù)條件，可得出能量方程 Vx _xe -ek cot k(b - a) = - th 其中 th x =-xxe e(1) 當(dāng) Vo t 時，匕 t 0 ,從而有 cot k(b 一 a) = -°0k(b a) = nn 由此得出能量本征值22 ；2n 二En -n 2(b-a)2b ix此能級對應(yīng)波函數(shù) v n = Asin nn a <