高一數(shù)學競賽 抽屜原理專題培訓

1、抽屜原理把八個蘋果任意地放進七個抽屜里，不論怎樣放，至少有一個抽屜放有兩個或兩個以上的蘋果。抽屜原則有時也被稱為鴿巢原理，它是德國數(shù)學家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數(shù)論中的問題，因此，也稱為狄利克雷原則。它是組合數(shù)學中一個重要的原理。把它推廣到一般情形有以下幾種表現(xiàn)形式。形式一：證明：設把n1個元素分為n個集合A1，A2，An，用a1，a2，an表示這n個集合里相應的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個ai大于或等于2（用反證法）假設結論不成立，即對每一個ai都有ai2，則因為ai是整數(shù)，應有ai1，于是有：a1a2an111nn1這與題設矛盾。所以，至少有一個ai2，即必有一個集合中含有

2、兩個或兩個以上的元素。形式二：設把n·m1個元素分為n個集合A1，A2，An，用a1，a2，an表示這n個集合里相應的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個ai大于或等于m1。（用反證法）假設結論不成立，即對每一個ai都有aim1，則因為ai是整數(shù)，應有aim，于是有：a1a2anmmmn·m n個mn·m1這與題設相矛盾。 所以，至少有存在一個aim1高斯函數(shù)：對任意的實數(shù)x,x表示“不大于x的最大整數(shù)”.例如：3.53，2.92，2.53，77，一般地，我們有：xxx1形式三：證明：設把n個元素分為k個集合A1，A2，Ak，用a1，a2，ak表示這k個集合里相應的元素

3、個數(shù)，需要證明至少存在某個ai大于或等于n/k。（用反證法）假設結論不成立，即對每一個ai都有ain/k，于是有：a1a2akn/k+n/k+n/k k個n/kk·n/kk·(n/k)n a1a2akn這與題設相矛盾。 所以，必有一個集合中元素個數(shù)大于或等于n/k形式四：證明：設把q1q2qnn1個元素分為n個集合A1，A2，An，用a1，a2，an表示這n個集合里相應的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個i，使得ai大于或等于qi。（用反證法）假設結論不成立，即對每一個ai都有aiqi，因為ai為整數(shù)，應有aiqi1，于是有：a1a2anq1q2qnn q1q2qnn1這與題設

4、矛盾。所以，假設不成立，故必有一個i,在第i個集合中元素個數(shù)aiqi形式五： 證明：（用反證法）將無窮多個元素分為有限個集合，假設這有限個集合中的元素的個數(shù)都是有限個，則有限個有限數(shù)相加，所得的數(shù)必是有限數(shù)，這就與題設產生矛盾，所以，假設不成立，故必有一個集合含有無窮多個元素。例題：400人中至少有兩個人的生日相同.分析：生日從1月1日排到12月31日，共有366個不相同的生日，我們把366個不同的生日看作366個抽屜，400人視為400個蘋果，由表現(xiàn)形式1可知，至少有兩人在同一個抽屜里，所以這400人中有兩人的生日相同.解：將一年中的366天視為366個抽屜，400個人看作400個蘋果，由抽

5、屜原理的表現(xiàn)形式1可以得知：至少有兩人的生日相同.例題：邊長為1的正方形中，任意放入9個點，求證這9個點中任取3個點組成的三角形中，至少有一個的面積不超過1/8.解：將邊長為1的正方形等分成邊長為的四個小正方形，視這四個正方形為抽屜，9個點任意放入這四個正方形中，據(jù)形式2，必有三點落入同一個正方形內.現(xiàn)特別取出這個正方形來加以討論.把落在這個正方形中的三點記為D、E、F.通過這三點中的任意一點（如E）作平行線，如圖可知：SDEFSDEGSEFG×hGFCDE例題：任取5個整數(shù)，必然能夠從中選出三個，使它們的和能夠被3整除.證明：任意給一個整數(shù)，它被3除，余數(shù)可能為0，1，2，我們把被

6、3除余數(shù)為0，1，2的整數(shù)各歸入類r，r1，r2.至少有一類包含所給個數(shù)中的至少兩個.因此可能出現(xiàn)兩種情況：°.某一類至少包含三個數(shù)；°.某兩類各含兩個數(shù)，第三類包含一個數(shù).若是第一種情況，就在至少包含三個數(shù)的那一類中任取三數(shù)，其和一定能被3整除；若是第二種情況，在三類中各取一個數(shù)，其和也能被3整除.綜上所述，原命題正確.例題：九條直線中的每一條直線都將正方形分成面積比為23的梯形，證明：這九條直線中至少有三條經過同一點.證明：如圖，設PQ是一條這樣的直線，作這兩個梯形的中位線MN這兩個梯形的高相等它們的面積之比等于中位線長的比，即|MH|NH|點H有確定的位置（它在正方形

7、一對對邊中點的連線上，并且|MH|NH|）.由幾何上的對稱性，這種點共有四個，即，圖中的H、J、I、K.已知的九條適合條件的分割直線中的每一條必須經過H、J、I、K這四點中的一點.把H、J、I、K看成四個抽屜，九條直線當成個蘋果，即可得出必定有條分割線經過同一點.例題：某校派出學生204人上山植樹15301株，其中最少一人植樹50株，最多一人植樹100株，則至少有5人植樹的株數(shù)相同.證明：按植樹的多少，從50到100株可以構造51個抽屜，則個問題就轉化為至少有5人植樹的株數(shù)在同一個抽屜里.(用反證法)假設無人或人以上植樹的株數(shù)在同一個抽屜里，那只有人以下植樹的株數(shù)在同一個抽屜里，而參加植樹的人數(shù)為204人，所以，每個抽屜最多有4人，故植樹的總株數(shù)最多有：4(5051100)4×1530015301得出矛盾.因此，至少有人植樹的株數(shù)相同.練習：1邊長為1的等邊三角形內有5個點，那么這5個點中一定有距離小于0.5的兩點.2邊長為1的等邊三角形內，若有n21個點，則至少存在2