線性規(guī)劃解決實(shí)際問題專項(xiàng)練習(xí)

1、冬 1屯十十0?2M-x0,260-7 0,x-hj Z80,x、y應(yīng)滿足hg-X+S0r)U6。,作出上面的不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖7-22.圖722設(shè)直線x+ y= 280與y= 260的交點(diǎn)為M ,貝U M(20, 260).把直線l : 0.5x+ 0.8y = 0向上平移至經(jīng)過平面區(qū)域上的點(diǎn)M時(shí)，z的值最小.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(20, 260),甲煤礦生產(chǎn)的煤向東車站運(yùn)20萬噸，向西車站運(yùn)180萬噸，乙煤礦生產(chǎn)的煤全部運(yùn)往東車站時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最少.例2制造甲、乙兩種煙花，甲種煙花每枚含A藥品3g、B藥品4g、C藥品4 g,乙種煙花每枚含A藥品2 g、B藥品11 g、C藥品6 g.每天原料

2、的使用限額為A藥 品120 g、B藥品400 g、C藥品240 g.甲煙花每枚可獲利2美元，乙種煙花每枚可獲利1美元，問每天應(yīng)生產(chǎn)甲、乙兩種煙花各多少枚才能獲利最大.4工+1項(xiàng)400, 4工 +M 240,解：設(shè)每天生產(chǎn)甲種煙花x枚，乙種煙花y枚，獲利為z元，那么D二作出可行域，如圖7-23所示.目標(biāo)函數(shù)為：z= 2x+ y.作直線l: 2x+ y = 0,將直線l向右上方平移至li的位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A4xr6y-2.40=0 Jx=24且與原點(diǎn)的距離最大.此時(shí)z=2x+y取最大值.解方程組&+2了-120=。得= 24答：每天生產(chǎn)甲種煙花24枚、乙種煙花24枚，能使利潤總

3、額到達(dá)最大.點(diǎn)評(píng)：把實(shí)際問題抽象為線性規(guī)劃問題是解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的關(guān)鍵.即根據(jù)實(shí)際問題找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是解應(yīng)用問題的關(guān)鍵.例1可用圖示法找約束條件和目標(biāo)函數(shù)，如例2可用列表去找，如：種類A(g)他C(g)1甲種煙花344乙神煙花H【隨堂訓(xùn)練】工+屏5 2x-y01.圖中陰影局部的點(diǎn)滿足不等式組U，在這些點(diǎn)中，使目標(biāo)函數(shù)k= 6x +8y取得最大值的點(diǎn)的坐標(biāo)是解析：當(dāng)x 0, 1時(shí), 即y5 x,代入k= 6x+ 8y得：k 40 - 2x,當(dāng)x = 0, y = 5時(shí)，k最大為40.當(dāng)x 1, 3時(shí)，2x+ y 6,x+ yv 5,即y 6- 2x代入k = 6x+ 8y得：k 48

4、- 10 x,當(dāng)x = 1, y= 4時(shí)，k最大為38.綜上所述，使k取得最大值的坐標(biāo)為(0, 5).答案：(0, 5)2.某廠生產(chǎn)A與B兩種產(chǎn)品，每公斤的產(chǎn)值分別為600元與400元.又知每生產(chǎn)1公 斤A產(chǎn)品需要電力2千瓦、煤4噸；而生產(chǎn)1公斤B產(chǎn)品需要電力3千瓦、煤2噸.但該 廠的電力供給不得超過100千瓦，煤最多只有120噸.問如何安排生產(chǎn)方案以取得最大產(chǎn)值?3/ 1004x-h2y0解：設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品分別為x公斤、y公斤，總產(chǎn)值z(mì)元，那么- z= 600 x+ 400y.作出不等式組表示的平面區(qū)域由；4工+。=1迎得取點(diǎn)M(20, 20)作直線3x+ 2y= 0的平行線11,當(dāng)1

5、1經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，z的值最大，最大值為20000元.答：安排生產(chǎn)A產(chǎn)品20公斤、B產(chǎn)品20公斤能取得最大產(chǎn)值.3.某工廠有甲、乙兩種產(chǎn)品，方案每天各生產(chǎn)不少于15 t.生產(chǎn)甲產(chǎn)品1t需煤5t、 電力4千瓦、勞力3個(gè)；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1t需煤6t、電力5千瓦、勞力10個(gè)；甲產(chǎn)品每1t利 潤7萬元，乙產(chǎn)品每1t利潤12萬元，但每天用煤不超過300t,電力不超過200千瓦，勞力 只有300個(gè)，問每天各生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品多少，能使利潤總額到達(dá)最大？解：設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各x t、y t,利潤總額為z萬元，那么z= 7x+ 12y.5十6養(yǎng)300+ W 2003X+1O7 i 300 x15且I 作出不等式

6、組的可行域.4工 +5尸=2口020由：女+1叫羊。二踏即P(20, 24).當(dāng)直線l: 7x+ 12y= 0向上平移到過P點(diǎn)，即生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各20 t、24 t時(shí)，利潤總額最大為428萬元.【強(qiáng)化訓(xùn)練】1.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1 t需耗A種礦石8 t、B種礦石8 t、 煤5 t;生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1 t需耗A種礦石4t、B種礦石8 t、煤10 t.每1 t甲種產(chǎn)品的利潤是500元，每1 t乙種產(chǎn)品的利潤是400元.工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的方案中要求消耗A種礦石不超過320 t、B種礦石不超過400 t、煤不超過450 t.甲、乙兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少能使 利潤總額到達(dá)最大？解：

7、設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x t、y t,利潤總額為z元，8X4-4/ 320 8X-F87 Qy 0那么L/-作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域.令z= 500 x + 400y作直線l: 5x+ 4y= 0,把直線l向右上方平移至11的位置時(shí)，直線經(jīng) 過可行域上的點(diǎn)M,且與原點(diǎn)距離最大，此時(shí)，z= 500 x+ 400y取最大值.解方程組一、kF得M的坐標(biāo)為(30, 20).答：應(yīng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品30 t、乙產(chǎn)品20 t,能使利潤總額最大.2.某人需要補(bǔ)充維生素，現(xiàn)有甲、乙兩種維生素膠囊，這兩種膠囊都含有維生素A、C、D、E和最新發(fā)現(xiàn)的Z.甲種膠囊每粒含有維生素A、C、D、E、Z分別是1

8、mg、1m g、4mg、4mg、5 mg;乙種膠囊每粒含有維生素A、C、D、E、Z分別是3 m g、2 mg、1 mg、3 mg、2 mg.如果此人每天攝入維生素A至多19 m g ,維生素C至多13 mg ,維生素D至多24 m g ,維生素E至少12 mg,那么他每天應(yīng)服用兩種膠囊各多少粒才 能滿足維生素的需要量，并能得到最大量的維生素乙x+3y9x + 2/134x-y 24* 4x + 3y M2xkC解：設(shè)該人每天服用甲種膠囊x粒，乙種膠囊y粒，那么z= 5x+ 2y.作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域.作直線l : 5x+ 2y= 0,把直線向右上方平移，直線經(jīng)過可行域上的

9、點(diǎn)工十野二13,此時(shí)z= 5x + 2y取得最大值，解方程組得M點(diǎn)坐標(biāo)為(5 , 4)此時(shí)z= 5X 5+ 2 X 4=33(m g ).答：每天應(yīng)服用5粒甲種膠囊，4粒乙種膠囊滿足維生素的需要量，且能得到最大量的 維生素Z為33m g .3.張明同學(xué)到某汽車運(yùn)輸隊(duì)調(diào)查，得知此運(yùn)輸隊(duì)有8輛載重量為6 t的A型卡車與6輛載重量為10 t的B型卡車，有10名駕駛員.此車隊(duì)承包了每天至少搬運(yùn)720 t瀝青的任務(wù).每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車16次，B型卡車12次.每輛卡車每天往返的本錢費(fèi)為A型車240元，B型車378元.根據(jù)張明同學(xué)的調(diào)查寫出實(shí)習(xí)報(bào)告，并答復(fù)每天派出A型車與B型車各多少輛運(yùn)輸隊(duì)所花的本錢最低？解：設(shè)每天出動(dòng)A型車x輛、B型車y輛，運(yùn)輸隊(duì)所花的本錢為z元，那么0y6X4-J 1016x6x + 12xl07 720且x, y為整數(shù)，z = 240 x+ 378y.以上約束條件可簡化成M時(shí)，與原點(diǎn)距離最大,0 x8W 30作出可行域如圖:在可行域內(nèi)的整點(diǎn)中，點(diǎn)(8, 0)使z= 240 x+ 378y取最小值.最小值是z= 240 X 8+ 378X 0 = 1920.實(shí)習(xí)報(bào)告2002年5