六年級奧林匹克數(shù)學基礎教程 30 趣題巧解 試題

1、小學數(shù)學奧數(shù)基礎教程 趣題巧解生活中的許多事都蘊含著數(shù)學思想，我們先看一個猜數(shù)游戲。甲心中想一個32以內(nèi)的數(shù)，乙只許問“比某數(shù)大嗎？”甲只回答“是”或“不”，那么乙最多5次必可猜中。比如甲想的是23，下面是5次提問與回答：（1）“比16大嗎？”，“是”；（2）“比24大嗎？”，“不”；（3）“比20大嗎？”，“是”；（4）“比22大嗎？”，“是”；（5）“比23大嗎？”，“不”。于是乙猜中甲想的23。這里乙用的是對分法。32的一半是16，第1次問話后，乙知道甲想的數(shù)在1732之間； 1732中間的數(shù)是24，第二次問話后，乙知道甲想的數(shù)在1724之間。依此類推，因為32=25，經(jīng)5次對分，必猜中

2、。對分法適用于一次試驗僅有兩種不同結果的情形。例1有1000箱外形完全相同的產(chǎn)品，其中999箱重量相同，有1箱次品重量較輕?，F(xiàn)有一個稱（一次可稱量500箱），怎樣才能盡快找出這箱次品？分析與解：因為稱量一次只有兩種結果：等于規(guī)定重量或輕于規(guī)定重量，所以可用對分法。先取500箱稱，若等于規(guī)定重量，則次品在另500箱中；若輕于規(guī)定重量，則次品在這500箱中。然后對有次品的500箱再對分，取其中的250箱稱因為10001024=210，所以經(jīng)過10次稱必可查出次品。若一次試驗可以有三種不同的結果，則可用三分法。例2 現(xiàn)有80粒重量、外形完全相同的珍珠和1粒外形相同、但重量較輕的假珍珠，怎樣才能用一臺

3、天平盡快地將這粒假珍珠挑出來？分析與解：因為天平稱重有三種結果；兩邊一樣重，左邊重，右邊重，所以可以用三分法。先將81粒珍珠三等分，在天平兩邊各放27粒珍珠，天平下還有27粒。若兩邊一樣重，則假珍珠在天平下的27粒中；若左邊重，則假珍珠在天平右邊的27粒中；若右邊重，則假珍珠在天平左邊的27粒中。然后再將有假珍珠的一堆三等份，繼續(xù)上面的做法。因為81=34，所以只需要稱4次就可將假珍珠挑出來。我們再看看“空瓶換酒問題”。例3某商店出售啤酒，規(guī)定每5個空啤酒瓶能換1瓶啤酒。張叔叔家買了80瓶啤酒，喝完后再按規(guī)定用空啤酒瓶去換啤酒，那么他們家前后共能喝到多少瓶啤酒？分析與解：我們按照實際換酒過程分

4、析：喝掉80瓶啤酒，用80個空瓶換回16瓶啤酒；喝掉16瓶啤酒，用16個空瓶換回3瓶啤酒余1個空瓶；喝掉3瓶啤酒，連上次余下的1個空瓶還剩4個空瓶。此時，再借1個空瓶，與剩下的4個空瓶一起又可換回1瓶啤酒，喝完后將空瓶還了。所以，他們家前后共喝到啤酒80+16+3+1=100（瓶）。解例3的關鍵是：正確運用“5個空瓶可換1瓶啤酒”這個條件，特別是最后一次換瓶的技巧，你不充分利用可就“吃虧了”！但如果一開始酒的瓶數(shù)很多，那么這個換酒的過程就會很長。有沒有簡便的算法呢？注意到“每5個空瓶可換一瓶啤酒”（連酒帶瓶）這個條件，可知每4個空瓶就能換到一瓶啤酒（不帶瓶），那么喝剩的80個空瓶共能換到20瓶

5、啤酒，所以張叔叔家前后共能喝到80+20=100（瓶）啤酒。綜合式是80+80（5-1）=100（瓶）。有了上面的簡捷思路，求解類似的問題就簡單多了。例4一塊鋼錠可以鑄成25個機器零件的毛坯，每加工5個機器零件的毛坯所剩的腳料又可以鑄成一個機器零件的毛坯?，F(xiàn)在有這種鋼錠10塊，最多可以加工多少個機器零件？分析與解：這類“鑄坯加工零件”問題顯然也屬于“空瓶換酒”問題。由“每加工5個機器零件的毛坯所剩的腳料又可鑄成一個機器零件的毛坯”可知，實際每加工5個機器零件只需要4個機器零件的毛坯（沒有腳料），即每（個）機器零件。注意，此處不能使用四舍五入，只能使用去尾法。綜合式是也可以這樣想：因為每加工5個

6、機器零件只需要4個機器零件毛坯（沒有10312（個）機器零件。綜合式是例5 5個空瓶可以換一瓶汽水，某班同學喝了189瓶汽水，其中有一些是用喝剩下來的空瓶換的，那么他們至少要買多少瓶？分析與解：本題告訴了按空瓶換汽水的原則和共能喝到的汽水，反過來求原先至少要買的汽水瓶數(shù)。根據(jù)“5個空瓶可以換1瓶汽水”（連汽水帶瓶）能喝到189瓶汽水呢？顯然至少應買汽水注意，此處不能使用四舍五入，只能使用收尾法。綜合式是下面，我們講講如何利用對稱的思想來分析解決問題。例6 甲、乙兩人輪流往一個圓桌面上放同樣大小的硬幣。規(guī)則是：每人每次只能放一枚，硬幣不許重疊，誰放完最后一枚硬幣而使對方再也無處可放，誰就獲勝。如

7、果甲先放，那么他怎樣放才能取勝？分析與解：這道題初看太抽象，既不知道圓桌的大小，又不知道硬幣的大小，誰知道該怎樣放呀！我們用對稱的思想來分析一下。圓是關于圓心對稱的圖形，若a是圓內(nèi)除圓心外的任意一點，則圓內(nèi)一定有一點b與a關于圓心對稱（見右圖，其中ao=ob）。所以，圓內(nèi)除圓心外，任意一點都有一個（關于圓心的）對稱點。由此可以想到，只要甲把第一枚硬幣放在圓桌面的圓心處，以后無論乙將硬幣放在何處，甲一定能找到與之對稱的點放置硬幣。也就是說，只要乙能放，甲就一定能放。最后無處可放硬幣的必是乙。甲的獲勝策略是：把第一枚硬幣放到圓桌面的圓心處，以后總在乙上次放的硬幣的對稱點放置硬幣。這種利用對稱思想的

8、獲勝策略體現(xiàn)出了一種機智，而這種機智來源于數(shù)學思想。同學們經(jīng)常進行這種鍛煉，就會變得越來越聰明。比如，有兩堆火柴，第一堆20根，第二堆25根，甲、乙二人輪流從中取火柴，每次可以從任一堆中取走任意數(shù)量的火柴，取走最后一根火柴者勝。甲先取，怎樣才能保證獲勝？利用對稱的思想分析，只要甲先從第二堆中取走5根，此時兩堆火柴的數(shù)量相等（也是一種對稱），以后無論乙從哪一堆取多少根火柴，甲都對稱地從另一堆取相同數(shù)量的火柴，只要乙能取，甲就能取，所以最后一根必被甲取走，甲勝。例7 十個相同的圓擺成左下圖所示的形狀，過其中兩個圓的圓心a和b作直線，求直線右上方圓內(nèi)總面積與直線左下方圓內(nèi)總面積的比。分析與解：我們把

9、直線ab以及ab經(jīng)過的四個圓單獨畫成右上圖，此圖關于c點對稱，所以這四個圓正好被平均分成兩部分，即直線兩側的面積各為2個圓面積。所以在左上圖中，直線右上側圓內(nèi)面積總和是4個圓面積，直線左下側圓內(nèi)面積總和是6個是圓面積，兩者的面積比是4/6=2/3。 練習301.甲、乙玩猜數(shù)游戲。甲在心中想好一個1000以內(nèi)的數(shù)，乙只許問“比某數(shù)小嗎？”甲只回答“是”或“不是”。那么乙最少問幾次就一定能猜中這個數(shù)？2.現(xiàn)有700粒相同的珍珠和1粒外形相同、重量略輕的假珍珠，用一臺天平至少稱幾次，就一定能把這粒假珍珠挑出來？3.某校開運動會，學校給同學們買來50箱汽水，每箱24瓶。由于商店規(guī)定每6個空瓶可換到一瓶

10、汽水，所以同學們每喝完6瓶汽水就去換一瓶，這樣他們共能多喝多少瓶汽水？4.一塊鋁錠可鑄成20個機器零件毛坯，每4個毛坯車成零件后的鋁屑又能鑄成一個毛坯。那么7塊這樣的鋁錠最多能車成多少個機器零件？5.某校開運動會，打算發(fā)給1000位學生每人一瓶汽水，由于商店規(guī)定每6個空瓶可換到一瓶汽水，所以學校不必買1000瓶汽水，那么最少要買多少瓶汽水？6.有一艘輪船停在港口里，輪船的外舷有一軟梯，軟梯的第一級正好挨著海面，往上每隔20厘米有一級。這時海水正在漲潮，每小時上漲30厘米。問：經(jīng)過多長時間，海水漲到軟梯的第四級？7.紅、藍墨水各一瓶，用一根滴管從紅墨水中吸一滴滴到藍墨水中，攪拌后，再從藍墨水中吸一滴同樣體積的墨水滴到紅墨水中。這時紅墨水中的藍墨水多，還是藍墨水中的紅墨水多？答案與提示練習301.10次。提示：210=10241000，與例1類似，利用對分法，10次必