導數(shù)中含參數(shù)單調性及取值范圍

1、一含參數(shù)函數(shù)求單調性(求可導函數(shù)單調區(qū)間的一般步驟和方法:(1) 確定函數(shù)定義域 ;(2) 求導數(shù) ;(3) 令導數(shù)大于 0,解得增區(qū)間 , 令導數(shù)小于 0, 解得減區(qū) 間. )2ax a 2 1例1(2012西 2)已知函數(shù) f(x) 2ax2 a 1，其中 a Rx2 1)當 a 1時，求曲線 y f(x) 在原點處的切線方程；)求 f (x) 的單調區(qū) 間)解：當 a1時， f (x)2xx2 1f (x)(x 1)(x 1)22(x2 1)22分由 f (0)()解： f (x)2(x a)(ax 1) 4 分x2 1 當 a 0 時，f (x)2xx2 1所以 f (x)在(0, )

2、 單調遞增，在 ( ,0) 單調遞減當a 0 ， f(x)(x2aa)(x 1) a x2 1得曲線 yf (x)在原點處的切線方程是2xy03分 當 a 0 時，令 f (x) 0 ，得 x15分x( , x1)x1(x1,x2)x2(x2, )f (x)00f (x)f (x1)f(x2 )a， x2， f(x) 與 f (x) 的情況如下： a故 f (x) 的單調減區(qū)間是 ( , a) ， ( , ) ；單調增區(qū)間是 ( a, ) 7 分 aax( , x2)x2(x2,x1)x1(x1, )f (x)00f(x)f (x2)f(x1 ) 當 a 0 時， f(x) 與 f (x) 的

3、情況如下：11的單調增區(qū)間是 ( , ) ；單調減區(qū)間是 ( , a)，( a, ) 9分所以 f (x)aa當a 0時，由()得， f(x)在(0, )單調遞增，在( , ) 單調遞減，所以 f(x) 在 (0, ) 上存在最大值 aa12f( ) a20 ax0 為 f (x) 的零點，易知 x01 a22a，且 x01從而 x x0時， f (x) 0； x x0 時， f (x) 0 a若 f (x) 在 0,) 上存在最小值，必有f (0)0 ，解得1 a 1所以 a0 時，若 f(x) 在 0,) 上存在最大值和最小值， a 的取值范圍是(0,1 12 分當a0時，由()得， f(

4、x)在 (0, a) 單 調 遞 減 ， 在 ( a,) 單 調 遞 增 ， 所 以 f (x) 在 (0,) 上存 在 最 小 值f( a)1若 f (x) 在 0,) 上存在最大值，必有 f (0) 0 ，解得 a 1 ，或 a1所以 a 0 時，若 f(x) 在 0, ) 上存在最大值和最小值， a 的取值范圍是 (, 1 綜上， a 的取值范圍是 ( , 1 U (0,1 14 分例2設函數(shù) f ( x)= ax ( a+1)ln( x+1) ，其中 a-1，求 f ( x)的單調區(qū)間 .1),1)當 1a 0 時， f (x) 0, 函數(shù) f(x) 在 ( 1, ) 上單調遞減，2)

5、當 a'10時，由 f'(x) 0,解得 x 1. a解析】 由已知得函數(shù) f (x) 的定義域為 ( 1)，且 f '(x) ax 1(ax1f '(x)、 f(x)隨 x的變化情況如下表x( 1,1a) a1 a1( , ) af '(x)0+f (x)極小值Z從上表可知當1'x ( 1,1)時， f'(x)0,函數(shù) f (x)在(11, ) 上單調遞減 .aa當1 當 x ( ,) 時，f ' (x) 0, 函數(shù) f (x) 在(1,) 上單調遞增aa綜上所述： 當1a0時，函數(shù) f(x) 在( 1,) 上單調遞減 . 當

6、a0時，函數(shù) f (x)在 (1,1)上單調遞減，函數(shù) f(x)在 (1,)上單調遞1,a) a增.3 已知函數(shù) f(x) x 2a 1,其中 a 0.I )若曲線 y f(x) 在 (1, f (1)處的切線與直線 y 1平行，求 a的值；II )求函數(shù) f (x)在區(qū)間 1,2上的最小值 .3 3 3解： f (x) 2x2a 2(x a )2 2 ， x 0. xxI )由題意可得 f (1) 2(1 a ) 0 ，解得 a 1 ，此時 f (1) 4 ，在點 (1, f (1) 處的切線為 y4 ，與直線 y 1 平行故所求 a 值為 1.II )由 f (x) 0 可得 x a ，

7、a 0 ，當 0 a 1 時， f (x) 0 在 (1,2上恒成立 ， 所以y f (x) 在1,2 上遞增，3所以 f(x) 在 1,2 上的最小值為 f (1) 2a 2 .當 1 a 2 時，x(1,a)a(a,2)f (x)0f (x)極小2由上表可得11y f (x) 在 1,2 上的最小值為 f (a) 3a 1 .當 a2時， f (x) 0 在1,2) 上恒成立，所以 yf(x) 在 1,2 上遞減 .12所以133綜上討論， 可知：當 0 a 1時， y f (x) 在 1,2 上的最小值為 f (1) 2a 2 ；當1a 2 時， y f (x)在 1,2 上f(x) 在

8、 1,2 上的最小值為 f (2)a3 5 .2的最小值為 f (a) 3a 1；當 a 2 時， y練習 1 已知函數(shù) f(x) aln x12x1(a R 且 a 0) . (2012 海淀一模)2)求 f (x) 的單調區(qū)間；)是否存在實數(shù) a ，使得對任意的 x1, ，都有 f (x) 0？若存在求a的取值范圍；若不存在，請說明理由2(2012 順義 2 文)(. 本小題共 14 分)2已知函數(shù) f (x) (a 1)x2 2ln x, g(x) 2ax , 其中 a 1 ()求曲線 y f (x) 在 (1,f (1)處的切線方程 ;()設函數(shù) h(x) f (x) g(x)，求 h

9、(x) 的單調區(qū)間 . 3( 2012 朝 1) 18. (本題滿分 14 分)已知函數(shù) f(x) ax2 1 ex , a R .()若函數(shù) f (x)在 x 1時取得極值，求 a 的值； ()當 a 0時，求函數(shù) f (x) 的單調區(qū)間 .二參數(shù)范圍有單調性時分離常數(shù)法1 例(東 2)已知函數(shù) f(x)x2 2x aex.2()若 a 1，求 f(x) 在 x 1處的切線方程；)若 f (x) 在 R 上是增函數(shù)，求實數(shù) a的取值范圍1 2 x 3解：1)由 a 1， f (x) x 2x e ， f(1) e， 1分22所以 f (x) x 2 ex . 3分又 f (1) 1 e，3所

10、以所求切線方程為 y ( e) (1 e)(x 1)即 2(1 e)x 2y 1 0. 5分21 2 x x ()由已知 f (x) x2 2x aex ，得 f (x) x 2 aex .2因為函數(shù) f (x) 在 R 上是增函數(shù)，所以 f (x) 0 恒成立，即不等式x 2 aex 0 恒成立9分整理得 axe令 g(x)x 2 x 3 x , g (x) x ee11 分x,g （x）,g（x） 的變化情況如下表：x(,3)3(3, )g (x)0+3由 此 得 a g（3） = e ，即 a 的 取 值 范g(x)極小值圍是 , e 3 . 13 分練習 1（ 2012 懷柔 2）設，

11、函數(shù)（）若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值； （）若函數(shù)在上是單調減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍解：（）因為是函數(shù)的極值點，所以，即，所以經(jīng)檢驗，當時，是函數(shù)的極值點即 6 分（）由題設， ，又，所以，這等價于，不等式對恒成立令（），則， 10 分所以在區(qū)間上是減函數(shù)，所以的最小值為 12 分所以即實數(shù)的取值范圍為 13 分2 2（2012石景山 1）已知函數(shù) f （x） x2 2aln x（）若函數(shù) f （ x）的圖象在 （2, f （2） 處的切線斜率為 1，求實數(shù) a的值；（）求函數(shù) f （x） 的單調區(qū)間；2（）若函數(shù) g（x） f （ x）在1,2 上是減函數(shù)，求實數(shù) a的取值范圍x分類討論求參

12、數(shù)1例 2（2012 昌平 1）已知函數(shù) . f （x） ln x ax（ a為實數(shù)）I ）當 a 0時， 求 f （x） 的最小值；II )若 f (x) 在2, )上是單調函數(shù)，求 a的取值范圍解： () 由題意可知： x 0當a 0時 f (x)x1當0 x 1時， f (x) 0 .2 分當 x 1時，f (x) 0 .4 分1分故 f ( x) min f(1) 1.5 分1 1 ax2 x 1() 由 f (x) 2 a 2x x2x 2由題意可知 a 0時， f (x)x 1 ,在2,) 時， f (x) 0 符合要求.7 分2當 a 0時，令 g(x) ax2 x 1故此時 f

13、 (x) 在 2, ) 上只能是單調遞減4a211f (2)0即0 解得 a.9 分444a 2 11當a0時，f (x)在2, ) 上只能是單調遞增f (2)0 即 0,得 a44故a0.11 分綜上 a(, 10, ).13 分4根據(jù)性質求范圍 )2(零點例(2012 昌平 2)已知函數(shù) f (x) 4ln x ax2 6x b ( a ， b為常數(shù))， 且 x 2為 f (x)的一個極值點() 求 a的值；() 求函數(shù) f (x) 的單調區(qū)間；() 若函數(shù) y f (x) 有 3個不同的零點，求實數(shù) b 的取值范圍解： () 函數(shù) f ( x)的定義域為( 0，+)41分 f ( x)

14、=2ax 62分()由() 知 f (x) 4ln x x2 6x b2(x 2)(x 1)242x 2 6x 46分x) =2x 6x由 f ( x) > 0可得 x >2 或 x <1，由 f ( x) < 0可得 1< x <2 函數(shù) f ( x )的單調遞增區(qū)間為 (0 ，1) 和 (2 ，+ )，單調遞減區(qū)間為 (1 , 2 )() 由()可知函數(shù)f (x)在(0，1) 單調遞增，在(1 ， 2)單調遞減，在(2 ，+)單調遞增且當 x =1 或 x =2 時，f ( x) = 0 10 分 f (x) 的極大值為f (1) 4ln116bb511

15、 分f ( x )的極小值為 f (2) 4ln 2 412 b4ln 2 812 分f (1) b 5 0由題意可知f (2) 4ln2 8 b5b84ln214 分最值例(2012海 2)已知函數(shù)f (x)xa22x2 3a2a 0，a R ).)求函數(shù) f ( x)的單調區(qū)間；)當a 1時，若對任意 x1,x23, ) ，有 f (x1)f (x2) m成立，求實數(shù)m的最小值 .解：f '(x)(x a)(x 3a)(x2 3a2 )2令 f '(x)0，解得 xa或 x3a .2分x(,3a3a)( 3a,a) a(af '(x)00f(x)極小值極大值)當 a

16、 0時， f '(x) ， f (x) 隨著 x的變化如下表)4分(a, ),a)當 a 0 時， f '(x) ， f (x) 隨著 x 的變化如下表x( ,a)a(a, 3a)3a( 3a,f '(x)00f (x)極小值極大值函數(shù) f (x) 的單調遞增區(qū)間是 (a, 3a) ，函數(shù) f(x) 的單調遞減區(qū)間是( 3a, ) . 6 分)當 a 1時，由()得 f (x) 是 ( 3,1) 上的增函數(shù)，是 (1,) 上的減函數(shù)又當 x 1 時， f (x)x1x2 30.8分所以 f (x)在 3,) 上的最小值為 f ( 3)62)， f (x1)f (x2 )

17、f (1) f ( 3) .3) ，使 f(x1 )f (x2 )2 m 恒成立的實數(shù) m 的最小值為3，最大值為 f (1)1210 分所以 對任意 x1,x2 3,所以 對任意 x1,x2 3,13 分1 3 2 2x3 2ax2 3a2x a(a R).3)當 a 1 時，求曲線 yf(x)在點 3,f(3) 處的切線方程；)求函數(shù) f (x) 的單調區(qū)間和極值；()若對于任意的 x (3a,a)，都有 f(x) a 1，求 a的取值范圍 .1 3 2 極值例4(2012豐臺 1)已知函數(shù) f(x)x不等式 例 3(2012 房山 1)設函數(shù) f(x) ax2 1 (a R)3()若曲線

18、 y=f(x) 在(1 ， f (1) 處的切線與直線 x+y+1=0平行，求 a 的值；()若 a>0，函數(shù) y=f( x)在區(qū)間 (a，a 2-3) 上存在極值，求 a 的取值范圍；)若 a>2，求證：函數(shù) y=f(x) 在(0，2) 上恰有一個零點1單調性) 已知函數(shù) f (x) x3 mx2 3m2x 1(m 0) .3m 的取值范圍)若 m 1，求曲線 y f(x)在點(2, f (2)處的切線方程；要使 f (x) 在區(qū)間 (2m 1,m1) 上單調遞增，應有 m 1 3m 或1解得 m 或 m 142m1 m ，11 分解：()當 m1 時，f (x)13 x2 x3

19、x1，f (2)85461333f '(x)x2 2x3，f'(2)4435 3 分所以所求切線方程為5y35(x2) 即15x3y250 5 分2() f '(x) x22mx3m2)若函數(shù) f(x)在區(qū)間 (2m 1,m 1)上單調遞增，求實數(shù)令 f '(x) 0，得 x3m或x m. 7分x( , 3m)3m( 3m,m)m(m, )f '(x)+00+f (x)單調增極大值單調減極小值單調增由于 m 0， f (x) ， f(x) 的變化情況如下表：所以函數(shù) f (x) 的單調遞增區(qū)間是 (3m) 和 (m,).9分13 分12分1 2m 1 ，所以 1 m 2 基本性質2012 朝 2)設函數(shù) f (x) aln x2a2(a即實數(shù) m 的取值范圍 m 1）已知曲線 y f（x）在點 （1, f （1）處的切線 l的斜率為 2 3a ，求實數(shù) a的值；（）討論函數(shù) f （x）的單調性；（）在（）的條件下，求證：對于定義域內的任意一個x，都有 f （x） 3 x單調區(qū)間 （2012 門頭溝 2）已知函數(shù)在處有極值 （I ）求實數(shù)的值；（II ）求函數(shù)的單調區(qū)間 （2012 東 1）已知 x 1是函數(shù) f （x） （ax 2）ex