勾股定理(提高題)

1、勾股定理一.解答題（共20小題）1 .已知，如圖， ABC和 ECD都是等腰直角三角形，Z ACB=Z DCE=90% D為AB邊上一點(diǎn).求證：BD=AE.2 .小明、小華在一棟電梯樓前感慨樓房真高.小明說：這樓起碼20層！ 小華卻不以為然：“20層？我看沒有， 數(shù)數(shù)就知道了！"小明說："有本事，你不用數(shù)也能明白！”小華想了想說：“沒問題！讓我們來量一量吧！“小明、小 華在樓體兩側(cè)各選A、B兩點(diǎn)，測量數(shù)據(jù)如圖，其中矩形CDEF表示樓體，AB=150米，CD=10米，/ A=30% Z B=45°, （A、C、D、B四點(diǎn)在同一直線上）問： （1）樓高多少米？（2）若

2、每層樓按3米計(jì)算，你支持小明還是小華的觀點(diǎn)呢？請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：仁:1.73，6441,。2.24）3 .如圖， ABC中，AB=BC, BEJLAC于點(diǎn)E, ADLBC于點(diǎn)D, Z BAD=45°, AD與BE交于點(diǎn)F,連接CF. (1)求證：BF=2AE：(2)若CD=V5，求AD的長.5AEGD4 .如圖，在 ABC中，z ABC=45% CDJLAB. BEJLAC,垂足分別為D, E, F為BC中點(diǎn)，BE與DF, DC分別交于點(diǎn) G, H, Z ABE=Z CBE.（1）線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明，若不相等請說明理由;（2）求證：BG2 - GE2=EA2.

3、5 .如圖，A、B兩座城市相距100千米，現(xiàn)計(jì)劃要在兩座城市之間修筑一條高等級公路（即線段AB）.經(jīng)測量，森林保護(hù)區(qū)中心P點(diǎn)在A城市的北偏東30。方向，B城市.的北偏西45。方向上.已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P為圓心，50千米為半徑的圓形區(qū)域內(nèi).請問：計(jì)劃修筑的這條高等級公路會不會穿越森林保護(hù)區(qū)？ 為什么？236 .如圖，在 ABC 中,ADJLBC,垂足為 D, Z B=60% z C=45°.(1)求N BAC的度數(shù).(2)若AC=2,求AD的長.7 .已知：在 ABC中，AC=BC, z ACB=90%點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn).(1)直線BF垂直于直線CE于點(diǎn)F,交C

4、D于點(diǎn)G (如圖1),求證：AE=CG：(2)直線AH垂直于直線CE,垂足為點(diǎn)H,交CD的延長線于點(diǎn)M (如圖2),找出圖中與BE相等的線段，并證 明.8 .如圖， ABC和aADE都是等腰三角形，且N BAC=90% Z DAE=90。，B, C, D在同一條直線上.求證：BD=CE.9 .如圖，在等腰直角三角形ABC中，z ABC=90% D為AC邊上中點(diǎn)，過D點(diǎn)作DE _L DF,交AB于E,交BC 于 F,若 AE=4, FC=3,求 EFK.10 .在Rt/kPOQ中，OP=OQ=4, M是PQ的中點(diǎn)，把一三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn) 三角尺，三角尺的兩直角邊與a

5、POQ的兩直角邊分別交于點(diǎn)A、B.(1)求證：MA=MB；(2)連接AB,探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中， AOB的周長是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在, 請說明理由.11 .如圖，已知點(diǎn)D為等腰直角 ABC內(nèi)一點(diǎn)，Z CAD=Z CBD=15% E為AD延長線上的一點(diǎn)，且CE=CA.(1)求證：DE平分N BDC：(2)若點(diǎn)M在DE上，且DC=DM,求證：ME=BD.12 . (2011恭江縣)如圖，等邊 ABC中，A0是NBAC的角平分線，D為A0上一點(diǎn)，以CD為一邊且在CD下方作等邊aCDE,連接BE.(1)求證： ACD合 BCE：(2)延長BE至Q, P為BQ上一點(diǎn)，連接CP

6、、CQ使CP=CQ=5,若BC=8時(shí), 求PQ的長.13 .如圖，在四邊形 ABCD 中，AC 平分N BAD, BC=CD=10, AB=2L AD=9.求 AC的長.14 . （1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將 ABE沿BE折疊后得到aGBE,且點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)部.小明將BG延長交DC于點(diǎn)F,認(rèn)為GF=DF,你同意嗎？說明理由.（2）問題解決：保持（1）中的條件不變，若DC=2DF,求盛的值；（3）類比探求：保持（1）中條件不變，若DC=nDF,求四的值.15 . （2010大田縣）如圖所示， ACB和 ECD都是等腰直角三角形，Z ACB=Z ECD=90% D

7、為AB邊上一點(diǎn). （1）求證： ACE合 BCD；（2）若 AD=5, BD=12,求 DE 的長.16 . （2007巴中）在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，我們學(xué)會運(yùn)用圖 驗(yàn)證它的正確性；圖中大正方形的面積可表示為: （a+b） 2,也可表示為:c2+4> （&b）,2即（a+b） 2=c2+4< （lab）由此推出勾股定理a2+b2=c2,這種根據(jù)圖形可以極簡單地直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公2式的方法，簡稱“無字證明（1）請你用圖（II）（2002年國際數(shù)字家大會會標(biāo)）的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理（其中四個(gè)直角三角形全等）:（2）請你用（HI）提供的圖形進(jìn)行組合，用組合圖形的而積表達(dá)式驗(yàn)證

8、（x+y） 2=x2+2xy+y2；（3）請你自己設(shè)計(jì)圖形的組合,用其面積表達(dá)式驗(yàn)證：（x+p） （x+q） =x2+px+qx+pq=x2+ （p+q） x+pq.17 . （2006梅州）梅華中學(xué)九年級數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)小組某下午實(shí)踐活動(dòng)課時(shí)，測量朝西教學(xué)樓前的旗桿AB的高度.如 圖，當(dāng)陽光從正西方向照射過來時(shí)，旗桿AB的頂端A的影子落在教學(xué)樓前的坪地C處，測得影長CE=2m, DE=4m, BD=20m, DE與地面的夾角a=30度.在同一時(shí)刻，測得一根長為hn的直立竹竿的影長恰為4m.根據(jù)這些數(shù)據(jù)求 旗桿AB的高度,（可能用到的數(shù)據(jù)：V2-1.414, 任1.732,結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）1

9、8 .如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA, PB, PC,以BP為邊作NPBQ=60。，且BQ=BP,連接CQ.（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若PA： PB： PC=3： 4： 5,連接PQ,試判斷 PQC的形狀，并說明理由.O19 .如圖，在兩面墻之間有一個(gè)底端在A點(diǎn)的梯子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在B點(diǎn)；當(dāng)它靠在另一側(cè) 墻上時(shí)，梯子的頂端在D點(diǎn).已知NBAC=60。，/DAE=45。，點(diǎn)D到地面的垂直距離DE=d每n.求點(diǎn)B到地面的 垂直距離BC.20 .如圖，在 ABC中，AB=2, AC=BC, CD±AB,垂足是D, BCE

10、與 BCD是關(guān)于BC成軸對稱的，且恰好 使A、C、E在一條直線上.求四邊形BDCE的面積.2014年2月1140860的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一.解答題（共20小題）1. （2013內(nèi)江）已知，如圖， ABC和ECD都是等腰直角三角形，Z ACB=Z DCE=90°, D為AB邊上一點(diǎn).求 證：BD=AE.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.專題：證明題.分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=BC, CD=CE,再根據(jù)同角的余角相等求出NACE=/BCD,然后利用 "邊角邊"證明 ACEBCD全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可證明.解答：證

11、明：. ABC和 ECD都是等腰直角三角形， AC=BC > CD=CE», Z ACB=Z DCE=90% Z ACE+Z ACD=Z BCD+Z ACD, z ACE=z BCD,rAC=BC在a ACE 和 BCD 中，（ /ACE=/BCD , CD=CE ACE2 BCD （SAS）, BD=AE.點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及等角的余角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì) 是解題的關(guān)鍵.2.（2013鄂州）小明、小華在一棟電梯樓前感慨樓房真高小明說：這樓起碼20層！ 小華卻不以為然：“20層？ 我看沒有，數(shù)數(shù)就知道了！ ”小明說：“有本事，你不

12、用數(shù)也能明白！“小華想了想說："沒問題！讓我們來量一量吧！" 小明、小華在樓體兩側(cè)各選A、B兩點(diǎn),測量數(shù)據(jù)如圖，其中矩形CDEF表示樓體，AB=150米，CD=10米，Z A=30。, NB=45。，（A、C、D、B四點(diǎn)在同一直線上）|nj：（1）樓高多少米？（2）若每層樓按3米計(jì)算，你支持小明還是小華的觀點(diǎn)呢？請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：，1.73,血3.41,遍=2.24）考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用.專題：應(yīng)用題.分析：（1）設(shè)樓高為x,則CF=DE=x,在RtZkACF和RQDEB中分別用x表示AC、BD的值，然后根據(jù) AC+CD+BD=150,求出x的值即可；（2）根據(jù)（1）

13、求出的樓高X,然后求出20層樓的高度，比較x和20層樓高的大小即可判斷誰的觀點(diǎn)正確. 解答：解：（1）設(shè)樓高為x米，則CF=DE=x米，/ Z A=30% Z B=45% Z ACF=Z BDE=90%.AC=Vx 米，BD=x 米，V3x+x=150 - 10,解得 x=-L=70（V3- 1）（米），V3+1樓高 70（V3- 1）米.（2） x=70（V3- 1）之70 （1.73 - 1） =70x0.73=51.1 米3x20 米，我支持小華的觀點(diǎn)，這樓不到20層.點(diǎn)評：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用方程思想求解，難度一般.3. (2013沈陽)如圖,

14、 ABC 中,AB=BC, BELAC 于點(diǎn) E, ADJLBC 于點(diǎn) D, Z BAD=45°, AD 與 BE 交于點(diǎn) F, 連接CF.(1)求證：BF=2AE：(2)若CDR歷，求AD的長.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)：勾股定理. 專題：證明題；壓軸題.分析：（1）先判定出4ABD是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=BD,再根據(jù)同角的余角相 等求出N CAD=Z CBE,然后利用“角邊角”證明 ADC和 BDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得 BF=AC,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AC=2AF,從而得證：（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=CD,然

15、后利用勾股定理列式求出CF,再根據(jù)線段垂直平分線上 的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AF=CF,然后根據(jù)AD=AF+DF代入數(shù)據(jù)即可得解. 解答：（1）證明：,ADJLBC, Z BAD=45°, ABD是等腰直角三角形，AD=BD, BE±AC, AD±BC, Z CAD+Z ACD=90°, z CBE+Z ACD=90% z CAD=Z CBE, ,/CAD :/CBE 在 ADC 和 BDF 中，（AD = BD,Zadc=Zbdf=90° AD8 BDF （ASA）, BF=AC,AB=BC, BEJLAC, AC=2AE»

16、BF=2AE：（2）解：, 4 AD8 Q BDF, DF=CD=V,在Rf CDF中，CF=后再水刃（魚）,（9）2,BE_LAC, AE=EC, AF=CF=2,. AD=AF+DF=2+V2.點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股 定理的應(yīng)用，以及線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的 關(guān)鍵.4. （2012泰安）如圖，在 ABC 中，Z ABC=45% CD_LAB, BE±AC,垂足分別為 D, E, F 為 BC 中點(diǎn)，BE 與 DF, DC 分別交于點(diǎn) G, H, z AB

17、E=Z CBE.（1）線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明，若不相等請說明理由； 求證：BG2 - GE2=EA2.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)：線段垂直平分線的性質(zhì)：勾股定理.專題：證明題；幾何綜合題.分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出NBCD=N ABC, Z ABE=Z DCA,推出DB=CD,根據(jù)ASA證出 DBH2 DCA即可：（2）根據(jù)DB=DC和F為BC中點(diǎn)，得出DF垂直平分BC,推出BG=CG,根據(jù)BE±AC和N ABE=Z CBE 得出AE=CE,在RSCGE中，由勾股定理即可推出答案.解答：證明：（I） rCDJLAB, BE±AC,Z BDH=Z

18、BEC=Z CDA=90°,Z ABC=45°,z BCD=180° - 90° - 45°=45°=Z ABCDB=DC, / z BDH=Z BEC=Z CDA=90°, .N A+N ACD=90。，Z A+Z HBD=90°,z HBD=Z ACD, /在aDBH和aDCA中rZBDH=ZCDA，BD=CD ，ZHBD=ZACDA DBH合 4 DCA （ASA）,BH=AC.(2)連接CG,由（1）知，DB=CD, F為BC的中點(diǎn),DF垂直平分BC,BG=CG»Z ABE=Z CBE, BEJ_

19、AC,EC=EA,在RQCGE中，由勾股定理得：CG2 - GE2=CE2,CE=AE, BG=CG,BG2 - GE2=EA2.點(diǎn)評：本題考查了勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，線段的垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，注 意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，等腰三角形具有三線合一的性質(zhì)，主要考查學(xué)生運(yùn)用 定理進(jìn)行推理的能力.5. （2012廣元）如圖，A、B兩座城市相距100千米，現(xiàn)計(jì)劃要在兩座城巾之間修筑一條高等級公路（即線段AB）.經(jīng) 測量，森林保護(hù)區(qū)中心P點(diǎn)在A城市的北偏東30。方向，B城市的北偏西45。方向上.已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P 為圓心，50千米為半徑的圓形區(qū)

20、域內(nèi).請問：計(jì)劃修筑的這條高等級公路會不會穿越森林保護(hù)區(qū)？為什么？考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用；方向角.專題：壓軸題.分析：過點(diǎn)P作PD_LAB, D是垂足.AD與BD都可以根據(jù)三角函數(shù)用PD表示出來.根據(jù)AB的長，得到一個(gè) 關(guān)于PD的方程，解出PD的長.從而判斷出這條高速公路會不會穿越保護(hù)區(qū).解答：解：過點(diǎn)P作PDLAB,垂足為D,由題可得N APD=302BPD=45。，設(shè) AD=x,在 Rt/kAPD 中，PD=V3x,在 RS PBD 中，BD=PD=V3x>V3x+x=1001 x=50 (fs- DtPD=V3x=50 (3 -=63,4>50,不會穿過保護(hù)區(qū).答：森林保護(hù)區(qū)的

21、中心與直線AB的距離大于保護(hù)區(qū)的半徑，所以計(jì)劃修筑的這條高速公路不會穿越保護(hù) 區(qū).點(diǎn)評：本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，解一般三角形的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方 法就是作高線.6. (2011湘西州)如圖,在 ABC 中，AD±BC,垂足為 D, Z B=60°, Z C=45°.(1)求N BAC的度數(shù).(2)若AC=2,求AD的長.考點(diǎn)：勾股定理.分析：(I)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可推出NBAC的度數(shù)：(2)由題意可知AD=DC,根據(jù)勾股定理，即可推出AD的長度.解答： 解：(1) Z BAC=180° - 60° -

22、 45°=75°：(2)AD±BC,.a ADC是直角三角形，, z C=45°,z DAC=45°,AD=DC,AC=2, AD=aj2- 點(diǎn)評：本題主要考查勾股定理、三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵在于推出AD=DC.7. (2011泰安)已知：在 ABC中，AC=BC, N ACB=90。，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn).(1)直線BF垂直于直線CE于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G (如圖1),求證：AE=CG：(2)直線AH垂直于直線CE,垂足為點(diǎn)H,交CD的延長線于點(diǎn)M (如圖2),找出圖中與BE相等的線段，并證 明.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等

23、腰宜角三角形.專題：幾何綜合題；壓軸題.分析：(1)首先根據(jù)點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，Z ACB=90%可得出N ACD=N BCD=45。，判斷出 AEC合4 CGB,即可 得出AE=CG,(2)根據(jù)垂直的定義得出N CMA+Z MCH=90% Z BEC+Z MCH=90% 再根據(jù) AC=BC, Z ACM=Z CBE=45% 得出 BCEW & CAM,進(jìn)而證明出BE=CM.解答：(1)證明：.點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，AC=BC,z ACB=90%A CD±AB, Z ACD=Z BCD=45%z CAD=Z CBD=45°,z CAE=z BCG,又：BF±CE,z

24、 CBG+z BCF=90%又；Z ACE+Z BCF=90%Z ACE=Z CBG,在a AEC和仆CGB中，/CAE 二/BCG，AC=BCZACE=ZCBG A AEC CGB (ASA), AE=CG >(2)解：BE=CM.證明：CHJ_HM, CD±ED,Z CMA+Z MCH=90。，Z BEC+Z MCH=90。，Z CMA=Z BEC,又; Z ACM=Z CBE=45%'/BEU/CMA右入 BCE CAM 中， ZACM=ZCBE，BC=AC BCE級 CAM (AAS),BE=CM.點(diǎn)評：本題主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形對應(yīng)邊相等

25、的性質(zhì)，難度適中.8 .（2013銅仁地區(qū)）如圖， ABC和 ADE都是等腰三角形,且N BAC=90。，Z DAE=90°, B, C, D在同一條直 線上.求證：BD=CE.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)：等腰直角三角形.專題：證明題.分析：求出 AD=AE, AB=AC, Z DAB=Z EAC,根據(jù) SAS 證出 ADB=匕 AEC 即可.解答：證明： ABC和 ADE都是等腰直角三角形 AD=AE> AB=AC,又 Z EAC=90°+Z CAD, Z DAB=9O0+Z CAD, z DAB=Z EAC,/ 在 ADB 和 AEC 中"AB 二 K

26、< /BAD= NCAEAD 二 AE: & ADB合 AEC （SAS）, BD=CE.點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出 ADB2 a AEC9 .（2011隨州）如圖，在等腰直角三角形ABC中，Z ABC=90°, D為AC邊上中點(diǎn)，過D點(diǎn)作DE _L DF,交AB 于E,交BC于E 若AE=4, FC=3,求EF長.考點(diǎn)：勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：幾何綜合題.分析：首先連接BD,由已知等腰直角三角形ABC,可推出BD_LAC且BD=CD=AD, N ABD=45。再由DE DF, 可推出NFDC=NEDB,

27、又等腰直角三角形ABC可得nC=45。，所以 EDBw FDC,從而得出BE=FC=3, 那么AB=7,貝IJBC=7, BF=4,再根據(jù)勾股定理求出EF的長.解答：解：連接BD,.等腰直角三角形ABC中，D為AC邊上中點(diǎn)，A BD±AC （三線合一），BD=CD=AD, Z ABD=45°,Z C=45°,Z ABD=Z C, 又：DE JL DF,N FDC+z BDF=Z EDB+Z BDF, z FDC=Z EDB,在aEDB與aFDC中， rZEBD=ZC ，BD=CD ,/EDB 二/FDCEDBW FDC (ASA), . BE=FC=3,AB=7,

28、則 BC=7, BF=4, 在 RtA EBF 中， EF2=BE2+BF2=32+42, EF=5.答：EF的長為5.點(diǎn)評：此題考查的知識點(diǎn)是勾股定理及全等三角形的判定，關(guān)鍵是由已知先證三角形全等，求得BE和BF,再由 勾股定理求出EF的長.10. （2012南充）在RSPOQ中，OP=OQ=4, M是PQ的中點(diǎn)，把一三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)M處，以M為旋 轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與aPOQ的兩直角邊分別交于點(diǎn)A、B.（1）求證:MA=MB：（2）連接AB,探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中， AOB的周長是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在, 請說明理由.考點(diǎn)：全等三角形的判定與

29、性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形.專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題.分析：（1）過點(diǎn)M作ME_LOP于點(diǎn)E,作MF_LOQ于點(diǎn)F,可得四邊形OEBF是矩形，根據(jù)三角形的中位線定 理可得ME=MF,再根據(jù)同角的余角相等可得N AME=Z BMF,再利用“角邊角”證明 AME和 BMF全等, 根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可證明；（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=BF,設(shè)OA=x,表示出AE為2-x,即BF的長度，然后表示出OB=2+(2-x),再利用勾股定理列式求出AM,然后根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的6倍表示出 AB的長度，然后根據(jù)三角形的周長公式列式判斷出AOB的周長隨AB的變化而變化，

30、再根據(jù)二次函數(shù) 的最值問題求出周長最小時(shí)的x的值，然后解答即可.解答：(1)證明：如圖，過點(diǎn)M作ME_LOP于點(diǎn)E,作MF_LOQ于點(diǎn)F, / z 0=90%四邊形OEMF是矩形， ,M 是 PQ 的中點(diǎn)，OP=OQ=4, Z 0=90% MEjOQ=2, MF=1oP=2,ME=MF,四邊形OEMF是正方形，Z AME+Z AMF=90% z BMF+Z AMF=90%z AME=Z BMF,在aAME 和BMF 中， AME2 BMF (ASA),MA=MB：(2)解：有最小值，最小值為4+2&.理由如下：根據(jù)(1) AME BMF, AE=BF,設(shè) OA=x,則 AE=2-x,O

31、B=OF+BF=2+ (2-x) =4 - x,在 RQAME 中，AM,把2 + me 司(2-x) 2 + 22, N AMB=90。，MA=MB, 1- AB=AM=VJ(2-x) 2+2卬2 (2 - K)2+g AOB 的周長=OA+OB+AB=x+ (4 - x) + J 2 ( 2 - K)2 + g=4+J? (2-/)2 + .所以，當(dāng)x=2,即點(diǎn)A為OP的中點(diǎn)時(shí)， AOB的周長有最小值，最小值為牛版， 即 4+22.點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，以 及二次函數(shù)的最值問題，作出輔助線，把動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為固定的三角

32、形，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵, 也是本題的難點(diǎn).11. (2011 日照)如圖，己知點(diǎn)D為等腰直角 ABC內(nèi)一點(diǎn)，ZCAD=Z CBD=15°, E為AD延長線上的一點(diǎn)，且 CE=CA.(1)求證：DE平分N BDC：(2)若點(diǎn)M在DE上，且DC=DM,求證：ME=BD.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)：等腰直角三角形.專題：證明題：壓軸題.分析：(1)根據(jù)等腰直角 ABC,求出CD是邊AB的垂直平分線，求出CD平分NACB,根據(jù)三角形的外角性 質(zhì)求出N BDE=Z CDE=60唧可.(2)連接MC,可得 MDC是等邊三角形，可求證N EMC=Z ADC.再證

33、明 ADC合 EMC即可.解答：證明：(1) ABC是等腰直角三角形，Z BAC=Z ABC=45°,Z CAD=Z CBD=15°, z BAD=Z ABD=45° - 15°=3O% BD=AD,.D在AB的垂直平分線上， / AC=BC,.c也在AB的垂直平分線上，即直線CD是AB的垂直平分線，Z ACD=Z BCD=45°, z CDE=150+45°=60% . z BDE=z DBA+Z BAD=60°：z CDE=z BDE,即DE平分N BDC.(2)如圖，連接MC.,DC=DM,且NMDC=60。， MDC

34、是等邊三角形，即CM=CD.Z DMC=Z MDC=60°, / Z ADC+Z MDC=180% z DMC+Z EMC=180%/. Z EMC=Z ADC.又；CE=CA>z DAC=z CEM.在 ADC與A EMC中，'ZADC=ZEMC, ZDxC=ZMEC.AC 二 EC AD8 EMC (AAS), ME=AD=BD.點(diǎn)評：此題主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)的等知識點(diǎn)，難易程 度適中，是一道很典型的題目.12,（2011恭江縣）如圖，等邊 ABC中，AO是NBAC的角平分線，D為AO上一點(diǎn)，以CD為一邊且在CD下

35、方作等邊4CDE,連接BE.（1）求證： ACD月臺BCE：（2）延長BE至Q. P為BQ上一點(diǎn)，連接CP、CQ使CP=CQ=5,若BC=8時(shí)，求PQ的長.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)：等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形：勾股定理.專題：幾何綜合題：壓軸題.分析：（1）由 ABC與ADCE是等邊三角形，可得AC=BC, DC=EC, z ACB=Z DCE=60%又由Z ACD+Z DCB=Z ECB+Z DCB=60% 即可證得N ACD=Z BCE,所以根據(jù) SAS 即可證得4 ACD級2BCE： （2）首先過點(diǎn)C作CHJ_BQ于H,由等邊三角形的性質(zhì)，即可求得N DAC=30。，則

36、根據(jù)等腰三角形與直 角三角形中的勾股定理即可求得PQ的長.解答：（1）證明：ABC與DCE是等邊三角形，AC=BC, DC=EC, z ACB=Z DCE=60%Z ACD+Z DCB=Z ECB+Z DCB=60。，Z ACD=Z BCE,A ACD2 4 BCE （SAS）：（2）解：過點(diǎn)C作CHJLBQ于H,a ABC是等邊三角形，AO是角平分線, z DAC=30°, ACD2 BCE,. z PBC=Z DAC=30。，在 RtA BHC 中，CH=AbC=-1x8=4,22PC=CQ=5, CH=4,PH=QH=3,PQ=6.點(diǎn)評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三

37、角形、等邊三角形以及直角三角形的性質(zhì)等知識.此題綜合 性較強(qiáng)，但難度不大，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.13. （2010密云縣）如圖，在四邊形ABCD中，AC平分N BAD, BC=CD=10, AB=2L AD=9.求AC的長.考點(diǎn)：勾股定理.專題：壓軸題.分析：把 ADC沿AC翻折得 AEC,作CF_LAB于點(diǎn)F.根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)，分別求 得CF和AF的長，根據(jù)勾股定理求得AC的長即可.解答：解：, AC平分/BAD,把 ADC沿AC翻折得 AEC,AE=AD=9, CE=CD=10=BC.作CKLAB于點(diǎn)F.EF=FB=AbE=1 （AB-AE） =6.22在R

38、SBFC （或Rt2EFC）中，由勾股定理得CF=8.在RS AFC中，由勾股定理得AC=17.點(diǎn)評：此題要巧妙構(gòu)造輔助線，綜合運(yùn)用了軸對稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理.14. （2010河南）（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將 ABE沿BE折疊后得到GBE,且點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)部.小明將 BG延長交DC于點(diǎn)F,認(rèn)為GF=DF,你同意嗎？說明理由.（2）問題解決：保持（1）中的條件不變，若DC=2DF,求四的值：（3）類比探求：保持（1）中條件不變，若DC=nDF,求盛的值.考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）；直角三角形全等的判定：勾股定理.專題：壓軸題.分析：（1

39、）求簡單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，即連接EF,證aEGa EDF即可；（2）可設(shè)DF=x, BC=y；進(jìn)而可用x表示出DC、AB的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)知AB=BG,即可得到BG的 表達(dá)式，由（1）證得GF=DF,那么GF=x,由此可求出BF的表達(dá)式，進(jìn)而可在RtZiBFC中，根據(jù)勾股定 理求出x、y的比例關(guān)系，即可得到陛的值；（3）方法同（2）.解答：解：（1）同意，連接EF,則根據(jù)翻折不變性得，Z EGF=Z D=90% EG=AE=ED, EF=EF.Ria EGF合 RS EDF,GF=DF：（2）由（1）知，GF=DF,設(shè) DF=x, BC=y,貝ij有 GF=x, AD=y

40、. DC=2DF,CF=x, DC=AB=BG=2x>：.BF=BG+GF=3x；在 Rt/kBCF 中，BC2+CF2=BF2,即 y2+x2= （3x ）y=2&x,謁言心（3）由（1）知，GF=DF,設(shè) DF=x, BC=y,則有 GF=x, AD=yDC=nDF,BF=BG+GF= （n+1） x在 RSBCF 中，BC2+CF2=BF2,即 yM （n- 1） x2= （n+1） xj. y=2x，點(diǎn)評：此題考查了矩形的性質(zhì)、圖形的折疊變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等重要知識，難度 適中,15. （2010大田縣）如圖所示， ACB和 ECD都是等腰宜角三

41、角形，Z ACB=Z ECD=90% D為AB邊上一點(diǎn).（1）求證： ACE BCD；（2）若 AD=5, BD=12,求 DE 的長.考點(diǎn)：勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.專題：計(jì)算題：證明題.分析：（1）根據(jù)同角的余角相等得到/ ACE=Z BCD,又夾這個(gè)角的兩邊分別是兩等腰直角三角形的腰，利用SAS 即可證明：（2）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等可以得到AE=BD, z EAC=z B=45%所以 AED是直角 三角形，利用勾股定理即可求出DE長度.解答：（1）證明： ACB和 ECD都是等腰直角三角形，AC=BC, EC=DC. （2 分）Z ACE=Z D

42、CE - Z DC A, Z BCD=Z ACB - Z DC A,z ACB=z ECD=90。，z ACE=z BCD. （3 分）AC=BC在 ACE 和仆 BCD 中（ ZACE=ZBCD ,EC=DC: & ACE2 a BCD （SAS）. （5 分）（2）解：又N BAC=45°z EAD=Z EAC+z BAC=90%即 EAD是直角三角形（8分）DE再不個(gè)G再言13. 30分）點(diǎn)評：本題第一問利用邊角邊定理證明三角形全等，第二間利用全等三角形對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等的性質(zhì).16. （2007巴中）在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，我們學(xué)會運(yùn)用圖 驗(yàn)證它的正確性；圖中大正方形的

43、面積可表示為: （a+b） 2,也可表示為:c2+4> （&b）,2即（a+b） 2=c2+4< （lab）由此推出勾股定理a2+b2=c2,這種根據(jù)圖形可以極簡單地直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公2式的方法，簡稱“無字證明（1）請你用圖（II）（2002年國際數(shù)字家大會會標(biāo)）的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理（其中四個(gè)直角三角形全等）:（2）請你用（HI）提供的圖形進(jìn)行組合，用組合圖形的而積表達(dá)式驗(yàn)證（x+y） 2=x2+2xy+y2；（3）請你自己設(shè)計(jì)圖形的組合,用其面積表達(dá)式驗(yàn)證：（x+p） （x+q） =x2+px+qx+pq=x2+ （p+q） x+pq.考點(diǎn)：勾股定理的證明.專

44、題：壓軸題；閱讀型.分析：（1）根據(jù)陰影部分的面積=大正方形的面積-小正方形的面積=4個(gè)直角三角形的面積，即可證明：（2）可以拼成一個(gè)邊長是x+y的正方形，它由兩個(gè)邊長分別是x、y的正方形和兩個(gè)長、寬分別是x、y的 長方形組成；（3）可以拼成一個(gè)長、寬分別是x+p和x+q的長方形，它由邊長是x的正方形，長寬分別是x和p, x和 q, p和q組成的圖形.解答：解：（1）大正方形的面積為：c2,中間空白部分正方形面積為：（b-a） 2：四個(gè)陰影部分直角三角形面積和為：4xlab；2由圖形關(guān)系可知：大正方形而積=空白正方形面積十四直角三角形面積，即有：c2= （b-a） 2+4xib=b2-22ab

45、+a2+2ab=a2+b2：（2）如圖示：大正方形邊長為（x+y）所以而積為：（x+y）它的面積也等于兩個(gè)邊長分別為x, y和兩個(gè)長為X寬為y的矩形而積之和，即xZ+Zxy+y2所以有：（x+y） 2=x?+2xy+y2成立：（3）如圖示：大矩形的長、寬分別為（x+p）, （x+q）,則其面積為：（x+p） （x+q）,從圖形關(guān)系上可得大 矩形為一個(gè)邊長為x的正方形和三個(gè)小矩形構(gòu)成的則其面積又可表示為：x?+px+qx+pq,則有：（x+p） （x+q） =x2+px+qx+pq=x2+ （p+q ） x+pq.Xqx q點(diǎn)評：注意熟練掌握通過不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積來證明一些公式的方法

46、.17. （2006梅州）梅華中學(xué)九年級數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)小組某下午實(shí)踐活動(dòng)課時(shí)，測量朝西教學(xué)樓前的旗桿AB的高度.如 圖，當(dāng)陽光從正西方向照射過來時(shí)，旗桿AB的頂端A的影子落在教學(xué)樓前的坪地C處，測得影長CE=2m, DE=4m, BD=20m, DE與地面的夾角a=30度.在同一時(shí)刻，測得一根長為1m的直立竹竿的影長恰為4m.根據(jù)這些數(shù)據(jù)求 旗桿AB的高度,（可能用到的數(shù)據(jù)：J91.414, 任1.732,結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用.專題：應(yīng)用題.分析：根據(jù)題意過點(diǎn)c, E分別作CFJ_AB于點(diǎn)F, EH«LBD的延長線于H,構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理解 答.解答：

47、解：如圖，過點(diǎn)C, E分別作CFJ_AB于點(diǎn)F, EH_LBD的延長線于H.在R3 DEH中，/ DE=4m, Z EDH=30°,EH=2m,DH=VDE 2 - EH又qCF 4AFCF(EF+CE) 44(BD+DH+CE) =6.4. 4 AB=EH+AF«8.4 (m).點(diǎn)評：本題考查正確運(yùn)用勾股定理.善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.18. （2006常德）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA, PB, PC,以BP為邊作N PBQ=60。，且BQ=BP, 連接CQ.（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若PA： PB： PC=3： 4： 5,連接PQ,試判斷 PQC的形狀，并說明理由.考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理的逆定理.專題：探究型.分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)利用SAS判定 ABP合 CBQ,從而得到AP=CQ；設(shè)PA=3a, PB=4a, PC=5a,由 已知可判定 PBQ為正三角形從