多面體外接球半徑常見(jiàn)的5種求法(柯建華)

1、多面體外接球半徑常見(jiàn)的5種求 法（柯建華）多面體外接球半徑常見(jiàn)的5種求法如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi) 接多面體，這個(gè)球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問(wèn)題，是立體幾何的一 個(gè)重點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn).研究多面體的外接球問(wèn)題，既要運(yùn)用多面體的知 識(shí)，又要運(yùn)用球的知識(shí)，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間 的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會(huì)起到至關(guān)重要的作用知識(shí)回顧：1、球心到截面的距離d與球半徑R及截面的半徑有以下關(guān)系2、球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫 .被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得 的圓叫3、球的表面積表面積 S= ;球的體積

2、V=4、球心一定在過(guò)多邊形（頂點(diǎn)均在球面上）外接圓圓心且垂直此多邊形所在 平面的垂線上方法一：公式法例1 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形， 其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為 9,底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積8為 .設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為x ,高為h ,則有986x 3,.3 2.6 x h,41 x 2, h 、3.，正六棱柱的底面圓的半徑r尖球心到底面的距離d條二外接球的半徑r L 1. V球43小結(jié)：本題是運(yùn)用公式R2 r2 d2求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公 式.（R-球的半徑；d-球心到球截面圓的距離，注意球截面圓通常是頂點(diǎn)在球上多邊 形的

3、外接圓；r-頂點(diǎn)在球上多邊形的外接圓的半徑）方法二：多面體幾何性質(zhì)法例2已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積是（）A. 16 B. 20 C. 24 D. 32解：設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為X,外接球的半徑為R,則有4x2 16,解得x 2. 2R J2 22 42 276,R而.這個(gè)球的表面積是4 R2 24 .選C.小結(jié)：本題是運(yùn)用“正四棱柱體（包括正方體、長(zhǎng)方體）對(duì)角線的長(zhǎng)等于其外 接球的直徑”這一性質(zhì)來(lái)求解的.方法三：補(bǔ)形法例3：若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為 套，則其外接球的表面積 是一解：據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，.把這個(gè)三

4、棱錐可以補(bǔ)成一 個(gè)棱長(zhǎng)為 心的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球.222設(shè)其外接球的半徑為R,則有2RV333V3 9. R2 -.4故其外接球的表面積S 4 R2 9 .小結(jié)：一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)度分別為a、b、c,則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐 的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為R,則有2R Ja2 b2 c2.AAPA PR PC兩兩垂直采用補(bǔ)形法方法四：尋求軸截面圓半徑法例4正四棱錐S ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為72 ,點(diǎn) S、A B、C、D 都在同一球面上，則此球的體積為解 設(shè)正四棱錐的底面中心為Oi

5、 ,外接球的球心為O,如圖3所示.由球的截面的性質(zhì)，可得 OOi平面ABCD.又SOi平面ABCD，.二球心O必在SO所在的直線上. . ASC的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.在 ASC中，由 SA SC 在，AC 2,得 SA2 SC2 AC2.ASC是以AC為斜邊的Rt.卷1是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故V球43小結(jié)：根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個(gè)軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實(shí)質(zhì)就是通過(guò)尋找外接球的一個(gè)軸截面圓，從而把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平

6、面幾何問(wèn)題來(lái)研究 .這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法 值得我們學(xué)習(xí).方法五：確定球心位置法例5 在矩形ABCD中，AB 4,BC 3 ,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B AC D ,則四面體ABCD的外接球的體積為A.125B.1259C.1256D.1253解：設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為O,則由矩形對(duì)角線互相平分，可知OA OB OC OD .點(diǎn)O到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D的距離相等，即點(diǎn)。為四面體的外接球的球心，如圖2所示.外接球的半徑R OA 5 .故V球4 R3 125 .選C.236小結(jié)：若四面體或三棱錐的一條棱所對(duì)的兩個(gè)頂角都是直角，則利用直角三角 形知識(shí)可知：四面體外接球的球心就是這條棱的中心，球的半徑等于此棱長(zhǎng)度的一 半?！揪毩?xí)鞏固】練習(xí)1 （陜西,2010）如圖，在三棱錐P-ABC 中，F(xiàn)A1 平血= =2802 , 求其外接球的體積。p練習(xí)2 （全國(guó)卷，2010）已知三棱錐的各條 棱長(zhǎng)均為1，求其外接球的表面積Q練習(xí)3 （河北,2012）如圖，在四面體ABCD 中，四二DC二廂，AD=BCe&BD=AC二了, 求其外接球的表面積0【參考答案】練習(xí)1【補(bǔ)形法】練習(xí)2【補(bǔ)形法】AOOE3A冗R差.已知三棱柱48。ZAfiC=30Q知球。的表面租租為且150 萬(wàn)艮100打辦、50打若三棱則或力的體積為、2&q