2019年高考數(shù)學(xué)(文科)二輪復(fù)習(xí)專題2 第2講 三角恒等變換與解三角形

1、1.(2017·全國卷)已知 sin   cos     ，則 sin  2 (   )第 2 講三角恒等變換與解三角形高考定位1.三角函數(shù)的化簡與求值是高考的命題熱點，其中同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式是解決計算問題的工具，三角恒等變換是利用三角恒等式(兩角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)進行變換，“角”的變換是三角恒等變換的核心； 2.正弦定理與余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容

2、，主要考查邊、角、面積的計算及有關(guān)的范圍問題.真 題 感 悟43997A.2B.C.29D.79解析sin  2 2sin   cos                         .（sin  cos  ）21719

3、答案A2.(2016·山東卷在ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別是 a，b，c，已知 bc，a22b2(1sin A)，則 A()A.  34B.3C. 4D.62bc            2b24解析因為 bc，a22b2(1sin A)，b2c2a22b22b2（1sin A）所以 cos A，則 

4、cos Asin A.在ABC 中，A.答案C3.(2017·全國卷)ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c.已知 sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c 2，則 C()A.12B.6C.4D.3解析由題意得 sin(AC)sin A(sin Ccos C)0，sin Acos Ccos Asin Csin Asin 

5、;Csin Acos C0，æ   ö4 ø則 sin  C(sin  Acos  A)   2sin  CsinçA   ÷0，æ   ö4 ø因為 sin  C0，所以 sinçA   

6、÷0，又因為 A(0， )，所以 A ，所以 A  .èè344由正弦定理 asin  Asin  C3  sin  Cc，得2sin42    ，則 sin  C  ，得 C.4.(2017·全國卷)已知  ç0，   ÷，ta

7、n   2，則 cosç    ÷_.又 sin2 cos2 1，所以 cos2   .因為  ç0，   ÷，所以 cos     ，sin      .因為 cosç    &

8、#247;cos   cos  sin   sin    55   2    5    2    10126答案B2 øæ öæ öèè4 ø解析由 tan  2 得&#

9、160;sin  2 cos  ，15æ ö52 5è2 ø55æ öè4 ø4422 523 10××.答案3 1010(1)同角關(guān)系：sin2 cos2 1，     tan   .(2)誘導(dǎo)公式：對于“  ± ，kZ

10、0;的三角函數(shù)值”與“  角的三角函數(shù)值”的關(guān)系可按下面口訣記憶：tan( ± )             .考 點 整 合1.三角函數(shù)公式sin cos k2奇變偶不變，符號看象限.(3)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：sin( ± )sin  cos  ±cos  

11、;sin  ；cos( ± )cos  cos  sin  sin  ；tan  ±tan 1tan  tan (4)二倍角公式：sin 2 2sin  cos  ，cos 2 cos2 sin2 2cos2 112sin2 .(5)輔助角公式：asin  x

12、bcos  x   a2b2sin(x )，其中 tan     .sin  Asin  Bsin  C2R2bcæ3     ö【例 1】  (1)(2017·九江一模)已知 tan   3，則 cosç   2

13、60;÷(   )ba2.正弦定理、余弦定理、三角形面積公式(1)正弦定理abc在ABC 中，2R(R 為ABC 的外接圓半徑)；a變形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C 等.(2)余弦定理在ABC 中，a2b2c22bccos A；b2c2a2          變形：b2c2a22bccos A，co

14、s A.(3)三角形面積公式111ABC 2absin C2bcsin A2acsin B.熱點一三角恒等變換及應(yīng)用è2ø554A.3B.C.35D.45æ125 öè1313øB(2)如圖，圓 O 與 x 軸的正半軸的交點為 A，點 C， 在圓 O 上，且點 C 位于第一象限，點 B 的坐標(biāo)為ç， ÷，AOC

15、0;.若|BC|1，則   3cos2sin·cos32222的值為_.æ3     öcosç   2 ÷sin  2解析(1)tan  3，è2ø 2sin   cos  sin2 cos2  1tan2  1052tan 63 .(2

16、)由題意得|OC|OB|BC|1，從而OBC 為等邊三角形，è 3 æø13所以 sinAOBsinçö 5÷ ，2     2    2   22        2     2  sin  

17、;   cos  æ    ö  5è 3    ø1313y 軸對稱  .若 sin     ，則 sin   _.(2)(2017·石家莊質(zhì)檢)若 cos(2  )，sin( 2 )  

18、 ，0< << <，則     的值sin   sin(  2k )sin     .(2)因為 cos(2  )且<2  < ，所以 sin(2  )   .因為 sin( 2 )   且&l

19、t; 2 <，3又因為 3cos2sincos1cos sin 3 3·1322sinç ÷.5答案(1)C(2)探究提高1.三角恒等變換的基本思路：找差異，化同角(名)，化簡求值.2.解決條件求值問題的三個關(guān)注點(1)分析已知角和未知角之間的關(guān)系，正確地用已知角來表示未知角.(2)正確地運用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來表示.(3)求解三角函數(shù)中給值求角的問題時，要根據(jù)已知求這個角的某種三角函數(shù)值，然后結(jié)合角的取值范圍，求出角的大小.【訓(xùn)練 1】 

20、(1)(2017·北京卷)在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，角  與角  均以 Ox 為始邊，它們的終邊關(guān)于13114 314742為_.解析(1) 與  的終邊關(guān)于 y 軸對稱，則    2k ，kZ，   2k ，kZ.13111445 3144 3742所以 cos( 2 )  .

21、15;     ×     .因為<  <  ，所以   .3     3222又 0<B< ，B.2ac    22ac        2     

22、60;     2 272ac3ac，即 ac  ，SABCacsin  B  ×  ×2        2  4  2   1617所以 cos(  )cos(2  )( 2 )cos(2 

23、0;)·cos( 2 )sin(2  )sin( 2 )1115 34 31147147234431答案(1)(2)熱點二正弦定理與余弦定理命題角度 1利用正(余)弦定理進行邊角計算【例 21】 (2017·武漢二模在ABC 中，a，b，c 分別是角 A，B，C 的對邊，且 2cos Acos C(tan AtanC1)1.(1)求 B 的大??；3 3(2)

24、若 ac，b 3，求ABC 的面積.解(1)由 2cos Acos C(tan Atan C1)1，1得 2(sin Asin Ccos Acos C)1，即 cos(AC) ，1cos Bcos(AC) ，3a2c2b21(2)由余弦定理得 cos B ，（ac）22acb213 3 ，又 ac，b 3，54411535 3.3 3【遷

25、移探究 1】若本題第(2)問條件變?yōu)椤叭?#160;b 3，SABC2”，試求 ac 的值.2    2    213 3          解由已知 SABC 2acsin B 2133 3 ac×，則 ac6.，由余弦定理，得 b2a2c22accos B(ac)2

26、3ac，所以(ac)2b23ac21，所以 ac 21.【遷移探究 2】在本例條件下，若 b 3，求ABC 面積的最大值.解由余弦定理，得 b2a2c22accos Ba2c2ac，則 3a2c2ac2acac，所以 ac3(當(dāng)且僅當(dāng) ac 3時取等號).113 3                所以

27、0;ABC 2acsin B2×3×sin 34.433263 3故ABC 面積的最大值為.探究提高1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的邊長、角、面積等基本計算，或?qū)蓚€定理與三角恒等變換相結(jié)合綜合解三角形.2.關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口.【訓(xùn)練 2】 (2017·全國卷)ABC 的內(nèi)角 A，B，C&

28、#160;的對邊分別為 a，b，c，已知 sin A 3cos A0，a2 7，b2.(1)求 c；(2)設(shè) D 為 BC 邊上一點，且 ADAC，求ABD 的面積.解(1)由 sin A 3cos A0 及 cos A0，得 tan A 3，又 0<A< ，2所以 A.2由 a2b2c22bc·cos&#

29、160;A，得 284c24c·cos，即 c22c240，解得 c6(舍去)，c4.(2)由題設(shè)可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD 面積與ACD 面積的比值為2         62         21AB·ADsin1AC·ADsin1.21又ABC 的面積為 ×4×2sinBAC2

30、 3，所以ABD 的面積為 3.命題角度 2應(yīng)用正、余弦定理解決實際問題【例 22】 (2017·衡水質(zhì)檢)某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度：在 C 處(點 C 在水平地面下方，O 為 CH 與水平地面 ABO 的交點)進行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個觀察點 A，B 兩地相距 100 米，BAC60°，其中 A 到 

31、C 的距離比 B 到 C 的距離遠(yuǎn) 40 米.A 地測得該儀器在 C 處的俯角為OAC15°，A 地測得最高點 H 的仰角為HAO30°，則該儀器的垂直彈射高度CH 為()A.210( 6 2)米C.210 2米B.140 6米D.20( 6 2)米sinCAH  sinAHCsinAHC解析由 題意 ， 設(shè) AC&#

32、160; x 米 ，則 BC  (x  40) 米 ， 在 ABC 內(nèi)， 由 余弦 定 理 ： BC2  BA2  CA2 2BA·CA·cosBAC，即(x40)2x210 000100x，解得 x420 米.在ACH 中，AC420 米，CAH30°15°45

33、76;，CHA90°30°60°，CHAC由正弦定理：.sinCAH可得 CHAC·140 6(米).答案B探究提高1.實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.(2.實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程 組)，解方程(組)得出所要求的解.【訓(xùn)練 3】 如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到 A 處時

34、測得公路北側(cè)一山頂 D 在西偏北30°的方向上，行駛 600 m 后到達 B 處，測得此山頂在西偏北 75°的方向上，仰角為 30°，則此山的高度 CD_m.sin  45°sin  30°解析由題意，在ABC 中，BAC30°，ABC180°75°105°，故ACB45°.600BC又 AB600 m，故由正弦定理得，解得&#

35、160;BC300 2(m).3在 RtBCD 中，CDBC·tan 30°300 2×3100 6(m).æ ö6 ø2sinç2x   ÷2，所以函數(shù) f(x)的最小正周期 T   ，最小值為4.æ ö6 ø(2)因為 f(C)2sinç2C   

36、7;20，所以 sinç2C   ÷1，又 C(0， )，知<2C<   ，所以 2C，得 C.æ ö6 ø2sinç2x   ÷1，答案100 6熱點三解三角形與三角函數(shù)的交匯問題【例 3】 (2017·長沙質(zhì)檢)已知函數(shù) f(x)2 3sin xcos x2cos2x1，x

37、R.(1)求函數(shù) f(x)的最小正周期和最小值；(2)在ABC 中，A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知 c 3，f(C)0，sin B2sin A，求 a，b 的值.解(1)f(x) 3sin 2x2cos2x1 3sin 2x(cos 2x1)1 3sin 2xcos 2x2è22èæ öè6 ø 11666623因為

38、 sin B2sin A，由正弦定理得 b2a，由余弦定理得，c2a2b22abcos Ca24a22a23a2，又 c 3，所以 a1，b2.探究提高1.解三角形與三角函數(shù)的綜合題，其中，解決與三角恒等變換有關(guān)的問題，優(yōu)先考慮角與角之間的關(guān)系；解決與三角形有關(guān)的問題，優(yōu)先考慮正弦、余弦定理.2.求解該類問題，易忽視 C 為三角形內(nèi)角，未注明 C 的限制條件導(dǎo)致產(chǎn)生錯解.【訓(xùn)練 4】 (2017·唐山調(diào)研)已知函數(shù) f(x)2cos2&

39、#160;x 3sin 2x.(1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在ABC 中，a，b，c 分別是內(nèi)角 A，B，C 的對邊，a1 且 f(A)，求ABC 面積 S 的最大值.解(1)f(x)2cos2 x 3sin 2x1cos 2x 3sin 2xè由 2k 2x2k (kZ)，得 k k (kZ)所以 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

40、êk ，k    ú(kZ). öæ6 ø(2)由 f(A)3，得 sinç2A   ÷1.又因為 0<A< ，所以 A.42         ùé     所以 S  bc&#

41、183;sin  A，26236ë36 ûè6由 a2b2c22bccos A，得 b2c2 3bc1，所以 3bc12bc，即 bc2 3，當(dāng)且僅當(dāng) bc 2 3時取得“”，12 3242 3即ABC 面積 S 的最大值為.1.對于三角函數(shù)的求值，需關(guān)注：(1)尋求角與角關(guān)系的特殊性，化非特殊角為特殊角，熟練準(zhǔn)確地應(yīng)用公式；(2)注意切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的

42、運用；(3)對于條件求值問題，要認(rèn)真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系，尋找解題的突破口，對于很難入手的問題，可利用分析法.2.三角形中判斷邊、角關(guān)系的具體方法：(1)通過正弦定理實施邊角轉(zhuǎn)換；(2)通過余弦定理實施邊角轉(zhuǎn)換；(3)通過三角變換找出角之間的關(guān)系；(4)通過三角函數(shù)值符號的判斷以及正、余弦函數(shù)的有界性進行討論；(5)若涉及兩個(或兩個以上)三角形，這時需作出這些三角形，先解條件多的三角形，再逐步求出其他三角形的邊和角，其中往往用到三角形內(nèi)角和定理，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)求解.13.解答與三角形面積有關(guān)的問題時，如已知某一內(nèi)角的大小或三角函數(shù)值，就選擇 S

43、60;absin C 來求面積，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的邊或角.一、選擇題1.(2016·全國卷 在ABC 中，B，BC 邊上的高等于  BC，則 cos  A(   )143A. 3   10B.    101010C.            &#

44、160;                           3   101010解析設(shè) BC 邊上的高 AD 交 BC 于點 D，由題意 B，BD  BC，DC  BC，tanB

45、AD1，tanCAD2，tan  BAC    12    1010  ，且 0< < <，那么  (  )2.(2017·德州二模)已知 cos     ，cos(  )10D.1243311×23，所以 cos BAC10 .答案C37 25212

46、                                    B.A. 6C. 2  ，得 sin     ，解析由 c

47、os     ，0< <又 cos(   )7可得 sin(  )    210    ×  10      22  ，55由 0< <，得  .3A.3     &

48、#160;                               B.9   3C. 3   34D. 33455210 ，0< < < 2

49、60;，即 0<  < 2 ，10 ，則 cos  cos (  )cos  cos(  )sin  sin(  )37 242 ×24答案C3.在ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別是 a，b，c.若 c2(ab)26，C，則ABC 的面積是(22D.3 3)3SABCabsin

50、  C  ×6×   .æ   ö 1      æ5 öæöè               è      &

51、#160;     è 3   ø3 ø 33 ø解析c2(ab)26，即 c2a2b22ab6.C，由余弦定理得 c2a2b2ab，由和得 ab6，1133 32222答案C4.(2017·南昌模擬)已知 cosçx ÷ ，則 cosç2x÷sin2çx÷的值為()91A.B.193C.

52、535D.æ5 öæöè            è 3   ø3 øæ2    öæ öcosç2x    ÷sin2çx   ÷æ

53、; öæ ö3 ø3 ø12cos2çx   ÷1cos2çx   ÷æ ö 53 ø 323cos2çx   ÷  .解析cosç2x÷sin2çx÷3   øèè3&

54、#160;øèèè答案C5.(2017·山東卷在ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，若ABC 為銳角三角形，且滿足 sin B(12cos C)2sin Acos Ccos A sin C，則下列等式成立的是()A.a2bC.A2BB.b2aD.B2A解析等式右邊2sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin(AC)sin

55、Acos Csin B.等式左邊2sin Bcos Csin B，則 2sin Bcos Csin Bsin Acos Csin B，因為角 C 為銳角三角形的內(nèi)角，所以 cos C 不為 0.所以 2sin Bsin A，根據(jù)正弦定理，得 a2b.答案A二、填空題B  Cb  c.bc6.(2017·全國卷)ABC 

56、的內(nèi)角 A， 的對邊分別為 a， 已知 C60°， 6，3，則 A_.2c               2解析由正弦定理，得 sin  B     bsin C6×3 23，7.(2017·池州模擬)已知 sinçæ&#

57、160;  ÷ ç0< <   ÷，則 sinç ÷_.æ    ö1è 3    ø3cosç ÷cosêçè ÷øúsinç  ÷  ；又 0&

58、lt; <，<  <  ，結(jié)合 b<c 可得 B45°，則 A180°BC75°.答案75°ö1æ öæöè 3ø3è2 øè 6ø解析sinç ÷ ，éæöùæöæö1

59、32; 6øë 23ûè 3ø3 22663æ    öè 6    øæ    öè 6    øæ1ö22   2è3ø1ç ÷ 

60、60;sinç ÷1cos2ç  ÷3.答案 2   2則 c   7b    72               2        23B  Cb &

61、#160;c  Ca8.(2017·湖北七市聯(lián)考在ABC 中，角 A， ， 對邊分別為 a， ， ， 120°， 2b，則 tan A_.解析由題意 c2a2b22abcos C4b2b24b2cos 120°5b22b27b2，73a，所以 sin Csin A，7         &#

62、160; 7             2sin A21        2 7             3，cos A   ，則 tan A  .答案3

63、2sin  Asin  B52bc       ac       5(2)由(1)，可得 sin  A   ，三、解答題9.(2017·天津卷在ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c.已知 asin A4bsin B，ac 5(a2b2c2).(1)求

64、 cos A 的值；(2)求 sin(2BA)的值.ab解(1)由 asin A4bsin B 及，得 a2b.由 ac 5(a2b2c2)及余弦定理，5acb2c2a25得 cos A.2 554b    5asin A5代入 asin A4bsin B，得 sin B.由(1)知，A 為鈍角，所以 cos B 1s

65、in2B2 55.5                    55   è  5 ø 5  5     5æ ö4 ø10.設(shè) f(x)sin  xco

66、s  xcos2çx   ÷.æAöè2øæ ö2 ø1cosç2x   ÷2          2 sin  2x1sin  2x2        2

67、0;            2由2k 2x2k ，kZ,可得k xk ，kZ；43于是 sin 2B2sin Bcos B ，cos 2B12sin2B ，故 sin(2BA)sin 2Bcos Acos 2Bsin A4 æ5ö32 52 5 ×ç÷ ×.è(1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)在銳角ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c.若 fç ÷0，a，求ABC 面積的最大值.sin 2xè解(1)由題意知 f(x)1sin