2019年高考數(shù)學(xué)(文科)二輪復(fù)習(xí)專題2 第2講 三角恒等變換與解三角形

1、1.(2017·全國(guó)卷)已知 sin   cos     ，則 sin  2 (   )第 2 講三角恒等變換與解三角形高考定位1.三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值是高考的命題熱點(diǎn)，其中同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式是解決計(jì)算問題的工具，三角恒等變換是利用三角恒等式(兩角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)進(jìn)行變換，“角”的變換是三角恒等變換的核心； 2.正弦定理與余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容

2、，主要考查邊、角、面積的計(jì)算及有關(guān)的范圍問題.真 題 感 悟43997A.2B.C.29D.79解析sin  2 2sin   cos                         .（sin  cos  ）21719

3、答案A2.(2016·山東卷在ABC 中，角 A，B，C 的對(duì)邊分別是 a，b，c，已知 bc，a22b2(1sin A)，則 A()A.  34B.3C. 4D.62bc            2b24解析因?yàn)?#160;bc，a22b2(1sin A)，b2c2a22b22b2（1sin A）所以 cos A，則 

4、cos Asin A.在ABC 中，A.答案C3.(2017·全國(guó)卷)ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c.已知 sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c 2，則 C()A.12B.6C.4D.3解析由題意得 sin(AC)sin A(sin Ccos C)0，sin Acos Ccos Asin Csin Asin 

5、;Csin Acos C0，æ   ö4 ø則 sin  C(sin  Acos  A)   2sin  CsinçA   ÷0，æ   ö4 ø因?yàn)?#160;sin  C0，所以 sinçA   

6、÷0，又因?yàn)?#160;A(0， )，所以 A ，所以 A  .èè344由正弦定理 asin  Asin  C3  sin  Cc，得2sin42    ，則 sin  C  ，得 C.4.(2017·全國(guó)卷)已知  ç0，   ÷，ta

7、n   2，則 cosç    ÷_.又 sin2 cos2 1，所以 cos2   .因?yàn)?#160; ç0，   ÷，所以 cos     ，sin      .因?yàn)?#160;cosç    &

8、#247;cos   cos  sin   sin    55   2    5    2    10126答案B2 øæ öæ öèè4 ø解析由 tan  2 得&#

9、160;sin  2 cos  ，15æ ö52 5è2 ø55æ öè4 ø4422 523 10××.答案3 1010(1)同角關(guān)系：sin2 cos2 1，     tan   .(2)誘導(dǎo)公式：對(duì)于“  ± ，kZ

10、0;的三角函數(shù)值”與“  角的三角函數(shù)值”的關(guān)系可按下面口訣記憶：tan( ± )             .考 點(diǎn) 整 合1.三角函數(shù)公式sin cos k2奇變偶不變，符號(hào)看象限.(3)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：sin( ± )sin  cos  ±cos  

11、;sin  ；cos( ± )cos  cos  sin  sin  ；tan  ±tan 1tan  tan (4)二倍角公式：sin 2 2sin  cos  ，cos 2 cos2 sin2 2cos2 112sin2 .(5)輔助角公式：asin  x

12、bcos  x   a2b2sin(x )，其中 tan     .sin  Asin  Bsin  C2R2bcæ3     ö【例 1】  (1)(2017·九江一模)已知 tan   3，則 cosç   2

13、60;÷(   )ba2.正弦定理、余弦定理、三角形面積公式(1)正弦定理abc在ABC 中，2R(R 為ABC 的外接圓半徑)；a變形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C 等.(2)余弦定理在ABC 中，a2b2c22bccos A；b2c2a2          變形：b2c2a22bccos A，co

14、s A.(3)三角形面積公式111ABC 2absin C2bcsin A2acsin B.熱點(diǎn)一三角恒等變換及應(yīng)用è2ø554A.3B.C.35D.45æ125 öè1313øB(2)如圖，圓 O 與 x 軸的正半軸的交點(diǎn)為 A，點(diǎn) C， 在圓 O 上，且點(diǎn) C 位于第一象限，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為ç， ÷，AOC

15、0;.若|BC|1，則   3cos2sin·cos32222的值為_.æ3     öcosç   2 ÷sin  2解析(1)tan  3，è2ø 2sin   cos  sin2 cos2  1tan2  1052tan 63 .(2

16、)由題意得|OC|OB|BC|1，從而OBC 為等邊三角形，è 3 æø13所以 sinAOBsinçö 5÷ ，2     2    2   22        2     2  sin  

17、;   cos  æ    ö  5è 3    ø1313y 軸對(duì)稱  .若 sin     ，則 sin   _.(2)(2017·石家莊質(zhì)檢)若 cos(2  )，sin( 2 )  

18、 ，0< << <，則     的值sin   sin(  2k )sin     .(2)因?yàn)?#160;cos(2  )且<2  < ，所以 sin(2  )   .因?yàn)?#160;sin( 2 )   且&l

19、t; 2 <，3又因?yàn)?#160;3cos2sincos1cos sin 3 3·1322sinç ÷.5答案(1)C(2)探究提高1.三角恒等變換的基本思路：找差異，化同角(名)，化簡(jiǎn)求值.2.解決條件求值問題的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)分析已知角和未知角之間的關(guān)系，正確地用已知角來(lái)表示未知角.(2)正確地運(yùn)用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來(lái)表示.(3)求解三角函數(shù)中給值求角的問題時(shí)，要根據(jù)已知求這個(gè)角的某種三角函數(shù)值，然后結(jié)合角的取值范圍，求出角的大小.【訓(xùn)練 1】 

20、(1)(2017·北京卷)在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，角  與角  均以 Ox 為始邊，它們的終邊關(guān)于13114 314742為_.解析(1) 與  的終邊關(guān)于 y 軸對(duì)稱，則    2k ，kZ，   2k ，kZ.13111445 3144 3742所以 cos( 2 )  .

21、15;     ×     .因?yàn)?lt;  <  ，所以   .3     3222又 0<B< ，B.2ac    22ac        2     

22、60;     2 272ac3ac，即 ac  ，SABCacsin  B  ×  ×2        2  4  2   1617所以 cos(  )cos(2  )( 2 )cos(2 

23、0;)·cos( 2 )sin(2  )sin( 2 )1115 34 31147147234431答案(1)(2)熱點(diǎn)二正弦定理與余弦定理命題角度 1利用正(余)弦定理進(jìn)行邊角計(jì)算【例 21】 (2017·武漢二模在ABC 中，a，b，c 分別是角 A，B，C 的對(duì)邊，且 2cos Acos C(tan AtanC1)1.(1)求 B 的大小；3 3(2)

24、若 ac，b 3，求ABC 的面積.解(1)由 2cos Acos C(tan Atan C1)1，1得 2(sin Asin Ccos Acos C)1，即 cos(AC) ，1cos Bcos(AC) ，3a2c2b21(2)由余弦定理得 cos B ，（ac）22acb213 3 ，又 ac，b 3，54411535 3.3 3【遷

25、移探究 1】若本題第(2)問條件變?yōu)椤叭?#160;b 3，SABC2”，試求 ac 的值.2    2    213 3          解由已知 SABC 2acsin B 2133 3 ac×，則 ac6.，由余弦定理，得 b2a2c22accos B(ac)2

26、3ac，所以(ac)2b23ac21，所以 ac 21.【遷移探究 2】在本例條件下，若 b 3，求ABC 面積的最大值.解由余弦定理，得 b2a2c22accos Ba2c2ac，則 3a2c2ac2acac，所以 ac3(當(dāng)且僅當(dāng) ac 3時(shí)取等號(hào)).113 3                所以

27、0;ABC 2acsin B2×3×sin 34.433263 3故ABC 面積的最大值為.探究提高1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)、角、面積等基本計(jì)算，或?qū)蓚€(gè)定理與三角恒等變換相結(jié)合綜合解三角形.2.關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口.【訓(xùn)練 2】 (2017·全國(guó)卷)ABC 的內(nèi)角 A，B，C&

28、#160;的對(duì)邊分別為 a，b，c，已知 sin A 3cos A0，a2 7，b2.(1)求 c；(2)設(shè) D 為 BC 邊上一點(diǎn)，且 ADAC，求ABD 的面積.解(1)由 sin A 3cos A0 及 cos A0，得 tan A 3，又 0<A< ，2所以 A.2由 a2b2c22bc·cos&#

29、160;A，得 284c24c·cos，即 c22c240，解得 c6(舍去)，c4.(2)由題設(shè)可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD 面積與ACD 面積的比值為2         62         21AB·ADsin1AC·ADsin1.21又ABC 的面積為 ×4×2sinBAC2

30、 3，所以ABD 的面積為 3.命題角度 2應(yīng)用正、余弦定理解決實(shí)際問題【例 22】 (2017·衡水質(zhì)檢)某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型”氣象觀測(cè)儀器的垂直彈射高度：在 C 處(點(diǎn) C 在水平地面下方，O 為 CH 與水平地面 ABO 的交點(diǎn))進(jìn)行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個(gè)觀察點(diǎn) A，B 兩地相距 100 米，BAC60°，其中 A 到 

31、C 的距離比 B 到 C 的距離遠(yuǎn) 40 米.A 地測(cè)得該儀器在 C 處的俯角為OAC15°，A 地測(cè)得最高點(diǎn) H 的仰角為HAO30°，則該儀器的垂直彈射高度CH 為()A.210( 6 2)米C.210 2米B.140 6米D.20( 6 2)米sinCAH  sinAHCsinAHC解析由 題意 ， 設(shè) AC&#

32、160; x 米 ，則 BC  (x  40) 米 ， 在 ABC 內(nèi)， 由 余弦 定 理 ： BC2  BA2  CA2 2BA·CA·cosBAC，即(x40)2x210 000100x，解得 x420 米.在ACH 中，AC420 米，CAH30°15°45

33、76;，CHA90°30°60°，CHAC由正弦定理：.sinCAH可得 CHAC·140 6(米).答案B探究提高1.實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.(2.實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程 組)，解方程(組)得出所要求的解.【訓(xùn)練 3】 如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到 A 處時(shí)

34、測(cè)得公路北側(cè)一山頂 D 在西偏北30°的方向上，行駛 600 m 后到達(dá) B 處，測(cè)得此山頂在西偏北 75°的方向上，仰角為 30°，則此山的高度 CD_m.sin  45°sin  30°解析由題意，在ABC 中，BAC30°，ABC180°75°105°，故ACB45°.600BC又 AB600 m，故由正弦定理得，解得&#

35、160;BC300 2(m).3在 RtBCD 中，CDBC·tan 30°300 2×3100 6(m).æ ö6 ø2sinç2x   ÷2，所以函數(shù) f(x)的最小正周期 T   ，最小值為4.æ ö6 ø(2)因?yàn)?#160;f(C)2sinç2C   

36、7;20，所以 sinç2C   ÷1，又 C(0， )，知<2C<   ，所以 2C，得 C.æ ö6 ø2sinç2x   ÷1，答案100 6熱點(diǎn)三解三角形與三角函數(shù)的交匯問題【例 3】 (2017·長(zhǎng)沙質(zhì)檢)已知函數(shù) f(x)2 3sin xcos x2cos2x1，x

37、R.(1)求函數(shù) f(x)的最小正周期和最小值；(2)在ABC 中，A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，已知 c 3，f(C)0，sin B2sin A，求 a，b 的值.解(1)f(x) 3sin 2x2cos2x1 3sin 2x(cos 2x1)1 3sin 2xcos 2x2è22èæ öè6 ø 11666623因?yàn)?/p>

38、 sin B2sin A，由正弦定理得 b2a，由余弦定理得，c2a2b22abcos Ca24a22a23a2，又 c 3，所以 a1，b2.探究提高1.解三角形與三角函數(shù)的綜合題，其中，解決與三角恒等變換有關(guān)的問題，優(yōu)先考慮角與角之間的關(guān)系；解決與三角形有關(guān)的問題，優(yōu)先考慮正弦、余弦定理.2.求解該類問題，易忽視 C 為三角形內(nèi)角，未注明 C 的限制條件導(dǎo)致產(chǎn)生錯(cuò)解.【訓(xùn)練 4】 (2017·唐山調(diào)研)已知函數(shù) f(x)2cos2&

39、#160;x 3sin 2x.(1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在ABC 中，a，b，c 分別是內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊，a1 且 f(A)，求ABC 面積 S 的最大值.解(1)f(x)2cos2 x 3sin 2x1cos 2x 3sin 2xè由 2k 2x2k (kZ)，得 k k (kZ)所以 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

40、êk ，k    ú(kZ). öæ6 ø(2)由 f(A)3，得 sinç2A   ÷1.又因?yàn)?#160;0<A< ，所以 A.42         ùé     所以 S  bc&#

41、183;sin  A，26236ë36 ûè6由 a2b2c22bccos A，得 b2c2 3bc1，所以 3bc12bc，即 bc2 3，當(dāng)且僅當(dāng) bc 2 3時(shí)取得“”，12 3242 3即ABC 面積 S 的最大值為.1.對(duì)于三角函數(shù)的求值，需關(guān)注：(1)尋求角與角關(guān)系的特殊性，化非特殊角為特殊角，熟練準(zhǔn)確地應(yīng)用公式；(2)注意切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的

42、運(yùn)用；(3)對(duì)于條件求值問題，要認(rèn)真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系，尋找解題的突破口，對(duì)于很難入手的問題，可利用分析法.2.三角形中判斷邊、角關(guān)系的具體方法：(1)通過正弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換；(2)通過余弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換；(3)通過三角變換找出角之間的關(guān)系；(4)通過三角函數(shù)值符號(hào)的判斷以及正、余弦函數(shù)的有界性進(jìn)行討論；(5)若涉及兩個(gè)(或兩個(gè)以上)三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解條件多的三角形，再逐步求出其他三角形的邊和角，其中往往用到三角形內(nèi)角和定理，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)求解.13.解答與三角形面積有關(guān)的問題時(shí)，如已知某一內(nèi)角的大小或三角函數(shù)值，就選擇 S

43、60;absin C 來(lái)求面積，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的邊或角.一、選擇題1.(2016·全國(guó)卷 在ABC 中，B，BC 邊上的高等于  BC，則 cos  A(   )143A. 3   10B.    101010C.            &#

44、160;                           3   101010解析設(shè) BC 邊上的高 AD 交 BC 于點(diǎn) D，由題意 B，BD  BC，DC  BC，tanB

45、AD1，tanCAD2，tan  BAC    12    1010  ，且 0< < <，那么  (  )2.(2017·德州二模)已知 cos     ，cos(  )10D.1243311×23，所以 cos BAC10 .答案C37 25212

46、                                    B.A. 6C. 2  ，得 sin     ，解析由 c

47、os     ，0< <又 cos(   )7可得 sin(  )    210    ×  10      22  ，55由 0< <，得  .3A.3     &

48、#160;                               B.9   3C. 3   34D. 33455210 ，0< < < 2

49、60;，即 0<  < 2 ，10 ，則 cos  cos (  )cos  cos(  )sin  sin(  )37 242 ×24答案C3.在ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對(duì)的邊分別是 a，b，c.若 c2(ab)26，C，則ABC 的面積是(22D.3 3)3SABCabsin

50、  C  ×6×   .æ   ö 1      æ5 öæöè               è      &

51、#160;     è 3   ø3 ø 33 ø解析c2(ab)26，即 c2a2b22ab6.C，由余弦定理得 c2a2b2ab，由和得 ab6，1133 32222答案C4.(2017·南昌模擬)已知 cosçx ÷ ，則 cosç2x÷sin2çx÷的值為()91A.B.193C.

52、535D.æ5 öæöè            è 3   ø3 øæ2    öæ öcosç2x    ÷sin2çx   ÷æ

53、; öæ ö3 ø3 ø12cos2çx   ÷1cos2çx   ÷æ ö 53 ø 323cos2çx   ÷  .解析cosç2x÷sin2çx÷3   øèè3&

54、#160;øèèè答案C5.(2017·山東卷在ABC 中，角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，若ABC 為銳角三角形，且滿足 sin B(12cos C)2sin Acos Ccos A sin C，則下列等式成立的是()A.a2bC.A2BB.b2aD.B2A解析等式右邊2sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin(AC)sin

55、Acos Csin B.等式左邊2sin Bcos Csin B，則 2sin Bcos Csin Bsin Acos Csin B，因?yàn)榻?#160;C 為銳角三角形的內(nèi)角，所以 cos C 不為 0.所以 2sin Bsin A，根據(jù)正弦定理，得 a2b.答案A二、填空題B  Cb  c.bc6.(2017·全國(guó)卷)ABC 

56、的內(nèi)角 A， 的對(duì)邊分別為 a， 已知 C60°， 6，3，則 A_.2c               2解析由正弦定理，得 sin  B     bsin C6×3 23，7.(2017·池州模擬)已知 sinçæ&#

57、160;  ÷ ç0< <   ÷，則 sinç ÷_.æ    ö1è 3    ø3cosç ÷cosêçè ÷øúsinç  ÷  ；又 0&

58、lt; <，<  <  ，結(jié)合 b<c 可得 B45°，則 A180°BC75°.答案75°ö1æ öæöè 3ø3è2 øè 6ø解析sinç ÷ ，éæöùæöæö1

59、32; 6øë 23ûè 3ø3 22663æ    öè 6    øæ    öè 6    øæ1ö22   2è3ø1ç ÷ 

60、60;sinç ÷1cos2ç  ÷3.答案 2   2則 c   7b    72               2        23B  Cb &

61、#160;c  Ca8.(2017·湖北七市聯(lián)考在ABC 中，角 A， ， 對(duì)邊分別為 a， ， ， 120°， 2b，則 tan A_.解析由題意 c2a2b22abcos C4b2b24b2cos 120°5b22b27b2，73a，所以 sin Csin A，7         &#

62、160; 7             2sin A21        2 7             3，cos A   ，則 tan A  .答案3

63、2sin  Asin  B52bc       ac       5(2)由(1)，可得 sin  A   ，三、解答題9.(2017·天津卷在ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c.已知 asin A4bsin B，ac 5(a2b2c2).(1)求

64、 cos A 的值；(2)求 sin(2BA)的值.ab解(1)由 asin A4bsin B 及，得 a2b.由 ac 5(a2b2c2)及余弦定理，5acb2c2a25得 cos A.2 554b    5asin A5代入 asin A4bsin B，得 sin B.由(1)知，A 為鈍角，所以 cos B 1s

65、in2B2 55.5                    55   è  5 ø 5  5     5æ ö4 ø10.設(shè) f(x)sin  xco

66、s  xcos2çx   ÷.æAöè2øæ ö2 ø1cosç2x   ÷2          2 sin  2x1sin  2x2        2

67、0;            2由2k 2x2k ，kZ,可得k xk ，kZ；43于是 sin 2B2sin Bcos B ，cos 2B12sin2B ，故 sin(2BA)sin 2Bcos Acos 2Bsin A4 æ5ö32 52 5 ×ç÷ ×.è(1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)在銳角ABC 中，角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c.若 fç ÷0，a，求ABC 面積的最大值.sin 2xè解(1)由題意知 f(x)1sin