201x屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.6拋物線理北師大版

1、拋物線拋物線第九章平面解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析題型分類深度剖析內(nèi)容索引內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.拋物線的概念拋物線的概念平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過(guò)F)的距離 的點(diǎn)的集合叫作拋物線.點(diǎn)F叫作拋物線的 ，直線l叫作拋物線的 .知識(shí)梳理知識(shí)梳理相等焦點(diǎn)準(zhǔn)線標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)對(duì)稱軸x軸y軸2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)焦點(diǎn)坐標(biāo)離心率e1準(zhǔn)線方程范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR開(kāi)口方向

2、向右向左向上向下【知識(shí)拓展】題組一思考辨析題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線.()(2)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是 準(zhǔn)線方程是x .()(3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形.()基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)123456(4)AB為拋物線y22px(p0)的過(guò)焦點(diǎn) 的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2 y1y2p2，弦長(zhǎng)|AB|x1x2p.()(5)若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線一定相切.()(6)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱軸垂直

3、的直線被拋物線截得的線段叫作拋物線的通徑，那么拋物線x22ay(a0)的通徑長(zhǎng)為2a.()123456解析解析拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.根據(jù)題意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.題組二教材改編題組二教材改編答案解析2.過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1x26，則|PQ|等于 1234563.已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，4)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi).解析答案解析解析設(shè)拋物線方程為y22px(p0)或x22py(p0).將P(2，4)代入，分別得方程為y28x或x2y.

4、123456y28x或x2y題組三易錯(cuò)自糾題組三易錯(cuò)自糾4.設(shè)拋物線y28x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是 答案解析解析如圖所示，拋物線的準(zhǔn)線l的方程為x2，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PAy軸，垂足是A，延長(zhǎng)PA交直線l于點(diǎn)B，則|AB|2.由于點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離|PB|426，所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離|PF|PB|6.故選B.解析123456解析答案5.已知拋物線C與雙曲線x2y21有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線C的方程是 1234566.設(shè)拋物線y28x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是_.解

5、析答案1234561,1解析解析Q(2,0)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不滿足題意，故設(shè)直線l的方程為yk(x2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1.題型分類深度剖析典例典例 設(shè)P是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若B(3,2)，則|PB|PF|的最小值為_(kāi).題型一拋物線的定義及應(yīng)用題型一拋物線的定義及應(yīng)用師生共研師生共研解析答案4解析解析如圖，過(guò)點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，則|P1Q|P1F|.則有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值為4.1.若將本例中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為(3

6、,4)，試求|PB|PF|的最小值.引申探究引申探究解答解解由題意可知點(diǎn)B(3,4)在拋物線的外部.|PB|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離，F(xiàn)(1,0)，2.若將本例中的條件改為：已知拋物線方程為y24x，直線l的方程為xy50，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，求d1d2的最小值.解答解解由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0).點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離d1|PF|1，所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決與過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦有關(guān)問(wèn)題的重

7、要途徑.思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 設(shè)P是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x1的距離之和的最小值為_(kāi).解析答案解析解析如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線是x1，由拋物線的定義知點(diǎn)P到直線x1的距離等于點(diǎn)P到F的距離.于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最小，顯然，連接AF與拋物線相交的點(diǎn)即為滿足題意的點(diǎn)，命題點(diǎn)命題點(diǎn)1求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程典例典例 (2017深圳模擬)如圖所示，過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|2|BF

8、|，且|AF|3，則此拋物線的方程為 解析題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)多維探究多維探究答案解析解析分別過(guò)點(diǎn)A，B作AA1l，BB1l，且垂足分別為A1，B1，由已知條件|BC|2|BF|，得|BC|2|BB1|，所以BCB130.又|AA1|AF|3，所以|AC|2|AA1|6，所以|CF|AC|AF|633，所以F為線段AC的中點(diǎn).故拋物線的方程為y23x.命題點(diǎn)命題點(diǎn)2拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)典例典例 已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過(guò)F的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：證明所以直線與拋物線必有兩交點(diǎn).則

9、y1，y2是方程(*)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以y1y2p2.證明(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.證明證明證明設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，如圖所示，分別過(guò)A，B作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為C，D，過(guò)M作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為N，所以以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.(1)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開(kāi)口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來(lái)解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問(wèn)題更是如此.思維升華思維升華解析答案p0，p2.故選D.解析答案解析解析

10、設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別過(guò)點(diǎn)A，B作直線x2的垂線，垂足分別為點(diǎn)D，E.命題點(diǎn)命題點(diǎn)1直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題典例典例 已知拋物線C：y28x與點(diǎn)M(2,2)，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若 則k_.解析題型三直線與拋物線的綜合問(wèn)題題型三直線與拋物線的綜合問(wèn)題多維探究多維探究答案2解析解析拋物線C的焦點(diǎn)為F(2,0)，則直線方程為yk(x2)，與拋物線方程聯(lián)立，消去y化簡(jiǎn)得k2x2(4k28)x4k20，則拋物線C與直線必有兩個(gè)交點(diǎn).設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x12)(x22)(y12)(y22)x1x22(x1x2)y1

11、y22(y1y2)80，將上面各個(gè)量代入，化簡(jiǎn)得k24k40，所以k2.命題點(diǎn)命題點(diǎn)2與拋物線弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題與拋物線弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題典例典例 (2016全國(guó))已知拋物線C：y22x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn).(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明：ARFQ；證明記過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線為l，則l的方程為2x(ab)yab0.由于F在線段AB上，故1ab0.記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，所以ARFQ.(2)若PQF的面積是ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程.解答解解設(shè)過(guò)AB的直線為l，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0

12、)，所以x11，x10(舍去).設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x，y).當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，E與D重合，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，滿足方程y2x1.所以所求軌跡方程為y2x1.(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系.(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn).若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)(設(shè)焦點(diǎn)在x軸的正半軸上)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式.(3)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法.提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般

13、用“點(diǎn)差法”求解.思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 (2018屆武漢調(diào)研)已知拋物線C：x22py(p0)和定點(diǎn)M(0,1)，設(shè)過(guò)點(diǎn)M的動(dòng)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，拋物線C在A，B處的切線交點(diǎn)為N.(1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值；解解可設(shè)AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將AB的方程代入拋物線C，得x22pkx2p0，顯然方程有兩不等實(shí)根，則x1x22pk，x1x22p. 解答(2)若ABN面積的最小值為4，求拋物線C的方程.解答故拋物線C的方程為x24y.典例典例 (12分)已知拋物線C：ymx2(m0)，焦點(diǎn)為F，直線2xy20交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，P是線段

14、AB的中點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q.(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若拋物線C上有一點(diǎn)R(xR，2)到焦點(diǎn)F的距離為3，求此時(shí)m的值；(3)是否存在實(shí)數(shù)m，使ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.直線與圓錐曲線問(wèn)題的求解策略直線與圓錐曲線問(wèn)題的求解策略答題模板答題模板規(guī)范解答答題模板思維點(diǎn)撥規(guī)范解答規(guī)范解答消去y得mx22x20，依題意，有(2)24m(2)0，存在實(shí)數(shù)m2，使ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形. 12分答題模板答題模板解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的一般步驟：解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的一般步驟：第一步：聯(lián)立方程，得關(guān)于第一

15、步：聯(lián)立方程，得關(guān)于x或或y的一元二次方程；的一元二次方程；第二步：寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系，并求出第二步：寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系，并求出0時(shí)參數(shù)范圍時(shí)參數(shù)范圍(或指出直線過(guò)或指出直線過(guò) 曲線內(nèi)一點(diǎn)曲線內(nèi)一點(diǎn))；第三步：根據(jù)題目要求列出關(guān)于第三步：根據(jù)題目要求列出關(guān)于x1x2，x1x2(或或y1y2，y1y2)的關(guān)系式，的關(guān)系式， 求得結(jié)果；求得結(jié)果；第四步：反思回顧，查看有無(wú)忽略特殊情況第四步：反思回顧，查看有無(wú)忽略特殊情況.課時(shí)作業(yè)1.點(diǎn)M(5,3)到拋物線yax2(a0)的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的方程是 基礎(chǔ)保分練基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516解析答案2.(2018屆

16、云南昆明一中摸底)已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)Al，線段AF交拋物線C于點(diǎn)B，若 等于 答案12345678910111213141516解析解析解析由已知B為AF的三等分點(diǎn)，作BHl于H，如圖，3.(2017皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)已知拋物線C：x22py(p0)，若直線y2x被拋物線所截弦長(zhǎng)為 則拋物線C的方程為 A.x28y B.x24yC.x22y D.x2y答案12345678910111213141516解析即兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(4p,8p)，故拋物線C的方程為x22y.4.(2017贛州二模)拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上一點(diǎn)，若A到F的距離

17、是A到y(tǒng)軸距離的兩倍，且OAF的面積為1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則p的值為 解析答案12345678910111213141516解析解析不妨設(shè)A(x0，y0)在第一象限，5.(2017汕頭一模)過(guò)拋物線C：x22y的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若拋物線C在點(diǎn)B處的切線的斜率為1，則|AF|等于 解析答案12345678910111213141516故|AF|BF|1.xx16.(2017昆明調(diào)研)已知拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若 12，則拋物線C的方程為 A.x28y B.x24yC.y28x D.y24x解析答案1234567

18、8910111213141516解析解析由題意，設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，12345678910111213141516消去x得y22pmyp20，顯然方程有兩個(gè)不等實(shí)根.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y22pm，y1y2p2，解析答案123456789101112131415167.(2017河北六校模擬)拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O，F(xiàn)的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36，則拋物線的方程為_(kāi).y216x解析解析設(shè)滿足題意的圓的圓心為M(xM，yM).根據(jù)題意可知圓心M在拋物線上.又圓的面積為36，拋物線方程為y216x.答案123456789101112131415168.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y26x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PAl，A為垂足.若直線AF的斜率k ，則線段PF的長(zhǎng)為_(kāi).解析612345678910111213141516解析解析由拋物線方程為y26x，解析9.(2017江西九校聯(lián)考)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線y2x21相交于A，B兩點(diǎn)，若ABF為等邊三角形，則p_.1