201x屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.6拋物線理北師大版

1、拋物線拋物線第九章平面解析幾何基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)課時作業(yè)題型分類深度剖析題型分類深度剖析內(nèi)容索引內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.拋物線的概念拋物線的概念平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過F)的距離 的點(diǎn)的集合叫作拋物線.點(diǎn)F叫作拋物線的 ，直線l叫作拋物線的 .知識梳理知識梳理相等焦點(diǎn)準(zhǔn)線標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)對稱軸x軸y軸2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單性質(zhì)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單性質(zhì)焦點(diǎn)坐標(biāo)離心率e1準(zhǔn)線方程范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR開口方向

2、向右向左向上向下【知識拓展】題組一思考辨析題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊?(1)平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線.()(2)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是 準(zhǔn)線方程是x .()(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.()基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測123456(4)AB為拋物線y22px(p0)的過焦點(diǎn) 的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2 y1y2p2，弦長|AB|x1x2p.()(5)若直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，則直線與拋物線一定相切.()(6)過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對稱軸垂直

3、的直線被拋物線截得的線段叫作拋物線的通徑，那么拋物線x22ay(a0)的通徑長為2a.()123456解析解析拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.根據(jù)題意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.題組二教材改編題組二教材改編答案解析2.過拋物線y24x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1x26，則|PQ|等于 1234563.已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點(diǎn)P(2，4)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.解析答案解析解析設(shè)拋物線方程為y22px(p0)或x22py(p0).將P(2，4)代入，分別得方程為y28x或x2y.

4、123456y28x或x2y題組三易錯自糾題組三易錯自糾4.設(shè)拋物線y28x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是 答案解析解析如圖所示，拋物線的準(zhǔn)線l的方程為x2，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)P作PAy軸，垂足是A，延長PA交直線l于點(diǎn)B，則|AB|2.由于點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離|PB|426，所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離|PF|PB|6.故選B.解析123456解析答案5.已知拋物線C與雙曲線x2y21有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線C的方程是 1234566.設(shè)拋物線y28x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是_.解

5、析答案1234561,1解析解析Q(2,0)，當(dāng)直線l的斜率不存在時，不滿足題意，故設(shè)直線l的方程為yk(x2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1.題型分類深度剖析典例典例 設(shè)P是拋物線y24x上的一個動點(diǎn)，若B(3,2)，則|PB|PF|的最小值為_.題型一拋物線的定義及應(yīng)用題型一拋物線的定義及應(yīng)用師生共研師生共研解析答案4解析解析如圖，過點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，則|P1Q|P1F|.則有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值為4.1.若將本例中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為(3

6、,4)，試求|PB|PF|的最小值.引申探究引申探究解答解解由題意可知點(diǎn)B(3,4)在拋物線的外部.|PB|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離，F(xiàn)(1,0)，2.若將本例中的條件改為：已知拋物線方程為y24x，直線l的方程為xy50，在拋物線上有一動點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，求d1d2的最小值.解答解解由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0).點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離d1|PF|1，所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決與過拋物線焦點(diǎn)的弦有關(guān)問題的重

7、要途徑.思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 設(shè)P是拋物線y24x上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x1的距離之和的最小值為_.解析答案解析解析如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線是x1，由拋物線的定義知點(diǎn)P到直線x1的距離等于點(diǎn)P到F的距離.于是，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最小，顯然，連接AF與拋物線相交的點(diǎn)即為滿足題意的點(diǎn)，命題點(diǎn)命題點(diǎn)1求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程典例典例 (2017深圳模擬)如圖所示，過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|2|BF

8、|，且|AF|3，則此拋物線的方程為 解析題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)多維探究多維探究答案解析解析分別過點(diǎn)A，B作AA1l，BB1l，且垂足分別為A1，B1，由已知條件|BC|2|BF|，得|BC|2|BB1|，所以BCB130.又|AA1|AF|3，所以|AC|2|AA1|6，所以|CF|AC|AF|633，所以F為線段AC的中點(diǎn).故拋物線的方程為y23x.命題點(diǎn)命題點(diǎn)2拋物線的簡單性質(zhì)拋物線的簡單性質(zhì)典例典例 已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過F的直線與拋物線的兩個交點(diǎn)，求證：證明所以直線與拋物線必有兩交點(diǎn).則

9、y1，y2是方程(*)的兩個實(shí)數(shù)根，所以y1y2p2.證明(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.證明證明證明設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，如圖所示，分別過A，B作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為C，D，過M作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為N，所以以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.(1)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問題更是如此.思維升華思維升華解析答案p0，p2.故選D.解析答案解析解析

10、設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別過點(diǎn)A，B作直線x2的垂線，垂足分別為點(diǎn)D，E.命題點(diǎn)命題點(diǎn)1直線與拋物線的交點(diǎn)問題直線與拋物線的交點(diǎn)問題典例典例 已知拋物線C：y28x與點(diǎn)M(2,2)，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若 則k_.解析題型三直線與拋物線的綜合問題題型三直線與拋物線的綜合問題多維探究多維探究答案2解析解析拋物線C的焦點(diǎn)為F(2,0)，則直線方程為yk(x2)，與拋物線方程聯(lián)立，消去y化簡得k2x2(4k28)x4k20，則拋物線C與直線必有兩個交點(diǎn).設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x12)(x22)(y12)(y22)x1x22(x1x2)y1

11、y22(y1y2)80，將上面各個量代入，化簡得k24k40，所以k2.命題點(diǎn)命題點(diǎn)2與拋物線弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題與拋物線弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題典例典例 (2016全國)已知拋物線C：y22x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn).(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明：ARFQ；證明記過A，B兩點(diǎn)的直線為l，則l的方程為2x(ab)yab0.由于F在線段AB上，故1ab0.記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，所以ARFQ.(2)若PQF的面積是ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程.解答解解設(shè)過AB的直線為l，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0

12、)，所以x11，x10(舍去).設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x，y).當(dāng)AB與x軸不垂直時，當(dāng)AB與x軸垂直時，E與D重合，此時E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，滿足方程y2x1.所以所求軌跡方程為y2x1.(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系.(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn).若過拋物線的焦點(diǎn)(設(shè)焦點(diǎn)在x軸的正半軸上)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式.(3)涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法.提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時一般

13、用“點(diǎn)差法”求解.思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 (2018屆武漢調(diào)研)已知拋物線C：x22py(p0)和定點(diǎn)M(0,1)，設(shè)過點(diǎn)M的動直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，拋物線C在A，B處的切線交點(diǎn)為N.(1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值；解解可設(shè)AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將AB的方程代入拋物線C，得x22pkx2p0，顯然方程有兩不等實(shí)根，則x1x22pk，x1x22p. 解答(2)若ABN面積的最小值為4，求拋物線C的方程.解答故拋物線C的方程為x24y.典例典例 (12分)已知拋物線C：ymx2(m0)，焦點(diǎn)為F，直線2xy20交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，P是線段

14、AB的中點(diǎn)，過P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q.(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若拋物線C上有一點(diǎn)R(xR，2)到焦點(diǎn)F的距離為3，求此時m的值；(3)是否存在實(shí)數(shù)m，使ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.直線與圓錐曲線問題的求解策略直線與圓錐曲線問題的求解策略答題模板答題模板規(guī)范解答答題模板思維點(diǎn)撥規(guī)范解答規(guī)范解答消去y得mx22x20，依題意，有(2)24m(2)0，存在實(shí)數(shù)m2，使ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形. 12分答題模板答題模板解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的一般步驟：解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的一般步驟：第一步：聯(lián)立方程，得關(guān)于第一

15、步：聯(lián)立方程，得關(guān)于x或或y的一元二次方程；的一元二次方程；第二步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系，并求出第二步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系，并求出0時參數(shù)范圍時參數(shù)范圍(或指出直線過或指出直線過 曲線內(nèi)一點(diǎn)曲線內(nèi)一點(diǎn))；第三步：根據(jù)題目要求列出關(guān)于第三步：根據(jù)題目要求列出關(guān)于x1x2，x1x2(或或y1y2，y1y2)的關(guān)系式，的關(guān)系式， 求得結(jié)果；求得結(jié)果；第四步：反思回顧，查看有無忽略特殊情況第四步：反思回顧，查看有無忽略特殊情況.課時作業(yè)1.點(diǎn)M(5,3)到拋物線yax2(a0)的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的方程是 基礎(chǔ)保分練基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516解析答案2.(2018屆

16、云南昆明一中摸底)已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)Al，線段AF交拋物線C于點(diǎn)B，若 等于 答案12345678910111213141516解析解析解析由已知B為AF的三等分點(diǎn)，作BHl于H，如圖，3.(2017皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)已知拋物線C：x22py(p0)，若直線y2x被拋物線所截弦長為 則拋物線C的方程為 A.x28y B.x24yC.x22y D.x2y答案12345678910111213141516解析即兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(4p,8p)，故拋物線C的方程為x22y.4.(2017贛州二模)拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上一點(diǎn)，若A到F的距離

17、是A到y(tǒng)軸距離的兩倍，且OAF的面積為1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則p的值為 解析答案12345678910111213141516解析解析不妨設(shè)A(x0，y0)在第一象限，5.(2017汕頭一模)過拋物線C：x22y的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若拋物線C在點(diǎn)B處的切線的斜率為1，則|AF|等于 解析答案12345678910111213141516故|AF|BF|1.xx16.(2017昆明調(diào)研)已知拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，經(jīng)過點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若 12，則拋物線C的方程為 A.x28y B.x24yC.y28x D.y24x解析答案1234567

18、8910111213141516解析解析由題意，設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，12345678910111213141516消去x得y22pmyp20，顯然方程有兩個不等實(shí)根.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y22pm，y1y2p2，解析答案123456789101112131415167.(2017河北六校模擬)拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O，F(xiàn)的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36，則拋物線的方程為_.y216x解析解析設(shè)滿足題意的圓的圓心為M(xM，yM).根據(jù)題意可知圓心M在拋物線上.又圓的面積為36，拋物線方程為y216x.答案123456789101112131415168.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y26x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PAl，A為垂足.若直線AF的斜率k ，則線段PF的長為_.解析612345678910111213141516解析解析由拋物線方程為y26x，解析9.(2017江西九校聯(lián)考)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線y2x21相交于A，B兩點(diǎn)，若ABF為等邊三角形，則p_.1