人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)18.2專題訓(xùn)練特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定(含答案)

1、18. 2專題訓(xùn)練 特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定1 .如圖，在BC中，AB=AC, AD是BC邊上的中線，四邊形 ADBE是平行四邊形，求證：四邊形ADBE是矩形.2 .在*BC中，M是AC邊上的一點(diǎn)，連接 BM.將小BC沿AC翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，當(dāng)DM /AB時(shí)，求證：四邊形 ABMD是菱形.3 .如圖，在BC中，AB=AC, AD是9BC的角平分線，點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使OE = OD,連接AE, BE.(1)求證：四邊形AEBD是矩形；(2)當(dāng)小BC滿足什么條件時(shí)，矩形 AEBD是正方形？并說明理由.4 .如圖，在？ABCD中，過點(diǎn)D作DELAB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊CD

2、上，CF = AE,連接 AF, BF.(1)求證：四邊形BFDE是矩形;(2)若 CF = 6, BF = 8, DF = 10,求證：AF 是/ DAB 的平分線.5 .如圖所示，E, F, G, H分別是四邊形ABCD的邊AB , BC, CD, AD 的中點(diǎn).(1)當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，四邊形EFGH是菱形、請(qǐng)說明理由;(2)當(dāng)四邊形ABCD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH為正方形？并說明理由.門G6 .如圖，等腰叢BC中，AB=AC, AHLBC,點(diǎn)E是AH上一點(diǎn)，延長(zhǎng)AH 至點(diǎn) F,使 FH = EH.(1)求證：四邊形EBFC是菱形;(2)如果/ BAC = / ECF,求證:

3、ACXCF.7 .如圖，四邊形 ABCD是菱形，點(diǎn) M, N分別在 AB, AD上，且BM =DN, MG /AD, NF/AB,點(diǎn)F, G分別在BC, CD上，MG與NF相交于點(diǎn)E.求證：四邊形 AMEN是菱形.8 .如圖，在矩形 ABCD中，AB=2, BC = 5, E, P分別在 AD, BC上,且 DE = BP=1.判斷ABEC的形狀，并說明理由;(2)判斷四邊形EFPH是什么特殊四邊形？并證明你的判斷.9 .如圖，在？ABCD中，AB = DB, / ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E, /CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F.求證：四邊形DFBE是矩形.10 .如圖，矩形ABCD中，對(duì)角

4、線AC, BD相交于。點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合)，PO的延長(zhǎng)線交BC于Q點(diǎn).(1)求證：四邊形PBQD為平行四邊形;(2)若AB=3 cm, AD = 4 cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1 cm/s的速度向點(diǎn)速運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s,問四邊形PBQD能夠成為菱形嗎？如果能,出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由.11 .如圖1,在？ABCD中，AF平分/ BAD交BC于點(diǎn)F, CE平分/ BCD交AD于點(diǎn)E.圖1圖2(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形;(2)如圖2,若BE，EC,求證：四邊形 ABFE是菱形.12 .如圖，矩形 ABCD中，AB=6, BC = 4,過對(duì)角線BD中

5、點(diǎn)O的直線 分別交AB, CD邊于點(diǎn)E, F.(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形；(2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，求EF的長(zhǎng).42£13 .如圖，在 RtAABC中，/ACB=90°,過點(diǎn) C的直線 MN /AB , D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn) D作DELBC,交直線MN于E,垂足為F,連接CD, BE.(1)求證：CE = AD;(2)當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；若D為AB中點(diǎn)，則當(dāng)/ A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形 BECD是正方形？請(qǐng)說明你的理由.14 .如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC, BD相交于點(diǎn)O,分別延長(zhǎng)OA, OC到點(diǎn)E,

6、 F,使AE =CF,依次連接B, F, D, E各點(diǎn).(1)求證：ABAEVA BCF;(2)若/ABC =50°,則當(dāng)/ EBA= 20°時(shí)，四邊形BFDE是正方形.15.已知：如圖，在菱形 ABCD中，點(diǎn)E, O, F分別是邊AB, AC, AD的中點(diǎn)，連接CE, CF, OF.求證：ABCEADCF;(2)當(dāng)AB與BC滿足什么條件時(shí),四邊形 AEOF是正方形？請(qǐng)說明理由.16 .如圖，在四邊形 ABCD 中，AB/CD, AB CD, BD = AC.(1)求證：AD = BC;(2)若E, F, G, H分別是AB, CD, AC, BD的中點(diǎn)，求證：線段EF與線

7、段GH互相垂直平分.17 .如圖，在 RtAABC 中，/ B = 90°,點(diǎn) E 是 AC 的中點(diǎn)，AC = 2AB, /BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,作AF / BC,連接DE并延長(zhǎng)交AF于點(diǎn)F,連接FC.求證:四邊形ADCF是菱形.18 .如圖，ABCA ABD,點(diǎn)E在邊AB上，CE/BD ,連接DE.求證:(1)/CEB=/ CBE;(2)四邊形BCED是菱形.19.如圖所示，AABC中,D是BC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于F,且AF=BD,連接BF.(1)求證：D是BC的中點(diǎn)；(2)若AB=AC,試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論

8、.20.已知：如圖，在?ABCD 中，AF, BH, CH, DF 分別是 / BAD, / ABC, /BCD, Z ADC的平分線.求證：四邊形 EFGH為矩形.18. 2專題訓(xùn)練 特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定1 .如圖，在BC中，AB=AC, AD是BC邊上的中線，四邊形 ADBE是平行四邊形，求證：四邊形 ADBE是矩形.解：=AB = AC, AD是BC邊上的中線，,.ADXBC. ./ADB = 90° .又四邊形ADBE是平行四邊形，四邊形ADBE是矩形.2 .在*BC中，M是AC邊上的一點(diǎn)，連接 BM.將小BC沿AC翻折，使 點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，當(dāng)DM /AB時(shí)，求證：四邊

9、形 ABMD是菱形.證明：v AB / DM ,./ BAM =/AMD.由折疊性質(zhì)得：/ CAB = /CAD, AB = AD, BM = DM./ DAM =/AMD. .DA = DM =AB = BM.四邊形ABMD是菱形.3 .如圖，在BC中，AB=AC, AD是9BC的角平分線，點(diǎn)。為AB 的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使OE = OD,連接AE, BE.(1)求證：四邊形AEBD是矩形；(2)當(dāng)小BC滿足什么條件時(shí)，矩形 AEBD是正方形？并說明理由.解：證明：丁點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)， .OA = OB.又= OE= OD, 四邊形AEBD是平行四邊形.AB=AC, AD是9BC的

10、角平分線，,.ADXBC,即/ ADB =90° . 四邊形AEBD是矩形.當(dāng)/BAC = 90°時(shí)，矩形AEBD是正方形.理由:.AB=AC, AD是*BC的角平分線， .BD = CD.又. /BACMgO , .AD = BD.矩形AEBD是正方形.4 .如圖，在？ABCD中，過點(diǎn)D作DELAB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊CD上，CF = AE,連接 AF, BF.(1)求證：四邊形BFDE是矩形；(2)若 CF = 6, BF = 8, DF = 10,求證：AF 是/ DAB 的平分線.證明：(1)，.四邊形ABCD是平行四邊形, .AB / CD, AB = CD.又 =

11、CF= AE, .BE=DF.又: BE/ DF, 四邊形BFDE為平行四邊形. DEXAB , ./ DEB =90° . 四邊形BFDE是矩形.(2):四邊形BFDE是矩形， ./ BFD = 90 ./BFC = 90° .在RtABFC中，由勾股定理，得BC =、CF2+BF2 =寸62 + 82 = 10. .AD = BC = 10.又; DF=10, . AD = DF. ./ DAF = / DFA. AB /CD, DFA = /FAB. ./ DAF = / FAB.；AF是/ DAB的平分線.5.如圖所示，E, F, G, H分別是四邊形ABCD的邊A

12、B , BC, CD, AD 的中點(diǎn).(1)當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，四邊形EFGH是菱形,請(qǐng)說明理由；(2)當(dāng)四邊形ABCD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH為正方形？并說明理由.解：(1)理由：:四邊形 ABCD是矩形，.二AC = BD.1由題思，得ef=2AC, eh =111 ./BD, GH = 2AC, GF= gBD , .EF=EH = GH = GF.一四邊形EFGH是菱形.(2)當(dāng)四邊形ABCD滿足AC = BD且AC，BD時(shí),四邊形EFGH為正方形.理 .E, F分別是四邊形ABCD的邊AB, BC的中點(diǎn)， .EF/AC, EF = 2AC._ _ J _ 1_1 _同理：

13、EH/BD, EH = 2BD, GF=2BD, GH=AC.又. AC=BD, . EF=EH = GH = GF.一四邊形EFGH是菱形.VACXBD, a EFXEH.一四邊形EFGH是正方形.6 .如圖，等腰叢BC中，AB=AC, AHLBC,點(diǎn)E是AH上一點(diǎn)，延長(zhǎng)AH至點(diǎn)F,使FH = EH.(1)求證：四邊形EBFC是菱形；(2)如果/ BAC = / ECF,求證:ACXCF.證明：(1)AB = AC, AH ±BC, .BH = HC.又FH=EH, 四邊形EBFC是平行四邊形.又; AHXBC, 四邊形EBFC是菱形.(2):四邊形EBFC是菱形，八一1 ./ E

14、CH=/ FCH=22ECF. AB=AC, AH ±BC,一1， 八 ./ cah=22bac.BAC = /ECF, ./ CAH = /FCH.,. AHIBC, . / CAH + / ACH = 90丁. / FCH+ / ACH = / ACF = 90,.ACXCF.7 .如圖，四邊形 ABCD是菱形，點(diǎn) M, N分別在 AB, AD上，且BM =DN, MG /AD, NF/AB,點(diǎn)F, G分別在BC, CD上，MG與NF相交于點(diǎn)E.求證：四邊形 AMEN是菱形.證明：v MG / AD, NF / AB ,四邊形AMEN是平行四邊形.二.四邊形ABCD是菱形， .A

15、B=AD. BM = DN, .AB BM=ADDN ,即 AM = AN.四邊形AMEN是菱形.8.如圖，在矩形 ABCD中，AB =2, BC = 5, E, P分別在 AD, BC上,且 DE = BP=1.判斷ABEC的形狀，并說明理由;(2)判斷四邊形EFPH是什么特殊四邊形？并證明你的判斷.B PC解：(1BEC是直角三角形.理由：二.四邊形ABCD為矩形， ./ADC = /BAD=90°, AD = BC = 5, AB = CD=2. 由勾股定理，得 CE = ,CD2+DE2 ='22+12=率, BE= AB2+AE2= 22+ (51 1) 2=2 5

16、. .CE2+BE2 = 5 + 20=25. BC2=52 = 25, . BE2+CE2=BC2 ./BEC=90° .BEC是直角三角形.(2)四邊形EFPH為矩形.證明：四邊形ABCD為矩形， .AD = BC, AD / BC.又= DE=BP, 四邊形DEBP是平行四邊形. .BE/ DP. AD = BC, DE=BP, .AE = CP. 四邊形AECP是平行四邊形. .AP / CE.又: BE/ DP,一四邊形EFPH是平行四邊形.又. / BEC=90°,一四邊形EFPH是矩形.9.如圖，在？ABCD中，AB = DB, / ABD的平分線BE交AD于

17、點(diǎn)E, /CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F.求證：四邊形DFBE是矩形.證明：四邊形ABCD是平行四邊形， .AD / BC, CD / AB. ./ CDB=/ABD.v BE 平分 / ABD , DF 平分 / CDB , 1 1 , 一 ./fdb=/cdb, /ebd=22abd. ./ FDB=/ EBD. . .DF / EB.又.AD/BC,.四邊形DFBE是平行四邊形. AB = DB, BE 平分/ABD, BELAD. .DEB = 90° .四邊形DFBE是矩形.10.如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC, BD相交于。點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），P

18、O的延長(zhǎng)線交BC于Q點(diǎn).BQ e(1)求證：四邊形PBQD為平行四邊形；(2)若AB =3 cm, AD = 4 cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1 cm/s的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts,問四邊形PBQD能夠成為菱形嗎？如果能，求 出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由.解：(1)證明：:四邊形ABCD是矩形， .AD/BC, OD = OB. . ./PDO = /QBO.在zTOD和為OB中，/PDO = / QBO,OD = OB,/POD = / QOB,.-.PODAQOB(ASA) . . .OP=OQ.又= OB= OD,一四邊形PBQD為平行四邊形.(2)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)

19、運(yùn)動(dòng) t s 時(shí)，AP = t cm, PD=(4 t)cm.當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)，PB=PD = (4 t)cm.丁四邊形ABCD是矩形，./ BAP= 90° .在 RtAABP 中，AB = 3 cm, AP2 + AB2=PB2,即 t2+32=(4 t)2,解得 t=7.8點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為7 s時(shí)，四邊形PBQD為菱形.811.如圖1,在？ABCD中，AF平分/ BAD交BC于點(diǎn)F, CE平分/ BCD 交AD于點(diǎn)E.(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；(2)如圖2,若BE，EC,求證：四邊形 ABFE是菱形.證明：(1); AF 平分 / BAD , CE 平分/B

20、CD,1 ,-1 ./fae=22bae, /fce=22fcd. 四邊形ABCD是平行四邊形， ./ BAE = / FCD, AD B BC. ./FAE=/FCE, /FCE=/CED. ./ FAE=/ CED. .AF / EC.又AE/ CF, 一四邊形AFCE為平行四邊形.(2)v AF / EC, BEXEC, ./AOE=/ BEC=90° . ./AOE=/AOB=90° .在BO和9EO中，/ BAO = / EAO ,AO=AO,/AOB = /AOE,.ABOAAEO(ASA). .BO=EO.同理可得AABOFBO, .AO = FO.一四邊形A

21、BFE是平行四邊形.又AFBE,平行四邊形ABFE是菱形.12 .如圖，矩形 ABCD中，AB=6, BC = 4,過對(duì)角線BD中點(diǎn)O的直線分別交AB, CD邊于點(diǎn)E, F.(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形；(2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，求EF的長(zhǎng).解：(1)證明：二.四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點(diǎn), ./A=90°, AD = BC = 4, AB/DC, OB = OD. ./ OBE= / ODF.在 zBOE 和 ADOF 中，/OBE=/ ODF,OB = OD,/BOE=/ DOF, . BOE0 DOF (ASA) .EO= FO.又= OB=OD.四邊形

22、BEDF是平行四邊形.(2):四邊形BEDF是菱形，BDXEF.設(shè) BE=x,則 DE = x, AE = 6 x.在 RtAADE 中，DE2 = AD2+AE2, ；/=42+(6 x)2.解彳導(dǎo) x=13.3,.BD=aJaD2 + AB2 = 2斤，1 .OB=2BD= 13. BDXEF,. EO = dBE2 OB2;綽3 3.EF = 2EO = 4-t13.313 .如圖，在 RtAABC中，/ACB=90°,過點(diǎn) C的直線 MN / AB , D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn) D作DEBC,交直線MN于E,垂足為F,連接CD, BE.(1)求證：CE = AD;(2)當(dāng)D為A

23、B中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；(3)若D為AB中點(diǎn)，則當(dāng)/ A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形 BECD是正 方形？請(qǐng)說明你的理由.解：（1）證明：: DELBC, ./DFB = 90° .又. / ACB = 90°, ./ACB = / DFB.AC / DE.又: MN /AB,即 CE/ AD ,四邊形ADEC是平行四邊形. .CE = AD.(2)四邊形BECD是菱形.理由：. D 為 AB 中點(diǎn)，AD = BD.又由(1)得 CE=AD,.BD = CE.又.BD/CE,四邊形BECD是平行四邊形.又; DEXBC,四邊形BECD是菱形.

24、(3)當(dāng)/A = 45°時(shí)，四邊形BECD是正方形.理由: ./ACB = 90°, /A = 45°, . / ABC = / A = 45AC = BC.又D 為 AB 中點(diǎn)，.CD LAB,即/CDB = 90°又二四邊形BECD是菱形，四邊形BECD是正方形. 當(dāng)/A = 45°時(shí)，四邊形BECD是正方形.14 .如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC, BD相交于點(diǎn)O,分別延長(zhǎng)OA, OC到點(diǎn)E, F,使AE =CF,依次連接B, F, D, E各點(diǎn).(1)求證：ABAEVA BCF;(2)若/ABC =50°,則當(dāng)/ EBA =2

25、0°時(shí)，四邊形BFDE是正方形.證明：:在菱形 ABCD中，BA=BC, ./ BAC=/ BCA.；/ BAE=/ BCF.在 zBAE 和 ABCF 中，BA= BC,/BAE=/ BCF,AE=CF, .BAE0 BCF(SAS).15 .已知：如圖，在菱形 ABCD中，點(diǎn)E, O, F分別是邊AB, AC, AD 的中點(diǎn)，連接CE, CF, OF.(1)求證：ABCEADCF;(2)當(dāng)AB與BC滿足什么條件時(shí)，四邊形 AEOF是正方形？請(qǐng)說明理由.解：(1)證明：二.四邊形ABCD為菱形, .AB = BC=CD = DA, /B = /D.又;E, F分別是AB, AD的中

26、點(diǎn)，. BE = DF.在 zBCE ffiADCF 中，BC = DC,/B = / D,BE = DF,.-.BCEADCF(SAS).(2)當(dāng)AB與BC滿足ABBC時(shí)，四邊形AEOF為正方形.理由如下:. E, O 分別是 AB, AC 的中點(diǎn)，. EO/BC.又BC/AD, .OE/AD,即 OE/AF.同理可證OF/AE, 四邊形AEOF為平行四邊形.在菱形ABCD中，點(diǎn)E, F分別是邊AB, AD的中點(diǎn)，；AE = AF.四邊形 AEOF為菱形.,. ABXBC, ./ BAD=/B = 90° .四邊形AEOF為正方形.16.如圖，在四邊形 ABCD 中，AB/CD,

27、AB CD, BD = AC.(1)求證：AD = BC;(2)若E, F, G, H分別是AB, CD, AC, BD的中點(diǎn)，求證：線段EF與線段GH互相垂直平分.證明：（1）延長(zhǎng)DC至K,使CK = AB.連接BK.,. AB C CK,四邊形ABKC是平行四邊形.，ACL BK. ./ACD = /K. BD = AC, AC= BK, .BD=BK. . ./BDC = /K. ./ACD = / BDC.在CD ffiABDC中，AC = BD, /ACD = / BDC, CD = DC,.ACDABDC(SAS). .AD = BC.(2)分別連接EH, HF, FG和GE.E,

28、 H分別是AB, BD的中點(diǎn)，EH為9BD的中位線.EH = 1AD.一 1 _ _ 1_ 1_同理：GF=AD, EG=BC, HF=BC.又由(1)知 AD = BC, . . EH = HF = FG = GE.四邊形EHFG是菱形.線段EF與線段GH互相垂直平分.17.如圖，在 RtAABC 中，/ B = 90°,點(diǎn) E 是 AC 的中點(diǎn)，AC = 2AB, /BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,作AF / BC,連接DE并延長(zhǎng)交AF于點(diǎn)F,連接FC.求證：四邊形ADCF是菱形.證明：v AF / CD, ./AFE=/ CDE.在FE和4DE中，/AFE = /CDE,/AEF = /CED, AE = CE,.AFEACDE(AAS),.AF = CD. AF / CD,一四邊形ADCF是