高中數(shù)學(xué)必修⑤23等差數(shù)列的前n項和學(xué)案

1、課題： 2.5等差數(shù)列的前n項和 編制：蘇同安 班級 姓名 學(xué)習(xí)目標： （1）理解等差數(shù)列前 項和的定義以及等差數(shù)列前 項和公式推導(dǎo)的過程，并理解推導(dǎo)此公式的方法倒序相加法，記憶公式的兩種形式；（2）理解等差數(shù)列通項公式與前 項和的公式涉及的五個字母；已知其中三個量求另兩個值； （3）會用等差數(shù)列的前項和公式解決一些簡單的與前項和有關(guān)的問題（包括實際問題），并初步感受解決數(shù)列問題常用的三種思想：方程思想，整體思想，函數(shù)思想； （4）通過了解歷史上有名的高斯求和的方法，發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的第k項與倒數(shù)第k項的和等于首項與末項的和這個規(guī)律，然后體驗從特殊到一般的研究方法。通過公式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識發(fā)生

2、、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。（5）通過公式的推導(dǎo)過程，感受數(shù)學(xué)中的對稱美；通過有關(guān)內(nèi)容在實際生活中的應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活的實用性，逐步培養(yǎng)善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問題，并運用數(shù)學(xué)知識和方法科學(xué)地解決問題的能力. 學(xué)習(xí)重點：等差數(shù)列前 項和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用學(xué)習(xí)難點：公式推導(dǎo)的思路及綜合運用學(xué)習(xí)過程：【雙基回眸】請同學(xué)們回顧一下學(xué)過的等差數(shù)列基本知識和性質(zhì)： 等差數(shù)列定義：即 (n2) a，A，b組成的等差數(shù)列可看成最簡單的等差數(shù)列，這時，A叫做a與b的 。 等差數(shù)列通項公式： (n1) d 在等差數(shù)列中， 若m + n= p + q 則

3、 【合作探究】 等差數(shù)列在現(xiàn)實生活中比較常見，如：建筑工地上一堆圓木，從上到下每層的數(shù)目分別為1，2，3，10 . 問共有多少根圓木？ 如何用簡便的方法呢？當然，若是數(shù)少了，即使口算，也能迅速得出，若數(shù)多了呢，比如：1+2+3+100=？還能不能迅速算出呢？ 在200多年前，歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被譽為“數(shù)學(xué)王子”的高斯就曾經(jīng)上演了迅速求出1+2+3+100和的好戲。 同學(xué)們或許都聽說過這個故事，高斯是怎樣來計算的？答： （數(shù)學(xué)王子，德國數(shù)學(xué)家高斯10歲的時候，有一次數(shù)學(xué)教師布特納要求學(xué)生將前100個自然數(shù)加起來，即求1+2+3+100的和。老師剛解釋完題目，高斯就把寫有答案的石板交了上去

4、，布特納連看也沒看，心想這個全班最小的學(xué)生準是瞎寫了些什么，或者交了白卷，過了很久，其他學(xué)生才一個個把石板疊在上面，等到布特納發(fā)現(xiàn)只有高斯的石板上寫著一個正確的答案而比他大的孩子都錯了的時候，才大吃一驚，因為在這之前，他從未教過學(xué)生計算等差數(shù)列。那么高斯是怎樣巧妙的算出結(jié)果的呢？我們分析，可能是高斯將這100個數(shù)分成50組（1+100），（2+99），（3+98）， ，（50+51），而每組兩數(shù)之各都等于101，因此，1+2+3+100=101×50=5050。）高斯的算法實際上解決了求等差數(shù)列1，2，3，n，前100項的和的問題。 但這只是前100項的和，我們想知道前n項的和怎樣求

5、，更想知道有沒有一個公式來表示。這就是我們今天要研究的問題首先，我們根據(jù)高斯的算法，來計算一下1，2，3，n，的前n項的和：（學(xué)生分組討論，展示做法）從而初步總結(jié)出推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和的一般方法： 借此東風(fēng)，推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項和 可請同學(xué)們先根據(jù)  1   +   2   + + n-1   +  n 來推測一下 推測： 【合作推導(dǎo)】 請同學(xué)們把 把代入中，看能得到什么： 【點評】（1）對于第一個公式，我們知道：只要知道等差數(shù)列首項、尾項和項數(shù)就可以求等差數(shù)列前n項和了；對于第二個公式，只要知

6、道等差數(shù)列首項、公差和項數(shù)就可以求等差數(shù)列前n項和了。實際解題時可根據(jù)題目給出的已知條件選擇合適的公式來解決。 （2）這兩個公式除了“數(shù)”的本質(zhì)外，用“形”也可以直觀地說明一下： 還可用梯形面積公式來說明等差數(shù)列前 項和公式，這里對圖形進行了割、補兩種處理，對應(yīng)著等差數(shù)列前 項和的兩個公式. （3） 除此之外，等差數(shù)列還有其他方法，例如：    =            =     =【互動達標】 【自主達標】1。根據(jù)下列各題

7、中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列的前n項和Sn. 答：（1）Sn= ; (2) Sn= 2. 求集合M=m| m=2n - 1 .n ，且m < 60 的元素個數(shù)，并求這些元素的和。 【互動達標】 既然數(shù)列與實際生活有密切關(guān)系，那么，首先來探索一個實際問題： 問題.12000年11月14日教育部下發(fā)了關(guān)于在中小學(xué)實施“校校通”工程的統(tǒng)治.某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年時間，在全市中小學(xué)建成不同標準的校園網(wǎng).據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費為500萬元.為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年

8、內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？ 【分析】對于應(yīng)用問題，首先應(yīng)仔細閱讀、審清題意。然后，抽象、提煉出相關(guān)數(shù)據(jù)，并分析出它們的本質(zhì)關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題 【解析】【點評】通過此題引領(lǐng)學(xué)生逐步按照下列步驟來進行：先閱讀題目；引導(dǎo)學(xué)生提取有用的信息，構(gòu)件等差數(shù)列模型；寫這個等差數(shù)列的首項和公差，并根據(jù)首項和公差選擇前n項和公式進行求解。可能出現(xiàn)的錯誤（也是數(shù)列的實際問題中常見的、典型的錯誤）： 問題.2已知數(shù)列的前n項為，求這個數(shù)列的通項公式.這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？ 【分析】這是一個關(guān)于前n項和的逆向問題，想一想的關(guān)系，然后列出，看到它們的關(guān)

9、系，就會直接得到了?！窘馕觥俊军c評】（1）引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)出已知前n項和，求通項公式的方法；                    （2）用這種數(shù)列的來確定的方法對于任何數(shù)列都是可行的，而且還要注意不一定滿足由求出的通項表達式，所以最后要驗證首項是否滿足已求出的.【深入探究】結(jié)合此例思考課本45頁“探究”：一般地，如果一個數(shù)列的前n項和為其中p、q、r為常數(shù)，且p0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果

10、是，它的首項與公差分別是什么？得到：（1）如果一個數(shù)列前n項和 的常數(shù)項r不為0，則這個數(shù)列一定 等差數(shù)列.（2）如果一個數(shù)列前n項和中常數(shù)項r為0，則這個數(shù)列一定 等差數(shù)列.最后結(jié)論：數(shù)列是等差數(shù)列等價于 問題.3已知一個等差數(shù)列前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？【分析】最直接的思路是利用方程思想：將已知條件代入等差數(shù)列前n項和的公式后，可得到兩個關(guān)于與的二元一次方程，由此可以求得與，從而得到所求前n項和的公式. 【解析】【引領(lǐng)學(xué)生探討其他解法】總結(jié)出解決數(shù)列基本問題的幾種常用的思想方法：【另法一】  

11、  【另法二】 由問題.2的探索知等差數(shù)列的前n項和可表示為 利用待定系數(shù)法可求出結(jié)果（在這里，也可看成是運用了函數(shù)思想）再通過下列的變式探究出解決數(shù)列問題常用的整體思想1已知一個等差數(shù)列前10項的和是310，前20項的和是1220.求前30項的和【分析】除了引領(lǐng)學(xué)生用剛學(xué)過的方程思想與函數(shù)思想來解決外，再引導(dǎo)學(xué)生合作探究用整體思想來解決 【解析】【點評】上述方法沒有列出方程求出具體的個別量，而是恰當?shù)剡\用了數(shù)學(xué)中的整體思想來快速求出的，要注意體會這種思想在數(shù)學(xué)中的運用（實際上，換元法體現(xiàn)的也是整體思想）。下面再給出一個題目體現(xiàn)一下在等差數(shù)列中整體思想的廣泛運用：1 在一個

12、等差數(shù)列中，已知 ，求 【合作探究】從而進一步體會一下整體思想所反映的數(shù)學(xué)本質(zhì)。小結(jié)：設(shè)計上述幾個問題的目的：一是為了體現(xiàn)解決數(shù)列問題常用的三種思想方法：方程思想、整體思想、函數(shù)思想（可繼續(xù)用問題4來體現(xiàn)）；二是為了展現(xiàn)數(shù)列在實際中的應(yīng)用。問題.4已知等差數(shù)列的前n項和為，求使得最大的序號n的值.   【分析】等差數(shù)列的前n項和公式可以寫成，所以可以看成函數(shù)當x=n時的函數(shù)值.另一方面，容易知道關(guān)于n的圖象是一條拋物線上的一些點.因此，我們可以利用二次函數(shù)來求n的值.   【解析】      &

13、#160; 【點評】通過此題進一步感受到函數(shù)思想的廣泛運用，此題還可運用下列的方法：因數(shù)列是遞減的等差數(shù)列，所以只要找到正項與負項的分界處即可： 解 且【思悟小結(jié)】知識線：（1）等差數(shù)列前 項和的定義及前 項和公式；（2）相關(guān)的等差數(shù)列的性質(zhì)。思想方法線： （1）待定系數(shù)法； （2）方程思想；（3）整體思想；（4）函數(shù)思想。題目線：（1）利用等差數(shù)列的通項公式、前 項和公式解決關(guān)于前 項和的基本問題；（2）利用等差數(shù)列的通項公式、前 項和公式解決上述問題的逆向問題；（3）實際問題；（4）相關(guān)的綜合問題。如：最值問題等等?！踞槍τ?xùn)練 鞏固提高】一、選擇題：1、已知數(shù)列的通項公式為，則的

14、前項和等于（ ）A B C D2、已知等差數(shù)列，則等于（ ）A B C D3、在等差數(shù)列中，若，是數(shù)列的前項和，則的值為（ ）ABCD4、設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（ ）ABCD二、填空題：5（1）正整數(shù)前n個偶數(shù)的和 ； （2）正整數(shù)前n個奇數(shù)的和 ；（3）在三位整數(shù)的集合中有 個數(shù)是5的倍數(shù)，它們的和為 ；（4）在正整數(shù)集合中有 個三位數(shù)，它們的和為 。 6數(shù)列的前項和，則它的通項公式是 。7根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列的有關(guān)未知數(shù)：（1） ；n= 。(2) = ；= 。（3）n = ；= 。（4）= ；= 。8若一個等差數(shù)列前項的和為，最后項的和為，且所有項的和為，則這個數(shù)列有_項三、解答題：9一個多邊形的周長等于158cm，所有各邊的長成等差數(shù)列，最大邊的長等于44cm，公差等于3cm,求多邊形的邊數(shù)。10在小于100的正整數(shù)中共有多少個數(shù)被7除余2？這些數(shù)的和是多少？11有