隨機(jī)變量及其分布(精)

1、第二章隨機(jī)變量及其分布本章要求1. 掌握隨機(jī)變量的概念(包括離散型和連續(xù)型)；2. 會(huì)求離散型隨機(jī)變量的分布律；3. 熟記離散型分布中常用的二項(xiàng)分布、泊松分布的分布律;4. 熟記分布律和分布密度的性質(zhì)；5. 深刻理解分布函數(shù)的定義和性質(zhì)；6. 熟記幾個(gè)常用的連續(xù)型分布，尤其是正態(tài)分布；7. 會(huì)求隨機(jī)變量及其函數(shù)的分布函數(shù)。內(nèi)容提要與疑難解析一、一維隨機(jī)變量及其分布1. 一維隨機(jī)變過量的定義設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是 S=e，如果對(duì)每一個(gè)e s,有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)X (e)和它對(duì)應(yīng)，這樣就可以得到一個(gè)定義在 S上的單值實(shí)函數(shù)X (e),稱為X (e)為 隨機(jī)變量。簡單的說，隨機(jī)變量一一表示隨機(jī)

2、試驗(yàn)結(jié)果的量。注：隨機(jī)變量與普通函數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別： 隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的，因而它的每一個(gè)可能值都有一定的概率。 它的定義域是樣本空間S。而S不一定是實(shí)數(shù)集，普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上的。 對(duì)于任意實(shí)數(shù)X，概率PXW x都存在； 聯(lián)系于某特定的隨機(jī)試驗(yàn) E的事件，可以用隨機(jī)變量作工具來描述，這稱為事件的 數(shù)量分。即用X (e) 來表示任意事件(IR)。2. 隨機(jī)變量的概率分布設(shè)X是隨機(jī)變量，則它的取值規(guī)律(即可能取哪些值，取這些值的概率分別是多少)稱 為X的概率分布。通常用分布函數(shù)、分布律或密度來描述隨機(jī)變量X的概率分布。3. 分布函數(shù)的定義及性質(zhì)設(shè)X是隨機(jī)變量，x是任意的實(shí)數(shù)，貝U稱函數(shù)F(x

3、)=PX乞x為X的分布函數(shù)。注意：F(x)是一個(gè)普通實(shí)函數(shù)，它的定義域是整個(gè)數(shù)軸，所以求分布函數(shù)F(x)時(shí),要對(duì)x在整個(gè)數(shù)軸上，所以求分布函數(shù)F(x)時(shí)，要對(duì)x軸在整個(gè)數(shù)軸上的取值來討論。 F(x)的值域是0、1性質(zhì)：F(x)單調(diào)不減，即若xi ：X2則F(xJ豈F(X2) 0<F(x)<1，且 F(-：) = lim F(x)=O,F( ：)im F(x)=1J沖x_/hc F(x)右連續(xù)，即F(x 7) =F(x) P ： X mxz =F(xJ F(X2)、離散型隨機(jī)變量及其分布1 定義若隨機(jī)變量X的取值是有限的或可數(shù)的，則稱 X為離散型隨機(jī)變量，它的分布稱為離散型分布。若設(shè)

4、X的所有可能取值為 知X2,川，Xk,IU,則稱PX= xk=Pk(1,2JM)為X的分布律。通 常用表格式表示分布律。XX1X2LXkLpP1P2LPkL2. 分布律的性質(zhì):0乞卩山1(k = 1,2|)QO V Pk =1k 43.分布函數(shù)為:F(x)八，Pk，這里和式是對(duì)所有Xk$4. n個(gè)常用的分布(1) ( 0-1 )分布 X的分布律為 貝努利試驗(yàn)，二項(xiàng)分布。X01p1-ppXk 一 x的k求和的。設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)結(jié)果：A和A，P(A)=p，P(A)=1 - p=q，將獨(dú)立地重復(fù)地講P，則在n次試驗(yàn)中A出行n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為 n重貝努利試驗(yàn)。 在n重貝努利試驗(yàn)中，事件

5、A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為 現(xiàn)的次數(shù)為隨機(jī)變量X,則X的分布律為PX =k =C：pk(1 p)n=，(k=O,L, n ,cOp<1并稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記為X : b(n, p)。(3) 泊松分布¥k -X的分布律，PX =k ek =0,1,2,|, 0，稱X服從參數(shù)為的泊松分布。記為 k!X : p( ')注意：（1凡只有兩種結(jié)果的試驗(yàn)都可以用（01）分布來描述。（2）二項(xiàng)分布是十分重要的分布，當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布是（0-1）分布；當(dāng)n:，k!二項(xiàng)分布以泊松分布為極限。設(shè)np = - （ 為固定常數(shù)）則有l(wèi)im pX 二 R = lim C：

6、pk(1 - p)n丄n 廠n 廠” k九當(dāng)n很大，p很?。ㄒ话鉵 _10,p乞0.1時(shí)）c：pk(1 - p嚴(yán) (一 np) k!泊松分布的有表可查，比用二項(xiàng)分布的計(jì)算簡單些。例1商店訂購1000甁汽水，在運(yùn)輸途中瓶子被打破的概率為 0.04，求商店收到破汽水甁（1）恰有兩甁的概率；（2）多于2甁的概率；（3）至少有1甁的概率。解：（1），恰有兩只破甁的概率為：（X表示收到破汽水甁數(shù)）二np =100 0.04 =4恰有兩只破瓶的概率為：（X表示收到破汽水瓶數(shù)）PX =2e* 422!0.1465（2）損壞瓶子多于2瓶的概率PX 2 = 1 _ PX = 0 _ P X = 1 - P X

7、= 2=-424e 41 -e -4e0.7618972!e* 42（3）PX -1 =1-PX =0=10.98170!三、連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布密度1. 定義： 設(shè)F（x）是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在f（x）_0，使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x有xF（x）?。╰）dt則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f （x）為X的概率分布密度（簡稱分布密度或密度函數(shù)）。2. 密度函數(shù)f（x）的性質(zhì)：x（1）f（X）_0 ；（ 2）-f （x）dx 二1 ；(3) Pxi : x ：必 = f (t)dt ;x1(4) 若在點(diǎn)x處連續(xù)，則F'(x) = f(x);(5) 連續(xù)型隨機(jī)變量取某一數(shù)值:的概率為零，即pX

8、3. 幾個(gè)常用的分布(1) 均勻分布：X在a,b上均勻分布，它的分布密度是1,a豈x乞b f(x) = b -aI0,其它(2) 正態(tài)分布(又稱高斯分布)：X的分布密度：)1(x _)2f(x)exp 2 其中.* 是常數(shù)，且二0簡記為X : N(.L,二2)。當(dāng)=0衛(wèi)=1時(shí)，X : N(0,1),稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。它的分布密度(x)、分布函數(shù)叮(x)如下:(x)二(3) 正態(tài)分布具有下列性質(zhì)： f(x) 0，且f (x)具有各階導(dǎo)數(shù) f (x)dx =1 f(x)在 C)遞增，在(j：)遞減。在x=處達(dá)到極大值；丁2兀這一性質(zhì)說明X的取值密集在丄附近，丄表示X取值集中的位置，；表示X取值集中

9、的 程度。f (x)的圖形關(guān)于x = 1對(duì)稱，這說明X落在x ： -與x 二的相應(yīng)等長區(qū) 間的概率相等，當(dāng) X : N(0,1 )時(shí)，：:q-x) =1-G(x)。如果匚固定，改變J的值，f(x)的圖像沿ox軸平行移動(dòng)而不改變形狀1如果固定，改變二，由于最大值為f(l)，可知匚越小，圖像越尖，因而落72°在"附近的概率越大0F(x)2 二廠x.嚴(yán)耳Hdt=(J)2 -通過此性質(zhì)可把一般正態(tài)分布函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，然后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求 概率，不必積分。正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，在實(shí)際問題中的許多隨機(jī)變量都服從或近似服從這 種“中間大，兩頭小”的正態(tài)分布，如，測量

10、一個(gè)零件長度的測量誤差，人的身高或體重設(shè)X : N(0,1)，對(duì)給定的：.(0“：1)，若數(shù)，.滿足條件PX ，即：.：() =1 一:，稱亠為n(0,1)分布上側(cè)分位點(diǎn)。(4) 指數(shù)分布：X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，它的分布密度為f(X)=«Zepx 臭 oI 0,x<0四、一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布1. 定義：設(shè)g(x)是定義在隨機(jī)變量X的一切可能值的集合上的連續(xù)實(shí)函數(shù)，則Y=g(X)也是一個(gè)隨機(jī)變量。每當(dāng)變量X取值丫就取值y=g(x),并稱丫為隨機(jī)變量X的函數(shù)。2. 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)X是一個(gè)具有下述分布律的離散型隨機(jī)變量：Xx-ix2LxkL£ Pk = 1

11、k呂PP1P2LPkL已知Y=g(X)，則丫也是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，具有分布律。Yg(xjg (x )Lg (x )LPP1P2LPkL(當(dāng)g(x k)中有相同者時(shí)，應(yīng)將有關(guān)Pk合并)3. 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布密度設(shè)X是一個(gè)具有概率密度為f(x)的連續(xù)型隨機(jī)變量，又設(shè)y=g(x)處處可導(dǎo)，則Y=g(x)是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，求 丫的分布密度fY(y)。|fh(y) h (y)<y <PfY(y)=<0, 其它其中 h(y)是 g(x)的反函數(shù)，：二 min g(_：, ：),max g(_： , ：)。 若y二g(x)在不相重疊的區(qū)間上逐段嚴(yán)格單調(diào)，可用上述公式，逐段求

12、分布密度然后相加。先求丫的分布函數(shù)FY(y)，F(xiàn)y(y) =PY 曲二 pg(x)曲然后對(duì)其微分，可求得丫的分布密度:f(x)dxg( x)胡fY(y) *Y(y)注意：(1) 若容易求出X的密度函數(shù)的原函數(shù)，X和丫的關(guān)系又是線性關(guān)系，用從Fx(x)到Fy(y) 的辦法來求丫的密度。x0 w x 疋 4 例2設(shè)隨機(jī)變量X具有要概率密度 加)=8,00,其它求隨機(jī)變量丫=2X+8的概率密度。解: FY(y) =P'Y _y ；=P'2X 詔一丫 二PXy-8x2y -82亍=40 64y 一83心丫"七(8<y<16)(2)若不易求出X的密度的原函數(shù)，X和丫

13、的關(guān)系是非線性關(guān)系，用對(duì)FY(y)的上限函數(shù)求導(dǎo)的辦法來求丫的密度。例3已知X的概率密度仏)=丄。倉V'2n,(-： ：x ：'=)，求 Y= X 2 的概率密度。解:F(y)P=< ,y-疋£2=efy25ee兀0 ： y ：fY(y) - FY (y)e2 兀2jy v 2iy(3)在上述的條件下，也可以用變量代換方法求丫的密度。i_x2FY(y)=20y e 2 dx，為使積分上限為y，則應(yīng)令x= it,dx=一.一一02、tdt（4）若不容易求出0 ： y ：:X的密度的原函數(shù)，X和Y之間有單值的反函數(shù)，貝U用從fx（x）到fY（y）的辦法，最方便，但條

14、件嚴(yán)格。例4設(shè)XN上2，求Y=bX+c才的分布密度，其中b、c是兩個(gè)常數(shù)。（b = 0）解：方法一：丫和X之間的關(guān)系：y=bx+c，其反函數(shù)是x=11xyyb，而亍，則(x J2 e 一戸JICFfY(y)"y -cb|*Xy(上 _J2b2：乎(y _c-b)22;亂2-:y ：亠.方法二：本題利用先求FY（y）的方法有當(dāng) b>0 時(shí)，F(xiàn)Y(y)_y-PX c_y.； =PX <y-cy -c-b： ,.27：c(x_J2(鼻 J2L 2_( b FJy-k)2fY(y)二 Fy(y)疋匚二一1心12兀b bal2jr當(dāng) b<0 時(shí)，F(xiàn)Y(y) =P*Y _y丄P

15、'bX c_y =y-cb(x_M)2=e 2亍 dx'b . 2二:二（斗2 一 b fY（y）=FY（y）=-e后備：2咒石把 b>0 , b<0 合并：fY (y) 口F 、(y -cb)2_! =1 c 2cFb2I b .丿(y c b)2b-. 2 -從此例可以看出Xy的道理。典型例題本章解題應(yīng)注意事例：（1） 若分布函數(shù)中含有待定的常數(shù)，則該常數(shù)的確定是利用Fg的性質(zhì)：lim F（x）=0 或 lim F（x）=1 或 F（xo）= F（x）。Xx_.（2） 若分布密度函數(shù)（x）中含有待定的常數(shù)，則該常數(shù)的確定是利用（x）的性質(zhì):f(x)dx=1 或(

16、離散性)k 0（3）若隨機(jī)變量為連續(xù)型，則PX =0（4）求離散型隨機(jī)變量分布律的程序: 找出隨機(jī)變量X可取的值； 寫出對(duì)應(yīng)于各取值的事件的概率； 驗(yàn)證各概率之和（即 'plx *）是否為1,是1,正確；不是1,則不正確。k=0（5）離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)一定要用分段函數(shù)表示，其圖形是由連續(xù)的階梯曲線。（6） 若隨機(jī)變量是連續(xù)型的，由分布函數(shù)F（x）求其分布密度（x）;只要在相應(yīng)的區(qū)間段將F（x）對(duì)x求導(dǎo)即可，即F（'x）二f（x），而端點(diǎn)值不必處理，最后將lx）寫成分?jǐn)?shù)函數(shù)形式。、 ”x由分布密度f（x）求分布函數(shù)F（x），只要在相應(yīng)的區(qū)間段把F（x）寫成：F（x）= Lj

17、 ®（x）dx衛(wèi)cxcbj， 最后將F（x）寫成分段形式。例1盒有形狀與功率均相同的10個(gè)燈泡，其中7個(gè)螺口，3個(gè)卡口，燈口向下看著看不見, 現(xiàn)要用1個(gè)螺口燈泡，從盒中任取一個(gè)，若為卡口的就不再放回去，求取到螺口燈泡前已 取出的卡口燈泡數(shù)X的分布律及分布函數(shù)。解：X的可能取值為0，1，2，3,上古典概率知P*X =07,PX =13-1010 930故其分布律為P 葺牴普吩廣3P =1Jk=3Q x c 0F(x)1|Z,0x<110r0.71428<,1蘭X£230o123 x119,2蘭x c31201,x _3由公式F&)= a Pk有X芒k例2設(shè)

18、有一批同類產(chǎn)品共 出的n件中所含次品件數(shù) 含次品數(shù)的分布律。N件，其中次品為M件，從中任取n件(假定n蘭N),試求取X的分布律。若n件產(chǎn)品是有放回地一件一件取出，n件中所解：(1)從N件產(chǎn)品中一次任取n件，則S含有CN個(gè)基本事件，用表示取出的n件含有k件次品，則kn _kP，x二心Cm嚴(yán)cN(超幾何分布)K=0,1,2，門勺,其中 n 1 二 min "M , nf(2)有放回地一件一件抽取n件產(chǎn)品屬n重貝努里試驗(yàn)，含次品數(shù)X服從二項(xiàng)分布。每次 試驗(yàn)中取到次品的概率為。PN故 p x =C；k(M)k Y -M)n±,k=0,1,nNN例3有一繁忙汽車站，有大量汽車通過，設(shè)

19、每輛車在一天的某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率為0.01，在某天的該段時(shí)間內(nèi)有100輛汽車通過，問出事故的概率不小于 2的概率是多少？ 解：這可以看作n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，n=100,每次試驗(yàn)中事故出現(xiàn)的概率p=0.001,np=0.1。因?yàn)橐话愕?，?dāng)np<5時(shí)，就有b(n,p)：、p( J用泊松定理來計(jì)算， =0.仁0.1。P X _2丄1 -P'X d-P'X =1 丄1-ea -。.訂1 =0.0047例4設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為:F(x)二 A Barctanx,: x :試求：(1)系數(shù)A與B; (2) X落在(-1,1)內(nèi)的概率；(3) X的分布概律。 解：(1)由于 F(

20、.：)二 0, F( ： ) =1，可知nA B( )=0、2 11:A , B =- 兀2兀A B( ) =12“ 1于是，F(xiàn)(x'arctanx,：x ：。(x)2 兀31(2)P-1 ,X ：；= F（i） -F（ J）=(-arctan1) _ 1丄 arctan(_1)2 ' |-2: 11二11-：.1( )=2二42二42(3)：Z(x)11 ' 1=F(x)= (arcta n x) x22 兀兀(1 +x )-：:x :例5設(shè)連續(xù)型隨即變量X的分布函數(shù)為:Q X £0F(x)=Ax ,0 Wx c11,x _1試求：（1）系數(shù)A ; （2）

21、X落在1+及內(nèi)的概率；（3）X的分布密度Pr:x:2 =F 一 fG"1©(3) f (x)二 F(x)=2x,0 Mxc10,其它解：(1)由于F(x)的連續(xù)性，有l(wèi)im F(x) =F(1),即 lim AxP*一1 vx W卜F("2)F(一1)=(f)2 一0 =* =1= A=1X1 -0,x <0F (x)=x2,0 蘭x c11, x >1例6設(shè)隨機(jī)變量X的密度為:f (x)二 Ae tx , -： : x ：試求：（1）系數(shù) A ；（ 2） P：X <1 ?；(3)X的分布函數(shù)。解：由于:f(x)dx=1=Ae 卅dx=2Adx

22、=1故 2A =1= A =2(2) P%cxc1=0f(x+x1 、1心1=-e dx = 一( 一e ) 2 2(3) F(x)= .xe弱dx二 21 _10 -4 -e0.3161 xe2_(2 'rt1 x x當(dāng)x : 0時(shí)，F(xiàn) (x)e dx =21 o當(dāng) x_0 時(shí)，F(xiàn)(x)=_exdx2 J-20故x的分布函數(shù)為:F(x)詔1 x2e ,x :：o1 一 _e = x _ 0 2例7設(shè)k在(0, 5)上服從均勻分布，求方程4x2 4kx k 2 =0有實(shí)根的概率。解：要是方程4x2 4kx k2=0有實(shí)根，必須=(4k)2 -4 4(k2) =16(k2 _k _2)

23、=16(k _2)(k 1) _0解得：k _2或km1已知k的概率密度為1廠，0ck <5f(k)二 50,其它故有 pk 32=嚴(yán)f (x)dx =dx = 3 +0 =322 555P債蘭_1 = jf (x)dx =0,所求概率為P匸 _2? P*k _-1 仝 0=355例8某種型號(hào)的電子管的壽命X (以小時(shí)計(jì))具有以下的概率密度:f (x)10002x,x 10000,其它現(xiàn)有一大批此種官子(設(shè)各電子管損壞與否相互獨(dú)立) 大于1500小時(shí)的概率是多少？，任取5只，問其中至少有2只壽命解：PX>1500=:10001500：廠dx 二1000 化 1500x設(shè)用丫表示5只

24、零件中所含X>1500的只數(shù)，貝U Yb(5,2),于是3110232243243243222PY _2 =1 PY ：2 =1 PY =0 PY =1 =1 -(1)5 C1()(1)4 =13 33例9假設(shè)一大型設(shè)備在任何長為t的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)服從參數(shù)為t的泊松分布。(1) 求相繼兩次故障之間的時(shí)間間隔 T的概率分布？(2) 求在設(shè)備已經(jīng)無故障工作了 8小時(shí)的情形下，再無故障運(yùn)行 8小時(shí)的概率Q。(1993年考研題)解: (1)因?yàn)镹(t)為時(shí)間間隔t(t0)內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)，又T表示相繼兩次故障間的時(shí)間間 隔，所以T>t時(shí)，必有N(t)=0，(即不發(fā)生故障)于是

25、F(t) =PT 汎 =1 _PT t =1 _ PN(t) =0 =1f （t） =F（x）=e-X（t蘭0）,故T服從指數(shù)分布(2) Q =PT _16|T _8二PT _16,T _8PT _8PT _161 -PT ：:161 - F(16) eJ6'PT _8 = 1 - PT : 8 = 1 一 F(8)二 e*'例 10 設(shè) X N(3,22),(1)求 P2cX 蘭 5, P4cX <10, PX|>2, PX >3(2)決定 C 使得 PX>C=PX <C解：(1) XN (3,2 2)5 _32 _ 3P2 ：X 乞5=：()一

26、 ：()=G(1) _G(_0.5) =G(1) _1 _G(0.5) =0.53282 210_3_4_3P -4 X ：10 -G()-：()-G(3.5) -6(35) =2：G(3.5)-1 =0.99962 2P| X | 2 =1 - P -2 _X _2 =1 - ：(-0.5) -：(-2.5) =0.69773 _3PX 3 =1 PX _3 =1 -() =1 -G(0) =0.5(2)由PX C =PX _C得1 PX _C =PX _CPX _C即有:(C 3)=丄=C 3=0=c=32 2 2 2例11假設(shè)測量的隨機(jī)誤差X N(0,102)，試求在100次重復(fù)測量中，

27、至少有三次測量誤差 的絕對(duì)值大于19.6的概率：，并利用泊松分布求出：的近似值，(要求小數(shù)點(diǎn)后取兩位有效 數(shù)字)。(注：1992年考研題)解：P| X | 19.6 =1 一一19.6 _X _19.6 =1 - ：(空 0)亠處(19) =2 - 2(19.6) =2 - 2 0.975=0.0510 10設(shè)Y表示100次重復(fù)測量中，|X|>19.6出現(xiàn)的次數(shù)。貝U 丫b (100，0.05)，由泊松分布 (二np =5)計(jì)算 PY _310099100 X 99982PY _3二1 P丫 =0 PY =1 -P丫 =2二1 一0.95100 -100 0.950.050.950.05

28、2 :52-51 -e° -5e_5 0.87查表得)2!例12設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度為A 2 ,當(dāng) A(1)由皿f (x)dx = dx =2Aarcsin xJ'1-x2 x L: 1 f (x) = < J1 _x0,當(dāng) |x|X11 1試求（1）系數(shù)A; （2） X落在（-,-）內(nèi)的概率；（3） X的分布函數(shù)F（x）解:二二A =1= A 二丄712 2 p_2 ：x2=一 arcsin x兀x F(x) = _f(x)dx= 2arcsi nx丄 arcsi nx兀2當(dāng)x<1 時(shí)，F(xiàn)(x) = 3dx=0 當(dāng)1 Ex <1 時(shí),F (x) = :%

29、二、1 x21 dx當(dāng) 5 "二=丄 arcsi nxJIQ x < -11 1故 X 的分布函數(shù)為 F(x)= - arcsinx,-1x：12 兀1,x_2例13設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X-2-1011/10P1/51/61/152/15求y=x 2的分布律解： PY =k二 PX = -k PX k, k _0,1PY =0=PXp :117PY =1二PX一1PX=1JJ76153011PY =4=PX- -2PX=20二552 2 PY =9 =PX 二-3 PX =3 =015151 1 PY =25二px = 5 Px =5 =010 10故丫的分布律為例14設(shè)隨機(jī)

30、變量X的密度函數(shù)為f(x)0, X £02 試求:3-x2“ cx e ,x 二0Y014925p1/37/301/52/151/10(1)Y =2X 3;(2)Z =X3;(3)U =ln X的密度函數(shù)y _ 3(1解：(1)Y =2X 3,于是=2是單調(diào)函數(shù)，x,Xy :2 2y -3)2由fY(y)=f(空川Xy|=；寫)3戸，y-30,3(2)Z =X2,于是 ZnX2,1 ' 1X1 ：，X2 :-2、. z2、z=.z或x2 = - z : 0故fz(z)皿)；AW3”)+ 0L=22、zgze=yA00,y 乞0y 3ye'yy 4y_2y«e

31、 e e e e e例15設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度為 的密度x(3) U = l nX,y=l nx, x=ey,xy =ey 故 fu(y) =f(ey)2x 0f (x )=；7,0 uxu昭，求 丫=$1 nX 的密度。 0,其它解：先求 Fy(y)，然后由 FY(Y)=fY(y)求 fY(y)。Fy (y) =pY_ydP©nXrcsin y 2x ,2 dx+二疋 2xL i -2 dxarcsin y 2JLFy (y)=(arcsiny). *(arcsiny)y2(二-arcsin y)(二-arcsiny)y2.12(二-arcsin y)arcs in ysmy *

32、二J -y2:2J-y2)2 1，0 ： y ： 1.2_ y二.1-fu (y)-2爲(wèi)0,其它例16在半徑為R，中心在原點(diǎn)的圓周上任拋一點(diǎn),(1)求該點(diǎn)橫坐標(biāo)X的密度函數(shù)fx(x)；(2)該點(diǎn)到點(diǎn)(-R,0)的距離Z的密度函數(shù)fz(z)解：有關(guān)圓的問題，常以圓心角做參數(shù), 設(shè)隨機(jī)點(diǎn)M(x,y)的圓心角為，由題意可?2 = 2'-).x-arccos , 2R1一R2；21設(shè)日服從上的均勻分布，其密度為fK（0,）,0,其它（1）由幾何知識(shí)有x=Rcosn ,該函數(shù)在（0,2"內(nèi)非單調(diào)，在（0,二）內(nèi)單調(diào)其反函數(shù)分別為1RCr2刁（0,兀)，x <R02 (0,2兀)，

33、x cR故 fx（x）= f（）+ f (62) 罠品R2 _r20,其它x <R（2）由幾何知識(shí)，隨機(jī)點(diǎn) M到（-R,0）的距離Z為Z=2Rcos,朕（0,2n ）2該函數(shù)在為單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)為z 111v - 2arccos , 4, z : 2R2RR rT7?韶R2Z2屮一(示)1 1故fz(z)=丿2兀 J4R2 z2 上 vR0,其它考研題精解1,設(shè)在一次試驗(yàn)中，A發(fā)生的概率為P,現(xiàn)進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn)，則A至少發(fā)生一次的概率為1-（1-P）;而事件A至多發(fā)生一次的概率為（1-P）l+nP（1-P）_2j（注1987年考研題）2,設(shè)三次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率相等，若已知A

34、至少出現(xiàn)一次的概率等于1927，則事件A在一項(xiàng)試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為1 （注：1988年考研題）3解：設(shè)事件在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為，則有1（ 1p） 3=27，從而解得P=!3,設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為0,若X c -1F(X)=P X <x?=蔦若若；1：10.8,右1 Ex <；31,右x 33則X的分布律為x-113px =x0.40.40.2（注：1991年考研題）解：由公式 P :X =x° .； = F X。0 F X。 0 算出P；X - _1 ；=0.4 0=0.4,p1x =門=0.8 0.4 =0.4P X =3丄1 -0.8 =0.24，設(shè)隨機(jī)變量X服

35、從參數(shù)偉（2，p）的二項(xiàng)分布，隨機(jī)變量 丫服從參數(shù)為（3，p）的二 項(xiàng)分布，若p ：X 一1冷則P罟。（注: 1997年考研題）。C A由于 P：X =0丄1 -PX _V=1,99解：故由 P?X =0f = c0p°q2 = q2,得q ,'2193 丿=2793從而P'Y _1；=1 -P丫 =0.；=1 -c0p°q3 =1 _q3 =1 -5，設(shè)Fi（ x）與F2（x）分別為隨機(jī)變量Xi與X2的分布函數(shù)，為使F（x）二aFi（x）-bF2（x）是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取。322（A）a =斗（B）a W5331 313（C）

36、a ,b（D）a ,b =2 222解：由題設(shè)，應(yīng)有l(wèi)im F（x） =1，又lim Lf1 （x）-bF2（x）-b,故a-b=1,經(jīng)檢驗(yàn)知應(yīng)選（A） xt 說（1998年考研題）x ）：16,已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)f（x）=丄e2-X，-:：x :，則X的概率發(fā)布函數(shù)Jx, x ： 0F(x)=<21 -djx _027,設(shè)隨機(jī)變量X服從（0, 2） 上的均勻分布，則隨機(jī)變量丫=X 2在（0,4）內(nèi)概率分布密度解：y=x2 在 0<x<2 的反函數(shù) x= . y 0<y<4Ffy(y) =fx J? (Jy )=2加八2丄廠2,0 I"1即fy

37、(y )= ,o cy v44jy8,若隨機(jī)變量X服從均值為2,方差為匚2的正態(tài)分布，且P 2 ： X ：4丄0.3，則PX ：0丄02(注：1991年考研題)解：由于X的密度函數(shù)關(guān)于X=2位軸對(duì)稱，故P X ：2 .；=：PX 2.；=0.5, P0 ：X ：2 .；=P(2 ：X ：4 .；=0.3從而 P X O； = PX ： ：-P<X ：2；=PX ：2?-Pd：x ：2.；=0.5 - 0.3=0.29,設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，fx(x)=丄求隨機(jī)變量Y=1-3X的概率密度函數(shù)fy(y)。(注:1988年考研題)解：Y的分布函數(shù)+ 301 H "y- -arc

38、tanyFY(y)二PY ：y1二P13、.X ：y/=P?X .1_yMP、X1 y3=2arcta ni n因此，Y的概率密度函數(shù)為fy y =ddy31-y2 : 1(1 -y)610,設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fx(x)=盧 公色0求隨機(jī)變量丫二ex的概率密度fy(y)0, x<0(注：1995年考研題)解：Fy y =PY :：ylPex W當(dāng)y<1時(shí)FyYA0，當(dāng)Fyy二P?X：Lny；nye°dx時(shí)，因此丫的概率密度為d°.，y<ify(y=FY(Y*心dy11，從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有 3個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗里遇到紅燈的事件是相互獨(dú)

39、立的，并且概率都是-，設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布律,5分布函數(shù)和數(shù)學(xué)期望。(注：1997年考研題)解：顯然X服從二項(xiàng)分布B 3,2 , X的可能去職位0, 1, 2, 3;其概率分別為。'、-5 丿P*X =k ；=C 沱廿二f,k “1,2,33 ,5八5丿即X的分布律為x0123p2754P 368 :125125125125據(jù)上，可得X的分布函數(shù)為0, X : 027門 彳,0 _x ：:1 125F(xpx 蘭x=81125,1 _x _21衛(wèi)125,2 _x _31,x _1X的數(shù)學(xué)期望為E X J kPk 少kA512, 設(shè)隨機(jī)變量X與丫均服從正態(tài)分布，X

40、 N：=42,Y N J,52 ,記，R =PX 乞4?,P2 =PY，：.a；5?則（A ）對(duì)任何實(shí)數(shù)4都有P =P2（B）對(duì)任何實(shí)數(shù)卩都有P1 <P2（注1993年考（C）只對(duì)4的個(gè)別值，才有R=F2（D）對(duì)任何實(shí)數(shù)4都有RaP2研題）解:由于（1 ）=1 （1，所以R = P2,故應(yīng)選A13, 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N：匕，二2，則隨二的增大，概率P X -：；Y（A）單調(diào)增大（B）單調(diào)減少（C）保持不變（D）增減不定（注：1995年考研題）解：P<X -円 c<t=Pf<1學(xué)=（1 ）_（_1 ）故應(yīng)選 C14, 某儀器裝有3只獨(dú)立工作的同型號(hào)的電子元件，其壽命（單位 /小時(shí)）都服從統(tǒng)一指數(shù)1卄分布，分布密度為f（x）»600e600,若XA°I 0,若x乞0試求：在儀器使用的最初200小時(shí)內(nèi)，至少有一只電子元件損壞的概率:（注：19