楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系

1、一般地，對于一般地，對于n N*有有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理:一、新課引入一、新課引入二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是那些？共二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是那些？共有多少個(gè)？有多少個(gè)？ 下面我們來研究二項(xiàng)式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我下面我們來研究二項(xiàng)式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我們先通過們先通過楊輝三角楊輝三角觀察觀察n為特殊值時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)為特殊值時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)？有什么特點(diǎn)？1“楊輝三角楊輝三角”的來歷及規(guī)的來歷及規(guī)律律 展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)，如下表所示：展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)，如下表所示： nba)( 1 1 1

2、2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1)(ba2)(ba3)(ba4)(ba5)(ba6)(ba()nab 0111C C012222C C C01233333C C C C0123444444C C C C C012345555555C C C C C C01234566666666C C C C C C C0121.rnnnnnnnnC C CCCC 展開式的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是：系數(shù)依次是： nba)( nnnnnC,C,C,C210 從函數(shù)角度看，從函數(shù)角度看， 可看可看成是以成是以r為自變量的函數(shù)為自變量

3、的函數(shù) , ,其定義域是：其定義域是： rnC)(rfn, 2 , 1 , 0 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，其圖象是右時(shí)，其圖象是右圖中的圖中的7個(gè)孤立點(diǎn)個(gè)孤立點(diǎn)6n2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) （1）對稱性）對稱性 與首末兩端與首末兩端“等距離等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等 這一性質(zhì)可直接由公式這一性質(zhì)可直接由公式 得到得到mnnmn CC圖象的對稱軸圖象的對稱軸：2nr （2）增減性與最大值）增減性與最大值 kknkkknnnnknkn1C)!1() 1()2)(1(C1由于由于：所以所以 相對于相對于 的增減情況由的增減情況由 決定決定 knC1Cknkkn1（2）增減性與最大值）

4、增減性與最大值 由由：2111nkkkn 二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。得最大值。 21nk 可知，當(dāng)可知，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，（2）增減性與最大值）增減性與最大值 因此，因此，當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式2Cnn系數(shù)系數(shù) 取得最大值；取得最大值； 當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 、21Cnn21Cnn相等，且同時(shí)取得最大值。相等，且同時(shí)取得最大值。（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和）各二項(xiàng)式系數(shù)的和 在二項(xiàng)式定理中，令在二項(xiàng)

5、式定理中，令 ，則：，則： 1bannnnnn2CCCC210 這就是說，這就是說， 的展開式的各二項(xiàng)式系的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于數(shù)的和等于：nba)( n2同時(shí)由于同時(shí)由于 ，上式還可以寫成：，上式還可以寫成：1C0n12CCCC321nnnnnn這是組合總數(shù)公式這是組合總數(shù)公式 例例1：1）已知）已知 ，那么，那么 = ；2） 的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是是 ；3）若）若 的展開式中的第十項(xiàng)和第十一的展開式中的第十項(xiàng)和第十一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n= ；591515,Ca Cb1016C9()ab()nabnxx)2(34項(xiàng)的二

6、項(xiàng)式系數(shù)是倒數(shù)第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的數(shù)的7倍，求展開式中倍，求展開式中x的一次項(xiàng)的一次項(xiàng)例例2 已知已知 的展開式中，第的展開式中，第 。x：。，x。x：n系數(shù)最小的項(xiàng)項(xiàng)與的展開式中系數(shù)最大的求練習(xí)的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)最大求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的系數(shù)相等項(xiàng)項(xiàng)與第的展開式中第求項(xiàng)的展開式中系數(shù)最大的求例792176212113 .2.4214.:,3.,2048.2.110101021011021077372717CCCyxNnynxn，CCnCCCCCCCC：ynxnnnnnn展開式所滿足的關(guān)系式是則其中時(shí)例 例例 證明在證明在 的展開式中，奇的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二

7、項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和項(xiàng)式系數(shù)的和nba)( 5315432105432105423324150523124204433221043|2112.321:aaaaaaaaaaaaaaaaxaxaxaxaxaxaaaaaxaxaxaxaax例若則若例。aaaxaxaxaax：的值求已知練習(xí)99311001002210100.1.1121課堂練習(xí)課堂練習(xí)1、在、在(1-x3)(1+x)10的展開式中的展開式中x5的系數(shù)是（的系數(shù)是（） A.-297 B.-252 C. 297 D. 2072、(x+y+z)9中含中含x4y2z3的項(xiàng)的系數(shù)是的項(xiàng)的系數(shù)

8、是_ 。nNnn：nn整除能被整除能被其中證明例64372433.71512. 311213251*1 10 00 01 10 00 01 1）（7 78 8r r100100r r10010099991 11001001001000 01001007 7C C7 7C C7 7C C1 10 00 01 10 00 01 19 99 91 10 00 0C C7 7C C 余數(shù)是余數(shù)是1 1，所以是所以是星期六星期六）（9 99 91 10 00 09 99 90 01 10 00 0C C7 7C C7練習(xí)、練習(xí)、今天是星期五，那么今天是星期五，那么 天后的這天后的這一天是星期幾？一天是星

9、期幾？10081 1。，：001. 0998. 06使誤差小于的近似值近似計(jì)算求例 二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)都是一些特二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù)，它有三條性質(zhì)，要理解和掌握殊的組合數(shù)，它有三條性質(zhì)，要理解和掌握好，同時(shí)要注意好，同時(shí)要注意“系數(shù)系數(shù)”與與“二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)式系數(shù)”的區(qū)別，不能混淆，只有二項(xiàng)式系數(shù)最大的的區(qū)別，不能混淆，只有二項(xiàng)式系數(shù)最大的才是中間項(xiàng)，而系數(shù)最大的不一定是中間項(xiàng)，才是中間項(xiàng)，而系數(shù)最大的不一定是中間項(xiàng)，尤其要理解和掌握尤其要理解和掌握“取特值取特值”法，它是解決法，它是解決有關(guān)二項(xiàng)展開式系數(shù)的問題的重要手段。有關(guān)二項(xiàng)展開式系數(shù)的問題的重要手段。1. 等于nnnnnnCCCC13212422.2.求求的展開式中的展開式中 項(xiàng)的系數(shù)項(xiàng)的系數(shù). .162)1 ()1 ()1 (xxx3x5105410631072108110910333333CCCCC9108102