2020年中考數(shù)學(xué)必考34個(gè)考點(diǎn)專題16：全等三角形判定和性質(zhì)問題

1、專題16全等三角形判定和性質(zhì)問題專題知識(shí)回顧1 .全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。2 .全等三角形的表示全等用符號(hào) W 表示，讀作“全等于 。如 ABC DEF ,讀作“三角形 ABC全等于三角形DEF”。注：記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。3 .全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等。4 .三角形全等的判定定理：（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”

2、）（3）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）。5 .直角三角形全等的判定：HL定理：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）專題典型題考法及解析【例題1】（2019須州省安順市）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，AB/ED, AC / FD ,那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定 ABCA DEF的是（）DA. /A=/DB. AC= DFC. AB= EDD. BF = EC【解答】選項(xiàng) A、添加/ A=Z D不能判建叢ABCA DEF ,故本選項(xiàng)正確;選項(xiàng)B、添加AC = DF可用AAS進(jìn)行判定，故本選項(xiàng)錯(cuò)

3、誤；選項(xiàng)C、添加AB = DE可用AAS進(jìn)行判定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D、添加BF = EC可得出BC=EF,然后可用 ASA進(jìn)行判定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.【例題2】（2019?黑龍江省齊齊哈爾市）如圖，已知在 那BC和4DEF中，4B= , BF = CE,點(diǎn)B、F、【解析】添加AB= DE ;,則還需添加的一個(gè)條件是（只填一個(gè)即可）BF = CE, BC= EF,AB=DB在 AABC 和 4DEF 中，, ZB-ZElbc=ef BCAADEF (SAS)求證：BD = CE.【解析】證明： AABAAC, AD AAE,【例題 3】（2019件同仁）如圖，AB=AC, ABAAC,

4、ADAAE,且 AABD=AACE. BAE+ACAE = 90, ABAE+ABAD = 90, ACAE = ABAD.又 AB=AC, AABD=AACE, AABDAACE (ASA).BD = CE.專題典型訓(xùn)練題、選擇題1.（2019?廣東）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,延長(zhǎng)CB至E使EB=2,以EB為邊在上方作正方形 EFGB, 延長(zhǎng)FG交DC于M,連接AM、AF, H為AD的中點(diǎn)，連接FH分別與AB.AM交于點(diǎn)N、K.則下列結(jié)論：祥NH云NF; AAFN=AHFG ; FN=2NK; AS；aafn : Saadm =1 : 4 .其中正確的結(jié)論有（）A. 1個(gè)B. 2個(gè)C.

5、 3個(gè)D. 4個(gè)【答案】C【解析】AH = GF=2, ZANH=AGNF, ZAHN=AGFN, AANHNF （AAS）, 正確；由得AN=GN=1 , ANGAFG , NA不垂直于 AF, AFN不是 AAFG的角平分線 AAFNWZHFG, 錯(cuò)誤；由 AAKH AMKF ,且 AH:MF=1:3, AKH:KF=1:3,又FN=HN,K 為 NH 的中點(diǎn)，即 FN=2NK, 正確；Sa afn = -AN FG=1 , Saadm = - DM AD=4, ASaafn:22Saadm =1 : 4 , 正確.2. （2019?廣西池河）如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn)E, F分別在B

6、C, CD上，BE=CF,則圖中與/ AEB相等的角的個(gè)數(shù)是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B.【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，利用SAS即可證明 ABEA BCF,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/ BFC=Z AEB,進(jìn)一步得到/ BFC = /ABF,從而求解.證明：:四邊形 ABCD是正方形， .AB/BC, AB=BC, Z ABE=Z BCF = 90 ,在 ABE和 BCF中，AB二 EC/杷院/BCF,:BE=CFABEA BCF （SAS）, ./ BFC = Z AEB, ./ BFC = Z ABF,故圖中與/ AEB相等的角的個(gè)數(shù)是 2.3. （2019砌北天門）如圖，

7、AB為。的直徑，BC為。的切線，弦 AD/OC,直線CD交BA的延長(zhǎng)線于 點(diǎn)E,連接BD.下列結(jié)論：CD是。的切線；COLDB;AEDAs EBD;ED?BC= BO?BE.其 中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）CA. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)【答案】A.【解析】連結(jié)DO.AB為。O的直徑，BC為。的切線， ./ CBO = 90 ,. AD / OC,/ DAO = / COB , / ADO = / COD.又 OA=OD, ./ DAO = Z ADO , ./ COD = Z COB.rCO=DO在 cod 和 cob 中，ZC0D=ZC0B，QD 二DE . COD，COB (SAS)

8、,CDO = Z CBO = 90 .又點(diǎn)D在。O上，CD是OO的切線；故 正確， COD，COB,.CD = CB, .OD = OB, CO垂直平分DB ,即CO DB,故正確；AB為。O的直徑，DC為。O的切線， ./ EDO = / ADB= 90 , .Z EDA+Z ADO = Z BDO + Z ADO =90 , ./ ADE = Z BDO, .OD = OB, ./ ODB = Z OBD, ./ EDA = Z DBE,一/ E=Z E,EDAAEBD,故 正確； . / EDO = Z EBC=90 ,Z E = Z E, . EODA ECB,EC OD.BE BC

9、.OD = OB,ED?BC= BO?BE,故 正確。4. （2019砌北孝感）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E.F分別在邊 CD, AD上，BE與CF交于點(diǎn)G.若BC = 4,C.19DE = AF = 1,則GF的長(zhǎng)為（）CG的【解析】證明 BCEA CDF （SAS）,得/ CBE=Z DCF,所以/ CGE=90 ,根據(jù)等角的余弦可得長(zhǎng)，可得結(jié)論.正方形 ABCD 中，BC=4,BC =CD = AD =4, Z BCE=Z CDF =90 ,AF= DE = 1,DF = CE =3,BE =CF = 5,在 BCE和CDF中，仔KDZBCEZCDF, iCE=DFBCEACDF (SA

10、S), ./ CBE=Z DCF ,. / CBE+/CEB = / ECG+/CEB=90 =Z CGE,cos/ CBE = cos/ ECG =5. （2019?山東省濱州市）如圖，在 OAB 和OCD 中，OA=OB, OC=OD, OAOC, Z AOB=Z COD= 40 ,連接AC, BD交于點(diǎn) M,連接OM.下列結(jié)論：AC=BD;/AMB=40 ;OM平分/ BOC;MO平分/ BMC,其中正確的個(gè)數(shù)為（）A. 4B. 3C. 2D . 1【答案】B.【解析】由 SAS證明 AOCBOD得出/ OCA = /ODB, AC= BD ,正確；由全等三角形的性質(zhì)得出/ OAC =

11、Z OBD,由三角形的外角性質(zhì)得：/ AMB+/OAC = /AOB+/OBD,得 出/ AMB = /AOB= 40 ,正確；作 OGLMC 于 G,OH，MB 于 H,如圖所示：則 / OGC= / OHD = 90，由 AAS 證明OCGODH (AAS), 得出OG = OH,由角平分線的判定方法得出MO平分/ BMC,正確；即可得出結(jié)論. . / AOB = Z COD = 40 , / AOB+ / AOD = / COD + / AOD ,即 / AOC = / BOD,rOA=OB在4AOC 和 ABOD 中，,ZAOCZBOD , iOC=OD .AOC BOD (SAS),

12、 ./ OCA = /ODB, AC=BD,正確； ./ OAC = Z OBD,由三角形的外角性質(zhì)得：/ AMB+/OAC = /AOB+/OBD, ./ AMB = /AOB=40 ,正確；作OGMC于G, OH，MB于H,如圖所示：則/ OGC=Z OHD =90 ,VOCA=ZODB在 OCG 和 ODH 中，. /OGC二/。如， 、OC=OD .OCG，ODH (AAS),.OG = OH,MO平分/ BMC,正確；正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)。6. （2019?可南）如圖，在四邊形 ABCD中，ADABC, D=90, AD = 4, BC = 3.分別以點(diǎn) A, C為圓心, 大于/AC長(zhǎng)為

13、半徑作弧，兩弧交于點(diǎn) E,作射線BE交AD于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)O.若點(diǎn)。是AC的中點(diǎn), 則CD的長(zhǎng)為（）A . 2MtB. 4C. 3D. MUl故選：A.【解析】連接FC,根據(jù)基本作圖，可得 OE垂直平分AC,由垂直平分線的性質(zhì)得出 AF = FC.再根據(jù)ASA 證明FOA4ABOC,那么AF = BC=3,等量代換得到FC = AF=3,利用線段的和差關(guān)系求出 FD = AD-AF =1.然后在直角 4FDC中利用勾股定理求出 CD的長(zhǎng).如圖，連接FC,則AF=FC.AD ABC, AFAO= ABCO.在FOA與BOC中,rZFAO=ZBCOlZAOF=ZCOB AFOAAABOC (AS

14、A),AF=BC=3,FC = AF = 3, FD = AD-AF=4-3=1.在FDC 中，44= 90,cd2+df2=fc2,CD2+12=32,CD = 2 6.故選：A.7. （2019?山東臨沂）如圖，D 是 AB 上一點(diǎn)，DF 交 AC 于點(diǎn) E, DE=FE, FCAAB,若 AB= 4, CF = 3,則BD的長(zhǎng)是（）B CA. 0.5B. 1C. 1.5D. 2【答案】B.【解析】根據(jù)平行線的性質(zhì)， 得出A=4FCE, AADE = 4F,根據(jù)全等三角形的判定， 得出“口夕5, 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出 AD=CF,根據(jù)AB = 4, CF=3,即可求線段 DB的長(zhǎng).C

15、FAAB, =AFCE, AADE = 4F,Z二/HCE在AADE和FCE中./知lde=fe DEACFE （AAS）, AD = CF = 3, AB = 4, DB=AB-AD = 4-3=1.二、填空題8.（2019四川成都） 如圖，在 那BC中，AB=AC,點(diǎn)D, E都在邊 BC上，ABAD=ACAE,若BD=9 ,貝U CE 的長(zhǎng)為.【答案】9【解析】此題考察的是全等三角形的性質(zhì)和判定，因?yàn)?3BC是等腰三角形，所以有AB=AC, BAD=CAE,ABD=AACE,所以 ABD AACE（ASA）,所以 BD =二次，EC=9.是ADCAEB,你添加的條件9. （2019?胡南邵

16、陽(yáng)）如圖，已知 AD=AE,請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得.（不添加任何字母和輔助線）【答案】AB = AC 或/ ADC =/ AEB 或/ ABE = Z ACD?！窘馕觥扛鶕?jù)圖形可知證明 ADCA AEB已經(jīng)具備了一個(gè)公共角和一對(duì)相等邊，因此可以利用ASA.SASAAS證明兩三角形全等. / A=Z A, AD =AE,，可以添加 AB = AC,此時(shí)滿足 SAS;添加條件/ ADC = /AEB,此時(shí)滿足 ASA;添加條件/ ABE=/ACD,此時(shí)滿足 AAS,故答案為 AB=AC 或/ ADC = /AEB 或/ ABE=/ ACD10. （2019以津）如圖，正方形紙片A落在AE上的G點(diǎn)，

17、并使折痕經(jīng)過點(diǎn)一 49 【答案】竺ABCD的邊長(zhǎng)為12, E是邊CD上一點(diǎn)，連接 AE ,折疊該紙片，使點(diǎn)13【解析】因?yàn)樗倪呅?ABCD是正方形,易得AFBA DEA,，AF=DE=5,貝UBF=13.B,得到折痕BF,點(diǎn)F在AD上，若DE=5，則GE的長(zhǎng)為又易知 AFHs bfa,所以空 空 即AH = 60 ,AH=2AH = 120 , .由勾股定理得 AE=13,BA BF1313c4 49GE=AE-AG=1311.（2019展東省廣州市）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A, B重合），ADAM= 45,點(diǎn)F在射線AM上，且AF= V2BE, CF與AD相

18、交于點(diǎn)G,連接EC, EF, EG,則下列結(jié)論: ECF = 45; 祥EG 的周長(zhǎng)為（1+萼）a； BE2+DG2= EG2; AAEAF 的面積的最大值a2.其中正確的結(jié)論是.（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）故答案為【解析】如圖1中，在BC上截取BH=BE,連接EH.BE=BH, AEBH = 90,EH = &BE, ZAF = V2BE, AAF=EH, DAM = EHB = 45, ABAD = 90 , FAE= EHC= 135, BA=BC, BE=BH, AAE=HC, FAEAAEHC (SAS), EF = EC, AAEF=AECH, ECH + ACEB=90, AAEF

19、 + ACEB = 90, FEC = 90, ECF = AEFC=45,故正確,如圖 2 中，延長(zhǎng) AD 至 ij H,使得 DH=BE,貝 U CBEACDH (SAS), ECB= ADCH , AAECH = ABCD=90, AAECG = AGCH = 45, CG = CG, CE=CH, GCEAGCH (SAS), AEG = GH , GH= DG+DH , DH = BE, EG = BE+DG,故錯(cuò)誤, AAEG 的周長(zhǎng)=AE+EG+AG = AG+GH = AD+DH +AE= AE+EB+AD = AB+AD = 2a,故錯(cuò)誤,設(shè) BE=x,貝U AE=ax, A

20、F = |J-2x,SAAEF =? (a x) xx=x2+ ax=(x2 - ax+-j-a_ 1 a2x _ _7a)一a) Ra0,x =a時(shí)，AEF的面積的最大值為a2.故正確,故答案為GCBB HHi12. （2019?山東臨沂）如圖，在 aABC 中，ACB=120, BC=4, D 為 AB 的中點(diǎn)，DCBC,則 aABC 的面積是【答案】8 .：；【解析】根據(jù)垂直的定義得到 BCD = 90,得到長(zhǎng)CD至ij H使DH =CD,由線段中點(diǎn)的定義得到 AD = BD, 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AH=BC = 4, AH=ABCD=90,求得CD = 2。,于是得到結(jié)論. DC

21、ABC, BCD = 90 , AACB= 120, AAACD=30,延長(zhǎng)CD至U H使DH = CD, D為AB的中點(diǎn)， AD = BD,rCD=DH在 AADH 與 ABCD 中， ZADZBDC ,加二BD AADHAABCD (SAS), AH = BC = 4, AH = ABCD=90, AACH = 30, CH=V3AH = 473, CD = 2 .二， AABC 的面積=2SABCD = 2XX 4X= 8,故答案為：8 . 17. （2019山東棗莊）在 ABC 中，/ BAC = 90 ,AB = AC, ADBC 于點(diǎn) D.11（i）如圖1,點(diǎn)M, N分別在AD,

22、AB上，且/BMN = 90 ,當(dāng)/ AMN = 30 , AB= 2 時(shí)，求線段 AM 的長(zhǎng);（2）如圖2,點(diǎn)E, F分別在 AB, AC上，且/ EDF = 90 ,求證：BE=AF;（3）如圖3,點(diǎn) M在AD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn) N在AC上，且/ BMN = 90 ,求證：AB+AN =2AM .AD = BD= DC = V2,求出/ MBD = 30 ,根【答案】見解析。【解析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)得到 據(jù)勾股定理計(jì)算即可; . Z BAC=90 , AB = AC, AD BC ,.AD = BD = DC, Z ABC=Z ACB= 45 , /BAD=/CAD

23、=45 AB=2,AD = BD = DC = &, . / AMN = 30 ,，/BMD = 180 -90 -30 =60 , ./ MBD = 30 ,BM = 2DM ,由勾股定理得，BM2- DM2=BD2,即(2DM) 2- DM2= (&) 2, 解得，DM =4空，AM = AD - DM = i1 2 -；_1(2)證明：. ADXBC, /EDF = 90 , ./ BDE = Z ADF ,在 BDE和 ADF中，rZB=ZDAF DADA ,1Zbde=ZadfBDEA ADF (ASA)BE = AF;(3)證明：過點(diǎn) M作ME / BC交AB的延長(zhǎng)線于 巳 ./ AME = 90 ,則 AE= V2AM , / E = 45 ,ME = MA, . / AME = 90 , / BMN = 90 , ./ BME = Z AMN ,在 BME和 AMN中，Ne =/MAN一*IA,lZBBlE=ZAmBMEA AMN (ASA),BE = AN,AB+AN = AB+BE=AE = V2AM .圖318. (2019例北)如圖，GABC 和 AADE 中，AB=AD = 6, BC= DE , AB= AD = 30 ,邊 AD 與邊 BC 交于點(diǎn)P (不與點(diǎn)B, C重合)，點(diǎn)B, E在AD異側(cè)，I為 PC的內(nèi)心.(1)求證：BAD=CAE;(2