計(jì)算機(jī)05級(jí)計(jì)算方法試卷AB及參考答案

1、計(jì)算機(jī)系05級(jí)計(jì)算方法試卷（A） （2008.1 ）班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) 得分本卷考試時(shí)間為90分鐘。（10分）已知 J10001100.0050，具有七位有效數(shù)字，試從防止誤差的角度給出適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ?jì)算 /0001 710000 ,并說(shuō)明理由。2.3.（10分）簡(jiǎn)單敘述秦九韶法（或法計(jì)算多項(xiàng)式f（x） 2x5 x4 算過(guò)程中所需的乘法次數(shù)。（10分）選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠓匠蘃orner方法）計(jì)算多項(xiàng)式值的方法思想，并應(yīng)用該方2x2在x 0.5處的值，寫出計(jì)算過(guò)程并說(shuō)明計(jì)3x20在0.5附近的一個(gè)根，要求所求根的誤4.差不超過(guò)10（15分）用LU2O分解法或高斯消去法解方程組5.2x14x12x1x23

2、x2x2X22x33x32x3X42x42x42x415x1. 01 . 52. 02. 5f(x)1. 06. 08. 012. 0（15分）給出函數(shù)表Newton)試用拉格朗日（Lagrange）插值方法或牛頓（ 插值多項(xiàng)式近似計(jì)算f（x）在1.8處的值。插值方法求插值多項(xiàng)式，并利用y（0） 16.（10分）給定數(shù)據(jù)表x1. 01 . 52. 02. 5y2. 03. 25. 07. 2用最小二乘法求形如 y a bx的經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)擬合上述數(shù)據(jù)表。7. （15分）簡(jiǎn)述龍貝格（Romberg）求積方法的思想，并選取適當(dāng)?shù)臄?shù)值積分方法，求積1.,21c分 xex dx,要求誤差不超過(guò) 1 10

3、2。028. （15分）寫出四階龍格一庫(kù)塔（Runge-Kutta ）方法，并選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼獬踔祮?wèn)題，取 h 0.2,y'（x） 2x y, 0 x 0.6計(jì)算機(jī)05級(jí)計(jì)算方法試卷（B） （2008.1 ）班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) 得分本卷考試時(shí)間為90分鐘。3. （10分）數(shù)列Xn滿足遞推公式 xn 2 2xn 1, ,若X J3 1.73 （有三位有效數(shù)字），問(wèn) 從X0計(jì)算到Xk時(shí)誤差有多大？ 上述計(jì)算是穩(wěn)定的？4. （10分）給出計(jì)算多項(xiàng)式f （x） 4x5 3x4 法次數(shù)盡可能少.x3 x 3在x0處的值方法，使其所需乘6. （10分）用適當(dāng)數(shù)值方法求方程3x x 1 0在區(qū)間0,

4、1上的一個(gè)根，精度107. (15分)用Gauss消去法或LU分解法解方程組2x1 x23x4 74x1 3x2 2x3 7x4 13x2 4x3 2x444為 2x28x4 168.x0.52.03.54.0f(x)2.62518.00069.37598.000試求各階差商，并寫出牛頓（10分）給定數(shù)據(jù)表Newton）插值多項(xiàng)式。x3456y491215分）給出函數(shù)表(156.用最小二乘法求形如 y a bx的經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)擬合上述數(shù)據(jù)表。2 o9. （15分）用復(fù)化辛普森（Simpson）公式Sn或復(fù)化梯形公式 Tn近似計(jì)算積分Jn2xdx，其中n 4.10. （15分）用四階龍格一庫(kù)塔（Ru

5、nge-Kutta ）方法求解初值問(wèn)題，取h 0.2，y'（x） x y 1, 0 x 0.6y（0） 1計(jì)算機(jī)系05級(jí)計(jì)算方法試卷(A)解答(2008.1 )本卷考試時(shí)間為90分鐘5. (10分)已知V1Q001100.0050，具有七位有效數(shù)字，試從防止誤差的角度給出適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ?jì)算 ,10001 710000 ,并說(shuō)明理由。解：根據(jù)防止誤差的幾個(gè)原則，在進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，應(yīng)盡量避免相近數(shù)相減。 4分由于，當(dāng)x 1時(shí)，mH <X是相近數(shù)相減，因此在數(shù)值計(jì)算時(shí)要盡量避免 .這里可以利用來(lái)避免相近數(shù)相減.據(jù)此有,100011000010001.10000200.00500.00499

6、9875003125分說(shuō)明：對(duì)于其他做法適當(dāng)給分。6. (10分)簡(jiǎn)單敘述秦九韶法(或 Horner方法)計(jì)算多項(xiàng)式值的方法思想，并應(yīng)用該方法計(jì)算多項(xiàng)式f(x) 2x5 x4 2x2 x 3在x 0.5處的值，寫出計(jì)算過(guò)程并說(shuō)明計(jì) 算過(guò)程中所需的乘法次數(shù)。解：對(duì)于n次多項(xiàng)式Pn(x)anxnanxn1a1xa0,秦九韶法(或Horner方法)計(jì)算多項(xiàng)式值的方法思想是先將多項(xiàng)式改寫為Pn(x) ( (anx an1)xa1)x a0,對(duì)于給定的點(diǎn)x0,令Pnan, PiPi 1x0 ai, i n 1, n 2, , 1,0則P0為多項(xiàng)式在給定點(diǎn)的函數(shù)值，并且計(jì)算所需要的乘法次數(shù)為n. 5分應(yīng)用

7、上述方法可得f(1) (2 0.5 1) 0.5 0) 0.5 2) 0.5 1) 0.5 3 3.所需乘法次數(shù)為5次 5分 說(shuō)明：對(duì)于其他做法適當(dāng)給分。9.(10分)選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠓匠滩畈怀^(guò) 10 2。解：選用Newton迭代法，3x20在0.5附近的一個(gè)根，要求所求根的誤xk 1xkf儕)f '(xk),k 0,1,2,L對(duì)于本題而言，f(x) ex 3x2,x00.5代入上述迭代公式可得exkXk 1Xke k6xk,k 0,1,2,L計(jì)算結(jié)果如下：x1 = 0.9187; x2 = 0.9101; x3 = 0.9100; x4 = 0.9100.說(shuō)明：如果答卷上的方法思想

8、基本正確,但數(shù)值計(jì)算結(jié)果不對(duì),則適當(dāng)從輕扣分。說(shuō)明:15令Lyb,Uxy解得如果答卷上的方法思想基本正確,但數(shù)值計(jì)算結(jié)果不對(duì),則適當(dāng)從輕扣分。10. （15分）用LU分解法或高斯消去法解方程組2x1乂2x454x13x22x32x4152x1x23x32x48x22x32x4521 011LU解：A（15分）給出函數(shù)表x1. 01 . 52. 02. 5f(x)1.06. 08. 012. 0試用拉格朗日（Lagrange）插值方法或牛頓（Newton）插值方法求插值多項(xiàng)式，并利用插值多項(xiàng)式近似計(jì)算f （x）在1.8處的值。解：利用Newton插值多項(xiàng)式，先計(jì)算差商表如下：1.0 1.0000

9、0001.5 6.0000 10.0000002.0 8.0000 4.0000 -6.000002.5 12.0000 8.0000 4.0000 6.6667 6分 所求多項(xiàng)式為p（x）=6.6667 xA3 - 36.0000 xA2 + 68.3333 x - 38.0000 6分f （x）在1.8處的值的近似值為 p（1.8）=7.2400 3分說(shuō)明：如果答卷上的方法思想基本正確，但數(shù)值計(jì)算結(jié)果不對(duì)，則適當(dāng)從輕扣分。6. （10分）給定數(shù)據(jù)表x1. 01 . 52. 02. 5y2. 03. 25. 07. 2用最小二乘法求形如 y a bx的經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)擬合上述數(shù)據(jù)表。解:設(shè)節(jié)點(diǎn)為(

10、xi, yi), i 1,2, 3, 44(a,b)(yia bxi)2, 令i 1可得13.5000b+ 7.0000a=34.87.0000b + 4.0000a=17.4解得：b=3.48 a= -1.74y 1.74 3.48x 為所求.0,0,a b但數(shù)值計(jì)算結(jié)果不對(duì)，則適當(dāng)從輕扣分。11.(15分)簡(jiǎn)述龍貝格(Romberg)求積方法的思想，并選取適當(dāng)?shù)臄?shù)值積分方法,說(shuō)明：如果答卷上的方法思想基本正確,1219積分xex dx,要求誤差不超過(guò)一 10 。02解：龍貝格(Romberg)求積方法的思想是利用下述變步長(zhǎng)的梯形公式:T2n-Tnf(x 1)，i -其中h為x 1 , Tn

11、由復(fù)化梯形公式給出。41Sn二 T2n二 Tn,Cn33以及16 c1 c c 64cS2nSn, RnC2n151563可以從精度相比而言并不是很高的復(fù)化梯形公式得到精度較高的計(jì)算公式，而計(jì)算量可以充分利用變步長(zhǎng)梯形公式的優(yōu)點(diǎn).使用龍貝格(Romberg)求積方法可得上述積分的計(jì)算結(jié)果如下：1.3591 0.8811 0.8597 0.85911.0006 0.8610 0.85920.8959 0.85930.8684 4 分說(shuō)明：如果答卷上選用其他方法求得結(jié)果則一樣給分，另外，若方法思想基本正確， 但數(shù)值計(jì)算結(jié)果不對(duì)，則適當(dāng)從輕扣分。12.(15分)寫出四階龍格一庫(kù)塔 (Runge-Ku

12、tta )方法，并選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼獬踔祮?wèn)題，取 h 0.2,y'(x) 2x y, 0 x 0.6y(0) 1,、 y f (x, y) , x0 x xn 、 一解：對(duì)于方程, V 77四階龍格-庫(kù)塔(Runge- Kutta )方法如下：y(x0) v。hyki yk 6(Ki 2K2 2K3 K4)其中Kif(Xk,yk)K2f(Xkh/2,ykh/2KJK3f(Xk h/2,yk h/2K2)K4f(Xkh* hL)對(duì)于給定的問(wèn)題，應(yīng)用四階龍格-庫(kù)塔(Runge Kutta )方法可得如下計(jì)算結(jié)果： 10 分k1 =0.2000 k2 = 0.2600 k3 = 0.2660

13、 k4 = 0.3332y1 =1.2642k1 =0.3328 k2 = 0.4061 k3 = 0.4135 k4 = 0.4955y2 =1.6755k1 =0.4951 k2 =0.5846 k3 =0.5936 k4 = 0.6938y3 =2.2663即：x =00.2000 0.4000 0.6000y =1.0000 1.2642 1.6755 2.26635 分說(shuō)明：如果答卷上的方法思想基本正確，但數(shù)值計(jì)算結(jié)果不對(duì)，則適當(dāng)從輕扣分。計(jì)算機(jī)05級(jí)計(jì)算方法試卷(B) (2008.1 )班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) 得分本卷考試時(shí)間為90分鐘。7. (10分)數(shù)列Xn滿足遞推公式Xn2 2Xn

14、 1,若X <3 1.73 (有三位有效數(shù)字)，問(wèn)從X0計(jì)算到Xk時(shí)誤差有多大？上述計(jì)算是穩(wěn)定的？斛：設(shè)Xn的近似值為Xn，n Xn Xn ,由Xn 2 2Xn1,可得 2 241，兩式相減可_n 2 n1 L ( 2)n 0其中 03 1.73. 5分因此k(2)k 0, Xk的誤差隨著k的增大而增大，因而上述計(jì)算是不穩(wěn)定的8. (10分)給出計(jì)算多項(xiàng)式f (x)4x5 3x4 x3X 3在X0處的值方法，使其所需乘法次數(shù)盡可能少解：對(duì)于n次多項(xiàng)式Pn(x) anxn an 1xn 1計(jì)算多項(xiàng)式值的方法可以保證所用乘法次數(shù)最少a1x a0,秦九韶法(或 Horner 其算法思想是先將多

15、項(xiàng)式改寫為方法)Pn(x)(* ani)x對(duì)于給定的點(diǎn)x0,令ai)x ao,Pn an, PiPi 1x0ai, i n 1, n 2, 1,0則Po為多項(xiàng)式在給定點(diǎn)的函數(shù)值，并且計(jì)算所需要的乘法次數(shù)為 n. 應(yīng)用上述方法可得f(xo)(4xo3)xo1)xo0) xo 1)xo3.所需乘法次數(shù)為5次12. (1。分)用適當(dāng)數(shù)值方法求方程1o 3。x 1 o在區(qū)間o,1上的一個(gè)根，精度解：選用Newton迭代法， f (xk) xk 1 xkk o,1,2,Lf (xk)對(duì)于本題而言，f (x) x3 x 1, xo o.5代入上述迭代公式可得3 xkxk 1 Ixk 1 xk, k o,1

16、,2,L3xk1計(jì)算結(jié)果如下：x1 =o.7143, x2 =o.6832, x3 =o.6823, x4 =o.682313. (15分)用Gauss消去法或LU分解法解方程組2% x23x4 74x1 3x2 2x3 7x4 13x2 4x3 2x444K 2x28x4 16解：A2 1 o 34 3 2 7o 1 4 24 2 o 812 1o 1 12 o o 12 1o 31 2 12 12LU77113 A .12設(shè)b ，令Ly b, Ux y解得y , x 43216#分14. (15分)給出函數(shù)表x0.52.03.54.0f(x)2.62518.00069.37598.000試

17、求各階差商，并寫出牛頓(Newton)插值多項(xiàng)式。解：差商表：0.52.62502.018.000010.25003.569.375034.25008.00004.098.000057.250011.50001.00008分用最小二乘法求形如 y解：設(shè)節(jié)點(diǎn)為（Xi，y） i4（a,b） （yi ai 1Newton 插值多項(xiàng)式為：p(x)= xA3 +2 xA2 + 2 7 分x3456y4912156. （10分）給定數(shù)據(jù)表a bx的經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)擬合上述數(shù)據(jù)表。1,2, 3,42bXi）,令0, 0,a b可得86b+ 18a=19818b + 4a=40解得：b=3.6000 a= -6.2

18、000y 6.2000 3.600X 為所求.2 一 213. （15分）用復(fù)化羊普森（Simpson）公式Sn或復(fù)化梯形公式 Tn近似計(jì)算積分In xdx,1其中n 4.解：利用復(fù)化辛普森(Simpson)公式Sn 斗")4f (x/)4)i 1 62這里 xi 1 ih, h 1/ 4 , f (x) In2 x7分函數(shù)f (x)在上述節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為y 0= 0.0139, y1 = 0.1014, y2 = 0.2357, y3 = 0.3951, y4 = 0.0498, y5 = 0.1644, y6 = 0.3132, y7 = 0, y8 = 0.4805.代入上述公式可得計(jì)算結(jié)果為：s4 = 0.188314. （15分）用四階龍格一庫(kù)塔（Runge-Kutta ）方法求解初值問(wèn)題，取h 0.2,y'(x) x y 1, 0 x 0.6y(0) 1解：對(duì)于方程y f(X, y) ,Xo x xn四階龍格-庫(kù)塔(Runge- Kutta )方法如下 y(xo) yohykiyk 6(Ki 2K2 2K3 K4)其中Kif(xk,yk)K2f(xk h/2,yk h/2Ki)K3 f (xk h/2,yk h/2K2)K4f(x