西城區(qū)2019屆高三一模數(shù)學(xué)(理)試題和答案(官方版)

1、西城區(qū)2019屆高三一模數(shù)學(xué)(理)試題和答案(官方版)北京市西城區(qū)高三統(tǒng)一測(cè)試2019.4數(shù)學(xué)(理科)第I卷(選擇題共40分)-、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合 題目要求的一項(xiàng).1 .設(shè)全集 U R,集合 A x|0 x 2, B 3, 1,1,3,則集合(eu A) I B(A) 3, 1(B) 3, 1,3(C) 1,3(D) 1,11 i2,若復(fù)數(shù)z ,則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的 k值為(A) 4(B) 5(C) 7(D) 9x 1 2t,4,下列

2、直線中，與曲線 C：(t為參數(shù))沒(méi)有公共點(diǎn)的是y 2 4t(A) 2x y 0(C) 2x y 0(B) 2x y 4 0(D) 2x y 4 05.設(shè)a,b, m均為正數(shù)，則“ b a ”是“ a-m ”的 b m b(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件6.如圖，陰影表示的平面區(qū)域 W是由曲線x y0 , x2y2 2所圍成的.若點(diǎn)P(x, y)在W內(nèi)(含邊界)，則z4x 3 y的最大值和最小值分別為(A) 5貶,7(B) 572,572(07,5 短(D) 7,77.團(tuán)體購(gòu)買公園門票，票價(jià)如下表:10 / 13數(shù)學(xué)(理科)第3頁(yè)(共13頁(yè))購(gòu)

3、票人上門票價(jià)格13元/人11元/人9元/人現(xiàn)某單位要組織其市場(chǎng)部和生產(chǎn)部的員工游覽該公園，若按部門作為團(tuán)體，選擇兩個(gè)不同的時(shí)間分別購(gòu)票游覽公園，則共需支付門票費(fèi)為1290元；若兩個(gè)部門合在一起作為一個(gè)團(tuán)體，同一時(shí)間購(gòu)票游覽公園，則需支付門票費(fèi)為990元，那么這兩個(gè)部門的人數(shù)之差為(A) 20(B) 30(C) 35(D) 408.如果把一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)兩點(diǎn)間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，那么曲線x4 y2 2圍成的平面區(qū)域的直徑為(A) 4/32(B) 3(C) 242(D) 4西城區(qū)2019屆高三一模數(shù)學(xué)（理）試題和答案（官方版）第II卷（非選擇題共110分）二、填

4、空題：本大題共 6小題，每小題5分，共30分.9.在等比數(shù)列an中，為1, 出 8,則數(shù)列a的前n項(xiàng)和& .2210 .設(shè)F1, F2為雙曲線C:3 2 1（a 0,b 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好將線段F1F2三等分，則雙曲線 C的離心率為 .11 .函數(shù)f（x） sin2x cos2x的最小正周期t ；如果對(duì)于任意的x R都有f（x）a ,那么實(shí) 數(shù)a的取值范圍是.2 正（主）視圖側(cè)（左）視圖12 .某四棱錐的三視圖如圖所示，那么此四棱錐的體積為 .13 / 13數(shù)學(xué)（理科）第5頁(yè)（共13頁(yè)）k 360o 90°,其中 k Z為假命題的一組的值是俯視圖13 .

5、能說(shuō)明“若sin cosraoeee14 .如圖所示，玩具計(jì)數(shù)算盤的三檔上各有7個(gè)算珠，現(xiàn)將每檔算珠分為左右兩部分，左側(cè)的每個(gè)算珠表示數(shù) 2,右側(cè)的每個(gè)算珠表示數(shù)1 （允許一側(cè)無(wú)珠），記上、中、下三檔的數(shù)字和分別為a, b, c.例如，圖中上檔的數(shù)字和 a 9.若a, b, c成等差數(shù)列，則不同 的分珠計(jì)數(shù)法有種.三、解答題：本大題共 6小題，共80分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15 .（本小題滿分13分）在 ABC中，已知a2 c b2 mac ,其中m R .（I）判斷m能否等于3,并說(shuō)明理由；（n）若 m 1, b 2 J7 , c 4,求 sin A.16 .（本小

6、題滿分14分）如圖，在多面體ABCDEF中，梯形 ADEF與平行四邊形 ABCD所在平面互相垂直,1 - AF / DE , DE AD , AD BE , AF AD DE 2（I ）求證：BF /平面CDE ;（n）求二面角 B EF D的余弦值；（m）判斷線段 BE上是否存在點(diǎn)Q,使得平面CDQ 平面BEF?若存在，求出BQ的值，若不存在，說(shuō)明理由. BE為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣，某校開(kāi)展了為期一年的“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，閱讀經(jīng)典名著”活動(dòng).活動(dòng)后，為了解閱讀情況，學(xué)校統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩組各10名學(xué)生的閱讀量（單位：本），統(tǒng)計(jì)結(jié)果17 .（本小題滿分13分）用莖葉圖記錄如下，乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，

7、無(wú)法確認(rèn)，在圖中以a表示.甲乙6 2 1012 4 42 1 012 3 6 6 a12087 2（I）若甲組閱讀量的平均值大于乙組閱讀量的平均值，求圖中a的所有可能取值；（n）將甲、乙兩組中閱讀量超過(guò)15本的學(xué)生稱為“閱讀達(dá)人”.設(shè)a 3,現(xiàn)從所有“閱 讀達(dá)人”里任取3人，求其中乙組的人數(shù) X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（出）記甲組閱讀量的方差為 S2.在甲組中增加一名學(xué)生 A得到新的甲組，若 A的閱讀量為 10,則記新甲組閱讀量的方差為 S2;若A的閱讀量為20,則記新甲組閱讀量的方差為S2,試比較S2, s2, s；的大小.（結(jié)論不要求證明）西城區(qū)2019屆高三一模數(shù)學(xué)(理)試題和答案(官方版)

8、18 .(本小題滿分13分)設(shè)函數(shù)f (x) mex x2 3 ,其中m R .(I)當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)，求函數(shù) h(x) xf(x)的極值；(n )若函數(shù)f (x)在區(qū)間2,4上有兩個(gè)零點(diǎn)，求 m的取值范圍.19 .(本小題滿分14分)22已知橢圓W： 上1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,左、右頂點(diǎn)分別為 A,B ,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(n,0)的直線 4m m與橢圓W相交于不同的兩點(diǎn) C,D (不與點(diǎn)A, B重合).(I)當(dāng)n 0 ,且直線CD x軸時(shí)， 求四邊形ACBD的面積；(n)設(shè)n 1 ,直線CB與直線x 4相交于點(diǎn) M ,求證：A, D, M三點(diǎn)共線.20.(本小題滿分13分)如圖，設(shè)A是由n n (n&g

9、t;2)個(gè)實(shí)數(shù)組成的n行n列的數(shù)表，其中aj (i,j 1,2,L ,n)表示位于第i行第j列的實(shí)數(shù)，且aj 1,1.a11a12La1na21a22La2 nMMLMan1On2Lann定義Pst 2能1 %2at2 L 2於(s,t 1,2,L ,n)為第s行與第t行的積.若對(duì)于任意s,t(s1 t),都有Pst 0,則稱數(shù)表 A為完美數(shù)表.(I)當(dāng)n 2時(shí)，試寫出一個(gè)符合條件的完美數(shù)表；(n)證明：不存在 10行10列的完美數(shù)表；(1)設(shè)人為門行門列的完美數(shù)表，且對(duì)于任意的 i 1,2,L,l和j 1,2,L,k,都有aj 1,證明：kl<n.10 / 13數(shù)學(xué)(理科)第#頁(yè)(共1

10、3頁(yè))西城區(qū)2019屆高三一模數(shù)學(xué)（理）試題和答案（官方版）數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2019.4、選擇題：本大題共8小題,每小題5分，共40分.1. B2. D3. D4.5. C6. A7. B8.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.2n 19.10. 311.兀;412. 313.答案不唯一，如110o20o14.32注：第11題第一問(wèn)3分，第二問(wèn)2分.三、解答題：本大題共 6小題，共80分.其他正確解答過(guò)程,請(qǐng)參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分15.（本小題滿分13分）解：（i）當(dāng)m 3時(shí)，由題可知 ab23ac由余弦定理b2 a2 c2 2acc0sB,222a c bcosB 得2

11、ac這與c0sB 1,1矛盾,所以m不可能等于(H)由(I)因?yàn)閎mcosB 一b2ac16284a解得a 6 （舍）或a在 ABC中，由正弦定理asin A11分sin A得asin Bb242.72.211413分16.（本小題滿分14分）解：（I）由底面ABCD為平行四邊形，知AB/CD又因?yàn)锳B平面CDE , CD平面CDE ,所以AB/平面CDE . 2分同理AF/平面CDE ,又因?yàn)锳BIAF A,所以平面ABF平面CDE. 3分又因?yàn)锽F 平面ABF , 所以BF平面CDE. 4分（n）連接BD,因?yàn)槠矫鍭DEF平面ABCD ,平面ADEF I平面ABCD AD , DE AD

12、,所以DE 平面ABCD.則DE DB.又因?yàn)?DE AD, AD BE , DE I BE E故DA, DB,DE兩兩垂直，所以以所以AD 平面BDE ,則AD BD .DA，DB，DE所在的直線分別為x軸、y軸和z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,D(0,0,0)A(1,0,0)B(0,1,0)C(1,1,0)E(0,0,2)F(1,0,1)uuuUULT如圖可得二面角B EF D為銳角,所以二面角BJEF D的余弦值為 3 .10分（出）結(jié)論：線段BE上存在點(diǎn)Q ,使得平面CDQ平面BEF .11分證明如下:uir設(shè)BQuuuBE (0,2 ) (0,1)設(shè)平面所以u(píng)若平面解得uur 所以DQ

13、CDQuiuirDQCDQurnr uurDB BQ (0,1的法向量為u （a，b，c）平面17 0,1(1 uurDC 0,即 aBEF，貝U m u 0,2 )又因?yàn)閡uirDC1,1,0)b 2 cb 0,a 2b0,12分13分所以線段BE上存在點(diǎn)Q ,使得平面CDQ平面BEF ,且此時(shí)BQBE14分17.（本小題滿分13分）解：（I）甲組10名學(xué)生閱讀量的平均值為1 2 6 8 10 11101212 17 2110乙 組 10 名 學(xué)生 閱 讀 量 的1 2 4 4 12 13 16 16 (1010a) 20 98 a 1010由題意，得1a故圖中a的取值為0或1.（H）由圖可

14、知，甲組“閱讀達(dá)人”有2人，乙組“閱讀達(dá)人”有3人.西城區(qū)2019屆高三一模數(shù)學(xué)(理)試題和答案(官方版)由題意，隨機(jī)變量 X的所有可能取值為：1, 2, 3.C2 C133C2 C2P(X1) -3-P(X2) -3HC5I0C5P(Xc33) Ciio10 / 13數(shù)學(xué)(理科)第13頁(yè)(共13頁(yè))所以隨機(jī)變量X的分布列為:E(X) 1所以9分95. 10 分1010X 123P -1035110213分(出)s118.(本小題滿分13分)解：(I)由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，得f( x) f(x),x2x 2即me ( x) 3 me x3對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都成立，所以m 0. 2分32 八此時(shí)

15、h(x) xf (x) x 3x ,則 h(x) 3x 3.由h (x) 0 ,解得x 1 . 3分當(dāng)x變化時(shí)，h (x)與h(x)的變化情況如下表所示:x(,1)1(1,1)1(1,)h(x00h(x)、極小催: /極所以h(x)在(，D, (1,)上單調(diào)遞減，在(1上單調(diào)遞增. 5分所以h(x)有極小值h( D 2, h(x)有極大值h2. 6分x2 3xe所以“ f(x)在區(qū)間2,4上有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于“直線g(x) 乙y m與曲線9ex,x 2,4有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)”g (x)對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)，得2x 3-x e由g (x)0 ,解得x1X210分x(2,1)1(1,3)3(3,4)

16、g (:<)00g(x0極小催: /極大所以g(x)在(2, 1), (3,4)上單調(diào)遞減,在(1,3)上單調(diào)遞增.當(dāng)x變化時(shí)，g (x)與g(x)的變化情況如下表所示:11分又因?yàn)?g( 2)e2, g( 1)汽 g(3)6-g( 2) e13g(4) g( 1)e ，所以當(dāng)6m -3.e3時(shí)，直線ym與曲線g(X)x2 3一e，x 2,4有且只有兩個(gè)公共點(diǎn).2e m即當(dāng)分13e或-3e時(shí)，函數(shù)f (x)在區(qū)間2,4上有兩個(gè)零點(diǎn).1319.(本小題滿分14分)解：(I )由題意,-2得 a 4m所以橢圓W方程為4y2 10 ,及直線CDx軸時(shí),易得C(0,1)D(0, 1)日 A( 2

17、,0) B(2,0).,x 2m(n)由 f(x) me x 3 o,得西城區(qū)2019屆高三一模數(shù)學(xué)（理）試題和答案（官方版）1 -424顯然此時(shí)四邊形ACBD為菱形，所以四邊形 ACBD的面積為2.5分（n）當(dāng)直線CD的斜率k不存在時(shí)，由題意，得 CD的方程為x 1 ,c 33C(1,)D(1,)代入橢圓W的方程，得 2 ,23y (x 2)易得CB的方程為 2.uuiu. 3uuuuAD (3 _)則 M(4, "AM (6,AD (3,2 ),uuuuuLur0) C(x1,y) D(x2,y2) ) )所以AM 2AD ,即A，D，M三點(diǎn)共線.當(dāng)直線CD的斜率k存在時(shí)，設(shè)CD

18、的方程為y k（x 1）（ky2x聯(lián)立方程 4k(x 1),y 1,消去 V,得(4k2 1)x2一 228k2x 4k2由題意，得0恒成立，故x1x28k24k2xx24 k24k210分y直線CB的方程為"x2)M(4, 令x 4 ,得2y1x12)13 / 13數(shù)學(xué)（理科）第17頁(yè)（共13頁(yè)）又因?yàn)?A( 2，0), D(x2，y2)則直線AD, AM的斜率分別為V2x223(x1 2)12分y2kADkAM所以x223(x12)3y2(x12)y1 (x22)3(x1 2)(x2 2)上式中的分子3y2（x12) y1(x22)3k(x2 1)(x1 2) k(x1)(x2 2)2 k4x2 5k(x1 x2) 8k2k之5k 4k 18k24k2-8k 1所以 kADkAM0所以A d,m三點(diǎn)共線.14分20.（本小題滿分13分）解：（I ）答案不唯一.如:（n）假設(shè)存在1均變?yōu)?,而1均變?yōu)椋?）把完美數(shù)表的任何一列的數(shù)變?yōu)槠湎喾磾?shù)（即共y列共x列共z列共w列在這個(gè)新數(shù)表中，設(shè)前三行中的數(shù)均為根據(jù)完美數(shù)表的定義，可以得到以下兩個(gè)結(jié)論:1),得1的有x歹U,前三行中“第1, 2行中的數(shù)為1,且第3行中的數(shù)為-1”的有y歹U,前三行中“第1, 3行中的數(shù)為1,且第2行中的數(shù)為-1”的有z列，前三行中“第1行中