大一(第一學期)高數期末考試題及答案

1、大一上學期高數期末考試之邯鄲勺丸創(chuàng)作一、單項選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)1 設 f(x) cosx(x sin x ),則在 x0處有()(A) f(0)2(B) f (0) 1 (C) f(0)0 (D) f(x)不成導. 、一 1 x設(x)，(x) 3 3Vx,則當 x 1 時()2 .1 x.(A)與 是同階無窮小，但不是等價無窮?。?B)與(x) 是等價無窮??；(C)(x)是比(x)高階的無窮??；(D)(x)是比(x)高階的無窮小.x3.若F(x) 0(2t x)fdt,其中f(x)在區(qū)間上(1二階可導且f (x) 0,則().(A)函數F(x)必在x。處取得極大值

2、;(B)函數F(x)必在x。處取得極小值;(C)函數F(x)在x 拐點；(D)函數F(x)在x 的拐點。4.(A) 2 (B) 2填空題(本大題有2ljm(13x)s7T。處沒有極值，但點(0,F(。)為曲線y F(x)的。處沒有極值，點(0，F(0)也不是曲線y F(x)2 ，一，一(C) x 1 (D) x 2.4小題，每小題4分，共16分)5.已知co注是f(x)的一個原函數 x22 2lim (cos cos 6. n n n n2 n 1、cos )n7.122.x arcsin x1 、-1 x221dx三、解答題(本大題有 5小題，每小題8分，共40分)8.設函數y y(x)由方

3、程exy sin(xy) 1確定，求y(x)以及 y (0)g(x) f (xt )dt lim f (x) a9.設函數f(x)連續(xù)，0，且x 0 x , A為常數.求g(x)并討論g(x)在x 0處的連續(xù)性.y(1)-10 .求微分方程xy2 y xlnx滿足9的解.四、解答題(本大題10分)11 .已知上半平面內一曲線 y y(x) (x 0),過點(°)，且曲線上 任一點M(x。，y。)處切線斜率數值上等于此曲線與x軸、y軸、直線x x0所圍成面積的2倍與該點縱坐標之和，求此曲線方 程.五、解答題(本大題 10分)12 .過坐標原點作曲線y 1nx的切線，該切線與曲線y 1n

4、x及 x軸圍成平面圖形D.(1)求D的面積A; (2)求D繞直線x = e旋轉一周所得旋 轉體的體積V.六、證明題(本大題有 2小題，每小題4分，共8分)13 .設函數f(x)在0，1上連續(xù)且單調遞減，證明對任意的 q 0，1,1f (x) d x q f (x)dx0f(x) d x 014 .設函數f(x)在0, 上連續(xù)，且0f (x)cos x dx 00.證明：在0,內至少存在兩個分歧的點xF(x) f(x)dx1 , 2 ,使 f ( 1 ) f ( 2)0(提示：設0)解答一、單項選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空題(本大題有 4

5、小題，每小題4分，共16分)1 /Cosx、26() c5. e . 6.2 x .7.2 . 8.3三、解答題(本大題有 5小題，每小題8分，共40分)9.解：方程兩邊求導10.解:11.12.解:解:x 0,y 0 y (0)1u x7 7x6dx du10f(x)dx xe xdx 33由 f (0)。，知 g(。)1 2x 0 -0ox2dxlimx 0g (x) lim x 1xxf (x) f (u)du02xg (x)在 x0處連續(xù)。13.解:y(1)dy dx9,Cln xy 1xlnx，3四、解答題（本大題10分）x14.解：由已知且y 20 yd x y, 將此方程關于x求

6、導得y 2y y特征方程：r2 rx其通解為y C1e2 0解出特征根:C2e2x1,22.代入初始條件yy (0)y故所求曲線方程為：五、解答題（本大題 10分）15.解：（1 ）根據題意，1y In x0（x x°）x。1,得2 xe3C123,C22x先設切點為西刖正,切線方程:由于切線過原點,解出x01e,從而切線方程為:則平面圖形面積y1(e ey)dy -e 1（2）三角形繞直線 ，”1x = e 一周所得圓錐體體積記為 V1,則曲線y 1nx與x軸及直線x = e所圍成的圖形繞直線 x = e 一周所得旋轉體體積為V2D繞直線 x = e 旋轉一周所得旋轉體的體積V V

7、1 V2 (5e2 12e 3)6六、證明題(本大題有2 小題，每小題4 分，共 12 分)q1qq1f (x) d x q f(x)dx f (x) d x q( f (x) d x f (x)dx)16. 證明： 0000q故有：q1f (x) d x q f(x)dx00證畢。xF(x) f (t)dt , 0 x證：構造輔助函數：0。其滿足在0, 上連續(xù)，在(0,)上可導。F (x) f(x),且FF( ) 00由題設，有f(x)cosxdx0cos xdF (x) F (x)cosx| 0sin x F(x)dx0，F (x)sin xdx 0有 0，由積分中值定理，存在(0, ) ，使 F ( )sin 0