大一高數(shù)期末考試題(精)

1、一、單項(xiàng)選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)1 設(shè) f ( x) cos x (x sin x ),貝U 在 x0處 有()(A) f(0)2(B) f(0) 1 (C)f(0)0(D)f(x)不可導(dǎo).設(shè)(x)(x) 33雙,則當(dāng) x 1 時(shí)()2 .1 x.(A)(x)與(x)是同階無窮小，但不是等價(jià)無窮??；(B)與是等價(jià)無窮?。?C)(x)是比(x)高階的無窮??；(D)(x)是比(x)高階的無窮小. x3 .若 F(x)0(2t x)fdt,其中 f(x)在區(qū)間上(1二階可導(dǎo)且f (x) °,貝u().(A)函數(shù)F(x)必在x。處取得極大值；(B)函數(shù)F(x)必在x。處

2、取得極小值；(C)函數(shù)F(x)在x 0處沒有極值，但點(diǎn)(0,F(。)為曲線y F(x)的 拐點(diǎn)；(D)函數(shù)F(x)在x。處沒有極值，點(diǎn)(0，F(xiàn)(0)也不是曲線y F(x)的拐點(diǎn)4 設(shè)f (x)是連續(xù)函數(shù)，且 .f (x) X 2 0 f(t)dt ,則 f (x)(A) 22 一(B)2(C) X 1(D) x 2.二、填空題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)5.則0(13x)sin x6 已知cosx是f(x)的一個(gè)原函數(shù)cosx ,貝U f (x) d xx7.lim (cos2 一 ncosIII2 n 1 cos n8.2 一x arcsin1 dx三、解答題(本大題有5小題,每

3、小題8分，共40分)9.設(shè)函數(shù)y y(x)由方程ex ysin(xy) 1確定，求y (x)以及y (0)求10.1x(17 x -dx. x7)設(shè) f (x)11.求 3 f(x)dx.x01g(x) f(xt)dt lim f(x) a12.設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，0，且x 0 x , A為常數(shù).求g(x)并討論g(x)在x 0處的連續(xù)性.，/、1y (1)13.求微分方程xy 2 y x ln x滿足 9的解.四、解答題(本大題10分)14 .已知上半平面內(nèi)一曲線y y(x) (x 0)，過點(diǎn)，。，且曲線上任 一點(diǎn)M(x0,y0)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與x軸、y軸、直線 x x0所圍成面

4、積的2倍與該點(diǎn)縱坐標(biāo)之和，求此曲線方程.五、解答題(本大題10分)15 .過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y ln x的切線，該切線與曲線y 1nx及x 軸圍成平面圖形D. 求D的面積A; (2)求D繞直線x = e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn) 體的體積V六、證明題(本大題有2小題，每小題4分，共8分)16 .設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對(duì)任意的q 0,1,f (x) d x q f (x)dx0017.設(shè)函數(shù)f（x）f（x） d x 0在0， 上連續(xù)，且0,f ( x) cos x dx00.證明：在0，內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)10.解：u x7 7x6dx duxF(x) f(x)dx1，2,使 f()

5、 f( 2) 0,(提示：設(shè)0一、單項(xiàng)選擇題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）1、D 2、A 3、C 4、C二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）1 /COSx、26() c5. e . 6.2 x .7.2. 8.三、解答題（本大題有5小題，每小題8分，共40分）9.解：方程兩邊求導(dǎo)e 0，y 0, y1 y(1 y ) cos(xy)(xy y)y (x)ex y ycos(xy) ex y x cos(xy)原式3duu(1u)1/127 (U n)du11.解:12.解:g(x)g (x)g(0)7(ln |u| 71n |x712ln |u71n|11|)13 f(

6、x)dx0 xe xdx3012r2dx03xd(xxe4 2e3f(0)x)10031 (x 1)2dxcos2 d (令x21 sin )0。1f (xt )dt0xf (u)duxt u0xxf (x) f (u)du02xlimxf(u)du02xlxm0(x0)(x0)xf (x)xm g (x)f(x)2xdy13.解：dxIn x2dx x1xln 3xf (u)du0-2 x-dxe x ln xdxC)Aa, g(x)在x o處連續(xù)。x9x Cx2“、1 Cc1 Iny(1)-,C0y -xln x9,3四、解答題（本大題10分）x14.解：由已知且y 2。ydxy,將此方程

7、關(guān)于x求導(dǎo)得y2y y特征方程:2 0解出特征根：11，22其通解為yCieC2e2x代入初始條件y(0)C1-, C2得 13，2x 1 2x - e 32y e故所求曲線方程為：3五、解答題（本大題10分）15.解:（1）根據(jù)題意，先設(shè)切點(diǎn)為（Ex。）切線方程:，1，、y In x0(x x°)x0y由于切線過原點(diǎn)，解出x。e,從而切線方程為：丫A Q ey）dy 1e 1則平面圖形面積 。2工/士/LkFLf人工 上Vi 1 e2(2)三角形繞直線X = e一周所得圓錐體體積記為Vi,則 3曲線y ln X與X軸及直線X = e所圍成的圖形繞直線X = e 一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為

8、V21V2 (e ey)2dy0D繞直線x = e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積2V V1 V2 (5e2 12e 3)6六、證明題(本大題有2小題，每小題4分，共12分)qif(x)dx q f(x)dx16.證明：00qf ( x) d x0qq( f(X) d X01f (x)dx)qq1(1 q) f (x) d x q f (x)dx0q1 0, q 2 q,1f ( 1) f ( 2)q(1 q)f( 1)q(1 q) f ( 2)0故有：q1f(x)d x q f(x)dx00證畢17.XF(x) f (t)dt ,0 x證：構(gòu)造輔助函數(shù)：。其滿足在0，上連續(xù),在。)上可導(dǎo)。F (X)

9、 f(x),且 F(0) F( ) 00由題設(shè)，有F (x)dxf (x)cosxdx cosxdF (x) F (x)cosx |osin x000F (x)sin xdx 0有0，由積分中值定理，存在(0,)，使F()sin 0即F ( )0綜上可知F(0)F()F()0,(0,).在區(qū)間0,",上分別應(yīng)用羅爾定理，知存在1 (0，)和 2 (，),使 F ( 1)0及 F ( 2)0,即 f( 1) f( 2)0.高等數(shù)學(xué)I解答一、單項(xiàng)選擇題(在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案， 填在題末的括號(hào)中)(本大題有4小題，每小題4分，共16分)1.當(dāng)xx0時(shí)，x， x都是無窮小

10、，則當(dāng)x x0時(shí)( D )不一定是無窮小.x(B)2 x 2 x2(x)(x) (x)(D)(x)1x a的值是(C).cot atan a(B) e(C)e(D)e(A)(C)ln 1lim2.極限x asin xsin af(x)3.sin x e 1 x 0xax 0 在x。處連續(xù)，則a =(A) 1(B) 0(C)e(D)1f (a h)4 .設(shè)f(x)在點(diǎn)x a處可導(dǎo)，那么阿f (a 2h)h( A(A) 3f (B) 2 f (C) f (D)二、填空題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)ln(x a) ln a lim 5 .極限x 0 x6 .由 exyy ln x cos

11、2x2sin 2x yyexyx(a 0)的值是確定函數(shù)y(x),則導(dǎo)函數(shù)yxexy ln x7.直線l過點(diǎn)M(1,2,3)且與兩平面x 2y z 0,2x 3y 5z 6都平行,x 1 y 2 z 3則直線l的方程為 111.三、解答題（本大題有4小題，每小題8分，共32分）1(1 x)x e、 j ghm9.計(jì)算極限x 0 Xiiln(1 x) 1(1 x)X e ex1 ln(1 x) x. lim elim elim 2解：x0 xx 0 xx 0 x10.已知：iai3, ibi 26, ab 30,求ia bi解:a b 5一212cos 13a b 72xF(x) (x t)f(

12、t)dt x a,b11.設(shè)f(x)在a, b上連續(xù)，且 a,試求出 F (x)。xxF(x) x f (t)dt tf (t)dt 解：aaxxF (x) f (t)dt xf(x) xf(x) f (t)dt aaF (x) f(x)cosx ,x 3-dx.12.求 sin x解:cosxx3-dxsin x1 2一 xd sin x21. 21-xsin x 一2221sin xdx - xsin2x 1cotx2四、解答題(本大題有4小題，每小題8分，共C32分)13.求dxx2 1原式1T3一2一十)dt2 2.1dt_ t2arcsint321_262x14.求函數(shù)y 1 x2的

13、極值與拐點(diǎn).解：函數(shù)的定義域(2(1 x)(1 x)(14x(3x2)(1 x2)3x 2 = -1y (i) 0x 1 = 1是極大值點(diǎn)，y ( 1) 0x 2=-1是極小值點(diǎn)極大值y(1)1，極小值y( 1)1令 y 0得 x 3 = 0, x 4 = 6, x 5故拐點(diǎn)(-.3(0, 0) (J3, T)15.求由曲線y3x2x所圍成的平面圖形的面積.3 解:土4x(x0S (6、3x x2,6)(x 2)0,12x4x20,3x433x2 7x )dxx16 2145 233473x-2(3x0 '/ 3 2(2x6,x20,3)dx44x32.16.設(shè)拋物線y 42x上有兩點(diǎn)

14、A( 1,3)B(3, 5),在弧A B上，求點(diǎn) P(x,y)使 abp的面積最大.x(-，-向(-50)(0,向(四+ )y一+一+解:AB 連線方程：y 2x 1 0 AB 4V5點(diǎn)P到AB的距離2x y 51x2 2x 351 x 3)x2 2x 3 2( x22x 3)ABP的面積1.S(x) 4 - 52S (x)4 0當(dāng)x 1時(shí)5( x)取得極大值也是最大值此時(shí)y 3所求點(diǎn)為(1, 3)另解：由于 ABC的底AB一定，故只要高最大而過C點(diǎn)的拋物線 的切線與AB平行時(shí)，高可達(dá)到最大值，問題轉(zhuǎn)為求C(x0, 4 Xo) ，使f (x°)2x°5 3-； 22,解得

15、x0 1,所求 C點(diǎn)為(1,3)3 1六、證明題(本大題4分)一. 2x . .17.設(shè) x 0,試證 e (1 x) 1 x.證明：設(shè) f(x) e2x(1 x) (1 x),x 0f (x) e2x (1 2x) 1 f (x)4xe2xx 0, f (x) 0,因此f在(0, + )內(nèi)遞減。在(0, + )內(nèi)，f (x) f 0, f(x (0, + )內(nèi)遞減，在(0, + )內(nèi)，f(x) f(0)，即 e2x(1 x) (1 x) 0、.2x ,亦即當(dāng)x>0時(shí)，e (1 x) 1 x 。高等數(shù)學(xué)I A一、單項(xiàng)選擇題(在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中)(本

16、大題有4小題，每小題4分，共16分)18.函數(shù)f(x)(A) (-(C)(-(1,+ln(x 1)x 1 , xtan x, 02sin x,的全體連續(xù)點(diǎn)的集合是(B) (-,1)(1,+),0)(0,(D) (-,0)(0,1)、幾 lim (一19.設(shè)x xax b)則常數(shù)a, b的值所組成的數(shù)組（a, b）(A)(1,0)(B)(0,1)(C)(1, 1)(D)(1,-1 )20. 設(shè)在0 ,1上f（x）二階可導(dǎo)且f (x)21.(A)(C)(0)f (1)f(1)f(0)f (0)f(1)24sin x cos x1 x22dx, Nf(0)2(sin3(B)f (0) f f(0)f

17、 (1)(D)4cos x)dxf(1) f(0) f22 . 3P (x sin x f (0)cos4 x)dx(A) M < N < P(B)P < N < M(C) P < M < N(D) N < M < P二填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）1.設(shè)2.設(shè)f(x)dxsin x c,f(n) (x)dxd (x1 .2 sin x x arctan x 1)3 .直線方程2 m n 6 P，與xoy平面，yoz平面都平行,那么m，n，P的值各為（.2n i nlim2e4 . x i 1 n三解答題（本大題有3小題,每小題8

18、分，共24分）lim1.計(jì)算f(x)2.設(shè)21x cos-, xx0試討論f（x）的可導(dǎo)性，并在可導(dǎo)處求出f (x)3.設(shè)函數(shù)y "刈在（，）連續(xù)，在x 0時(shí)二階可導(dǎo)，且其導(dǎo)函數(shù)f (x)的圖形如圖所示，給出f(x)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)以及曲線y f(x)的拐點(diǎn)四 解答題(本大題有4小題，每小題9分，共36分)x 2 2 dx1 .求不定積分x 1 xe1n x dx12 .計(jì)算定積分ex y z 11.x1 y 2 z 31 : 1 o : 3.已知直線 123254 ,求過直線1 1且平行于直線12的平面方程。24.過原點(diǎn)的拋物線y ax及y=0,x=1所圍成的平面圖形繞x軸一周

19、81的體積為5 ,確定拋物線方程中的a,并求該拋物線繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積。五、綜合題(本大題有2小題，每小題4分，共8分)21 .設(shè)F(x 1) f(x),其中f(x)在區(qū)間1,2上二階可導(dǎo)且有f(2)0,試證明存在(12)使得F ( ) 0Oxf (x) (t t2)sin2ntdt (x 0)2 .0(1)求f(x)的最大值點(diǎn)；1f(x)(2)證明：(2n 2)(2n 3)一、單項(xiàng)選擇題 B D B C .二、填空題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)4 arctan . x 1 )dx5.6.f (x)dx cos(x 、)dx sin(x n2-) c7. m 2, p 6,

20、n 08.三、解答題(本大題有3小題，每小題8分，共24分)9. （8分）計(jì)算極限mo i X2in s2 1Xlxm0lxm022x sin x22x sin xx sin x x sin x2limx 03x1 cosx3x2f(x)10. (8分)設(shè)x cos, xf（x）的可導(dǎo)性，并在可導(dǎo)處求出f （x）.解:業(yè) x 0, f (x)2xcos- x.1 sin 一x；當(dāng)x0, f (x) 121x cos f '(0) lim xx 0 xf '(0)lim32xcos1 x1sin - xx（x）在x=0處不可導(dǎo)。11. （8分）設(shè)函數(shù)y設(shè)）在（）連續(xù)，在x0時(shí)二階

21、可導(dǎo)，且其導(dǎo)函數(shù)f （x）的圖形如圖.給出f（x）的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)以及曲線y f（x）的拐點(diǎn).22解：極大值點(diǎn)：x ax d 極小值點(diǎn)：x b拐點(diǎn)（0, f（0）c,f（c） 解答題（本大題有4小題，每小題9分，共36分）_ 2(x 2) dx12.(9分)求不定積分x(x 1)解：原式=(4 - x (x-)dx131n41n x1ndx13.（9分）計(jì)算定積分dxe1n xdx111 In x 解：原式=exln x xx In x x e,xyzl , x 1 y 2 z 3一 一 . 一 l : l o : . 一14. (9分)已知直線 123,254 ,求過直線l 1且平行于直

22、線l 2的平面方程.解：n 3 s2(1,2,3) (2,5,4) ( 7,2,1)取直線l 1上一點(diǎn)M(0,0,1)于是所求平面方程為7x 2y (z 1) 0215. (9分)過原點(diǎn)的拋物線y ax (a 0)及y=0, x=1所圍成的平81面圖形繞x軸一周的體積為4.求a,并求該拋物線繞y軸一 周所成的旋轉(zhuǎn)體體積.15 12V(ax2)2dxa2 _a_解：05 05a281， ，一 ， -2由已知得 55故a = 9拋物線為：y 9x繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積:12.2 x 9x dx04 x 18 4五綜合題(每小題4分，共8分)一216. (4分)設(shè)F(x) (x 1) f(x),

23、其中f(x)在區(qū)間1,2上二階可導(dǎo)且有f(2) 0,證明：存在 (12)使得F ( ) 0。證明：由f(x)在1 , 2上二階可導(dǎo)，故 F (x)在1 , 2二階可2)使 F (%) 0導(dǎo)，因 f (2)=0,故 F (1)= F (2) = 0在1 , 2上用羅爾定理，至少有一點(diǎn)x0，（1x0一一2 一F (x) 2(x 1)f(x) (x 1) f (x) 得 F (1) 0在1 , x°上對(duì)F（x）用羅爾定理，至少有點(diǎn)（1。2） F （ ） 017. （4 分）.解：（1） x 1為f（x）的最大值點(diǎn)。f (x) (x x2)sin2nx，當(dāng) 0 x 1 , f (x) (x

24、x2)sin2n x 0 ；當(dāng) x 1一2 2nf (x) (x x )sin x 0。f為極大值，也為最大值。-x 2 2n-(2) f(x) 0(t t )sin tdt f(1)f(1)1o(t t )sin ntdt10(t t 廣出(2n 2)(2n 3)高等數(shù)學(xué)上B （07）解答一、填空題：（共24分，每小題4分）dy. . z 22、r21 . y sinsin( x ), 則 dx 2xcossin(x )cos xa .一 一 -2dx2 .已知 1 x , a=13.ln x dx 2 2e。4.xe過原點(diǎn)的切線萬程為y ex。5.已知f(x) ex,則f '(ln

25、 x)dx=x c。6.時(shí),點(diǎn)（1,3）是曲線yaxbx2的拐點(diǎn)。計(jì)算下列各題:（共36分，每小題6分）求y（sinx）cosx的導(dǎo)數(shù)。解:cosxlnsin x、y (e )cos xlnsin x e(sin x ln sin x cot xcosx)2.求 sin ln xdx。解:sin ln xdx xsin ln xcosln xdxxsin In x x cosln xsin In xdx1 (xsin ln x xcosln x) C 2x 53.o-x=tdx2d(dx二 dx 151n|xf (x)4.設(shè)xe ,k x1,0在點(diǎn)x0處可導(dǎo),k為何值 f (0) 解：k.x

26、lim x 0 xPmf (0)lim5.求極限1im( n_1_7n2=1222'llnT)o解:./1lim(=n2nlimn121 nr_1_"n2=22III1% n2n2)1k 1k2,1 dx、,1 x2nln(x . 1x2)|0 1n(16.求過點(diǎn)（2,2,0）且與兩直線2y z 1 y z 12xy z 0y z 0平行的平面方程。解：兩直線的方向向量分別為 s (1,2, 1) (1, 1,1) (1, 2, 3), S2 (2, 1,1) (1, 1,1) (0，1，1),平面的法向 量 n (1, 2, 3) (0, 1, 1) ( 1,1, 1)。平

27、面方程為2.求 F（x）0t（t 1）出在 y z 0。三、解答下列各題：（共28分，每小題7分）x Rcost d2y1設(shè)y Rsint ,求菽dy 解：dxcot td2y dx21Rsin311,21上的最大值和最小值。解:F (x) x(x 1) 0,x 0, x 11F(0) 0,F(1)0t(t 1)dt1二161-22F( 1)0 t(t 1)dt -,F(2)0t(t 1)dt -6325最大值為3 ,最小值為6。2 .- 2解：方程x(1 y ) ln(x 2y) 0兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)(1 y2) 2xyy 2y 0 x 2y1將x 0,y 5代入上式5y'8.2 、2

28、 . 一、. 一 一 4.求由y x與y x圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。、，1 ,4、，解：V 0 (y y)dy310四、證明題：(共12分，每小題6分)1.證明過雙曲線xy 1任何一點(diǎn)之切線與OX,OY三個(gè)坐標(biāo)軸所圍 成的三角形的面積為常數(shù)。證明：雙曲線xy 1上任何一點(diǎn)(x,y)的切線方程為1Y y 2(X x) x(0. y -) (2 x 0)切線與x軸、y軸的交點(diǎn)為x故切線與OX,OY三個(gè)坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為/1、 cs x(y )2 x2.設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在閉區(qū)間a上連續(xù)，證明：至少存在一點(diǎn)使得bf( ) g(x)dx g( ) f(x)dx abx證

29、明：令 F(x) xg(x)dx a f(x)dxF(a) F(b) 0,由 Rolle 定理，存在一點(diǎn)a,b,使F()。，即bf( ) g(x)dx g( ) f(x)dx a高等數(shù)學(xué)上解答(07)一、單項(xiàng)選擇題(每小題4分，共16分)1 . f(x) xc0sxe 蝕( x)是 j o(A)奇函數(shù)；(B)周期函數(shù)；(C)有界函數(shù)； (D)單調(diào)函數(shù)22 .當(dāng)x 0時(shí)，f(x) (1 cosx)ln(1 2x)與工是同階無窮小量。(A) x3；(B) x4；(C) x5；(D) x2x 2y z 03.直線x y 2z 0與平面x y z 1的位置關(guān)系是 C 。(A)直線在平面內(nèi)；(B)平行；

30、(C)垂直；(D)相交但不垂直。4.設(shè)有三非零向量Jrc 4aQ LRb a若 o Jrc, 4b, aA 4C JrbHu 貝 40(A) 0;(B) -1 ;(C) 1;(D)3二、填空題(每小題4分，共16分)1.曲線y lnx上一點(diǎn)P的切線經(jīng)過原點(diǎn)(0,0),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(e,1)2.tan x2 / x x (ex1)3 .方程ey 6xy x2 1 0確定隱函數(shù)y y(x), 則y(0) o 二24 .曲線y x、x 1與x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為5 三、解下列各題(每小題6分，共30分)2 t sm x t 乙 f (x) lim ()1 .已知 t t ，求

31、f (x)。f (x) lim (解： t,. 2t sin x)tsin2 x ef (x) e sin xsin 2x2.,人 ln(ln求不JE積分x)1dx In x o解:ln(ln x)1dx In x1 .ln(ln x) dx dx In xxln(ln x)xln(ln x)dxIn xC1In-dx x3.計(jì)算定積分1 2 sin x1x 3、.12 .x )dxo1 2,sinx 二 g x (4. 1角牛：11 x2、，x )dx(x21 x2 )dx1 2 sin x , x 4 dx11 x1x sint(x2 , 1 x2 )dx2 02 s訪2 tcos2

32、69;1 sin x4.求不定積分cosxdxo1 sin x解：1dxcosx11 cosxdxsin x ,dx1 cosx2 xsec dx2d cosx1 cosxx tan 一2In |1cos x | C5.已知 f (lnx) x,且 f(1) e 1,求 f(x)解：令I(lǐng)nx t , fef(x) ex Cf (1) e 1, f (x) ex 1四、(8分)設(shè)f(x)對(duì)任意x有f(x 1)2f (x),且 f 解:f(x1) 2f(x), f(1)2 f (0)f (1)1im33x 2f (0) x 1xt 1f(t 1)f(1)lim t 0 t2f (t) 2f (0)

33、五、(8分)證明：當(dāng)x 1時(shí),(x2 1)ln x(x 1)2O證明：只需證明(x 1)1nxx 1。令 f(x)(x1)lnf (x)In xf(x)在1,)單調(diào)遞增。f(1) 01時(shí),f(x) 0。一 2即(x 1)ln x (x1)2。六、（8分）X/ 2,2已知F(x) 0(x t )f出，f (x)連續(xù)，且當(dāng)x 0時(shí)，F(xiàn)(x)與為等價(jià)無窮小量。求f （0）。. lim解：x 0F (x) 121x七、F(x)F (x)lxm0x 2 2 ， 2 x，0(x2 t2)f (t)dt x2 0 f (t)dtX .2 .2 .2x ° f (t)dt x f (x) x f (

34、x)xF (x)f (0)2 x12lxm02x 0 f (t)dt2 f (0)(8分)設(shè)有曲線y4x2(0x 1）和直線y cx 2 0t2f (t)dtx2x 0 f (t)dt(0c 4）。記它們與y軸所圍圖形的面積為A1,它們與直線xi所圍圖形的面積為A2。問c為何值時(shí)，可使A A A2最小并求出A的最小值。解:A A A20c 手 dy4c(1號(hào))dy2A (c), c 1aA(c)vc 1 0,得c1A (1) - 02c 1為最小值點(diǎn)。min A 1n 0 2dy4(1 )dy 112八、設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)的點(diǎn)x0處取得最大值，且|f(x)| K (a x b)。證明：|

35、 f (a)| | f (b)| K(b a)證明：f (x0) 0在。對(duì)f (x)應(yīng)用拉格朗日定理f (x0) f (a) f ( 1)(x0 a) (a1 x0)f (a) f ( 1)(a x°), |f (a)| K(x° a)在x0,b對(duì)f (x)應(yīng)用拉格朗日定理f (b) f (x。)f ( 2)(b x。)(x。2 b)f (b) f ( 2)(b %), |f (b)| K(b x°)一、單項(xiàng)選擇題(在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中)(本大題分5小題，每小題2分，共10分)1、設(shè) Iex 1 dx,則 Iex 1(A) l

36、n(ex 1) c (B) ln(ex 1) c;(C) 21n(ex 1) x g(D) x 21n(ex 1) c答()2、12 n 1lim , en en e n e n(A)1 (B) . e (C)e (D)e2答()3、的n階麥克勞林展開式的拉格朗日型余項(xiàng)Rn(x)1 x1n 1nrvx(n 1)(1 x)1 n 1(C) -nx(1 x)f(x)(A)(1)(B)( )(n 1)(1 x)(1)n(D)(1n 2X)()(式中01)n 1 nrx4、設(shè)f(x)在x 0勺某鄰域內(nèi)連續(xù)，且f(0) 0,limf(x) 2 ,則點(diǎn)x 0 x 0 1 cosx(A)是f(x)的極大值點(diǎn)

37、(B)是f(x)的極小值點(diǎn)(C)不是f(x)的駐點(diǎn)(D)是f(x)的駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn)答()5、曲線y x2 2x 4上點(diǎn)M 0(0,4)處的切線M 0T與曲線y2 2(x 1)所圍成的平面 圖形的面積A(A)21449萬(C)7(D)1312答()二、填空題(將正確答案填在橫線上)（本大題分5小題，每小題3分，共15分）1設(shè) y ln Ji tan（x ）,則 y 1、 x2、用切線法求方程x3 2x2 5x 1 0在（1,0）內(nèi)的近似根時(shí)，選x。并相應(yīng)求得下 一個(gè)近似值xi 則x。，x1分別為x 1 y 1 z 13、設(shè)空間兩直線 丁 一與x 1 y 1 z相交于一點(diǎn)，則O2axsin x

38、e 1 當(dāng) nf（x）x '。，在x 。處連續(xù)，則a4、 a，當(dāng) x。, bxdx,其中b是實(shí)數(shù).5、。三、解答下列各題（本大題4分）設(shè)平面 與兩個(gè)向量a 3i j和b i j 4k平行，證明：向量c 2i 6j k與平面垂直。四、解答下列各題（本大題8分）討論積分1半的斂散性.0 p五、解答下列各題（本大題11分）導(dǎo)出計(jì)算積分Ind的遞推公式，其中n為自然數(shù)。xx2 1六、解答下列各題（本大題4分）求過P0（4,2, 3）與平面：x y z 10 0平行且與直線x 2y z 5 0I1 ：z 10 0垂直的直線方程。七、解答下列各題（本大題6分）計(jì)算極限 Hm P十三、解答下列各題（

39、本大題6分） xsinx cos2x x 0 xtanx八、解答下列各題（本大題7分） ee_試求In （lnx）ndx勺遞推公式（n為自然數(shù)），并計(jì)算積分1 （ln x） dx.九、解答下列各題（本大題8分）設(shè)f （x）在（a,b）內(nèi)可微，但無界，試證明f （x）在（a,b）內(nèi)無界。十、解答下列各題 （本大題5分）設(shè) lim (x)Uo,lim f(u) f(uo),證明：lim f (x) f(uo)x X0u U0x X0H一、解答下列各題（本大題4分）在半徑為R的球內(nèi)，求體積最大的內(nèi)接圓柱體的高十二、解答下列各題（本大題5分）重量為P的重物用繩索掛在A，B兩個(gè)釘子上，如圖。設(shè)124co

40、s 一，cos135 ,求A,B所受的拉力fi, f2oOAB、單項(xiàng)選擇題（在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中）（本大題分5小題，每小題2分，共10分）1、C2、答：B3、C10 分4、（B）5、C二、填空題（將正確答案填在橫線上）（本大題分5小題，每小題3分，共15分）1、1、2,1(1 f) sec (x -) xx110分2、x0x15分10分3、2(1 tan(x -) xb，b 020 , b 05、10分b-, b 02三、解答下列各題（本大題4分）,p15分nab平面法向量k0 4,12,24n 2cn與c平行10從而平面與c垂直。四、解答下列各題（本大題

41、8分）p 1時(shí),1 dx1 dx lim p 0 xlim (101 p1)當(dāng)p 1時(shí),1 dx1dxlim In xoi粵當(dāng)p 1時(shí)收斂，當(dāng)p 1時(shí)發(fā)散.0 xp7分10分五、解答下列各題（本大題11分）x21(n1)1x2-dx1.x2 1(n1)(ndx,x2 1(n1)dx1)In(n 1)In(n 1)x3分7分I1V1 x1In -cxx- x2 1(n 1)xn 1(法二)令x tan t2 n-In 2(n 2) Ion 1,2,dx sec tdt10分八、InInIn2 .sec tdttann tsectd sect tann 1t secttann 11secttann

42、 11x2n xI1(n(nI n 1x2(n 1)xn 1In1 x2x0 ln解答下列各題大題4分）的法向量為nsec£前71)1)3 .sec tnnT- tan3 xsec tdt t, n 2tan t1)(In 2 In)x2 1(n 1)xn 1In 2(nsect .dt (n 1)-出tan t2)1,11c.2, 1,010分S111的方向向量為3分所求直線方向向量為S n Si 12, 3從而所求直線方程為10分七、解答下列各題原式 limx 0xsinx cos1 2 2xxtanx(1xsinx cos2x)e nIn 14分- 2 _sin 2x)x ta

43、n x10分1, xsinxlim(2 x 0 x tanxxlnn xe1 n1(In x)n 1dxe于是 1nene n(n 1)e( 1) n! dxe ne n(n1)e( 1)n 1 n(n1) 2e( 1)n n!(e1)7 分e3所以(In x) dx e 3e 6e 6(e 1)6 2e10 分九、解答下列各題(本大題8分)證明：反證設(shè)f (x)在(a,b)內(nèi)有界，即M 0則x (a,b)有f (x) M2分取x0 (a,b)則對(duì) x (a,b),x x0在以x0與x為端點(diǎn)的區(qū)間上f(x)滿足拉格朗日中值定理 的條件，則至少存在 介于x。與x之間，使f (x) f(x0) f ( )(x x°)5 分即|f(x)| |f(x0) |f ( )(b a)f(x0)M(b a)記為 K8 分即f(x)在(a,b)內(nèi)有界與題意矛盾，故假設(shè)不正確，即f (x)在(a,b)內(nèi)無界.10分十、解答下列各題(本大題5分)由 lim f (u) f (u0)u U0任給 0,存在 0使當(dāng)u Uo時(shí)，包有f（u） f（Uo）又lim (x) u0,取1,存在 0x x0使當(dāng)0 x x0時(shí)，(x) u0時(shí)，就有成立f（U0）10分故當(dāng)0 x x0f (x)f(U0)因此 lim f (x)x xgH一、解答下列各題（