第8章相量法

1、第第8 8章章 相量法相量法 2. 2. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示3. 3. 電路定理的相量形式；電路定理的相量形式；l 重點(diǎn)：重點(diǎn)：1. 1. 正弦量的表示、相位差；正弦量的表示、相位差；l 正弦電流電路正弦電流電路激勵(lì)和響應(yīng)均為正弦量的電路稱激勵(lì)和響應(yīng)均為正弦量的電路稱為正弦電路或交流電路。為正弦電路或交流電路。8.1 8.1 正弦量的基本概念正弦量的基本概念1. 1. 正弦量正弦量瞬時(shí)值表達(dá)式：瞬時(shí)值表達(dá)式：i(t)=Imcos(w w t+y y)波形：波形：tiOy y/ /w wT周期周期T (period)和頻率和頻率f (frequency) :頻率頻率f ：每秒重復(fù)變

2、化的次數(shù)。：每秒重復(fù)變化的次數(shù)。周期周期T ：重復(fù)變化一次所需的時(shí)間。：重復(fù)變化一次所需的時(shí)間。單位：?jiǎn)挝唬篐z，赫，赫(茲茲)單位：?jiǎn)挝唬簊，秒，秒Tf1 (1)(1)幅值幅值 (amplitude) ( (振幅、振幅、 最大值最大值) )Im(2) (2) 角頻率角頻率(angular frequency)w w 2. 2. 正弦量的三要素正弦量的三要素tiOy y/ /w wT(3) (3) 初相位初相位(initial phase angle) y yIm2 w wtTf w w22 單位：?jiǎn)挝唬?rad/s ，弧度，弧度 / 秒秒反映正弦量變化幅度的大小。反映正弦量變化幅度的大小。相

3、位變化的速度，相位變化的速度， 反映正弦量變化快慢。反映正弦量變化快慢。 反映正弦量的計(jì)時(shí)起點(diǎn)。反映正弦量的計(jì)時(shí)起點(diǎn)。 i(t)=Imcos(w w t+y y)同一個(gè)正弦量，計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，初相位不同。同一個(gè)正弦量，計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，初相位不同。tiO一般規(guī)定一般規(guī)定：| | 。y y =0y y = /2y y = /2例例已知正弦電流波形如圖，已知正弦電流波形如圖，w w103rad/s，（1）寫(xiě)出寫(xiě)出i(t)表達(dá)式；表達(dá)式；（2）求最大值發(fā)生的時(shí)間）求最大值發(fā)生的時(shí)間t1ti010050t1解解)10cos(100)(3 tti cos100500 t3 由于最大值發(fā)生在計(jì)時(shí)起點(diǎn)之后由于最大

4、值發(fā)生在計(jì)時(shí)起點(diǎn)之后3 )310cos(100)(3 tti有最大值有最大值當(dāng)當(dāng) 310 13 tmst047. 110331 3. 同頻率正弦量的相位差同頻率正弦量的相位差 (phase difference)。設(shè)設(shè) u(t)=Umcos(w w t+y y u), i(t)=Imcos(w w t+y y i)則則 相位差相位差 ：j j = (w w t+y y u)- - (w w t+y y i)= y y u- -y y ij j 0， u超前超前ij j 角，或角，或i 落后落后u j j 角角(u 比比i先到達(dá)最大值先到達(dá)最大值) )； j j 0， i 超前超前 uj j 角

5、角，或或u 滯后滯后 i j j 角角,i 比比 u 先到達(dá)最大值。先到達(dá)最大值。w w tu, iu iy yuy yij jO等于初相位之差等于初相位之差規(guī)定：規(guī)定： |j j | (180)。j j 0， 同相：同相：j j = ( 180o ) ，反相：反相：特殊相位關(guān)系：特殊相位關(guān)系：w w tu, iu i0w w tu, iu i0j= /2/2：u 領(lǐng)先領(lǐng)先 i /2/2, 不說(shuō)不說(shuō) u 落后落后 i 3 /2；i 落后落后 u /2/2, 不說(shuō)不說(shuō) i 領(lǐng)先領(lǐng)先 u 3 /2。w w tu, iu i0同樣可比較兩個(gè)電壓或兩個(gè)電流的相位差。同樣可比較兩個(gè)電壓或兩個(gè)電流的相位差

6、。例例計(jì)算下列兩正弦量的相位差。計(jì)算下列兩正弦量的相位差。)15 100sin(10)( )30 100cos(10)( )2(0201 ttitti )2 100cos(10)( )43 100cos(10)( )1(21 ttitti)45 200cos(10)( )30 100cos(10)( )3(0201 ttuttu )30 100cos(3)( )30 100cos(5)( )4(0201 ttitti 解解045)2(43 j j43452 j j 000135)105(30 j j000120)150(30 j j)105100cos(10)(02 tti 不能比較相位差不能

7、比較相位差21w ww w )150100cos(3)(02 tti 兩個(gè)正弦量進(jìn)行相位比較時(shí)應(yīng)滿足同頻率、同函數(shù)、同符兩個(gè)正弦量進(jìn)行相位比較時(shí)應(yīng)滿足同頻率、同函數(shù)、同符號(hào)，且在主值范圍比較。號(hào)，且在主值范圍比較。 4. 4. 周期性電流、電壓的有效值周期性電流、電壓的有效值 周期性電流、電壓的瞬時(shí)值隨時(shí)間而變，為了衡量其周期性電流、電壓的瞬時(shí)值隨時(shí)間而變，為了衡量其大小工程上采用有效值來(lái)表示。大小工程上采用有效值來(lái)表示。l 周期電流、電壓有效值周期電流、電壓有效值(effective value)定義定義R直流直流IR交流交流ittiRWTd)(20 TRIW2 電流有效電流有效值定義為值定

8、義為有效值也稱均方根值有效值也稱均方根值(root-meen-square)物物理理意意義義同樣，可定義電壓有效值：同樣，可定義電壓有效值：l 正弦電流、電壓的有效值正弦電流、電壓的有效值設(shè)設(shè) i(t)=Imcos(w w t+ )ttITITd ) (cos1022m w wTtttttTTT2121d2) (2cos1d ) (cos 0002 w ww wmm2m707. 0221 IITITI ) cos(2) cos()(mtItIti w ww wII2 m 同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關(guān)系：同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關(guān)系：UUUU2 21mm 或或若一交流電壓有效值

9、為若一交流電壓有效值為U=220V，則其最大值為，則其最大值為Um 311V；U=380V， Um 537V。（1）工程上說(shuō)的正弦電壓、電流一般指有效值，如設(shè)）工程上說(shuō)的正弦電壓、電流一般指有效值，如設(shè)備銘牌額定值、電網(wǎng)的電壓等級(jí)等。但絕緣水平、耐壓值備銘牌額定值、電網(wǎng)的電壓等級(jí)等。但絕緣水平、耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設(shè)備的耐壓水平時(shí)應(yīng)按指的是最大值。因此，在考慮電器設(shè)備的耐壓水平時(shí)應(yīng)按最大值考慮。最大值考慮。（2）測(cè)量中，電磁式交流電壓、電流表讀數(shù)均為有效值。）測(cè)量中，電磁式交流電壓、電流表讀數(shù)均為有效值。（3 3）區(qū)分電壓、電流的瞬時(shí)值、最大值、有效值的符號(hào)。）區(qū)分電壓、電流的

10、瞬時(shí)值、最大值、有效值的符號(hào)。I,I, im注注l 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)A的表示形式的表示形式) 1(j為為虛虛數(shù)數(shù)單單位位 AbReIma0A=a+jbAbReIma0 |A|jbajAeAAj )sin(cos| 8.2 8.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示1. 1. 復(fù)數(shù)及運(yùn)算復(fù)數(shù)及運(yùn)算jbaA |AeAAj jeAA| 兩種表示法的關(guān)系：兩種表示法的關(guān)系：A=a+jb A=|A|ej =|A| 直角坐標(biāo)表示直角坐標(biāo)表示極坐標(biāo)表示極坐標(biāo)表示 ab baAarctg| 22 或或 A b|A|asin|cos l 復(fù)數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)運(yùn)算則則 A1A2=(a1a2)+j(b1b2)(1)(1)加減運(yùn)算加減

11、運(yùn)算采用代數(shù)形式采用代數(shù)形式若若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2A1A2ReIm0AbReIma0 |A|圖解法圖解法(2) (2) 乘除運(yùn)算乘除運(yùn)算采用極坐標(biāo)形式采用極坐標(biāo)形式若若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 22121)j(212j2j1221121 | e|e|e| | |211AAAAAAAAAA 除法：模相除，角相減。除法：模相除，角相減。例例1. 乘法：模相乘，角相加。乘法：模相乘，角相加。則則:2121)(212121 2121 AAeAAeAeAAAjjj?2510475 )226. 4063. 9()657. 341. 3(2510475jj 569. 0

12、47.12j 61. 248.12 解解例例2. ?5 j20j6)(4 j9)(17 35 220 (3) (3) 旋轉(zhuǎn)因子：旋轉(zhuǎn)因子：復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) ej =cos +jsin =1 A ej 相當(dāng)于相當(dāng)于A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 ，而模不變。，而模不變。故把故把 ej 稱為旋轉(zhuǎn)因子。稱為旋轉(zhuǎn)因子。 解解2 .126j2 .180 原原式式04.1462.203 .56211. 79 .2724.19 16.70728. 62 .126j2 .180 329. 6j238. 22 .126j2 .180 365 .2255 .132j5 .182 AReIm0A ej jjej 2

13、sin2cos,22 jjej )2sin()2cos(,221)sin()cos(, jej故故 +j, j, - -1 都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。幾種不同幾種不同 值時(shí)的旋轉(zhuǎn)因子值時(shí)的旋轉(zhuǎn)因子ReIm0II j I j I i1I1I2I3w ww ww wi1+i2 i3i2 1 2 3角頻率：角頻率：有效值：有效值：初相位：初相位：兩個(gè)正弦量的相加兩個(gè)正弦量的相加因同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量，所以，只因同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量，所以，只要確定初相位和有效值要確定初相位和有效值( (或最大值或最大值) )就行了。因此，就行了。因此，2. 2. 正弦量的相量

14、表示正弦量的相量表示w w tu, ii1 i20i3正弦量正弦量復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)) cos(2111y yw w tIi) cos(2222y yw w tIi實(shí)際是變實(shí)際是變換的思想換的思想l 正弦量的相量表示正弦量的相量表示造一個(gè)復(fù)函數(shù)造一個(gè)復(fù)函數(shù))j(e2)( w w tItA對(duì)對(duì)A(t)取實(shí)部：取實(shí)部：) cos(2)(RettA w w對(duì)于任意一個(gè)正弦時(shí)間函數(shù)都有唯一與其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)函數(shù)對(duì)于任意一個(gè)正弦時(shí)間函數(shù)都有唯一與其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)函數(shù)) j(2)( ) (c2tIetAtosIi w ww wA(t)包含了三要素：包含了三要素：I、 、w w ，復(fù)常數(shù)包含了，復(fù)常數(shù)包含了I I , 。A(

15、t)還可以寫(xiě)成還可以寫(xiě)成tteIItAj j2ee2)(j 復(fù)常數(shù)復(fù)常數(shù)) sin(2j) cos(2tItI w w w w 無(wú)物理意義無(wú)物理意義是一個(gè)正弦量是一個(gè)正弦量 有物理意義有物理意義 ) cos(2)(IItIti w w ) cos(2)(UUtUtu w w稱稱 為正弦量為正弦量 i(t) 對(duì)應(yīng)的相量。對(duì)應(yīng)的相量。 II 相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位同樣可以建立正弦電壓與相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系：同樣可以建立正弦電壓與相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系：已知已知例例1 1試用相量表示試用相量表示i, u .)V6014t311.

16、1cos(3A)30314cos(4 .141oo uti解解V60220A30100oo UI在復(fù)平面上用向量表示相量的圖在復(fù)平面上用向量表示相量的圖 IItosIti) (c2)(UUtosUtu ) (c2)(w w例例2試寫(xiě)出電流的瞬時(shí)值表達(dá)式。試寫(xiě)出電流的瞬時(shí)值表達(dá)式。解解 A)15314cos(250 ti. 50Hz A,1550 fI已已知知l 相量圖相量圖 U I3. 3. 相量法的應(yīng)用相量法的應(yīng)用(1) (1) 同頻率正弦量的加減同頻率正弦量的加減故同頻正弦量相加減運(yùn)算變故同頻正弦量相加減運(yùn)算變成對(duì)應(yīng)相量的相加減運(yùn)算。成對(duì)應(yīng)相量的相加減運(yùn)算。i1 i2 = i3321 II

17、I )2(R) cos(2)()2(R) cos(2)( j2222 j1111tteUetUtueUetUtuw ww ww ww w )(2(R)22(R )2(R)2(R)()( )( j21j2j1j2j121ttttteUUeeUeUeeUeeUetututuw ww ww ww ww w U21UUU 可得其相量關(guān)系為：可得其相量關(guān)系為：例例V )60314cos(24)(V )30314cos(26)(o21 ttuttu也可借助相量圖計(jì)算也可借助相量圖計(jì)算V604 V 306o2o1 UUV )9 .41314cos(264. 9)()()(o21 ttututu6043062

18、1 UUUReIm301U9 .41UReIm9 .41301U602UU46. 32319. 5jj 46. 619. 7j V 9 .4164. 9o 602U首尾相接首尾相接 2 . 2 . 正弦量的微分，積分運(yùn)算正弦量的微分，積分運(yùn)算 ) cos(2iiIItIiy yy yw w 2Re 2Re tjtjejIeIdtddtdiw ww ww w tjtjejIteIti 2Re d 2Redw ww ww w微分運(yùn)算微分運(yùn)算:積分運(yùn)算積分運(yùn)算:2 y yw ww w iIIjdtdi2 y yw ww w iIjIidt例例 ) cos(2)(itItiy yw w 1)( idt

19、CdtdiLRituRi(t)u(t)L+- -C用相量運(yùn)算：用相量運(yùn)算： CjIILjIRUw ww w 相量法的優(yōu)點(diǎn)：相量法的優(yōu)點(diǎn)：（1）把時(shí)域問(wèn)題變?yōu)閺?fù)數(shù)問(wèn)題；）把時(shí)域問(wèn)題變?yōu)閺?fù)數(shù)問(wèn)題；（2）把微積分方程的運(yùn)算變?yōu)閺?fù)數(shù)方程運(yùn)算；）把微積分方程的運(yùn)算變?yōu)閺?fù)數(shù)方程運(yùn)算；（3）可以把直流電路的分析方法直接用于交流電路；）可以把直流電路的分析方法直接用于交流電路；注注 正弦量正弦量相量相量時(shí)域時(shí)域 頻域頻域 相量法只適用于激勵(lì)為同頻正弦量的非時(shí)變線性電路。相量法只適用于激勵(lì)為同頻正弦量的非時(shí)變線性電路。 相量法用來(lái)分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。相量法用來(lái)分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。N線性線性N線性線性w w1w w2

20、非非線性線性w w不適用不適用正弦波形圖正弦波形圖相量圖相量圖8.3 8.3 電路定理的相量形式電路定理的相量形式1. 1. 電阻元件電阻元件VCR的相量形式的相量形式時(shí)域形式：時(shí)域形式：相量形式：相量形式：iRiRIUII 相量模型相量模型)cos(2)( itIti w w已已知知)cos(2)()( iRtRItRitu w w則則uR(t)i(t)R+- -有效值關(guān)系有效值關(guān)系相位關(guān)系相位關(guān)系R+- -RU IUR u相量關(guān)系：相量關(guān)系：IRUR UR=RI u= i瞬時(shí)功率：瞬時(shí)功率：iupRR 波形圖及相量圖：波形圖及相量圖： iw w tOuRpRRUI u= iURI瞬時(shí)功率以

21、瞬時(shí)功率以2w w交變。始終大于零，表明電阻始終吸收功率交變。始終大于零，表明電阻始終吸收功率) (cos22i2tIUR ) (2cos1 itIUR 同同相相位位時(shí)域形式：時(shí)域形式：i(t)uL(t)L+- -相量形式：相量形式：) cos(2)( itIti w w已已知知)2 cos( 2 ) sin(2d)(d)( iiLtILtILttiLtuw ww ww ww w則則相量模型相量模型jw w L+- -LU I相量關(guān)系：相量關(guān)系：IjXILjULL w w有效值關(guān)系：有效值關(guān)系： U=w w L I相位關(guān)系：相位關(guān)系： u= i +90 2. 2. 電感元件電感元件VCR的相量

22、形式的相量形式2 w w iLiLIUII感抗的物理意義：感抗的物理意義：(1) (1) 表示限制電流的能力；表示限制電流的能力； (2) (2) 感抗和頻率成正比；感抗和頻率成正比；w wXL相量表達(dá)式相量表達(dá)式:XL=w w L=2 fL，稱為感抗，單位為稱為感抗，單位為 ( (歐姆歐姆) )BL=1/w w L =1/2 fL， 感納，單位為感納，單位為 S S 感抗和感納感抗和感納: ,ILjIjXULw w ; , ,; , 0 ),(0開(kāi)路開(kāi)路短路短路直流直流 w w w wLLXXULjULjUjBILw w w w 11功率：功率：) (2sin ) sin()cos( miL

23、iimLLLtIUttIUiup w ww ww ww w t iOuLpL2 瞬時(shí)功率以瞬時(shí)功率以2w w交變，有正有負(fù)，一周期內(nèi)剛好互相抵消交變，有正有負(fù)，一周期內(nèi)剛好互相抵消LUI i波形圖及相量圖：波形圖及相量圖：電壓超前電電壓超前電流流900時(shí)域形式：時(shí)域形式：相量形式：相量形式：)cos(2)( utUtu w w已知已知)2 cos(2 ) sin(2d)(d)( uuCtCUtCUttuCtiw ww ww ww w則則相量模型相量模型iC(t)u(t)C+- - UCI +- -Cj1有效值關(guān)系：有效值關(guān)系： IC=w w CU相位關(guān)系：相位關(guān)系： i= u+90 相量關(guān)系：

24、相量關(guān)系：IjXICjUC w w13. 3. 電容元件電容元件VCR的相量形式的相量形式2 w w uCuCUIUUXC=1/w w C， 稱為容抗，單位為稱為容抗，單位為 ( (歐姆歐姆) )B B C = w w C， 稱為容納，單位為稱為容納，單位為 S S 頻率和容抗成反比頻率和容抗成反比, w0， |XC| 直流開(kāi)路直流開(kāi)路( (隔直隔直) )w w ，|XC|0 0 高頻短路高頻短路( (旁路作用旁路作用) )w w|XC|容抗與容納：容抗與容納：相量表達(dá)式相量表達(dá)式:UCjUjBIICjIjXUCCw ww w 1功率：功率：)(2sin )sin()cos(2 uCuuCCC

25、tUIttUIuip w w t iCOupC2 瞬時(shí)功率以瞬時(shí)功率以2w w交變，有正有負(fù)，一周期內(nèi)剛好互相抵消交變，有正有負(fù)，一周期內(nèi)剛好互相抵消UCI u波形圖及相量圖：波形圖及相量圖：電流超前電電流超前電壓壓9004. 4. 基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律的相量形式 0)(ti同頻率的正弦量加減可以用對(duì)應(yīng)的相量形式來(lái)進(jìn)行同頻率的正弦量加減可以用對(duì)應(yīng)的相量形式來(lái)進(jìn)行計(jì)算。因此，在正弦電流電路中，計(jì)算。因此，在正弦電流電路中，KCL和和KVL可用相應(yīng)可用相應(yīng)的相量形式表示：的相量形式表示：上式表明：流入某一節(jié)點(diǎn)的所有正弦電流用相量表上式表明：流入某一節(jié)點(diǎn)的所有正弦電流用相量表示時(shí)仍滿足

26、示時(shí)仍滿足KCL；而任一回路所有支路正弦電壓用相量；而任一回路所有支路正弦電壓用相量表示時(shí)仍滿足表示時(shí)仍滿足KVL。 02Re)( 21tjeIItiw w 0I 0)(tu 0U )5(CjIUCCw w例例1 1試判斷下列表達(dá)式的正、誤：試判斷下列表達(dá)式的正、誤：Liju )1(w w 005 cos5 )2( tiw wmCUjI )3(mw w LLIUX L )4(LILjU )6(Lw w dtdiCu )7(UImUmmIUIU Cjw w1L例例2 2A1A2A0Z1Z2U已知電流表讀數(shù)：已知電流表讀數(shù)：A18AA26ACjXZRZ 21 , 1 ）（若若A0?為何參數(shù)為何參數(shù)）（21 , 2 ZRZ A0I0max=?為何參數(shù)為何參數(shù)）（21 , 3 ZjXZL A0I0min=?為何參數(shù)為何參數(shù)）（21 , 4 ZjX